高等数学答案_第四册_四川大学编
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算
)(1)2;
i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)510212
2.
;345(34)(34)591655
i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551
(3).;
(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=
-112
2
())]
a bi =+=
112
22
4
sin )]()(cos
sin );22i a b i θθ
θθ=+=++
3.
设
1z
=2;z i 试用三角形式表示12z z 及12z z 。 解：
121cos
sin
;(cos sin );
4
4266z i z i π
π
ππ
=+=
+ 121155[cos(
)sin()](cos sin );2464621212z z i i π
πππππ=+++=+
122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+
11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--
122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
arg(1)2;k αβγπ∴++=-+ (0,);(0,);(0,);απβπγπ∈∈∈ (0,3);αββπ∴++∈ 0;k ∴=;αβγπ∴++=
第一章 复数与复变函数（2）
7.试解方程
()4400z a a +=>。 解:由题意44
z a =-,所以有()4
10z a a ??
=-> ???;
4
cos sin i z i e
a π
ππ??=+= ???;所以24(0,1,2,3)k i z e k a θπ
+==;
41i
z ae π
=;34
2i
z ae π=;54
3i
z ae π=;74
4i
z ae π=.
12．下列关系表示的z 点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？
1212(1).()z z z z z z -=-≠
解：此图形表示一条直线，它不是区域。 (2).4;z z ≤-
≤816;2;x x ≤≤此图形为≤x 2的区域。
1(3).
1;1z z -<+
解：2222
11(1)(1);z z x y x y -<+-+<++；22;0;x x x -<>此图形为x>0的区域。
(4).0arg(1)2Re()3;
4
z z π
<-<
≤≤且
解：此图形表示[2,3]区间辐角在[0,]
4π
的部分。
(5).1Im 0;z z ≥>且
解：1z ≥表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。
12(6).Im ;y z y <≤
解：它表示虚部大于1y 小于等于2y 的一个带形区域。
(7).231;z z >->且
解：此图形表示两圆的外部。
131
(8).;
2222i i z z ->->且
解：
211()22y +->2x ，2231()22x y +->
，它表示两相切圆半径为12的外部区域。
(9).Im 12;z z ><且
解：此图形表示半径为2的圆的内部，且Im 1z >的部分，它是区域。
(10).20arg ;
4z z π
<<<
且）
解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在4π???
???0,的部分，它是区域。
第二章 解析函数（1）
4.若函数()f z 在区域D 上解析，并满足下列的条件，证明()f z 必为常数. ()()0f z z D '=∈
证明：因为()f z 在区域上解析，所以,u v u v x y y
x ????==-
????。 令()()(),,f z u x y iv x y =+，即()0
u v
f z i x y ??'=+=??。
由复数相等的定义得：0u v x y ??==??，0
u v
y x ??=-=??。
所以，()1,u x y C =(常数) ，()2,v x y C =(常数)，即()12f z C iC =+为
常数。
5 .证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。
（1）(cos sin )(cos sin ).x x
e x y y y ie y y x y -++
证明：设()()(),,f z u x y iv x y =+=(cos sin )(cos sin ).x x
e x y y y ie y y x y -++
则(),(cos sin )x u x y e x y y y =-，
(),(cos sin )x
v x y e y y x y =+ (cos sin )cos x x u e x y y y e y
x ?=-+?；cos sin cos x x x v e y y ye x ye y ?=-+?
(sin sin cos )x u e x y y y y y ?=-++?； (cos sin sin )
x v e y y x y y x ?=++?
满足;u v u v x y y
x ????==-
????。 即函数在z 平面上(),x y 可微且满足C R -条件，故函数在z 平面上解析。
()(cos sin cos )(cos sin sin )
x x u v
f z i e x y y y y ie y y x y y x x ??'=+=-++++??
