概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《随机事件及概率》练习题
一、单项选择题
1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）
（A ）()1()P A P B =-
； （B ）(|)()P A B P A =；
（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。 2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；
（C ）()1()P A P B =-
； （D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立
（A ）()()()P AB P A P B =
； （B ）()()()P A B P A P B =；
（C ）(|)()P A B P B =
； （D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ?，则下列等式中正确的是（ ）
（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A
B P A =；
（C ）(|
)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）
A 与
B 互不相容； （B ）A 与B 相容；
（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P A
B P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+；
（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ）
（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。
二、填空题 1、若
A B ?，A C ?，P (A )=0.9，()0.8P B C =，则()P A BC -=__________。
2、设P (A )=0.3，P (B )=0.4，P (A |B )=0.5，则P (B |A )=_______，(|)P B A
B =_______。
3、已知()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB = 。
4、已知事件
A 、
B 满足()()P AB P A B =?，且()P A p =，则()P B = 。
5、一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第2次抽出
的是次品的概率为_____________。
6、设在4次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，若已知事件A 至少出现1次的概率是6581，
则A 在1次试验中出现的概率为__________。 7、设事件A ，B 的概率分别为()1
3,()16P A P B ==， ①若A 与B 相互独立，则
()P A B =_________； ②若A 与B 互不相容，则()P A B =___________。
8、有10个球，其中有3个红球和7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人1个，则最后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为__________。
9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，则目标被击中的概率为___________。 三、计算题
1、某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品；从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多于1个的概率。
2、某城市的电话号码为六位数，且第一位为 6 或 8；求 (1) 随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率； (2) 随机抽取的电话号码末位数是8的概率。
3、已知()()()14P A P B P C =
==，P (AB )=0，()()116P AC P BC ==，求A ，B ，C 至
少有一个发生的概率。
4、设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。
5、一个工厂有一，二，三3个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45%，35%，20%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%，4%，2%，
①从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率；
②从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。
6、有两箱同类零件，第一箱装 50 只 (其中一等品 10 只)，第二箱装 30 只(其中一等品 18 只)；今从两箱中任挑一箱，然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。
7、右边是一个串并联电路示意图， A 、B 、C 都 是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立 正常工作的概率(可靠性)，求电路的可靠性。 四、证明：若(|
)(|)P B A P B A =，则事件A 与B 相互独立。
第二、三章 《随机变量及其分布》练习题
一、单项选择题 1、设离散型随机变量
X 的分布列为
()F x 为X 的分布函数， 则(1.5)F =（ ）
（A ） 0； （B ） 0.3； （C ） 0.6； （D ） 1。 2. 如下四个函数中， 哪一个不能作为随机变量
X 的分布函数（ ）
（A ）0, 0,
1/3, 01
()1/2, 121, 2
x x F x x x
=+?≥?+?；
（C ）2
0, 0,
1(), 024
1, 2
x F x x x x
x F x e x -
3、当常数b =（ ）时，
(1,2,)(1)
k b
p k k k =
=+为某一离散型随机变量的概率分布
（A ） 2； （B ） 1； （C ） 1/2； （D ） 3。 4、设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则随机变量21Y X =+的分布函数()Y F y 是（ ）
（A ）
1()22y F -； （B ） (1)2y F +； （C ） 2()1F y +； （D ） 11()22
F y -。
5、设随机变量2~(,)X
N a a ，且~(0,1)Y aX b N =+，则,a b 应取（ ）
（A ）2,2a b ==-； （B ）2,1a b =-=-； （C ）1,1a
b ==-； （D ）1,1a b =-=。
6、设某一连续型随机变量X 的概率密度()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0，则区
间[,]a b 为（ ） （A ）[0,/2]π
； （B ）[0,]π； （C ）[/2,0]π-； （D ）[0,3/2]π。 7、设随机变量2~(,)X N μσ，则随σ
的增大，则{|
|}P X μσ-<（ ）
（A ）单调增加； （B ）单调减少； （C ）保持不变； （D ）增减不定。
8、设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，{1}{1}1/2P X P Y =-==-=，
{1}{1}1/2P X P Y ====，则下列式子成立的是（ ）
（A ）{}1/2P X Y ==； （B ）{}1P X Y ==； （C ）{0}1/4P X
Y +==； （D ）{1}1/4P XY ==。
9、设随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则min(,)Z X Y =的分
布函数为（ ） （A ）()()Z X F z F z =
（B ）()()Z Y F z F z =；
（C ）()min{(),()}Z X Y F z F z F z =； （D ）()1[1()][1()]Z X Y F z F z F z =---。
二、填空题
1、设离散型随机变量X 的分布函数0,1,,11,()2,12,3,2,
x a x F x a x a b x <-??-≤
=?-≤
则a
=______，b =____ _ _，X 的分布列为_______ ___。
2、设随机变量X 的分布函数2,1,
()0,1,
b a x F x x
x ?
