2019年湖南省衡阳市中考数学试卷(附解析答案)

2019年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1. （3分）的绝对值是 A.

B.

C.

D.

2. （3分）如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 A.

B. C. 全体实数 D.

3. （3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日点使命轨道，成为世界首颗运行在地月点轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为 公里.

A.

B.

C.

D.

4. （3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A. B.

C. D.

5. （3分）下列各式中，计算正确的是 A.

B. C. D.

6. （3分）如图，已知，交于点，且，，则的度数是

A.

B. C. D.

7. （3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是

A. 97

B. 90

C. 95

D. 88

8. （3分）下列命题是假命题的是 A. 边形的外角和是

B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

34

-()34

-34

43

-43

1

1

x +x ()1x ≠-1x >-1x =-2L Halo 2L Halo ()50.6510?36510?46.510?56.510?()()835a b ab -=235()a a =842a a a ÷=23a a a =//AB CD AF CD E BE AF ⊥40BED ∠=?A ∠()40?50?80?90?()()n (3)n 360?

C. 相等的角是对顶角

D. 矩形的对角线互相平分且相等 9. （3分）不等式组的整数解是

A. 0

B. C. D. 1

10. （3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路. 某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人. 设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得

A.

B.

C.

D.

11. （3分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是

A.

B.

C. 或

D. 或

12. （3分）如图，在直角三角形中，，，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为

.

则关于的函数图象大致为

A. B.

2342x x

x >??+>?

()1

-2-x ()9(12)1x -=29(1)1x -=9(12)1x +=29(1)1x +=1(0)y kx b k =+≠2(m

y m x

=0)m ≠(1,2)A -(2,1)B -m

kx b x

+>

()1x <-10x -<<1x <-02x <<10x -<<2x >ABC 90C ∠=?AC BC =E AB E AC BC D F CDEF CA C A t CDEF ABC ?S S t ()

C. D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.) 13. （3分）因式分解： .

14. （3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别. 若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则等于 .

15. （3

. 16. （3分）计算：

. 17. （3分）已知圆半径为6，求该圆内接正三角形的边长为 .

18. （3分）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示. 已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 .

三、解答题（本大题共8个小题，19-20

题每题6分，21-24题每题8

分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19. （6分）

20. （6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图. 请结合统计图中的信息解决下列问题：

228a -=a 12

a 111x x x

+=--2y x =A (1,1)A 1//AA x 1A 1A 12//A A OA 2A 2A 23//A A x 3A 3A 34//A A OA 4A ??2019A 301

()2|tan 60(2019)2

-++?--

（1）这次学校抽查的学生人数是 ； （2）将条形统计图补充完整；

（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报的学生约有多少人？ 21. （8分）关于的一元二次方程有实数根. （1）求的取值范围；

（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程

有一个相同的根，求此时的值.

22. （8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面处测得楼房顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向楼房方向继续行走10米到达

处，测得楼房顶部的仰角为. 已知坡面米，山坡的坡度

是指

坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房高度. （结果精确到0.1米）（参考数据：

23.

（8分）如图，点、、在半径为8的上，过点作，交延长线于

点. 连接，且.

（1）求证：

是

的切线；

（2）求图中阴影部分的面积.

D x 230x x k -+=k k 2(1)30m x x m -++-=230x x k -+=m D A 30?C

E A 60?10CD =i =i AB 1.73≈ 1.41)≈A B C O

B //BD A

C OA

D BC 30BCA OAC ∠=∠=?BD O

24. （8分）某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等.

（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；

（2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？ 25. （10分）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点

作的垂线与轴交于点.

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、. 请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.

26. （12分）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动. 动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点

时，点、同时停止运动. 设运动时间为以. 过点作于，连接交边于. 以、为边作平行四边形.

