随机过程题库1
随机过程综合练习题
一、填空题（每空3分） 第一章
1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则
n X X X +++ 21的特征函数是 。
2．{}
=)(Y X E E 。
3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y +=，则Y 的特征函数为 。 4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。 5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则
n X X X +++ 21的特征函数是 。
6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。
第二章
7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。
8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10(<
第三章
11． {X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。
12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1λ，2λ，3λ且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。
13．{X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，
{}==-+n s X s t X P )()( 。 ,1,0=n
14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0>λ的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。
15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。
16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程．
17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ．
第四章
18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。
20．设有独立重复试验序列}1,{≥n X n 。以1=n X 记第n 次试验时事件A 发生，且
p X P n ==}1{，以0=n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n -==1}0{，若有
1,1≥=∑=n X Y n
k k n ，则}1,{≥n Y n 是 链。
答案 一、填空题
1．)(t g n
； 2．EX ； 3．)(at g e
ibt
4．;Y 是 5．∏=n
i i t g 1
)(； 6．等价
7．时间差； 8．独立增量过程；
9．[][]{}
0)()()()(3412=--t X t X t X t X E 10．}),(min{2
t s X σ
11．t t λλ;； 12．??
?<≥=-000
)(11t t e t f t λλ ?
??<≥++=++-0
00)()()(321321t t e t f t λλλλλλ
13．
t n e n t λλ-!
)( 14．λn 15．240000 16．复合； 17．4371
-e
18．2； 19．遍历状态； 20．齐次马尔科夫链；
二、判断题（每题2分） 第一章
1．)(t g i ),2,1(n i =是特征函数，
∏=n
i i t g 1)(不是特征函数。
（ ） 2．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（ ） 3．任意随机变量均存在特征函数。（ ） 4．)(t g i ),2,1(n i =是特征函数，
∏=n
i i t g 1)(是特征函数。
（ ） 5．设()1234X ,X ,X ,X 是零均值的四维高斯分布随机变量，则有
1234123413241423()()()+()()+()()E X X X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X =（ ） 第二章
6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（ ） 7．独立增量过程是马尔科夫过程。（ ） 8．维纳过程是平稳独立增量过程。（ ）
第三章
9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（ ）
第四章
10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（ ）
11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（ ）
12．有限马尔科夫链，若有状态k 使0lim )
(≠∞
→n ik n p ，则状态k 即为正常返的。（ ）
13．设S i ∈，若存在正整数n ，使得,0,0)
1()(>>+n ii n ii p p 则i 非周期。
（ ） 14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。（ ） 15．i 是正常返周期的充要条件是)
(lim n ii n p ∞
→不存在。（ ）
16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（ ） 17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（ ） 18．i 是正常返周期的充要条件是)
(lim n ii n p ∞
→存在。（ ）
19．若i j ?，则有i j d d =（ ）
20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．（ ）
答案 二、判断题
1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．√ 6．√ 7．√ 8．√ 9．×
10．√ 11．√ 12．√ 13．√ 14．√ 15．√ 16．√ 17．× 18．× 19．√ 20．√
三、大题 第一章
1．（10分）—（易）设),(~p n B X ，求X 的特征函数，并利用其求EX 。 2．（10分）—（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，
+∞<<∞-???=t t t t X 出现反面出现正面
,
2,cos )(π
出现正面和反面的概率相等，求)(t X 的一维分布函数)2/1,(x F 和)1,(x F ，)(t X 的二维分布函数)1,2/1;,(21x x F 。
3．（10分）—（易）设有随机过程0,)(≥+=t Bt A t X ，其中A 与B 是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求)(t X 的一维和二维分布。
第二章
4．（10分）—（易）设随机过程X(t)=Vt+b ，t ∈(0,+∞), b 为常数，V 服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。
5．（10分）—（易）已知随机过程X(t)的均值函数m x (t)和协方差函数B x (t 1, t 2)，g(t)为普通函数，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。
6．（10分）—（中）设}),({T t t X ∈是实正交增量过程，ξ,0)0(),,0[=∞=X T 是一服从标准正态分布的随机变量，若对任一)(,0t X t ≥都与ξ相互独立，求
),0[,)()(∞∈+=t t X t Y ξ的协方差函数。
7．（10分）—（中）设},)({+∞<<∞-+=t Yt X t Z ，若已知二维随机变量),(Y X 的协
方差矩阵为??