->?=??≤? 则a
=______，b =____ _，{12}P X -<<= __ ，X 的概率密度 f (x ) =__ ____ 。
3、将一颗均匀骰子重复独立地掷10次，设X 表示3点朝上的次数，则X ~ ____ _ _，X 的概率分布为________ ___ __。
4、设随机变量X 的概率密度为34,01,()0,,
x x f x ?<<=??其它则使{}{}P X a P X a >=<成立的常
数a
=___ ___。
5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10.2％，且具有3.2％的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15－17.5％之间的概率为 。
6、设2
~(,)X N μσ
，其概率密度
2
(3)()}4x f x +=-，则___,___μσ==。
7、 (X, Y ) 的分布律为
则X 的分布律为 ，Y 的分布律为 ；
{}P X Y == ；当a =_____ ,
b =_____ 时， X 与 Y 相互独立。
8、设随机变量X 与Y 相互独立，且X 、Y 的分布律分别为
则X 与Y 的联合分布律为_______ ___； Z =X +Y 的分布律为_______ ___ 。
9、设 D 由 y = 1/x , y = 0, x = 1, x = e 2 围成， (X, Y ) 在 D 上服从均匀分布， 则 (X, Y ) 的概率密度为_______________ 。 10、若 X 与 Y 独立， 而22
1122~(,),~(,),X
N Y N μσμσ 则X +Y ~ __ ___ 。
11、X 与Y 相互独立，且 X ~ U (?1, 1), Y ~ e (1)即
e ,0,
()0,0,
y Y y f y y -?>=?≤?,
则X 与Y 的联合概率密度
(,)f x y =__ _
__ ,
1,,
0,,
X Y Z X Y >?=?
≤? 的分布为_____ _ 。 三、计算题
1、3个不同的球，随机地投入编号为1，2，3，4的四个盒子中，X 表示有球盒子的最小号码，求X 的分布律。
2、某产品表面的疵点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品， 1个为一等品， 2至4个为二等品，4个以上为废品，经检测特等品的概率为0.4493，则试求产品的废品率。
3、设随机变量 X 的概率密度为
|1,()0, .x f x ≤=?
其它
试求 (1) A ; (2){||1/2};P X < (3) X 的分布函数 F (x )。
4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离（米）服从0,4μσ==的正态分布，观测者把偏离值超过10米
时称作“失败”，使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。 5、设X 的分布列为：
求：（1）X ＋2； （2）－X ＋1； （3）X 2的分布列。 6、设随机变量
1X 与2X 独立同分布， 且已知1
(),(1,2,3;1,2)3
i P X k k i ====，记随机变量
112max{,}Y X X =，212min{,}Y X X =。
求（1）12(,)Y Y 的联合分布列； （2）判断1Y 与2Y 是否互相独立； （3） 求1
2(3)P Y Y +≤，12()P Y Y = 。
7、设 (X, Y ) 的概率密度为
2,01,02,
(,)0,x a x y x y f x y ?+≤≤≤≤=??其它,
试求(1) a ；（2）{1}
P X Y +≥； (3) X 与Y 是否相互独立?