（1）当为何值时，为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

A B A B A B A B A B A B A B 2y x bx c =++x (1,0)A -(3,0)B y N AB x ABCD P x CP P CP y

E P OB P O B OE M MN MB MBN ?M ABC ?6AB cm =P A /lcm s AB Q C BC P B P Q ()t s P PE AC ⊥E PQ AC

D CQ CE

CQFE t BPQ ?t F ABC ∠t

（3）求的长；

（4）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得△，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值.

DE BC M PM BPM ?PM B PM 'AB 't AB '

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1. B 【解答】解：， 故选：.

2. A 【解答】解：由题意可知：，

，

故选：.

3. C 【解答】解：科学记数法表示65000公里为公里. 故选：.

4. D 【解答】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；

、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确.

故选：.

5. D 【解答】解：、与不是同类项，故不能合并，故选项不合题意；

、，故选项不合题意；

、，故选项不符合题意；

、，故选项符合题意.

故选：.

6. B 【解答】解：，，

， ，

.

故选：.

7. B 【解答】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97， 所以这组数据的中位数为90分， 故选：.

8. C 【解答】解：、边形的外角和是，是真命题；

、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；

、相等的角不一定是对顶角，是假命题；

、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；

故选：.

33||44

-=B 10x +≠1x ≠-A 46.510?C A B C D D A 8a 3b A B 236()a a =B C 844

a a a ÷=C D 23a a a =D D BE AF ⊥40BED ∠=?50FED ∴∠=?//AB CD 50A FED ∴∠=∠=?B B A n (3)n 360?B C D C

9. B 【解答】解：

解不等式①得：， 解不等式②得：，

不等式组的解集为，

不等式组的整数解是， 故选：.

10. B 【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：

，

故选：.

11. C 【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数

为常数且的图象上方时，的取值范围是：或， 不等式的解集是或 故选：.

12. C 【解答】解：在直角三角形中，，，

是等腰直角三角形，

，，

四边形是矩形， 是的中点，

，， ，

四边形是正方形，

设正方形的边长为，

如图1当移动的距离时，正方形的面积△的面积；

当移动的距离时，如图2，， 2342x x x >??

+>?①

②

0x <2x >-∴20x

-<<∴2342x x

x >??

+>?

1-B x 29(1)1x -=B 1(0)y kx b k =+≠2(m

y m x

=

0)m ≠x 1x <-02x <<∴m

kx b x

+>

1x <-02x <

⊥ED AC

⊥

∴EFCD E AB 12EF AC ∴=

1

2

DE BC =EF ED ∴=∴EFCD a a

2

a t =-a >22211

(2)2222

AC H

S S

a t t at a '==-=-+

关于的函数图象大致为选项，

故选：.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)

13. 【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可. 【解答】解：. 故答案为：.

14. 【分析】根据概率公式列出关于的方程，解之可得.

【解答】解：根据题意知，

解得，

经检验：是原分式方程的解，

，

故答案为：5.

15. 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案. 【解答】解：原式

故答案为：

16. 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果. 【解答】解：原式 .

故答案为：1.

17. 【分析】易得正三角形的中心角为，那么中心角的一半为，利用的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长.

【解答】解：如图，圆半径为6，求长.

连接，，作于点，

，

，，

S

∴t C C 22282(4)2(2)(2)a a a a -=-=+-2(2)(2)a a +-a 1

322

a a =++5a =5a =5a ∴===1

11

x x x =

-

--1

1

x x -=-1=120?60?60?AB 3603120AOB ∠=?÷=?OA OB OC AB ⊥C OA OB =2AB AC ∴=60AOC ∠=?

，

故答案为：.

18. 【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为

，联立方程求得的坐标，即可求得

的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标.

【解答】解：点坐标为，

直线为，，

，

直线为，

解得或， ， ，

，

直线为，

解得或， ，

，

，，

故答案为，.

三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19. 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案.

【解答】解：原式

.

sin 606AC OA ∴=??==2AB AC ∴==1A 12A A 2y x =+2A 3A 4A 5A 2019A A (1,1)∴OA y x =1(1,1)A -12//

A A OA ∴

12A A 2y x =+2

2

y x y x =+??

