不等式证明的若干方法
不等式
摘要：不等式在数学中具有重要的地位，熟练掌握不等式的证明尤为重要.
不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循，所以证明不等式的方法可以因题而异，证明的方法也就有很多种.在本文中总结了初等数学中的一些常见的不等式证明的方法，和高等数学中的一些函数证法，以及用一些著名不等式的来证明不等式的方法.
关键词：不等式 ； 证明 ；方法
第一章 不等式的概念及基本性质
证明不等式可以和证明恒等式作类比，就是要证明给定不等式对于其定义域
中一切数都能成立.换句话说，即要证明它是一个绝对不等式.
证明不等式的主要依据是不等式的性质，以及一些熟知的基本不等式.
例如：
，
时等式成立当且仅当)(222b a ab b a =≥+ ),(2b 时等式成立同号，当且仅当b a b a b
a a =≥+ ),,(2
时等式成立当且仅当b a R b a ab b a =∈≥++ 不等式的证明方法有多种多样，下面这一章就是用一些常用的方法举例说明
第一章 证明不等式的常用方法
1.1 比较法
比较法是直接作出所求证不等式两边的差（或商），然后推演结论的方法.
具体的说，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b
<”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法.
例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2
. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明： 02
)(2222
≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ，
故得 ab b a ≥+2
. 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.
分析：对于含有幂指数类的用作商法
证明：因为 0>>b a ，
所以 1>b
a ，0>-
b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ，
故 a b b a b a b a >
1.2 分析法
从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式
的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法.
例3 已知N n ∈，求证：
??
? ??++++≥??? ??-+++++n n n n 2161412111215131111 ① 证明：要证不等式①，只需证
??? ??+++++≥??? ??-++++n n n n 216
14121)1(12151311 ② ②式左边即
??
? ??-+++++121513122n n n n ③ ②式右边即 ??? ??+++++??? ??+++n n n 21614121214
121 ??
? ??++++??? ??++++=n n n n 2161412141212 ④ 比较③和④，可知要证②成立，只须证
n
n 216141212++++≥ ⑤
n
n 2161411215131+++≥-+++ ⑥ ⑤、⑥两式显然成立，故不等式①成立
运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无
目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途.
1.3 综合法
综合法是“由因导果”即从已知条件出发，依据不等式的性质，函数性质或
熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式.
例4 已知122=+b a ，求证：1cos sin ≤+a b a a
证明：∵ a a a a sin 2sin 22≥+，a b a b cos 2cos 22≥+
∴ a b a a a b a a cos 2sin 2cos sin 2222+≥+++
即 a b a a cos 2sin 211+≥+
∴ 1cos sin ≤+a b a a
1.4 数学归纳法
对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式
在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成.
例5 已知：+∈R b a ,，N n ∈，1≠n ，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a .
证明: （1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；
（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则
111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a
=k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(，
即 k k k k ab b a b a +≥+++11成立.
根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的自然数n 都成立.
1.5 反证法
从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从
而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍.
反证法证明一个命题的思路及步骤：
1）假定命题的结论不成立；
2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定
理矛盾;
3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;
4）肯定原来命题的结论是正确的.
例6 设+∈R z y x ,,，且1sin sin sin 222=++z y x ，求证：2π>
++z y x 证明： 假设2π>
++z y x ① 你这里的2 >++z y x 是否是2
π>++z y x ，如果是，全部改过来 则有 2