8、已知(,)X Y 的联合概率密度为
24,01,0,
(,)0, x x y x f x y ?≤≤≤≤=??其它,
（1）求关于X 和Y 的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；
（2）判断
X 与Y 是否相互独立； （3）求{1/2}P X ≥；{1/2,1/2}
P X
Y ≥≥。
9、设随机变量X 的概率密度为
??
??
?≤≤=其它
,010,1)(x x f
求函数Y ＝3X +1的概率密度。
第四、五章 《随机变量的数字特征与
中心极限定理》练习题
一、单项选择题
1、设 X ~ B (n , p )， 且 E ( X ) = 2.4, D ( X ) = 1.44, 则 （ ） （A ）4,
0.6n p ==；（B ）6,0.4n p ==；（C ）8,0.3n p ==；（D ）24,0.1n p ==。
2、设随机变量X 与Y 满足()()()E XY E X E Y =，则（ ）
（A ）()()()D XY D X D Y =
； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+；
（C ）X 与Y 独立； （D ）X 与Y 不独立。 3、随机变量X 服从区间(,)a b 上均匀分布，
()1,()1/3E X D X ==，则区间(,)a b 为（ ）
（A ）(0,1)； （B ）(1,3)-； （C ）(0,2)； （D ）(0.5,1.5)。 4、设1X 与2X 为两个随机变量，且1212()5,()8,()10D X D X D X X ==+=，则12cov(,)X X =
（ ）
（A ）3/2； （B ）3/2-； （C ）3； （D ）3-。
5、设随机变量X 与Y 独立同分布，记,U
X Y V X Y
=+=-，则U 与V 必（ ）
（A ）独立； （B ）不独立； （C ）不相关； （D ）相关系数不为零。
5、设X 的概率密度
2
(1)()}
8x f x +=-，则2(21)E X -=（ ）
（A ）1； （B ）6； （C ）4； （D ）9。
二、填空题 1、设随机变量
123,,X X X 相互独立，且都服从2
(,)N μσ，而123()3Y X X X =++，则~Y _
_ _，12~Y - __ 。
2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且E [(X? 1)(X? 2)] = 1，则λ=_____ 。
3、设X 与Y 相互独立，且
(0,2),(2,4)~~X
U Y U ，则()E XY = _ _,()D X Y -= 。
4、设
X 服从均值为1/2的指数分布，则{P X >= ___ __ 。
5、若随机变量X 服从区间(,)44
ππ
-
上的均匀分布，则(sin )E X = 。
6、一枚硬币连抛1000次， 则正面向上的次数大于等于550的概率为 。
7、已知()25,()36,(,)0.4D X D Y X Y ρ===，则()D X Y -= 。
8、设X 与Y 的相关系数0.9XY ρ=，若0.4Z X =-，则Y 与Z 的相关系数为 。
9、设22()()0,()()2E X E Y E X E Y =
===，0.5XY ρ=，则2[()]E X Y += 。
10、设随机变量(1,2)~X U -，1,0,0,0,1,0,X Y X X >??
==??-
则()D Y = ___。
11、 (X, Y ) 的分布律为
则()E X = ，()E Y = ，()E XY = 。 三、计算及证明题
1、某保险公司规定：如一年中顾客的投保事件A 发生，则赔a 元；经统计一年中A 发生的概率为p ，若
公司期望得到收益的为
10a ，则要求顾客交多少保险费?
2、设 X 的概率密度为
,02,(),24,0,.a x x f x bx c x <
+≤
=其它
且 E (X )=2, P {1< X < 3}= 3/4, 求（1） a 、b 、c （2）(e )X
E 。
3、设(,)X Y 在以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求()D X Y +。
4、设 (X, Y ) 的概率密度为
,01,01,
(,)0,x y x y f x y +≤≤≤≤?=??