=?11x y =-??=?24x y =??=?

2(2,4)A ∴3(2,4)A ∴-34//A A OA ∴34A A 6y x =+2

6y x y x =+??

=?24x y =-??=?39x y =??=?

4(3,9)A ∴5(3,9)A ∴-?2019(1010A ∴-2

1010)(1010-21010)821=+-9=

20. 【分析】（1）利用项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）计算出项目的人数后补全条形统计图即可；

（3）用总人数乘以样本中该校报的学生数占被调查学生数的比例即可得. 【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是（人， 故答案为：40人；

（2）项目的人数为（人 条形统计图补充为：

（3）估计全校报名军事竞技的学生有（人. 21. 【分析】（1）利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可；‘

（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，，把

和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足

.

【解答】解：（1）根据题意得△， 解得

； （2）的最大整数为2，

方程变形为，解得，，

一元二次方程与方程有一个相同的根，

当时，，解得； 当时，，解得， 而，

的值为

. 22. 【分析】过作于，于，交于，作于，则

A C D 1230%40÷=)C 401214410---=)4

100010040

?

=)3)40=--k 2320x x -+=11x =22x =1x =2

x =2(1)30m x x m -++-=m 10m -≠3)40=--9

4

k

k 230x x k -+=2320x x -+=11x =22x =2(1)30m x x m -++-=230x x k -+=∴1x =1130m m -++-=32

m =

2x =4(1)230m m -++-=1m =10m -≠m ∴32

D DG BC ⊥G DH AB ⊥H A

E

F FP BC ⊥P

，，

求出，得出，，

求出，证出，得出，得出，因此，即可得出答案. 【解答】解：过作于，于，交于，作于，如图所示：

则，，

坡面米，山坡的坡度

，

，

，

，

， ，

，

，

，

，

， ，

（米，

答：楼房高度约为23.7米.

DG FP BH

==DF GP =30

DCG ∠=?1

52

FP DG CD ===CG ==10DF GP ==

+30DAF ADF ∠=?=∠10AF DF ==152FH AF =

+10AH ==+D DG BC ⊥G DH AB ⊥H AE F FP BC ⊥P DG FP BH ==DF

GP =10CD =i =30DCG ∴∠=?1

52

FP DG CD ∴===CG ∴=

=60FEP ∠=?5FP ∴=EP ∴=

1010DF GP ∴==+=+60AEB ∠=?30EAB ∴∠=?30ADH ∠=?60DAH ∴∠=?30DAF ADF

∴∠=?=∠10AF DF ∴==152FH AF ∴=

=10AH ∴=

=+10515155 1.7323.7AB AH BH ∴=+=+=+≈+?≈)AB

23. 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据切线的判定推出即可；

（2）根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，分别求出的面积和扇形的面积，即可得出答案.

【解答】（1）证明：连接，交于，

，， ，

， ，

即，

，

，

是

的切线；

（2）解：

，，，

，，

.

24. 【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数

量总价单价结合花费300元购买

商品和花费100元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的4倍并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于的

OC COA ∠OCA ∠30∠=?BD

BOD ?AOB OB CA E 30C ∠=?1

2

C BOA ∠=

∠60BOA ∴∠=?30BCA OAC ∠=∠=?90AEO ∴∠=?OB AC ⊥//BD AC 90DBE AEO ∴∠=∠=?BD ∴O

//AC BD 90OCA ∠=?30D CAO ∴∠=∠=?90OBD ∠=?8OB =BD ∴=

=2160832823603

BDO AOB

S S S ππ

???∴=-=??=阴影扇形B x A (10)x +=÷A B x B m A (80)m -A B A B m

一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出各购买方案.

【解答】解：（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元， 依题意，得：

， 解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

.

答：购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元. （2）设购买商品个，则购买商品个，

依题意，得：，

解得：.

为整数，

或

16.

商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商

品64个、商品16个.

