椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第2课时 椭圆的简单几何性质
考点一 椭圆的性质
【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63
B.33
C.23
D.13
(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.?
?
???0，
32 B.?
????
0，34 C.??????32，1
D.????
??
34，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab
a 2＋b
2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13. ∴e ＝c
a ＝a 2－
b 2a ＝
1－? ??
??b a 2＝
1－? ????132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4
5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c
a
＝
c 2a 2
＝a 2－b 2
a 2
＝4－b 24∈?
????
0，32. 答案 (1)A (2)A
规律方法 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.
【变式练习1】 (1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B
分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13
B.12
C.23
D.34
(2)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________.
解析 (1)设M (－c ，m )，则E ? ?
?
??0，am a －c ，OE 的中点为D ，
则D ? ??
??
0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，
所以m 2（a －c ）＝m
a ＋c ，
所以a ＝3c ，所以e ＝1
3.
(2)由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ????c ，b 2
a ，B ????c ，－b
2
a .因为AB 平行于y
轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为????0，－b 2
2a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·k F 1B ＝－1，即b 2a －????－b 22a c －0×－b 2
a －0c －（－c ）＝－1，整理得3
b 2＝2a
c ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c
a 且0＜e ＜1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝
3
3
(e ＝－3舍去). 答案 (1)A (2)
33
考点二 椭圆性质的应用
【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝1
2，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 2
3＝1 B.x 28＋y 2
6＝1 C.x 22＋y 2
＝1
D.x 24＋y 2
＝1
(2)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么
|PF 1→＋PF 2→
|的最小值是( ) A.0
B.1
C.2
D.2 2
解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以
c ＝1，又离心率e ＝c a ＝1
2，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1，故选A.
(2)椭圆的标准方程为x 2
2＋y 2＝1，因为原点O 是线段F 1F 2的中点，所以PF 1→＋PF 2→＝2PO →，即|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →
|＝2|PO |，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO |的最小值为b ＝1，所以|PF 1→＋PF 2→
|的最小值为2. 答案 (1)A (2)C
规律方法 利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. 【变式练习2】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1
B. 2
C.2
D.2 2
(2)(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足
∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞) D .(0，3]∪[4，＋∞)
解析 (1)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大， 所以12×2cb ＝1，bc ＝1， 而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝2 2 (当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D. (2)①当焦点在x 轴上，依题意得
0 3 m ≥tan ∠AMB 2＝ 3. ∴0 m 3 ≥tan ∠AMB 2＝3，∴m ≥9， 综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 (1)D (2)A 考点三 直线与椭圆(多维探究) 命题角度1 弦及中点弦问题 【例3－1】 已知椭圆x 22＋y 2 ＝1， (1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点P ????12，1 2且被P 点平分的弦所在直线的方程. 解 (1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y ). ? ?? x 212＋y 2 1＝1，① x 22 2 ＋y 22＝1，② ①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x 2y ， 所以－x 2y ＝y －1 x －2 ， 化简得x 2 －2x ＋2y 2 －2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2 ＝1内部的部分). (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－1 2， 因此所求直线方程是y －12＝－1 2??? ?x －12，化简得2x ＋4y －3＝0. 规律方法 弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率. 命题角度2 直线与椭圆的位置关系(易错警示) 【例3－2】 已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB → . (1)求椭圆E 的方程； (2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围. 解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0). 设Q (x 0 ，y 0 )，则由PQ →＝32QB → ，得???x 0 ＝6 5， y 0 ＝－4 5， 代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2 ＝1. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2. 联立???? ?y ＝kx －2，x 24 ＋y 2＝1， 消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*) 因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>3 4. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系得? ????x 1＋x 2＝ 16k 1＋4k 2 ，x 1x 2＝12 1＋4k 2 ， 因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， 所以OM →·ON → >0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0， 解得k 2<4，综上可得3 4 则满足条件的斜率k 的取值范围为? ????－2，－ 32∪? ?? ??32，2. 规律方法 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.