其它, 试求XY ρ。
5、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0.4，在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率各增加0.1，求三次飞行后修理次数的数学期望。
《数理统计》练习题
一、单项选择题 1、设总体2~(,)
X
N μσ，μ未知，而2
σ
已知， ( X 1 , X 2 ,…, X n ) 为一样本，
__
1
1n
i
i X X n ==∑，__
2
2
1
1()1n
i i S X X n ==--∑，则以下样本的函数为统计量的是
（A ）
2
21
1
()n
i i X μσ
=-∑
； （B ）
2
21
1
()n
i i X X σ
=-∑； （C ； （D
2、
2~(0,)
X N σ，1234(,,,)X X X X 为样本，，
）
（A ）
(0,1)N ； （B ）2(2)χ； （C ）(2)t ； （D ）(2,2)F 。
3、设随机变量
~(0,1)
X N ，而u α满足{}P X
u αα>=，若{}P X x α<=，则x =（ ）
（A ）2u α； （B ）12u α-； （C ）12u α-； （D ）(1)2u α-。
4、设总体
X
的二阶矩存在，
12(,,,)
n X X X 为一样本，
__
1
1n
i
i X X n ==∑，
220
1
1()n
i i S X X n ==-∑，则2()E X 的矩估计为（ ） （A ）
X
； （B ）2
0S ； （C ）
2
01n S n -； （D ）21
1n i i X n =∑。
二、填空题
1、设总体2
~(,)X N μσ， ( X 1 , X 2 ,…, X n ) 为一样本，则1
1~n
i i X n =∑
，
~X
，
~X ，
2
21
1
()~n
i i X μσ
=-∑
，__
2
21
1
()~n
i i X X σ
=-∑ 。 2、设总体(1,4)X
N ，123(,,)X X X 为样本，X
是样本均值，2
S 为样本方差， 则
()E X = ，()D X = ，2()E S = 。
3、设总体2~(,)
X
N μσ， ( X 1 , X 2 ,…, X n ) 为一样本，
X 是样本均值。则2(
)X U n μ
σ
-=服从
的分布为 。 4、设(0,4)X
N ，123(,,)X X X 为样本，若要求222123[()]
(2)aX b X X χ+-，则a =
，b = 。 5、设总体X 在(,1)θθ
+上服从均匀分布，12(,,,)n X X X 为一样本，则θ
的矩估计为__
__。 三、计算题 1、设总体(1,4)~X
N ，123,,X X X 是X 的样本，试求222
123123(),()E X X X D X X X 。
2、设总体X 服从方差为4的正态分布，
12(,,,)n X X X 是一样本，求n 使样本均值与总体均值之
差的绝对值不超过0.1的概率不小于0.95。
3、设总体~(4,4)X
N ，1210(,,,)X X X 为X 的简单随机样本，
__
1
1n
i
i X X n ==∑为样本均值，
__
2
211()1n
i i S X X n ==--∑为样本方差， （1）求{ 2.908}P S >；
（2）若 2.5S =，求{ 6.569}P X >。 4、设总体 X 的概率密度
1
,01,(,)0,.
