高考数学 专题05 三角函数图象与性质热点难点突破 理
专题05 三角函数图象与性质（热点难点突破）
1．将函数f (x )＝sin ?
????x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称
轴方程可能是( )
A ．x ＝－π12
B ．x ＝π
12
C ．x ＝π3
D ．x ＝2π
3
解析：将函数f (x )＝sin ?
????x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝
sin ? ????12x ＋π6的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z，
∴当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π
3.
故应选D. 答案：D
2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ????ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈? ????－π6，π3，且f (x 1
)
＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )
A.1
2 B.
32
C.
2
2
D ．1
3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π6 B.π12 C.
π3 D.5π6
解析：∵y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ? ????x ＋π3，∴将函数图象向左平移m 个单位长度后得g (x )＝2sin ? ??
??x ＋π3＋m 的图象，∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z)，∴m ＝π
6＋k π(k ∈Z)，
又m >0，∴m 的最小值为π
6.
答案：A
4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )
A ．f (x )＝34sin ? ????
32x ＋π6
B ．f (x )＝45sin ? ????
45x ＋15
C ．f (x )＝45sin ? ????
56x ＋π6
D ．f (x )＝45sin ? ??
??
23x －15
解析：由图可以判断|A |<1，T >2π，则|ω|<1，f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件． 答案：B
5．已知cos ? ????π2＋α＝35，且α∈? ????π2
，3π2，则tan α＝( )
A.43
B.3
4
C ．－34
D ．±3
4
解析 因为cos ?
????π2＋α＝35，且α∈? ??
??π2，3π2，所以sin α＝－ 35，cos α＝ －45，∴tan α＝3
4，故选B. 答案 B
6．设a ＝tan 130°，b ＝cos(cos 0°)，c ＝?
????x 2＋120
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c >a >b
B ．c >b >a
C ．a >b >c
D ．b >c >a
解析 a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0
7．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos α
sin α－1的值是( )
A.12 B ．－1
2
C ．2
D ．－2 解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2
α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝
cos α
1－sin α，
∴
cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝1
2
.
答案 A
8．设函数f (x )＝sin ? ????2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )
A ．函数f (x )的最小正周期是2π
B ．图象
C 关于点? ??
??π6，0对称
C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π
3
个单位得到
D ．函数f (x )在区间? ??
??－π12，π2上是增函数 解析 函数f (x )的最小正周期是π，故A 错误；图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π
6
个单位
得到故C 错；函数f (x )在区间? ??
??－π12，5π12上是增函数，故D 错；故选B. 答案 B
9．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)?
????|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在?
?????0，π2上的最小值为( )
A ．－
32 B ．－12
C.12
D.3
2
10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ?
????其中ω＞0，|φ|＜π2的图象如下，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 011)
等于( )
A ．0
B ．503
C ．1 006
D ．2 012
解析 由图象可知，函数的最大值为A ＋b ＝32，最小值为－A ＋b ＝12，解得A ＝1
2，b ＝1，函数的周期T ＝4，
即T ＝2πω＝4，∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin ? ????π2x ＋φ＋1，当x ＝0时，f (0)＝12sin φ＋1＝1.∴sin φ＝0，
∴φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|<
π2，∴φ＝0，即f (x )＝12sin ? ??
??π2x ＋1.在一个周期内f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)
＝4，∴S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 011)＝5033[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＝50334 ＝2 012. 答案 D
11．设函数f (x )＝sin ? ????12x ＋θ－3cos ? ????12x ＋θ? ????|θ|<π2，且其图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x )的一
个单调递减区间是( )
A.?
????0，π2
B.?
??
??π2，π
C.? ????－π2，－π4
D.? ??
??3π2，2π
解析 因为f (x )＝sin ? ????12x ＋θ－3cos ? ????12x ＋θ＝2sin ? ????1
2x ＋θ－π3的图象关于y 轴对称，所以θ＝－π6，
所以f (x )＝－2cos 12x 在? ????－π
2，－π4递减，故选C.
答案 C
12．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)?
????ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期为π，则( )
A ．f (x )的图象过点? ??
??0，12
B ．f (x )在??
??
?
?π12，2π3上是减函数
C ．f (x )的一个对称中心是?
??
?
?5π12，0
D ．将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到y ＝2sin ωx 的图象
解析 因为设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π
3
对称，它的周期为π，
所以φ＝π6，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)(ω>0，－π2<φ<π2)，因为f ? ????5π12＝0，所以f (x )的一个对称中心是? ??
?
?5π12，0，故选C.
答案 C
13．已知函数f (x )＝2sin(x ＋φ)的部分图象如图所示，则f ?
??
?