25. 【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）设，则，由得出比例线段，可表示的长，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；

（3）过点作轴交于点，由即可求解. 【解答】解：（1）抛物线经过，， 把、两点坐标代入上式，，

解得：， 故抛物线函数关系表达式为； （2），点，

，

正方形中，，，

，

， ，

又，

m m B x A (10)x +300100

10x x

=

+5x =5x =1015x ∴+=A B B m A (80)m -80415(80)5100015(80)51050m m

m m m m -??-+??-+?

1516m m 15m ∴=∴A B A B A B OP x =3PB x =-POE CBP ??∽OE OE M //MH y BN H 1

2

MNB BMH MNH S S S MH OB ???=+=)2y x bx c =++(1,0)A -(3,0)B A B 10

930

b c b c -+=??++=?2

3b c =-??

=-?

223y x x =--(1,0)A -(3,0)B 134AB OA OB ∴=+=+=ABCD 90ABC ∠=?PC BE ⊥90OPE CPB ∴∠+∠=?90CPB PCB ∠+∠=?OPE PCB

∴∠=∠90EOP PBC ∠=∠=?

，

， 设，则，

， ， ，

时，线段长有最大值，最大值为.

即时，线段有最大值. 最大值是. （3）存在.

如图，过点作

轴交于点，

抛物线的解析式为，

，，

点坐标为，

设直线的解析式为，

， ， 直线的解析式为，

设，则，

，

， POE CBP ∴??∽∴

BC OP

PB OE

=

OP x =3PB x =-∴

43x

x OE

=

-221139(3)()44216

OE x x x ∴=

-+=--+03x <<∴3

2

x =

OE 9163

2OP =OE 916

M //MH y BN H 223y x x =--0x ∴=3y =-N

∴(0,3)-BN y kx b =+∴30

3k b b +=??

=-?∴1

3k b =??=-?

∴BN 3y x =-2(,23)M a a a --(,3)H a a -223(23)3MH a a a a a ∴=----=-+22111327

(3)3()22228

MNB BMH MNH S S S MH OB a a a ???∴=+=

=?-+?=--+

， 时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为.

26. 【分析】（1）当时，，由此构建方程即可解决问题.

（2）如图1中，连接交于. 证明，由此构建方程即可解决问题. （3）证明即可解决问题. （4）如图3中，连接，. 根据求解即可解决问题. 【解答】解：（1）

是等边三角形，

，

当时，， ，

，

时，是直角三角形.

（2）存在.

理由：如图1中，连接交于.

平分，，

，，

，

，

，

，

解得.

（3）如图2中，作交于.

1

02

-<3

2

a ∴=

MBN ?278M 315(,)24-2BQ BP =90BPQ ∠=?BF AC M 2EF EM =1

2

DE AC =

AM AB 'AB AM MB '-'ABC ?60B ∴∠=?∴2BQ BP =90BPQ ∠=?62(6)t t ∴+=-3t ∴=3t ∴=BPQ ?BF AC M BF ABC ∠BA BC =BF AC ∴⊥3AM CM cm ==//EF BQ 1

302

EFM FBC ABC ∴∠=∠=∠=?2EF EM ∴=12(3)2

t t ∴=-

3t =//PK BC AC K

是等边三角形， ，

，

，

，

是等边三角形， ， ，

，

，，，

，

，

.

（4）如图3中，连接，

，， ，

，

，

的最小值为.

ABC ?60B A ∴∠=∠=?//PK BC

60APK B ∴∠=∠=?60A APK AKP ∴∠=∠

=∠=?APK ∴?PA PK ∴=PE AK ⊥AE EK ∴=AP CQ PK ==PKD DCQ ∠=∠PDK QDC ∠=∠()PKD QCD AAS ∴???DK DC ∴=11

()3()22

DE EK DK AK CK AC cm ∴=+=+==AM AB '3BM CM ==AB AC =AM BC ∴⊥AM ∴=

=AB AM MB '-'333AB ∴'-AB ∴'3-