20 <-≤+ ????2,0 上是增函数，所以 z z y x cos 2sin )sin(=?? ? ??-≤+ ② ②式两边都为正数，两边平方，得 y x y x y x y x sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2222++ y x z z 2222sin sin sin 1cos +=-=≤ 整理，得 0)cos(sin sin ≤+y x y x ③ 但是由①可知，?? ? ??∈+2,0)(,, y x y x ，表明③式不可能成立 因此 2π >++z y x 1.6 换元法 换元法是根据不等式的结构特征，选取适当的变量代换，从而化繁为简，或 实现某种转化，以便证明. 例7 已知：1=++c b a ，求证：31≤ ++ca bc ab . 证明：设t a -=31，)(31R t at b ∈-=，则t a c )1(3 1++=， ?? ????++??? ??-+??????++??? ??-+??? ??-??? ??-=++t a t t a at at t ca bc ab )1(3131)1(31313131 ,31)1(3122≤++-= t a a 所以 31≤++ca bc ab 1.7 放缩法 放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的. 例8 设c b a ,,是三角形的边长，求证3a b c b c a c a b a b c ++≥+-+-+- 证明：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+ 且 20c a b --≤， 20a b c --≥ ∴ 3111a b c a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c ++-=-+-+-+-+-+-+-+-+- 222a b c b a c c a b b c a c a b a b c ------= ++≥+-+-+-0222=-+--+-+--+-+--b a c b a c b a c a c b b a c c b a ∴ 3a b c b c a c a b a b c ++≥+-+-+- 函数的不等式是表示函数之间大小的比较，从某种意义上说，不等式在数学分析中甚至比等式更为重要，不等式存在反而是常见的.下面这一章就是对不等式用函数来证明的一些常用方法. 第二章 利用函数性质证明不等式 2.1 利用函数的单调性 定理1 设函数)(x f 在区间I 可导.函数)(x f 在区间I 单调增加（单调减小）I x ∈??，有)0)((0)(≤'≥'x f x f . 定理2 若函数)(x f 在区间I 可导，I x ∈?，有)0)((0)(<'>'x f x f ，则函数)(x f 在区间I 严格增加（严格减小）. 例1 设1 1ln(11<-+x x 证明：令) 1ln()1ln()1ln(1)1ln(11)(x x x x x x x x x f ---+-=--+=， 分子)1ln()1ln()(x x x x x g ---+=，对)(x g 求导得)1ln()(x x g --='， 分两种情况来讨论： （1）当10< 由0)(=x g ，故0)(>x g ，分母0)1ln(<-x x ，所以0)( 即原不等式成立. （2）当0 综合（1）（2）即得结论成立. 2.2 利用拉格朗日中值定理 定理 如果函数)(x f 满足，在闭区间],[b a 连续；在开区间),(b a 可导.则在开区间),(b a 内至少存在一点c ，使得 a b a f b f c f --=')()()( 从上式可以看出，如果能确定了)(c f '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： M a b a f b f m ≤--≤)()( 因此，欲证形如 a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例2 证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为11>-x e x 的形式， 或改写为10 >--x e e x 的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]， 于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 --x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式 1-x e ＞x . 2.3 利用泰勒公式 定义 若函数)(x f 在a 存在n 阶导数，则)(a U x ∈?，有 ])[()()(n n a x o x T x f -+= 称为函数)(x f 在a （展开）的泰勒公式. 其中，n n n a x n a f a x a f a x a f a f x T )(! )()(!2)()(!1)()()()(2-++-''+-'+= 例3 证明：若函数)(x f 在],[b a 上有n 阶导数，且 1,,2,1,0)()()()(-===n i b f a f i i ， 则存在),(b a c ∈，有 )()()(!2)(1)(a f b f a b n c f n n n --?≥- 证明：将函数)(x f 在点a 和点b 分别展开，即],[b a x ∈?，有 n n a x n f a x a f a f x f )(! )()(!1)()()(1)(-++-'+=ξ n n b x n f b x b f b f x f )(! )()(!1)()()(2)(-++-'+=ξ 由已知条件，令2 b a x +=，则分别有 n n a b n f a f b a f ?? ? ??-+=??? ??+2!)()(21)(ξ，21b a a +<<ξ， n n b a n f b f b a f ??? ??-+=??? ??+2!)()(22)(ξ，b b a <<+22ξ， 以上两式相减，有 02!)(2!)()()(1)(2)(=?? ? ??--??? ??-+-n n n n a b n f b a n f a f b f ξξ 或 n n n n b a n f a b n f a f b f ?? ? ??--??? ??-=-2!)(2!)()()(2)(1)(ξξ， n n n n a b n f a b n f b f a f 2!)(2 !)()()(2)(1)(-+-≤-ξξ 令 })(,)(max{)(2)(1)()(ξξn n n f f c f =，则有 2 )(!)(2)()()(n n a b n c f b f a f -?≤-， 即 )()()(!2)(1)(a f b f a b n c f n n n --?≥- 2.4 利用函数的极值与最值 定义 可导函数)(x f 的方程0)(='x f 的根)0)((0='x f x ，称为函数)(x f 的稳定点 定理1（第一判别法） 若函数)(x f 在)(a U 可导，且0)(='x f ， 0>?σ 有 ,) ,(),0(0),(),0(0)(???+∈?><-∈?<>'σσa a x a a x x f 则a 是函数)(x f 的极大点（极小点），)(a f 是极大值（极小值） 定理2（第二判别法） 若函数)(x f 在a 存在n 阶导数，且 0)()()(1===''='-a f a f a f n ，0)()(≠a f n 1）n 是奇数，则a 不是函数)(x f 的极值点， 2）n 是偶数，则a 是函数)(x f 的极值点. 