箴言中学2019届第二次月考数学试卷
箴言中学2019届第二次月考数学试卷
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：
1、x x x f 2cos 2sin )(+=的最小正周期是 （ ）
A ．4
π B ．
2
π
C ．π
D ．2π
2、已知)3sin(3)3cos()(??+-+=x x x f 为偶函数，则?可以取的一个值为 （ ）
A ．π6
B ．π3
C ．－ π6
D ．－ π3
3、已知两个函数的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表：
）（A ）{1} （B ）{2} （C ）{3} （D ）以上都不对4、在ABC ?中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么ABC ?一定是 （ ）Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三
角形
5、把函数sin ()y x x R =∈的图像上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是 （ ）
A. sin(2),3y x x R π
=-∈ B. sin(),26x y x R π
=+∈ C. sin(2),3
y x x R π
=+
∈ D. 2sin(2),3
y x x R π
=+
∈6、为使方程a a x x 则内有解在,2,00sin cos 2
??
?
??=+-π的取值范围是 （ ） A ．11≤≤-a B ．11≤<-a
C ．01<≤-a
D ．4
5
-
≤a
7、已知a >0，且a ≠l ，若函数()(
log a f x x =在(),-∞+∞上是奇函数，又是
增函数，则函数()log a g x x k =-的图象是 ( )
8.定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x x
f x x x x ≥?=?
，给出下列四个命题：(1)该函数的值域为
[1,1]-；
(2)当且仅当2()2
x k k Z π
π=+
∈时，该函数取得最大值；(3)该函数是以π为最小正周期的周
期函数；(4)当且仅当322()2
k x k k Z π
πππ+<<+
∈时，()0f x <.上述命题中正确的个数是 ( )
A 1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：
9、已知α为钝角，3sin 5α=，则tan 4πα?
?- ??
?等于
10、函数
sin 2cos2y x x =+的递增区间
11、已知集合(){}(){}
，＝且＝φQ P a y y x Q k y y x P x
?+===,1|,,|,那么k 的取值范围
是
12、已知}2
1{0,B ][0,2sin :＝
到集合是集合π?-→A x x f 的一个映射，则集合A 中元素个数最多是 。
13、若＝则
＝?
--4
2
)(|},1|,1min{)(dx x f x x x f
14、函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的图象如图所示，则
)2009()3()2()1(f f f f +??+++的值等于
15、若不等式
)1()8)(8(2+<-+x x x x λ对于一切实数)2,0(∈x 都成立，则实数λ的取
值范围是
16、（12分）已知函数2()sin cos 222x x x f x =?++ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若[]0,x ∈π，求函数()f x 的值域。
17、（12分）在△ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
2
8sin 2cos 272
B C
A +-=.
（1）求角A 的大小； （2）若求b 和c 的值。
18、（12分）某轮船以30海里/时的速度航行，在A 点测得海面上灯塔P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得灯塔P 在南偏东30°，轮船改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离。
19、（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为)1200(880
312800013≤<+-=x x
x y ，已
知甲、乙两地相距100千米。
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
20、（12分）已知数列{}n a 中，*1111,(),()2
n n n a a a n N +==∈（1）求证：数列2{}n a 与
*21{}()n a n N -∈都是等比数列；
（2）求数列{}n a 前2n 的和2n T ；
（3）若数列{}n a 前2n 的和为2n T ，不等式222643(1)n n n T a ka ?≤-对*n N ∈恒成立，求
k 的最大值。
21、（15分）设函数f(x)=x 2
-mlnx,h(x)=x 2
-x+a 。 （1） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围； （2） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a 的取
值范围； （3） 是否存在实数m ，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存
在，求出m 的值，若不存在，说明理由。
箴言中学届第二次月考数学答案
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：CDCB CBAA 二、填空题：
9 7 10、Z ]k k 8
,k 83[-
∈++ππ
ππ 11、k ≤1 12、 5
13、
6
23
14、22
15、[)
+∞,4
16、（12分）（Ⅰ）因为1()sin cos )2f x x x =
-
1
(sin )2x x =
sin()3
x π
=-
所以, 函数()f x 的最小正周期为2π． 由32
x k ππ-=π+，得 5,6x k k π=π+∈Z .
故函数()f x 图象的对称轴方程为5,6
x k k π=π+∈Z . ………………8分
（Ⅱ）因为[]0,x ∈π，所以2[,]333
x πππ-∈-．
所以sin()13
x π
≤-≤.
所以函数()f x 的值域为,12?． 17、（12分）（1）A=
3
π. （2）???==21c b 或 ??
?==1
2
c b 18、（12分）P 、C 间的距离。207
19（12分）（1）从甲地到乙地耗油17.5升，
（2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x
100
小时，设耗油量为h(x)升，依题意得)1200(4
15
80012801100)88031280001(
)(23≤<-+=?+-=x x x x x x x h ，
当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
20、（13分）值。
1）∵11()2
n n n a a +=，∴21
2
n n a a +=
2分
∴数列1321,,,,n a a a -??????是以1为首项，1
2
为公比的等比数列；数列242,,,,n a a a ??????是以
12为首项，1
2
为公比的等比数列。 4分
（2）21321242111
1()[1()]
222()()111122
n n n n n T a a a a a a ---=++???++++???+=
+--1
33()2
n =-?
9分
（3
）
22211164
643(1)64[33()]()33()2642222
n n n n n n n n T a ka k k
?≤-?-?≤-?+≥+64
2162
n n +≥当且仅当3n =时取等号，所以6416k +≤，即48k ≤-，∴k 的最
大值为－48
21、（14分）设函数f(x)=x 2-mlnx,h(x)=x 2
-x+a 。
当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；
当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围；
是否存在实数m ，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由。（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx ≥-x
即ln x
m x ≤
┉┉┉┉┉┉┉┉1分记ln x
x
?=，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于min ()m x ?≤.
求得2ln 1
'()ln x x x
?-= ┉┉┉┉┉┉┉┉2分
当(1,)x e ∈时;'()0x ?<;当(,)x e ∈+∞时，'()0x ?> ┉┉┉┉┉┉┉┉3分故()x ?在x=e 处取得极小值，也是最小值，
即min ()()x e e ??==，故m e ≤. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a ，在［1,3］上恰有两个相异实根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令g(x)=x-2lnx,则2
'()1g x x
=- ┉┉┉┉┉┉┉┉6分
当[1,2)x ∈时，'()0g x <,当(2,3]x ∈时，'()0g x >
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数。 故min ()(2)22ln 2g x g ==- ┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
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