?
?
??222
1σρρσ，求)(t Z 的协方差函数。 8．（10分）—（难）设有随机过程}),({T t t X ∈和常数a ，试以)(t X 的相关函数表示随机过程T t t X a t X t Y ∈-+=),()()(的相关函数。
第三章
9．（10分）—（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加．在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30—9：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少?
10．（15分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t ）内无人购买商品的概率。 11．（15分）—（难）设X 1(t) 和X 2 (t) 是分别具有参数1λ和2λ的相互独立的泊松过程，证明：Y(t)是具有参数21λλ+的泊松过程。
12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居．即
2=λ。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一
户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
13．（10分）—（难）在时间t 内向电话总机呼叫k 次的概率为 ,2,1,0,!
)(==
-k e k k p k
t λλ，
其中0>λ为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t 内呼叫n 次的概率)(2n P t
14．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min
15．（15分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W 的EW 、varW 和P{W ≥2}．
16．（10分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设1min 内没有车辆通过的概率为0.2，求2min 内有多于一辆车通过的概率。
17．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min
18．（15分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1／2、l ／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费. 以X(t)记在[0，t]内得到的总手续费，求EX(t)与var X(t)
19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min ，求 (1) 在5 min 内到达顾客数的平均值；(2) 在5min 内到达顾客数的方差；(3) 在5min 内至少有一个顾客到达的概率． 20．（10分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率．
21．（15分）—（难）设X(t)和Y(t) (t ≥0)是强度分别为X λ和Y λ的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有k 个事件发生的概率为
k
Y X Y Y X X
p ???
?
??+???? ??+=λλλλ
λλ。 第四章
22．（10分）—（中）已知随机游动的转移概率矩阵为
??
??
?
?????=5.005.05.05.0005.05.0P
求三步转移概率矩阵P (3)及当初始分布为
1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P
时，经三步转移后处于状态3的概率。
23．（15分）—（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示经过n 次交换后甲盒中红球数，则{X(n)，n ≥0}为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：{X(n)，n ≥0}是遍历链；（3）求
2,1,0,lim )(=∞
→j P n ij n 。
24．（10分）—（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：
)4.0,2.0,4.0()0(=T P ??
??
?
?????=6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P
求下一、二个月的销售状态分布。
25．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间I ＝{1，2，…，7}，转移概率矩阵为
???
?
??
?
???
?
???
???????
?=2.08.0000007.03.000000003.05.02.000006.00
4.0000004.06.0001.01.01.02.02.02.01.01.01.01.00
1.02.04.0P 求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
26．（15分）—（难）设河流每天的BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I={1，2，3，4}是按BOD 浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为
?
?
???
????
???=4.04.02
.00
1.06.0
2.01.01.02.05.02.001.04.05
.0P 若BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。(1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；
(3)河流再次达到污染的平均时间4μ。
27．（10分）—（易）设马尔可夫链的状态空间I ＝{0，1，2，3}，转移概率矩阵为
?????
????
???=10004/14/14/14/1002/12/100
2/12/1P 求状态空间的分解。
28．（15分）—（难）设马尔可夫链的状态空间为I ＝{1，2，3，4}．转移概率矩阵为
??
???
??
??
???=2/104
/14/1003/23/100100001P 讨论)
(1lim n i n p ∞
→
29．（10分）—（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为
??
??
?