当0)()(>a f n ，a 是函数)(x f 极小点，)(a f 是极小值, 当0)()( 例4 证明，0>?x ，有不等式 ,01≤-+-αααx x 10<<α 证明：讨论函数 1)(-+-=αααx x x f 在区间),0(+∞的最大值. )1()(11-=-='--αααααx x x f 令0)(='x f ,解得唯一定点1，它在区间),0(+∞分成两个区间)1,0(与),1(+∞，列表如下： 稳定点1是函数)(x f 极大点，极大值0)1(=f .由此表可见极大值0)1(=f 就是函数)(x f 在区间),0(+∞的最大值，即0>?x ，有 )1()(f x f ≤ 或 01≤-+-αααx x . 所以原不等式得证. 2.5 利用函数的凹凸性 定义 设函数)(x f 定义在某一区间上，对于这区间内的任意21x x ≠，如果恒有 2)()(22121x f x f x x f + ? ??+ 则称)(x f 在这区间上是凹函数；如果恒有 2)()(22121x f x f x x f +>?? ? ??+ 则称)(x f 在这区间上是凸函数. 函数凹凸性的判定：如)(x f 在（a, b ）内的二阶导数0)(>''x f ，则函数为)(x f 凹函数，如0)(<''x f ，则函数)(x f 为凸函数. 如在不等式的证明中出现了形如??? ??+2y x f 或?? ? ??+++n x x x f n 21 的形式，可用函数凹凸性来证明. 例5 证明：当1x ，2x ，…，n x 均匀正数时有 n x x x n +++ 21≥n n x x x 21 证明：因为在不等式的左边出现了乘积1x ，2x ，…，n x ，因此，我们两边取对数变成和的形式，即欲证n x x x n +++ 21≥n n x x x 21，只须证明 n x x x n +++ 21ln ≥n n x x x 21ln ， 即证： n x x x n +++ 21ln ≥[]n x x x n ln ln ln 121+++ 于是，可令t t t f ln )(=＞0，则有 2 1)(t t f -=''＜0 （t ＞0） 可见)(x f 为凸函数，由凸函数的定义可知有 ??? ??+++n x x x f n 21≥[])()(11n x f x f n ++ 即有 n x x n ++ 1ln ≥[]n x x n ln ln 11++ 所以 n x x n ++ 1≥n n x x x 21 在不等式证明中，利用已知不等式常能收到事半功倍的效果.在前面两章已经介绍了一些初等数学中常用的已知不等式和高等数学中函数不等式，本章在此基础上，来讨论几个在数学领域有着广泛应用的著名不等式. 第三章 利用著名不等式的证明方法 3.1 柯西不等式 定理 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则有不等式?? ? ????? ??≤??? ??∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122 1成立；当且仅当),,2,1(n i ka b i i ==时等号成立. 例1 设 ),,2,1(n i a i =都是正数，求证：2111n a a n i i n i i ≥??? ? ????? ??∑∑== 证明：比照柯西不等式，构造如下两组数： n a a a ,,21； n a a a 1,1,1 21 由柯西不等式，得 ∑∑∑===???? ?????? ??≤???? ???n i i n i i i n i i a a a a 1212211)(1 即 ??? ? ????? ??≤∑∑==n i i n i i a a n 1121 所以原不等式成立. 3.2 均值不等式 常用的平均值除了n 个正数的几何平均值n G ,和算术平均值n A 之外，还有另外两种，定义如下 定义 n 个正数的倒数的算术平均值的倒数，叫做这n 个正数的调和平均值，用n H 表示；n 个正数的k 次幂的算术平均值的k 次算术根，叫做这n 个正数的k 次幂平均值，用k M 表示.即 设 ),,2,1(n i R a i =∈+，则 n n a a a n H 11121+++= ； k k n k k k n a a a M +++= 21. 其中n ，k 均为大于1的自然数.再定义n n A G 与 定理1 n n A G ≤.即若),,2,1(n i R a i =∈+， 则 n a a a a a a n n n +++≤ 2121， 当且仅当 n a a a === 21 时取等号 定理2 n n G H ≤.即若),,2,1(n i R a i =∈+， 则 n n n a a a a a a n 2121≤+++. 定理3 n n M A ≤.即若),,2,1(n i R a i =∈+， 则 n a a a n a a a n n 2222121+++≤+++ . 例2 设n 是大于1的自然数，求证: n n n n ?? ????++<6)12)(1()!(2. 证明： 根据均值不等式n n A G ≤，得 n n n n 2 222 222121+++ 121222++=+++n n n n 所以 )12)(1(6 121222++ n n n n ??????++<6)12)(1()!(2. 3.3三角形不等式 定理 对于任意实数 i a 和 ),,2,1(n i b i = ，有 2 11221122112)(?? ????+≥??? ??+??? ??∑∑∑===n i i i n i i n i i b a b a 当且仅当),,2,1(n i kb a i i == 时取等号. 例3 用三角不等式证明：当直角三角形的斜边为 c 时，两直角边的和小于或等于c 2 证明：设两个直角边为y x ,. 则222c y x =+.根据三角不等式，有 222222)()(c c y x y c x c +≥++-+-， 即 c y c x c )12()()(22-≥-+- c cy y c cx x c )12(222222-≥-++-+ c y x c c )12()(232-≥+- ∴ 222223)(23c c y x c c -≥+- ∴ c y x 2≤+ 3.4 琴森不等式 定理（琴森不等式） 如果)(x f y =在某区间上是凹函数，则对于该区间上 任意n x x x ,,,21 ，都有 n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+++≤?? ? ??+++ 成立；如果)(x f y =在某区间上是凸函数，则对于该区间上任意n x x x ,,,21 ，都有 n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+++≥?? ? ??+++ 成立.以上两个不等式中的等号当且仅当 n x x x === 21 时成立. 例4 在△ABC 中，求证：32 3sin sin sin ≤++C B A 证明：设x x f sin )(=，对于),0(,21 ∈x x 且21x x ≠，因为 2 cos 2sin 2sin sin 2)()(21212121x x x x x x x f x f -+=+=+ ?? ? ??+=+<22sin 2121x x f x x 所以x x f sin )(=，在),0( 上是凸函数. 