x
x f x θθθ-??<
??其它12(,,,)n x x x 为一样本，试求θ的
矩估计。
一章练习题参考解答
一、单项选择题
1、（D ）。
2、（A ）。
3、（B ）。
4、（B ）。
5、（D ）。
6、（A ）。
7、（C ）。 二、填空题
1、__0.7__
2、 2/3 , 0.8
3、 0.6
4、 1-p
5、 1/6
6、 1/3
7、13/18 ； 1/2 。 8
。 9、0.94 。
三、计算题
1、解：50149
9559550
100
1739
9603C C C P C +== 。 2、解：令 A ={抽取的电话号码由完全不相同的数字组成}，
B ={抽取的电话号码末位数是8}，则5
9
5
2()210
A P A ?=?，4
5210()210P B ?=?。
3、解：
()()()()()()()()5/8P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=
4、解：令A ={ 2 件中有 1 件为次品}， B ={另一件也为次品}，欲求(|
)P B A ，
而24
2
10
()C P AB C =，()1()P A P A =-26
2
10
1C C =-，故()1
(|)()5
P AB P B A P A =
=。
5、解：设A ={任取一件产品为次品}，B i ={任取一件产品是第i 个车间生产的}， i =1,2,3， 则
123A B A B A B A =，且123,,B A B A B A 两两互不相容；
已知123()0.45,()0.35,()0.20P B P B P B ===，
123(|)0.05,(|)0.04,(|)0.02P A B P A B P A B ===；
①112233()()(|)()(|)()(|)0.0405P A P B P A B P B P A B P B P A B =
++=；
②1111
()()(|)5
(|)()()9
P B A P B P A B P B A P A P A =
==。
6、解：设 A i = {第i 次取到一等品}，B i = {取到第i 号箱}， i =1, 2,
11121,A B A B A = 且B 1 A 1, B 2 A 1 两两互不相容，从而
1111212()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+1101182
2502305
=?+?=； 12112
212,A A B A A B A A = 且112212,B A A B A A 两两互不相容，从而
1211212122()()(|)()(|)P A A P B P A A B P B P A A B =+22
101822503011276
221421
A A A A =?+?=；
所求为12211()690
(|)0.4856()1421
P A A P A A P A =
=≈
7、解：以 A 、B 、C 分别表示元件A 、B 、C 正常工作之事, 由于各元件独立工作，故 A 、B 、C 相互独立，且()0.90,()0.70,()0.70P A P B P C ===， 所求为
()()()()P AB AC P AB P AC P ABC =+-
()()()()()()()0.819P A P B P A P C P A P B P C =+-=。
四、证：()()()
(|
)1()()
P BA P B P AB P B A P A P A -=
=
-，()(|)()P AB P B A P A =， 代入(|)(|)P B A P B A =得()()()P AB P A P B =，故A 与B 相互独立。
随机变量及其分布练习题参考答案
一、单项选择题
1、（C ）
2、（B ）
3、（B ）
4、（A ）
5、（C ）
6、（A ）
7、（C ）
8、（A ）
9、（D ）。 二、填空题 1、a
=_1/6_，b =_5/6_，X 的分布为
2、a =_1_，b =_1_，{12}P X -<<=_3/4 ，X 的概率密度 f (x ) =32
,1,
0, 1.
x x x ?>???≤?
3、X ~ B (10, 1/6)，X 的概率分布为101015{}()(),0,1,
,10.66
k k k
P X
k C k -===
4、a
。 5、(2.28)(1.5)0.0555Φ-Φ=。 6、μ=－3，σ
7、 X 的分布律为
Y 的分布律为
{}P X Y ==1
6
a +
； 当 a =_2/9_ , b = 1/9 时， X 与 Y 相互独立。 8、X 与Y 的联合分布律为
Z =X +Y 的分布律为
9、
2
11,1 e ,0,(,)20,.
x y f x y x ?≤≤≤≤?=???其它 10、22
121
2(,)N μμσσ
++ 。
11、
(,)f x y =1e ,11,0,
20,.
y
x y -?-<<>????其它 Z 的分布为
三、计算题 1、解: X 的分布律为
2、解: 令疵点数为 X ,
~(),X πλ分布律为{}e ,0,1,
,!
k
P X k k k λλ-=
=
=
已知{0}0.4493,P X
==故e 0.4493,λ-= ln0.44930.8,λ=-≈所求为
4
{4}1{}k P X P X k =>=-=∑4
00.810.4493!k
k k ==-
∑0.0091≈。 3、解: (1) 由归一性得
()d f x x +∞-∞
?
1x -=?
11
arcsin A x
A π-==1,=令
所以
1/A π=。
(2)
{||1/2}P X <1/21/2
()d f x x -=?
1/21/2
x -=?
1/3=。
(3)
10,1,
1()()d arcsin ,1 1.1, 1.x x
x F x f t x x x x x π-∞
?<-?
?===-≤≤???>?
?
?