8．由已知条件求解析函数()f z u iv =+， 22u x y xy =-+，()1f i i =-+。 解：2,2x y u x y u y x =+=-+， 2,2xx yy u u ==-。
所以0xx yy u u +=即u 是平面上调和函数。由于函数解析，根据C R -条件得
2x y u v x y ==+，于是，2
2()2y v xy x ψ=++,其中()x ψ是x 的待定函数，再由C —R 条件的另一个方程得2'()x v y x ψ=+=2y u y x -=-， 所以'()x x ψ=-，即2()2x x c ψ=-+。于是22
222y x v xy c
=+-+
又因为()1f i i =-+，所以当0,1x y ==，时1u =，
112v c =
+=得
12c = 所以
()222
2
1
(2)
222y x f z x y xy i xy =-+++-+。 第二章 解析函数（2）
12.设ω是z 的解析函数，证明x y u v ??=??，x y v u ??=-
?? (,)u i v z x i y ω=+=+。 证明：ω是z 上的解析函数，所以，ω在(),x y 上处处可微，即u v x y ??=
??，u v
y x ??=-??，
所以，u v y v u x x y v y x u ??????=?????? ，所以x y u v ??=??， 同理，u v y v u x y y v
x x u ??????=-?????? ，所以，x y v v ??=-
?? 即得所证。
14.若z x iy =+，试证：（1）sin sin cos z xchy i xshy =+。 证：sin sin()sin cos cos sin z x iy x iy x iy =+=+
=()sin cos 22iiy i iy iiy iiy
e e e e x x
i --+-+ =()sin cos 22y y i iy y
e e e e x i x
--+-+
sin cos xchy i xshy =+
18.解方程
ln 2i z π=
。 解：
ln ln arg 02i z z i z π
=+=+
， 即
1,arg 2z z π
==
，设z x iy =+
1=，()arg 2x iy π
+=得0,1x y ==，即z i =。
20.试求2(1),3,,i i i i
i i e ++及(1)Ln i +。
解：(2)22
2
,0,1,2,i k i
k i iLni
i e
e
e
k π
π
ππ+--====±±???
(2)
(1)24
4(1)sin i k i iLn i k i e e
i e e π
π
ππ+++===，
0,1,2,k =±±???
(1)ln(1)22ln (
2)
4
4
Ln i i i k i i k i k π
π
πππ+=++=+=+
0,1,2,k =±±???
3(ln32)3cosln3sin ln3i iLn i k e e i π+===+
222(cos1sin1)i i e e e e i +==+
22，求证0sin lim 1z z z →=
证: z x iy =+(x,y,均为实数)，所以,sin sin()
lim
lim z x y z x iy z
x iy →∞→∞+=+ 当0x →则极限趋近于z 轴，有sin lim 1iy iy
i y iy e e iy iyz -→∞-==
当0y →时，则极限趋于z 轴，有sin lim 1x x x →∞=，
故sin lim 1z z z →∞=。
第三章 柯西定理 柯西积分（1）
1.计算积分120),
i
x y ix dz +-+?（积分路径是直线段。 解：令z=(1+i)dz ， dz=(1+i)dt ，则：
12
(1)it i dz =+??1+i 20(x-y+ix )dz 3
12
011(1)(1)033t i i t dt i -=-=-=?。 2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：
1(11)z it t dz idt z t =-≤≤==（）令，， ， 1
1
1
1
1
()i
i
z dz t idt i t dt i tdt i
---==-+=????所以
(2).cos sin ()(sin cos )1
2
2
z i dz d z π
π
θθθθθθ=+-
≤≤
=-+=令：，， ，
则
222
2
sin cos 022i
i
z i d i d i i
ππ
ππθθθθ---=-+=+=?
??
3(3).cos sin ((sin cos )122
z i dz i d z ππ
θθθθθθ=+=-+=令 从
到），， ，
2
2332
2
sin cos 022i
i
z d i d i i
π
π
ππθθθθ-=-+=+=?
??
5.不用计算，证明下列分之值为零，其中C 为单位圆。
（1）cos c dz z ?，（2）222c dz
z z ++?，（3）256z c e dz z z ++?，
解：（1）因为函数θ1f(z)=cos 在单位圆所围的区域内解析，所以0cos c dz
z =?。
（2）因为函数()f z =21z +2z+2在单位圆内解析，所以0=?2c dz
z +2z+2。
（3）D z z
2e e 因为函数f(z)==的解析区域包含拉单位围线
z +5z+6(z+2)(z+3)
dz =?z
2c e 所以由哥西积分定理有z +5z+6
6.计算1z dz
z =?，1z dz z =?，1z dz z =?，1z dz z =?。
解：1112(1)21
z z dz dz
if i
z z ππ=====-??（）。
2110
(2)0
i i z z dz
ie d de z πθθθ=====???。
()210cos sin (3)0
cos sin z i d dz
z i πθθθθθ=+==+??。
210
(4)2z dz
d z πθπ
===??。
7.由积分2c dz
z +?之值，证明2012cos 054cos d πθθθ+=+?，其中取单位圆。
证明：因为被积函数的奇点2z =-在积分围道1z =外，故02c dz
z =+?，现令
i z re θ
=，则在
1
z =上
cos sin i z e i θθθ
==+，
()cos sin i dz ie d i i d θθθθθ==+，
2c dz
z =
+?()
20
cos sin 2cos sin i i d i π
θθθ
θθ
+++?