?????=2/12/102/102/102/12/1P
求其平稳分布。
30．（15分）—（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p ，乙胜的概率是q ，和局的概率为r ，且p+q+r=1．设每局比赛胜者记1分，负者记一1分．和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束．以n X 表示比赛至n 局时甲获得的分数，则}1,{≥n X n 是齐次马尔可夫链．
（1）写出状态空间I ；（2）求出二步转移概率矩阵； （3） 求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率．
31．（10分）—（中）(天气预报问题) 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关．又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β，规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态l 。因此问题是两个状态的马尔可夫链．设
4.0,7.0==βα，求今天有雨且第四天仍有雨的概率．
32．（10分）—（中）设}1,{≥n X n 是一个马尔可夫链，其状态空间I={a ，b ，c}，转移概率矩阵为
??
??
?
?????=05/25/33/103/24/14/12/1P
求（1）}|,,,,,,{07654321c X b X c X a X c X a X c X b X P ======== （2）}|{2b X c X P n n ==+
33．（15分）—（难）设马尔可夫链}0,{≥n X n 的状态空间I ＝{1，2，…，6}，转移概率矩阵为
?
??
???
??????
???
????
?=2/100
02/10000001003/103/13/1010000100000000
100P
试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。
答案 三、大题
1． 解：引入随机变量n i p q
X i 2,110~=???
?
?
? ………………………………（1分） i
itX i Ee t =)(?p e q e it it 10??+=q pe it += …………………………（3分）
),(~1
p n B X X n
i i ∑== …………………………（4分）
itX
Ee
t =)(?∑==n
i i X it Ee
1
)
(
∏==n
i itX i Ee 1
n it q pe )(+= ………………………
（6分） iEX =')0(? …………………………（8分）
)0(?'-=i EX []0
)(='
+-=t n
it q pe i []
1)(=-??+-=t it n it i
pe q pe n i np =
…………………………（10分）
2．解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2
（1） 当t=1/2时，X （1/2）的分布列为2
11)2
1(0)2
1(=
?
???
??==????
??
=X P X P 其分布函数为?
????≥<≤<=11
102100);21
(x x x x F …………………………（3分）
同理，当t=1时Ｘ(1)的分布列为 {}{}2
1
2)1(1)1(=
==-=X P X P 其分布函数为????
?≥<≤--<=2
1
2121
1
0);1(x x x x F …………………………（5分） （2） 由于在不同时刻投币是相互独立的，故在t=1/2，t=1时的联合分布列为
4
12)1(,1)21(1)1(,1)21(2)1(,0)21(1)1(,0)21(=
??????===??????-===?
?????===??????-==X X P X X P X X P X X P
故联合分布函数为
?
??????≥≥<≤-≥≥<≤<≤-<≤-<<=211
2
1121021102/14/1100
),;1,21
(212121212121x and x x and x or x and x x and x x or x x x F ………………………（10分） 3．解：对于任意固定的t ∈T ，X(t)是正态随机变量，故
0)()()]([=+=t B E A E t X E 221)()()]([t t B D A D t X D +=+=
所以X （t ）服从正态分布)1,0(2t N + …………………………（3分） 其次任意固定的221121)(,)(,
,Bt A t X Bt A t X T t t +=+=∈
则依n 维正态随机向量的性质，())(),(21t X t X 服从二维正态分布，且
0)]([)]([21==t X E t X E
2
2
22
1
11)]([1)]([t t X D t t X D +=+= ………………（8分） 2121211)]()([))(),((t t t X t X E t X t X Cov +==
所以二维分布是数学期望向量为（0，0），协方差为??
?
?