4、解: 设某人造卫星偏离预定轨道的距离为X ，5次独立观测中“失败”的次数为Y ， 则
2~(0,4)X N ，每次观测“失败”的概率为
{}{10}1|/4| 2.5P X P X >=-≤22(2.5)Φ=-=0.0124，
由此得~(5,0.0124)Y
B ，所求概率为
{2}1{0}{1}
P Y P Y P Y ≥=-=-=51
451(0.9876)
(0.0124)(0.9876)0.0015C =--≈
5、解 (1)
(2)
(3)
6、(1)
(2) 两个边缘分布列为
因为
12121551
(1)(1)(1,1)99819
P Y P Y P Y Y ===?=≠===，所以1Y 与2Y 不独立。
（3）1
2121212(3)(1,1)(1,2)(2,1)1/3P Y Y P Y Y P Y Y P Y Y +≤===+==+===；
12121212()(1,1)(2,2)(3,3)1/3P Y Y P Y Y P Y Y P Y Y ====+==+===。
7、 解: (1) 由归一性得
(,)d d f x y x y +∞+∞-∞
-∞
??
12
2
00d ()d x x ax y y =+??1
2
0(22)d x ax x =+?2
3
a =+ 1,=令
得1
3
a =
。
(2)
{1}P X Y +≥=
1
(,)d d x y f x y x y +≥??1220
1d ()d 3x
x y x x y -=+
??
65
72
=
(3)
()(,)d X f x f x y y +∞-∞
=?
222
02()d 2,01,33
0,.x y x x y x x ?+=+≤≤?
=????其它 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞
=?
120
1()d ,02,336
0,.x y
y x x y ?+=+≤≤?=????其它 在 f (x , y ) 的非零区域内
(,)()(),X Y f x y f x f y ≠ 故 X 与 Y 不独立。
8、（1）
()(,)d X f x f x y y +∞-∞
=?
23
04d 4,01,
0, .
x x y x x ?=≤≤?=?
???其它 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞
=?
14d 22,01, 0, .
x x y y ?=-≤≤?
=???其它 （2）在 f (x , y ) 的非零区域内
(,)()(),X Y f x y f x f y ≠ 故 X 与 Y 不独立。
（3）{1/2}P X ≥=
1/2
(,)d d x f x y x y ≥??211/2
d 4d x x x y =?
?
15
16
=； {1/2,1/2}P X Y ≥≥=
1/21/2
(,)d d x y f x y x y ≥≥
??2
11/2
4d 1/4x x x y ==?
?
。
8/证明: Y 的分布函为
()(){31}Y F y P Y y P X y =≤=+≤1{}3y P X -=≤1
3
0 0, 1,1,14,3 1, 4.y y y dx y y -≤??-?==<
≥??
?
()()Y Y f y F y '=1/3,14, 0, .y <
其他
随机变量的数字特征与中心极限定理复习自测题解答
一、单项选择题
1、（B ）。
2、（B ）。
3、（C ）。
4、（B ）。
5、（C ）。
6、（D ）。 二、填空题 1、2
(,3)N μσ
， 2(12,4N μσ- 。 2、__1_ 。 3、 3 , 2/3 。
4、
2112
2e d e x x +∞--=?
。 5、 0 。 6、10.0007-Φ=。 7、 37 。8、 0.9 。
10、2
22()[()]1(13)8E Y
E Y -=-=。 11、 21/20 ， 1/2 ， －3/20 。
三、计算及证明题
1、解：设保险费为 x 元，收益Y 元，则,,
,,
x A Y x a A ??-?=发生不发生 Y 的分布律为
故()10a E Y x ap =-=
令
，求得10
a x ap =+。 2、解：（1）由归一性得
24
2
()d d ()d f x x ax x bx c x +∞
-∞
=++???2621a b c =++=令
；
而()()d E X xf x x +∞-∞=
?24
02
d ()d x ax x x bx c x =?++??856633
a b
c =++2=令； 31
{13}()d P X f x x <<=?
2
3
12d ()d ax x bx c x =++??3522
a b c =
++34=令； 解得11
,,144
a
b c ==-= （2）2
40
2(e
)e ()d e d e (1)d 44X
x x x x x E f x x x x +∞-∞
==?