?2 008π3的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－ 3
D. 3
14．函数y ＝3sin x ＋3cos x ? ????x ∈?
?????0，π2的单调递增区间是________．
解析：化简可得y ＝23sin ?
????x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈??????0，π2，∴函数的单调递增区间是??????0，π3.
答案：?
?????0，π3
15．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.
解析：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为? ????π4＋2k π，2，? ??
?
?5π4＋2k π，－2，
k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T 2
，所以T ＝4＝2π
ω
，所
以ω＝π
2
.
答案：π2
16．已知函数f (x )＝2sin ? ????ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
解析：将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin ??????ω? ????x －2π3＋π6－1＝
2sin ? ????ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z，所以ω＝3k ，k ∈Z，因为ω>0，k ∈Z，所以ω的最
小值为3. 答案：3
17．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a 2b ＋3
2
. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π
2时，求函数f (x )的值域．
解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2
x ＋32
＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ? ????2x －π3，
∴f (x )的最小正周期为π.
令sin ? ????2x －π3＝0，得2x －π3＝k π(k ∈Z )，
∴x ＝
k π
2＋π
6
(k ∈Z )． 故所求对称中心的坐标为? ??
??k π2＋π6，0(k ∈Z )．
(2)∵0≤x ≤π2，
∴－π3≤2x －π3≤2π3，
∴－
32≤sin ?
????2x －π3≤1.
即f (x )的值域为????
??－
32，1. 18．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，3sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a 2(a ＋2b )． (1)求函数f (x )的最大值与单调递增区间； (2)求使不等式f ′(x )≥2成立的x 的取值集合．
解 (1)f (x )＝a 2(a ＋2b )＝a 2
＋2a 2b ＝sin 2
x ＋cos 2
x ＋2(sin 2
x ＋3sin x cos x ) ＝1＋1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2＋2?
????
32sin 2x －12cos 2x
＝2＋2? ????sin 2x cos π6－cos 2x sin π6 ＝2＋2sin ?
????2x －π6. ∴当sin ? ????2x －π6＝1时，f (x )取得最大值为4. 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2，
得k π－π6≤x ≤k π＋π
3(k ∈Z )，
∴f (x )的单调递增区间为
?
?????k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．
(2)由f (x )＝2＋2sin ?
????2x －π6，得
f ′(x )＝4cos ?
??
??
2x －π6
.
由f ′(x )≥2，得cos ? ????2x －π6≥12， 则2k π－π3≤2x －π6≤2k π＋π
3，
即k π－π12≤x ≤k π＋π
4
(k ∈Z )．
∴使不等式f ′(x )≥2成立的x 的取值集合为
???x ????
??k π－π12≤x ≤k π＋π
4，k ∈Z .
19.已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2
ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.
(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
4
个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时
x 的取值集合．
解 (1)f (x )＝2sin 2
ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝
1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ? ????2ωx －π6. 由题意可知函数的周期T ＝
2π
2ω
＝π，即ω＝1， 所以f (x )＝2sin ?
????2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π
3，其中k ∈Z ，
即f (x )的单调递增区间为?
?????k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .
20．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋φ22cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ
2(ω＞0，0＜φ＜π2)，其图象的两个相邻对
称中心的距离为π2，且过点? ????π3，1.
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ? ??
??C 2－π12＝
7
6
，求边c 的值． 解 (1)f (x )＝
32sin(ωx ＋φ)＋12[]1－cos （ωx ＋φ）＝sin ?
????ωx ＋φ－π6＋12.∵两个相邻对称中心的距离为π2，∴T ＝π.由2π
|ω|
＝π，ω＞0，得ω＝2.
又f (x )过点? ??
??π3，1，
∴sin ?
????2π3＋φ－π6＋12
＝1，
得cos φ＝12.又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π
3.
∴f (x )＝sin ?
????2x ＋π6＋12.
(2)∵f ? ????C 2－π12＝7
6
，得：sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23.
∵角C 为锐角，∴cos C ＝
53
. 又∵a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12252b 22
3＝25，∴b ＝6.
由余弦定理：c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝5＋36－2252625
3
＝21， ∴c ＝21.
21．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间??????π8
，3π4上的最小值和最大值．
解析：(1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ? ????2x －π4.
因此，函数f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
(2)因为x ∈??????π8，3π4，所以2x －π4∈??????0，5π4.
当2x －π4＝π2时，x ＝3π
8
，
故f (x )＝2sin ? ????2x －π4在区间??????π8，3π8上为增函数，在区间??????3π8
，3π4上为减函数．
又f ? ????π8＝0，f ? ??
??3π8＝2，
f ?
????3π4＝2sin ? ??
??3π2－π4＝－2cos π4＝－1， 故函数f (x )在区间??????π8
，3π4上的最大值为2，最小值为－1.