??++++222
1212
11111t t t t t t 的二维正态分布。 ………………………………（10分）
4．解：b Vt t X +=)(，)1,0(~N V ，故)(t X 服从正态分布， [][]b b tEV b Vt E t X E =+=+=)( [][]2
2
)(t DV t b Vt D t X D ==+=
均值函数为 []b t X E t m ==)()( …………………………（4分） 相关函数为 [][]b Vt b Vt E t X t EX t t R ++==211121)()(),( [
]2
21212)(b
b t t V t t V E +++=22
1b t
t +=………………（10分）
5． 解：)()()]()([)()(t g t m t g t X E t EY t m X Y +=+==
………………………………………………（4分）
)()(),(),(212121t m t m t t R t t B Y Y Y Y -=
)()()()(2121t m t m t Y t EY Y Y -=
)]()()][()([)]()()][()([22112211t g t m t g t m t g t X t g t X E X X ++-++=
)()(),(2121t m t m t t R X X X -=),(21t t B X =
………………………………………………（10分） 6．解：因为}),({T t t X ∈是实正交增量过程，故0)]([=t X E
ξ服从标准正态分布，所以1,0==ξξD E ………………………………………（2分）
0)]([)]([=+=ξE t X E t Y E ………………………………………（4分）
又因为)(,0t X t ≥都与ξ相互独立
]})(][)({[)]()([)](),([ξξ++==t X s X E t Y s Y E t Y s Y Cov ………………（6分）
2])([])([)]()([ξξξE t X E s X E t X s X E +++=
1)](),([+=t X s X Cov ………………………………………（8分）
1}),(min{2
+=t s X σ ………………………………………（10分）
7．解：利用数学期望的性质可得，
[][]{})()()()(),(t Yt X s Ys X E t s C Y X Y X Z μμμμ+-++-+=……………（2分） [][]{})()()()(t Yt X s Ys X E Y X Y X μμμμ-+--+-= [])()()(2
Y X X Y t X E X E μμμ--+-=
[]2)()()(Y Y X Y Est Y s X E μμμ-+--+…………（8分） stDY Y X Cov t s DX +++=),()(
2
22
1)(σρσst t s +++= …………………………………（10分） 8．解：
)]}()()][()({[),(221121t X a t X t X a t X E t t R Y -+-+= ……………（2分）
)]()([)]()([)]()([)]()([21212121t X t X E a t X t X E t X a t X E a t X a t X E ++-+-++=
),(),(),(),(21212121t t R a t t R t a t R a t a t R X X X X ++-+-++=…………（10分）
9． 解：根据题意知顾客的到达率为
??
?
??<≤--<≤<≤+=95)5(22053203055)(t t t t t
t λ …………………………（3分）
10)55()5.0()5.1(5
.15.0=+=-?dt t m m X X …………………………（6分）
10}0)5.0()5.1({-==-e X X P …………………………（10分）
10．解：设}0),({≥t t X 表示到达商店的顾客数，i ξ表示第i 个顾客购物与否，即
?
?
?=个顾客不购物第个顾客购物
第i i i 01ξ 则由题意知i ξ独立同分布．且与)(t X 独立
p P p P i i -====1)0(,)1(ξξ
因此，∑==)
(1
)(t X i i
t Y ξ
是复合泊松过程，表示（0，t ）内购买商品的顾客数，………（5分）
由题意求
==}0)({t Y P ∑∑∑∞===?
??
???===??????=0)(1)(1)(,00k t X i i t X i i k t X P P ξξ
{}?
??
???===∑∑=∞
=0)(10k i i k P k t X P ξ ……………………（10分）
k t k k q e k t ?=-∞
=∑λλ0!)(∑
∞
=-=0
!)(k k t
k qt e λλ pt qt t
e e e
λλλ--== …………………………（15分）
11．证明： })()({n t Y t Y P =-+τ
})()()()({2121n t X t X t X t X P =--+++=ττ })()()()({2211n t X t X t X t X P =-++-+=ττ ∑=-=-+=-+=
n
i i n t X t X i t X t X
P 02211
})()(,)()({ττ …………（5分） ∑=-=-+?=-+=
n
i i n t X t X P i t X t X
P 0
2211
})()({})()({ττ………（10分）
∑=----?=n
i i n i e
i n e i 0
2121)!()(!)(τ
λτλτλτλ !