因为 =++C B A 且),0(,, ∈c B A ，根据琴森不等式，有 3 sin sin sin 3sin c B A C B A ++≥++, ∴ 3233sin 3sin sin sin =≤++ C B A 第四章 总结 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。 不等式的证明方法很多,我们需要根据题目自身的特点寻找一种适合解题的方法。在证明的不等式的时候我们要注意不能盲目的去求证不等式，须认真观察 这个不等式，然后用适合这个不等式的最简便的方法去求证，这样就可以少走弯路，也能更好更快的解出这个不等式。 参考文献 [1] 李长明，周焕山.《初等数学研究》.北京：高等教育出版社，1995.6（2012.5 重印） [2] 刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.《数学分析讲义》.上册—5版.北 京：高等教育出版社，2008.5（2010重印） [3] 傅荣强，于长军.《龙门专题高中数学不等式》 [M].龙门书局出版社，2007 '、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a，b为实数，贝当且仅当ab>0时，等号成 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a —b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，贝等号成立，即b落在a，c之间 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到 判别式法证 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是 错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A> B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数，设a、b€ R,且a^b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ① 当ab< —1时，式①显然成立； 当ab>—1时，式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二：当a=—b 时，原不等式显然成立； 当a M— b 时, ???原不等式成立。 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12- 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/7f7245422.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/7f7245422.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/7f7245422.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------?? ＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥ 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0 选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立． 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ； 不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考． 关键词：不等式；证明；方法 Methods for Proving Inequality Abstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method 第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a 不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ` 学科分类号110 本科毕业论文 题目不等式证明的若干方法 姓名朱虹霞学号51 院（系）数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学年级 2011级 指导教师晟职称副教授 二○一五年五月 师学院本科毕业论文诚信声明 本人重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年月日 目录 摘要 (1) Abstract (2) 1 常用的不等式证明方法 (3) 1.1 作差比较法 (3) 1.2 作商比较法 (4) 1.3 分析法 (5) 2 假设法证明不等式 (5) 2.1 反证法 (5) 2.2 数学归纳法 (6) 3 构造法证明不等式 (7) 3.1 代换法 (7) 3.2 构造复数 (8) 4 利用微分中值定理证明不等式 (9) 4.1 利用拉格朗日中值定理 (9) 4.2 利用柯西中值定理证明不等式 (10) 4.3 利用泰勒展开式证明不等式 (11) 5 利用积分定理证明不等式 (12) 5.1 利用定积分定义证明不等式 (12) 5.2 利用定积分性质证明不等式 (13) 6 一题多解 (14) 结语 (17) 参考文献 (18) 致 (19) 摘要 不等式是数学学习过程当中一个根本的问题，它浸透于数学研究的各个方面，因而不等式证明在数学中有着至关重要的作用和地位。在本文中，我主要从不同方面总结了一些证明不等式的方法。尤其是在初等数学中不等式证明，经常会使用到比较法，假设法，反证法等等。在高等数学中还会用到中值定理、积分定理等等。于是，一个更完美的不等式的证明，有助于我们进一步的探索研究。经过去掌握这些证明方法，可能会帮助我们去解决一些数学题目。 关键词:比较法；中值定理；积分定理 不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1 三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++不等式证明的基本方法
不等式证明的常用基本方法
高中不等式的证明方法
证明不等式的几种方法
高等数学中不等式的证明方法
高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)
不等式证明的基本方法
经典不等式证明的基本方法
北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的种方法
证明不等式的基本方法(20200920095256)
不等式的证明方法论文
证明不等式的基本方法-比较法
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