22．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的数据如下表：
(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )2g (x )在区间?
????0，5π3的最小值．
解析：(1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝12，φ＝－π
3
，
由12x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π
3
，
又A sin ? ????1235π3－π3＝2，∴A ＝2，
∴f (x )＝2sin ? ????12
x －π3. (2)函数f (x )＝2sin ? ????12x －π3的图象向左平移π个单位，得g (x )＝2sin ? ????12x －π3＋π2＝2cos ? ????x 2－π3的图象，
∴y ＝f (x )g (x )＝2sin ? ????x 2－π322cos ? ????x 2－π3＝2sin ?
????x －2π3.
∵x ∈? ????0，5π3，∴x －2π3∈? ??
??－2π3，π，
∴当x －2π3＝－π2，即x ＝π
6时，y ＝f (x )2g (x )取得最小值－2.
23．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2? ????x －π6，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间????
??－π3，π4上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有
f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ?
????2x －π32
＝
12? ????12cos 2x ＋32sin 2x －1
2cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ? ????2x －π6. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)因为f (x )在区间??????－π3，－π6上是减函数，在区间??????－π6，π4上是增函数，f ? ????－π3＝－14，f ? ????－π6＝－1
2
， f ? ????π4
＝34.所以，f (x )在区间????
??－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 24．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ????ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并
填入了部分数据，如下表：
(1)
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π
6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O
最近的对称中心．
解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
.数据补全如下表：
且函数表达式为f (x )＝5sin ? ????2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ?
????2x －π6， 因此g (x )＝5sin ??????2? ????x ＋π6－π6＝5sin ? ????2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π
12
，k ∈Z . 即y ＝g (x )图象的对称中心为?
????k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为? ??
?
?－π12，0.
25．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω＞0,0＜φ＜π
2
)的部分图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f ? ????x －π12－f ? ??
??x ＋π12的单调递增区间． 解：(1)由题图知，最小正周期T ＝23? ????11π12
－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.
因为点? ????5π12，0在函数图象上，所以A sin ? ??
??235π12＋φ＝0，
即sin ?
??
?
?5π6＋φ＝0.
又0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π
3.
从而5π6＋φ＝π，即φ＝π
6
.
又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π
6＝1，得A ＝2.
故f (x )＝2sin ?
????2x ＋π6.
2020年高考数学三角函数专题解题技巧
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结
三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数的图象与性质 1.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝cos ? ? ???ωx ＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的 最小正周期为( ) A.10π 9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 解析 由图象知π 解析 T ＝2π 1＝2π，故①正确. 当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π 6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误. y ＝sin x 的图象 y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象，故③正确.故选B. 答案 B 3.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间? ???? π4，π2单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x | 解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π 2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝?????sin x ，x ≥0， －sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x ) 均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈? ????π4，π2时，2x ∈? ?? ?? π2，π， 则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A 4.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的 图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________. 解析 将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ?????? 2? ????x －π6＋π4＝3sin ? ????2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π 24，与y 轴最近. 答案 x ＝－5π 24 5.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值 三角函数的图象与性质 ——正弦函数、余弦函数的性质 【教学目标】 1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3．掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ω?＝＋ 【教学重点】 正、余弦函数的性质。 【教学难点】 正、余弦函数性质的理解与应用。 【教学过程】 一、讲解新课： （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］， R (,)-∞+∞分别记作： sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R （2）值域 ，1sin 1x ≤≤--1cos 1 x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。[ ]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R （1）当且仅当，时，取得最大值1。 x 2k 2π π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。 x 2k 2π π=+k ∈Z 1- 而余弦函数，cos y x ＝x ∈R 当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。 2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性 由，()知： sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。 由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做 的最小正周期。()f x 注意： 1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如） ()f x ()()001f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） ()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π （4）奇偶性 由sin()sin x x -=-可知：为奇函数 ()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数 cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称 第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = 例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x = 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z) [探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 三角函数性质与图像 知识清单： ．．．．．．．．．． 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω ）的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈） ，对称中心1(,0) 2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2πk ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5．函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位，所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8． 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2 π ，2k π＋ 2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ，求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin （x+ 6 π ）?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域；(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进 行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质
三角函数的图像和性质(1)
高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析
高考数学三角函数知识点总结及练习
三角函数的图像与性质优秀教案
三角函数的图像与性质
广州艺术生高考数学复习资料3三角函数性质与图像
三角函数的图像与性质题型归纳总结
高考数学三角函数公式
高中数学教案三角函数的图象与性质
(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
三角函数的图像与性质 教案
三角函数的图像与性质
高中数学教师备课必备系列(三角函数(一)专题9 三角函数图像与性质