()()
()()
cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin i i d i i π
θθθθθθθθθ++-+++-?
20
-=
()20
2sin 2cos 154cos i d πθθθ
θ-++=+?
，
比较可得：202sin 054cos d πθ
θθ=+?，
202cos 1
054cos d πθθθ+=+?。
第三章 柯西定理 柯西积分（2） 8.计算：
（1）
()
221
:21c z z dz C z z -+=-?，。
解：222122112(2)111c c c z z z z z z dz dz z dz z z z -+-++-+==+---??? 11
(21)(2)11c c c c z dz z dz dz dz z z =++=++--???? 002(1)2if i ππ=++=。
10.设C 表圆周23y +=2x ，()2371
c f z
d z ζζζζ++=-?，求()f '1+i 。
解：设
()2
371ζζζ=++g ，它在复平面内解析，故当z C ∈时，则由哥西积分公式有()()()22
37122371c c g f d dz ig z i z z Z z ζζζζππζζ++??====++??--??z ，
所以
()()2
1123712671226z i z i
f i z z i z i
ππππ=+=+''??=++=+=-+??
1+i 。
11.求积分(),:1,z c e dz C z z =?从而证明：cos cos(sin )e d π
θθθπ=?0。
解：由于:1C z =，函数()z
e f z z =在0z =处不解析，0(2)2z z
z c e dz ie i z
ππ===?。
令,i i z e dz ie d θθ
θ==，则
[]cos sin 22cos 00cos(sin )sin(sin )2z i i i c e e d ie d i e i d i z e θθππθθ
θθθθθθπ+==+=???，故
22cos cos 0
cos(sin )sin(sin )2e d e i d π
π
θθθθθθπ
+=??，所以
cos 0
2cos(sin )2e d π
θθθπ
=?，即
cos cos(sin )e d π
θθθπ
=?
。
13.设()2f z z =，利用本章例5验证哥西积分公式
()()c f d f z z ζζ
πζ-? 1
=
2i 以
及哥西求导公式()()()()1!
2n n c f n f z d i z ζζπζ+=-? 。提示：把()f ζ写成
()()2
2
2z z z z ζζ-+-+
。
证明：设()()()2
22
2f z z z z ζζζζ==-+-+，则式的右边为可写为：
()()()2
221
2c c
f d z z z z dz z i z ζζζζπζπζ-+-+=--?? 1
2i
()2122c c z z z d d i z ζζζππζ-++????-?? 1=2i 由哥西积分定理有： ()1202c z z d i ζζπ-+=????? ，所以右边222
11222c z d z i z i z i ζππζπ===-? ，
即 左边=右边。
再由式子可知当1n =时，
()()()()211
22c c f f f z d d i z i z ζζζζπζπζ'??'==??--??
?? ，成
立。
假设当n k =时，1!()()2()k k c k f d f z i z ζζ
πζ+=
-?等式成立。则
当1n k =+时，
()121!
()()2()k k c k f d f z i z ξξ
πξ+++=
-?成立。
所以
()()()()
1!
2n n c f n f z d i z ζζπζ+=
-? 。
14.求积分（1）()5cos 1c z
dz z π-?，（2）22
(1)z
c e
dz z +?，其中():1.C z a a => 解：（1）被积函数有奇点1z =，该奇点在积分围道内，由哥西积分求导公式有： ()5cos 1c z dz z π-?[]()45
24
4122cos 1cos 4!4!12z i d i z i
dz ππππππ===-=-
''
22
22222212()()(2):22(1)()()()()z z z z z c c c z i z i
e e e e e z i z i dz dz dz i i z z i z i z i z i ππ==-????+-=+=+????+-++-??????