])[(21)(21n e
n
τλλτ
λλ+?=+- 2,1,0=n
故Y(t)是具有参数21λλ+的泊松过程 ……………………………（15分） 12. 解：设)(t N 为在时间[0，t]内的移民户数，其是强度为2的泊松过程，i Y 表示每户的
人数，则在[0，t]内的移民人数∑==
)
(1
)(t N i i
Y
t X 是一个复合泊松过程。
……………………………………（2分）
i Y 是独立同分布的随机变量，其分布为
6
6
2=
=
i i EY EY …………………………（4分） 256
15
52)5()5(1=?
?=?=EY EN m X …………………………（7分） 3
21564352)5()5(21=?
?=?=EY DN X σ …………………………（10分） 13．解：以A 记时间2t 内呼叫n 次的事件，记第一时间间隔内呼叫为k H ，则)()(k P H P t k =，第二时间间隔内)()|(k n P H A P t k -=成立，于是 λλ
λλ--=-=-=-=
∑∑e k n e
k k n P k P n P k
n n
k k
n k t
t
t )!
(!)()()(0
2……………………（4分）
∑∑=-=-=-?=
n k k
n n n
k n C n e k n k n n e 0
202!)!(!!
!
λλλλ
…………………………（8分） λ
λ2!
)2(-=e n n ………………………………………（10分） 14．解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为λ的泊松过程，则顾客到达的时间间隔}1,{≥n X n 服从参数为λ的指数分布，
??
?<≥=-0
30)(30x x e x f x
X ……………………………………（4分） 160
23030}602
{-∞+-==>?e dx e X P x ……………………………（10分）
15．解：设)(t X 是t 年进入中国上空的流星数，)(t X 为参数10000=λ的齐次泊松过程
设 ,2,1,0,1=?
??=i i i Y i 个流星不落于地面第个流星落于地面第 即???? ??0001.09999.010
~i Y 由题意知，∑==
)
(1
t X i i Y W 是一个复合泊松过程 …………………………………（5分）
12
10001.010000121)(1=??=
?=EY t EX EW 12
1
0001.0110000121)(22
1=???=
?=EY t VarX VarW W 是参数为1=p λ的泊松过程 ……………………………………………（10分）
}1{}0{1}1{1}2{=-=-=≤-=≥W P W P W P W P
121
1211211121012
11!1)121
(!0)121(1------=--=e e e e ………………
（15分） 16．解： 以)(t N 表示在),0[t 内通过的车辆数，设}0),({≥t t N 是泊松过程，则
,2,1,0,!
)(})({===-k e k t k t N P t
k λλ ………………………………（2分） 5ln 2.0}0)1({=?===-λλ
e
N P ………………………………
（5分） }1)2({}0)2({1}1)2({1}1)2({=-=-=≤-=>N P N P N P N P 5ln 25
2
25242122-=
--=--λλ
λe e
………………………（10分） 17．解：由题意，顾客到达数N(t)是强度为λ的泊松过程，则顾客到达的时间间隔}1,{≥n X n 服从参数为λ的指数分布，
??
?<≥=-0
30)(30x x e x f x
X ……………………………………（4分） 2604
030130}60
4
{---==
18．解：设Z(t)为在[0，t]内来到的顾客数，)(t Z 为参数6=λ的齐次泊松过程，
i Y 是每个顾客订阅年限的概率分布，且i Y 独立同分布，
由题意知，∑==
)
(1
)(t Z i i
Y
t X 为[0，t]内得到的总手续费，是一个复合泊松过程
…………………………………（5分）
6
10
6133122111=?+?+?
=EY
6
2061331221122221=?+?+?
=EY …………………………………（8分） t t EY t EZ t EX 106
10
6)()(1=?
=?= t t EY t VarZ t VarX 206
20
6)()(2
1=?
=?= ……………………（15分） 19．解：N (t)表示在[0，t)内到达的顾客数，显然{ N (t), t ≥0}是泊松过程，2=λ，则当t=2时，N （5）服从泊松过程
,2,1,0,!