+-?
??42111
=e e 424
-+。
3、解：(X, Y ) 的概率密度为
2,01,11,
(,)0,x x y f x y ≤≤-≤≤?=??
其它,
()()(,)d d E X Y x y f x y x y
+∞+∞
-∞
-∞+=+??1
112010
4
d ()2d (2)d 3
x
x x y y x x x -=+=+=
??
?， 1
112
2
30
10
2
11[()]d ()2d [(1)1]d 3
6
x
E X Y x x y y x x -+==+=+-=
??
?
， 221()[()][()]18
D X Y
E X Y E X Y +=+-+=
。
4、解：()(,)d d E X xf x y x y +∞
+∞
-∞-∞=
??1
1
00d ()d 712x x x y y =+=??，
1
1220
()d ()d 5E X x x x y y =+=??，22()()[()]11D X E X E X =-=；
由对称性得711(),()12144E Y D Y =
=
；而11001
()d ()d 3
E XY x xy x y y =+=??， 故1Cov(,)()()()
144X Y E XY E X E Y =-=-
， 111XY ρ==-。 5、解： 设X 为三次飞行后的修理次数，设
i X 为第i 次飞行后的修理次数，1,2,3i =，则
312X X X X =++, 则 312()()()()0.40.50.6 1.5E X E X E X E X =++=++=。
数理统计复习自测题参考答案
一、单项选择题
1、（D ）。
2、（C ）。
3、（D ）。
4、（D ）。 二、填空题 1、2(,
)N μσ ； (0,1)N ； (1)t n - ； 2()n χ； 2(1)n χ-。
2、 1 ； 4/3 ； 4 ；
3、2
(1)χ 4、 1/4 ， 1/8。 5、 __
1
2
X -
。 三、计算及证明题 1
、
解
：
123
,,X X X 独立且都服从
(1,4)
N ，得
()1
i E X =，
222()()[()]5i i i E X D X E X =+=，
1,2,3i =；从而222222
123123()()()()125E X X X E X E X E X ==， 2222123123123()()[()]D X X X E X X X E X X X =-=
2123125[()()())]124E X E X E X -=
2、解：样本均值__
4~(,)X
N
n μ__
~(0,1)N ，从而
__
__
{||0.1}{|
|21
P X P μ-≤=≤=Φ-，欲使
210.95Φ-≥，
则0.975Φ≥
， 1.961536.64n ≥?≥，得n 至少为1537。
3、解：（1）因为
2
222
(1)9~(9)4n S S χσ-=，所以29{ 2.908}{19.027}4
S P S P >=>，
而2
0.025(9)19.023χ=，故{ 2.908}0.025P S
>≈；
（2）
~(1)X t n -
~(9)X t ，所以
{ 6.569} 3.2496}
P X P >=>，而
0.005(9) 3.2498
t =，故
{ 6.569}0.005P X >≈
4、解：
()()d E X x f x x +∞-∞
=?
