第五章静电场习题

第五-六章 静电场 静电场中的导体与电介质

1.判断题

（1）有两个带电量不相等的点电荷，它们相互作用时，电量大的电荷受力大，电量小的电荷受力小。（） （2）在某点电荷附近的任一点，如果没有在该点放置试验电荷，则该点的场强为零。（

）

（3）一质量为m 的点电荷，在匀强电场中由静止状态释放，它一定会沿着电力线运动。（ ） （4）如果通过一闭合曲面的电场强度通量为零，则此闭合曲面上的场强一定处处为零。（ ） （5）静电场中任意两点的电势差，跟试验电荷的正负有关。（ ）

2. 关于场强与电势的关系中，说法正确的是（ ） A.电势为零处，场强也一定为零；

B.场强为零处，电势也一定为零；

C.场强数值愈大，电势数值也愈大； D .以上说法均不正确。

3. 如果把一点电荷Q 放在某一立方体中心，取立方体表面为高斯面，则（ ） A.穿过每一表面的电通量都等于

Q

6

； B.穿过每一表面的电通量都等于Q 60ε

C.穿过每一表面的电通量都等于

Q

30

ε； D.条件不足无法计算电通量。 4. 若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则（ ） A.高斯面内一定无电荷；

B.高斯面内无电荷或正负电荷的代数和为零；

C.高斯面上的场强一定处处为零；

D.以上说法均不正确。

5. 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ．在腔内离球心的距离为d 处( d < R )，固定一点电荷+q ，如图所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为（ ） A. 0 ． B.

d

q

04επ．

C.R q 04επ-

． D.

)1

1(40R

d q -πε． 6. 一空心导体球壳，其内、外半径分别为R 1和R 2，带电荷q ，如图所示．当球壳中心处再放一电荷为q 的点电荷时，则导体球壳的电势(设无穷远处为电势零点)为 （ ） (A)

1

04R q επ ． (B)

2

04R q επ ．

(C)

1

02R q επ . (D)

2

0R q ε2π ．

q

7. 一长直导线横截面半径为a ，导线外同轴地套一半径为b 的薄圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地，如图所示．设导线单位长度的电荷为+λ，并设地的电势为零，则两导体之间的P 点( OP = r )的场强大小和电势分别为（ ） (A) 2

04r

E ελπ=

，a b

U ln 20ελπ=． (B) 2

04r E ελπ=

，r b U ln 20ελπ=．

(C) r E 02ελπ=

，r a

U ln 20ελπ=

． (D) r E 02ελπ=，r

b

U ln 20ελπ=

．

8. 如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板，由于该电介质板的插入和它在两极板间的位置不同，对电容器电容的影响为：（ ） (A) 使电容减小，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 使电容减小，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 使电容增大，但与介质板相对极板的位置无关． (D) 使电容增大，且与介质板相对极板的位置有关．

9. 如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的金属板，则由于金属板的插入及其相对极板所放位置的不同，对电容器电容的影响为：（ ） (A) 使电容减小，但与金属板相对极板的位置无关． (B) 使电容减小，且与金属板相对极板的位置有关． (C) 使电容增大，但与金属板相对极板的位置无关． (D) 使电容增大，且与金属板相对极板的位置有关．

10. 已知球形电容器内外半径分别为A R 和B R ，介质的介电常数为ε，求其带电量为Q 时所

储存的能量。

B

R

11. 有一个均匀带电荷为Q 的球体，半径为R ，试求电场能量。 解：由高斯定理知，场强为

???

???

?><=)(4)(42030R r r Q R r r R

Q

E πεπε 在半径为r ,厚为dr 的球壳内，能量为：

dr r E dr r E dr

r w dV w dWe e e 2

202202242

14πεπεπ=?=== 所求能量为：

)R Q (R Q R R Q dr r

Q

dr r R Q

dr

r ]r Q [

dr r ]r R Q [

dV w We R R

R V

R

e 534184018842422

002

5602

20

2

46

0222

002

23

00

0πεπεπεπεπεπεπεπεπε=+=+=

+==?????∞

∞

12. 有一个带电为+q 半径为1R 的导体球，与内外半径分别为3

R 、4R 带电量为-q 的导体球壳

同心，二者之间有两层均匀电介质，内层和外层电介质的介电常数分别为1ε、2ε，且二电介质分界面也是与导体球同心的半径为2R 的球面。试求：

（1）电位移矢量分布；

（2）场强分布；

（3）导体球与导体空间电势差； （4）导体球壳构成电容器的电容。

解：（1）由题意知，场是球对称的，选球形高斯面S, 由∑?=?内

S S

q s d D 0

有 ∑=?内

S q r D 024π

得 ?

?

???

><<<=)(0)(4)(03322

1R r R r R r q

R r D π， D ρ

沿半径向外。

（2）Θ ε

D

E =

∴

????

????

?

><<<<<=)(0)(4)(4)(0332222

12

11R r R r R r q R r R r q

R r E πεπε E ρ与D ρ同向，即沿半径向外。

（3）

3

212111233

212322211

2

22

141

14114443

2

2

132

21

31

R R R ]R )R R (R )R R [(q ]R R [q ]R R [

q dr

r

q

dr r

q

r d E r d E r d E U U R R R R R R R R R R επεεεπεπεπε

πε-+-=-+-=

+=?+?=?=-??