)52(})5({5
2=?==?-k e k k N P k ………………………（5分） 故10)]5([;
10)]5([==N D N E
101}0)5({1}1)5({--==-=≥e N P N P ………………………（10分） 20．解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数
?
?
?≤<≤≤=1052/15
05.2/1)(t t t λ 则 5.4215.21
)()10(1055
0100
=+==
??
?
dt dt dt t λμ ………………………（6分） 2
9
5
.42
9!1!5.4}1)0()10({--===-e e
N N P ………………………（10分） 21．证明：设X （t ）的两个相邻事件的时间间隔为τ，依独立性有
τ
λτλτY e k k t Y t Y P k Y -==-+!
)(})]()({[ ………………………（2分） 而X （t ）的不同到达时刻的概率密度函数为
??
?≥=-others
e f X X X 0
)(τλττ
λ ………………………（4分）
由于X （t ）是泊松过程，故Y （t ）恰好有k 个事件发生的概率为
k
Y
X Y
Y X X
k Y X k
Y
X k
k
Y
X X k Y k k d e
e
k d e e k p X Y X Y ???
?
??+?+=+?
=
=
?=
+-∞--∞-?
?
λλλλλλλλλλττλλτλτλτ
λτ
λτλτ
λ1
)(!
!
!
!
)(………（8分）
………………………（10分）
22．解：
==3)
3(P P
????
?
?????????????????????????5.005.05.05.0005.05.05.005.05.05.0005.05.05.005.05.05.0005.05.0
????
??????=25.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0 ……………………（6分） 25.025.01)3()
3(3333=?==p p p …………………………（10分）
23．解：由题意知，甲盒中的球共有3种状态，
P p =00{甲乙互换一球后甲盒仍有3个白球|甲盒有3个白球}
=P{从乙盒放入甲盒的一球是白球}=1/3
P p =01{甲乙互换一球后甲盒有2个白球1个红球|甲盒有3个白球}
=P{从乙盒放入甲盒的一球是红球}=2/3
P p =02{甲乙互换一球后甲盒有1个白球2个红球|甲盒有3个白球}=0
以此类推，一步转移概率矩阵为????
??????=3/13/209/29/59/203/23/1P ……………………（8分） （2）因为各状态互通，所以为不可约有限马氏链，且状态0无周期，故马氏链为遍历链。
…………………………………………（10分）
（3）)
,,(210ππππ=
解方程组???=++=1210πππππP 即???
?
??
???=+++=++=
+=1
319232
95329
2312102
122101
1
00ππππππππππ
πππ……………………（13分） 解得5
1,53,51210===
πππ
5
1
lim 5
3
lim ,5
1
lim 2)
(21)
(10)
(0======∞
→∞
→∞
→πππn i n n i n n i n p p p …………（15分） 24．解：
?==)4.0,2.0,4.0()0()1(P P P T T ???
?
??????6.02.02.02.07.01.01.01.08.0)32.0,26.0,42.0(=
…………………………………………（5分）
?==)4.0,2.0,4.0()0()2(2P P P T T ??
?
???????6.02.02.02.07.01.01.01.08.0????
?
?????6.02.02.02.07.01.01.01.08.0 )286.0,288.0,426.0(=
…………………………………………（10分）
25．解：}2,1{=N 是非常返集，}5,4,3{1=C ，}7,6{2=C 是正常返闭集。
…………………………………（5分）
常返闭集}5,4,3{1=C 上的转移矩阵为????
?
?????3.05.02.06.004.004.06.0 解方程组??
?
=++=1
543πππππP ，其中),,(543ππππ=，解得236
,237,2310543===πππ
1C 上的平稳分布为}0,0,23
6,237,2310,
0,0{ ………………………………（10分） 同理解得2C 上的平稳分布为}15
7
,158,
0,0,0,0,0{ ………………………………（15分） 26. 解：（1）因为4321???，故马氏链不可约，
又因为状态1非周期，故马氏链是遍历链 ……………………………（5分）
（2）解方程组??