1
10
d x x x θθ-=??1
θθ=
+，
解得1E(X )E(X )θ=
-，从而得θ的矩估计1x ?x
θ
=-；
概率论与数理统计期末复习资料(学生)
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 第五章 大数定理和中心极限定理 1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。 解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002 (l=1,2,…,16).依本章定理1知 ?????? ? ? ?≤-=??????? ? ? ?-≤?-=≤∑ ∑ ∑ ===8.0400 1600 1001616001920100161600 )1920( 16 16 16 1 i i i i i i X P X P X P .7881.0)8.0(=Φ= 从而.2119.07881.01)1920( 1)1920( 16 1 16 1 =-=≤-=>∑∑==i i i i X P X P 3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－，）上服从均匀分布， （1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于 解： （1）设取整误差为X i （ ,2,1=i ，1500），它们都在（－, ）上服从均匀分布。 于是： 02 5 .05.0)(=+-= =p X E i 12 1 12)]5.0(5.0[)(2= --=i X D 18.1112512 1 1500)(, 0)(==? ==i i X nD X nE ? ? ????≤≤--=??????????≤-=??????? ???>∑ ∑ ∑===15151151151500 11500115000i i i i i i X P X P X P ??? ???? ???????≤≤--=∑=18.111518.1118.111511500 1 i i X P 1802 .0]9099.01[2)]34.1(1[2)] 34.1()34.1([1=-?=Φ-=-Φ-Φ-= 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件: 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A .B .C .D 8．设A ，B 是两个随机事件，且0 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 1、考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元， 若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。 解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20 P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988 P（X=5）=0.0010 P（X=20）=0.0002 X 0 5 20 P 0.9988 0.0010 0.0002 2.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律. 解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有=10种取法，数量不多可以枚举来解此题。 设样本空间为S S=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝ 易得，P｛X=3｝=；P｛X=4｝=；P｛X=5｝=； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 方法二：X的取值为3,4,5 当X=3时，1与2必然存在，P｛X=3｝= =; 当X=4时，1,2,3中必然存在2个，P｛X=4｝= =； 当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个，P｛X=5｝= =； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 (2)将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律. 解：P｛X=1｝= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点） = =； P｛X=2｝= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点） = =； P｛X=3｝= P (第一次为3点，第二次大于2点)+P（第二次为3点，第一次大于2点）- P（两次都为3点） 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- g g g g 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 概率论与数理统计作业及解答 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为 ;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++ (和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率. 22 1M m M C C --或1122 (21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率. A ={8只鞋子均不成双}, B ={恰有2只鞋子成双}, C ={恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414 8726 16()80 ()0.5594,143C C C P B C === 22128626 16()30 ()0.2098.143 C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求: (1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率. (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392 C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率. (1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4 },9= (2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5 },9 = 或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45 }1.99 =-= 6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率. 记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C ==(2) 2 43101 ().20 C P B C == 7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次, 求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}. 311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8 ()1(),9 P D P B =-= 第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件AB,C中的样本点。 解：Q =｛（正，正）,（正，反）,（反，正）,（反，反）｝； A=｛（正，反），（正，正）｝； B=｛（正，正）,（反，反）｝； C=｛（正，反）,（正，正），（反，正）｝。 2.设P（A）1 ,，试就以下三种情况分别求P（BA）: 3 （1）AB , （2） A B , （3）P（AB） 1 8 解： (1)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)P(B)0.5 (2)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)P(B)P(A) 0.5 1/3 1/6 (3)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)0.50.125 0.375 3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 H A1 A,A2 A1A2 A3三种情况互斥 P（H） P（A i） P（AjP（A2 | A I） P（AJP（A2 | AjP（A3 | A^） _1 _9 1 _9 8 1 3 10 10 9 10 9 8 10 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生 的条件下，求H再发生的概率。 P(H|B) PA1|B A1A2| B AA2A3IB) P(A | B) P(A i |B)P(A |BA i) P(A I |B)P(A2 | BA I)P(A3〔B AA) 1 4 1 4 3 13 ■5 5 4 亏巨二亏 4. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率： (1)直到第r次才成功； (2)在n次中取得r(1 r n)次成功； 解：(1) P (1 P)r1P (2) P c n p r(1 p)nr 5. 设事件A,B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种： (a)必然对，(b)必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。 (1)若A, B互不相容，则它们相互独立。 (2)若A与B相互独立，则它们互不相容。 (3)P(A) P(B) 0.6，则A与B互不相容。 (4)P(A) P(B) 0.6，则A与B相互独立。 解:(1)b, 互斥事件，一定不是独立事件 (2) c, 独立事件不一定是互斥事件， (3) b, P(A B) P(A) P(B) P(AB)若A 与B 互不相容，则 P(AB) 0 而P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1.2 1 (4) a, 若A与B相互独立，则P(AB) P(A)P(B) 这时P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1.2 0.36 0.84 6. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒 中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中， 再从乙盒中取出一球，试求：概率论与数理统计各章节
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