???ρρρρρρ表球

（4）1

12332123

2121)()(4R R R R R R R R R U U q C εεεπε-+-=-=

表球

13. 在半径为R 的金属球外，有一外半径为'R 的同心均匀电介质层，其相对介电常数为r ε，金属球电量为Q ，试求：（1）场强空间分布；（2）电势空间分布。

14.有二个同心球面，半径为1R 、2R ，电荷为q +，q -，求二面的电势差。

15.半径为R 1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R 2、R 3，使内球带电q ，球壳带电Q ，试求：

（1）电势分布的表示式；

（2）用导线连接球和球壳后的电势分布； （3）外壳接地后的电势分布。

解 （1）根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内表面感应电荷为–q ，且均匀分布；导体球所带电量q 均匀分布在导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q +q )，所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠加。均匀带电球面电势为

??????

?≥≤=)(4)(400

R r r

q R r R q

U πεπε 图9—3

1

R 2

R 3

R q Q

所以 1R r ≤， ???? ??++-=

3210141R Q q R q R q U πε 21R r R ≤≤，???? ?

?++-=320241R Q q R q r q U πε 32R r R ≤≤，3034R Q q U πε+=

3R r ≥， r

Q

q U 044πε+=

（2）导体连接后，导体球带电量q 与球壳内表面感应电荷–q 中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为Q q +，所以

3R r ≤， 3

03214'''R Q

q U U U πε+===

3R r ≥， r

Q

q U 044'πε+=

（3）外壳接地后，外表面电荷q +Q 被中和，则为两均匀带电球面电势叠加

1R r ≤， ???? ??-=

21

0141

''R q R q r U πε 21R r R ≤≤，???? ??-=

20241

''R q r q r U πε 2R r ≥， 0''''43==U U

16.已知导体球半径为R 1，带电量为q 。一导体球壳与球同心，内外半径分别为R 2和R 3，带电量为Q ，如

图所示。求：

（1）场强的分布；

（2）球和球壳的电势V 1和V 2以及它们的电势差；

（3）若球壳接地，V 1和V 2以及电势差；

（4）用导线连接球与球壳后V 1和V 2的值。

解 （1）先确定电荷的分布：因内球表面带电量为q ，则球壳内表面的感应电荷为-q ；又因球壳所带的电量为Q ，根据电荷守恒定律，球壳外表面的带电量一定为q+Q 。下面用两种方法求此带电系统的场强分布。

方法一：用高斯定理求解。因电荷分布具有球对称性，可用高斯定理求场强。取以半径为r 的同心球面为高斯面。

当r

0S d S E ， ∴042

=E r

π，即0=E ；

当R 1

?2

S q

d εS E ，∴0

24επq

E r =

，即2

04r q E πε=

；

当R 2

?3

S q

q d εS E ， ∴042=E r π，即0=E ；

当r>R 3时：

?

+=

?S

Q

q d 0εS E ，∴0

24επQ

q E r +=

，

即 2

04r Q

q E πε+=

。

方法二：利用场强叠加原理求E 分布。

空间任意一点的场强都可以看为三个带电量分别为q 、- q 和q+Q 的带电球面在该点产生的场强的矢量和。设三个带电球面产生的场强大小分别为E 1、E 2和E 3，利用均匀带电球面的场强公式可得

?????><=1

2

01140R r r q

R r E πε

?????><=2

2

02240R r r q

R r E πε

??

?

??>+<=3

2

03340R r r Q

q R r E πε

根据场强的叠加原理，空间任意一点的总场强

321E E E E ++=

所以，场强大小分布为 ?????????

?>+<<<<<=3

2032212

0140

40R r r

Q q R r R R r R r q R r E πεπε

（2）求球体和球壳的电势及它们的电势差。 方法一：用电势定义式?∞

?=p p d V l E 计算。

球的电势：

3

0210202

014)1

1(440433221

1R Q q R R q dr r Q q dr dr r q

d V R R R R R R πεπεπεπε++

-=+++=?=???

?∞∞

l E

球壳的电势：

3020

24433R Q

q dr r Q q d V R R πεπε+=

+=?=?

?∞

∞

l E 球与球壳的电势差：

)1

1(

42

10

21R R q V V U -=

-=πε

方法二：用电势叠加原理计算。 空间任一点的电势都可以看作这三个带电球面在该点所产生的电势的代数和。利用均匀带电球面产生电势的公式

??????

?>≤=R

r r

q R

r R q V 00

44πεπε 同样可以得到 30210

14)11(

4R Q

q R R q V πεπε++

-=

， 3

024R Q q V πε+=， ∴ )1

1(

42

10

21R R q V V U -=-=πε

（3）若导体球接地，球壳外表面电荷中和。用高斯定理可求得场强分布

???

????><<<=2

212

01

040R r R r R r q R r E πε 所以得 )1

1(

4042

10

2

013

2

2

1

R R q dr dr r

q V R R R R -=

+=??

πεπε ，02=V ， ∴ )11(

42

10

21R R q V V U -=

-=πε （4）用导线联结球与球壳时，球与球壳内表面电荷中和，导体球壳外表面带电量为q+Q 。这时场强的分布为

??

?

??>+<=3

2

0340R r r Q

q R r E πε

因球和球壳相联，所以它们的电势相等，即 302021443R Q

q dr r Q q V V R πεπε+=

+==?∞ 球与球壳的电势差为 021=-=V V U