?
=+++=14321
ππππππP
其中),,,(4321πππππ=
解得1044.0,3236.0,3028.0,2112.04321====ππππ…………………（10分）
（3）天）
(91
4
4≈=
πμ ……………………………………………（15分） 27．解：状态传递图如下图
……………………（2分）
由状态3不可能到达任何其它状态，所以是常返态．
由状态2可到达0，1，3三个状态，但从0，1，3三个状态都不能到达状态2，且
14
1
)
1(221)(22<==∑∞
=f f n n ，故状态2是非常返状态。 …………………………………（5分）
状态0，1互通且构成一个基本常返闭集，
12
1
2121212121)
3(00)2(00)1(001)(00=+??+?+=+++=∑∞
= f f f f n n 故状态0，1是常返态。 …………………………………（8分）
于是状态空间分解为}3{}1,0{}2{++=I …………………………………（10分） 28．解：状态传递图如下图
……………………（5分）
状态1和状态2都是吸收态．都是正常返非周期的基本常返闭集，而N ＝{3，4}是非常返集．有,3
1
,0,1)
(31)
(21)
(11=
==n n n p p p ………………………………………（8分） 11
1
)(41
1
)(11
)(41
)(41
2
1
214121412141+-==--=?
??
? ??++?+===∑∑n n n
l l n
l l n l n f
p
f
p
……………………………………（12分） 以上说明)
(1lim n i n p ∞
→存在，但与i 的取值有关。 ……………………………………（15分）
29．解：设),,(321ππππ=
解方程组???=++=1321πππππP 即???????=+++=+=+=1
5.05.05.05.05.05.0321323
3
122
11ππππππππππππ ……………………（6分）
解得3
1
,31,31321===πππ …………………………………………（10分）
30．解：（1）状态空间为I={-2，-1，0，1，2}
（2）一步转移概率矩阵为?????
??
??????
???=10
0000
0000001
p r q p r q p r
q P ………………………（6分） ????????
???
??
???+++++==10000
20
222020
0001
222
222
22
)
2(pr p pq r rq q p pr
pq r rq q p pr pq r rq q P P
………………（10分）
（3）经二局结束比赛包括两种情形：甲得1分经二步转移至得2分而结束比赛，或甲得1分经二步转移至得-2分(乙得2分)而结束比赛．因此，有
)1(0)()
2(41)2(45r p pr p p p p +=++=+= ………………………（15分）
31．解：一步转移矩阵为??
?
???=??????--=????
??=6.04.03.07.01111100100
ββαα
p p p p P ……………（2分） 两步转移矩阵为??
?
???=??????????
??==48.052.039.061.06.04.03.07.06.04.03.07.0)2(PP P
…………………………（5分）
三步转移矩阵为?
?
?
???=??????????
??==444.0556.0417.0583.06.04.03.07.048.052.039.061.0)2()3(P P P …………………………（8分）
从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为=)
3(00p 0.583 ……………………
（10分） 32．解：由马尔科夫性和齐次性可得
2500
3
52415341533152}|{}|{}|{}|{}
|{}|{}|{67564534231201=
??????=
=================c X b X P a X c X P c X a X P a X c X P c X a X P b X c X P c X b X P P …………………………………（5分）
（2）因为所求为二步转移概率，先求两步转移概率矩阵
??
??
?
?????==90/1720/330/176/110/315/824/540/930/17)
2(PP P
故 []6
1
}|{}|{2
12======++b X c X P b X c X P n n n n ……………………（10分） 33．解：状态传递图为
对状态1有 )4(0,1,0,0)
(11)
3(11)
2(11)
1(11≥====n f f f f n
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
最新随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ??? ??? ? ? ? ?=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内， 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t )，-∞ 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- （1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； （2）当t=0时，{}{}1 P X(0)=0P X(0)=12 == ， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11???≤??≥??；同理0 x<-11F(x;1)=1x<12x 11 ??? -≤??≥?? 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设 0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00 011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6???? =? ???? ???，于是(2) 0.610.39P PP=0.520.48??=????，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2) 0.57490.4251P P P 0.56680.4332??==???? ，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) 00P 0.5749=。 4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。 解：一步转移概率矩阵010111P=333010????? ????? ?? ， 111333 (2)271 199911133 3,????==?????? P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=， 1 1 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 习题一 1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为 （2）求其期望和方差； （3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。 3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。 4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。 5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概 率密度函数。 8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为 试求其特征函数。 10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩 阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求： （1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数； 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--< 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 2010级硕士生《随机过程》考试题 解：状态转移概率如下图所示： ，， （1）由图可知： 状态空间S 可分为C1：{1 ,2,3}，C2：{4,5}，C3：{6}三个不可约闭集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1。 （2） 21)1(11=f 2723132312131313221)4(11 =???+???=f （3） 由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。 平稳分布的计算公式为： ???? ?≥==∑∑∈∈I j j j I i ij i j p 0,1ππππ 对C1：{1 ,2,3} ???????? ???=+++=+=+=1 32313221312132132 32 12311ππππππππππππ 解得： 838 341 321= ==πππ，， 对C2：{4 ,5} ??? ?? ? ???=++=+=121212121545 45544ππππππππ 解得： 2154= =ππ 对C3：{6} 易得：16=π （4）C1：{1 ,2,3}中， 各状态的平均返回时间分别是： 4 1 1 1== πμ 3 81 2 2= =πμ 3 81 3 3= =πμ C2：{4 ,5}中， 2 1 4 4== πμ 2 1 5 5==πμ C3：{6}中， 1 1 6 6== πμ 1. 5.设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动，到达0点或者4点后以概率1停留在原处，在其他整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或者停留在原处，画出转移概率图并求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解： 转移概率图如下： 随机过程复习 一、回答： 1 、 什么是宽平稳随机过程？ 2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？ 3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？ 4 、 什么是白噪声？性质？ 二、计算： 1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中 是常数， A 、B 是相互独 立统计的高斯变量， 并且 E[A]=E[B]=0 ， A 2 ]=E[ B 2 ]= 2 。求： X (t) E[ 的数学期望和自相关函数？ 2 、判断随机过程 X (t ) A cos( t ) 是否平稳？其中 是常数，A 、 分 别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 a f ( ) 1 2 ； f A ( a) a 2 e 2 2 a 0 2 3 、求随机相位正弦函数 X (t) A cos( 0 t ) 的功率谱密度， 其中 A 、 0 是常数， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。 4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos( 0 t) 的自相关 函数及谱密度。 其中， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与 相互独立的随机过程。 5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y 是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利 分布，其概率密度为 x 2 x 2 e 2 2 x 0 f A (x) 0 x 0 试证明 X (t ) 为宽平稳过程。 解：（ 1） m X (t) E{ Acos( 0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )} x 2 x 2 2 e 2 2 dx y)dy 0 与 t 无关 2 cos( 0t 0 （ 2） X 2 (t) E{ X 2 (t )} E{ A cos( 0t Y)}2 E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 ) 3 x 2 t E( A 2 ) x 1 2 t 2 e 2 2 dt ， 2 e 2 2 dx 2 t t t te 2 2 |0 e 2 2 dt 2 2e 2 2 |0 22 所以 X 2 (t ) E{ X 2 (t )} （3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]} E[ A 2 ] E{cos( 0t 1 Y ) cos( 0t 2 Y)} 2 2 2 1 0t 1 0t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy [cos( 2 2 2 cos 0 (t 2 t 1 ) 只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。 6 、 设随机过程 X (t ) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0,1] 区间 上的均匀分布。 （ 1 ）求 （ 2 ）求 X (t ) X (t ) 的一维概率密度和一维分布函数； 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】随机过程习题和答案
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