?(1)(1))224i i i e i e i πππ-=--+=-
第四章 解析函数的幂级数表示（1）
2.将下列函数展为含z 的幂级数，并指明展式成立的范围：
（1）1(,a b az b ≠+为复数，b 0)，（2）20z e dz
π
?，
（3）0sin z z
dz z ?，（4）2cos z , (5)2sin .z (6)()211z -，
（1）解：原式=1
0111()
1n n a
z a b b b
z b
-∞==-+∑
||||
b z a < （2）解：原式=
∑?∑∞
=+∞
=+=01
20
02)12(!!)(n n z n n n n z dz n z |z|<∞
（3）解：原式=∑?∑∞
=+∞
=++-=+-01
200
2)12()!12()1()!12()1(n n n z n n n n n z dz n z |z|<∞ （4）解：原式=
∑∞=-+=+02)!2()2()1(212122cos 1n n n n z z |z|<∞ （5）解：原式=∑∞=--=-02)!2()2()1(212122cos 1n n
n n z z |z|<∞
（6）解；原式=∑∑∞
=-∞=='='-01
0)()11(n n n n nz z z |z|<1
4．写出()ln 1z
e z +的幂级数至少含5z 项为止，其中()0ln 10z z =+=。
解：221,||2!z
e z z =+++<∞ ，()23
ln 1,||1
23z z z z z +=-+-<
两式相乘得
234
111111111ln(1)1(1)()()2232!4322!3!
z e z z z z z
+=++-+-+++-+-+51111111()||15432!23!4!z z +-+-+<
5．将下列函数按()1z -的幂展开，并指明收敛范围：
（1）cos z ， （2）sin z ，
（3）2z z +， （4）2
25z
z z -+， 解：（1）原式=cos(11)cos(1)cos1sin(1)sin1z z z -+=-+-
2212000(1)(1)(1)(1)(1)(1)1cos1sin1(cos1sin1)
2!(21)!2!21n n n n n n n n n z z z z n n n n +∞
∞
∞===-------=+=+++∑∑∑
|1|z -<∞
（2）原式=sin(11)sin(1)cos1cos(1)sin1z z z -+=-+- 2212000
(1)(1)(1)(1)(1)(1)1cos1sin1(sin1cos1)
2!(21)!2!21n n n n n n n n n z z z z n n n n +∞
∞
∞===-------=+=+++∑∑∑ |1|z -<∞ （3）211111(1)()(112333313z z z z --==-+--++ 01()
233n
n z z z z ∞
=-∴=-+∑
|1|3z -<
（4）解：原式220
11()[()]1421()2n n z z z ∞
=-==--+∑
|1|z -6．设2
01
1n n n c z z z ∞
==--∑，证明()122n n n c c c n --=+≥，指出此级数展式之前5项，并指出收敛范围。
解：11
]
n n n c ++=- （0n ≥），
1]
n n
n c -=
-
11
2]
n n n c ---=-
12n n n c c c --∴=+）
原式
=
234125z z z z ++++
||z <
第四章 解析函数的幂级数表示（2）
9．将下列函数在指定环域内展成罗朗级数：
（1）()2
1
,01,1.1z z z z z +<<<<+∞-
解：原式
2212
1z z z --=
+- 在01z <<内，上式2202122121n n z z z z z z ∞
=--+=-=---∑
在1z <<+∞内，上式22021212121()1n
n z z z z z z z z ∞=++=-+=-+-∑
(2)
()()
22
25
,1221z z z z z -+<<-+，
解：原式220012111111()()()21222222
(1)1()22n
n
n n z z z z z z ∞∞==-=+=-=---+-+∑∑
01()[1(1)]1||222n
n n z
z ∞==--<<∑
（3）()2
,011z
e z z z <<+
解：原式
220011()[()]0||1
21!2n
n z n n z z e z z z z n ∞∞
==-=+=--<<+∑∑
（4）
()()5113z z --，03z << 解：当1||3z <<时，原式=5
5(1)100511111()()()133113n
n n n n z z z z z ∞∞
++==-=---∑∑
当0||1z <<时，原式=55100111()()133
13n n n n n z z z z ∞∞+==-=--∑∑
（5）
sin
1z
z -，011z <-<。 解：
1111sin sin sin1cos cos1sin
1111z z z z z z -+==+---- 22100
11(1)()(1)()11sin1cos1(2)!(21)!n n n
n n n z z n n +∞∞
==----=++∑∑221
00(1)(1)sin1cos1(1)(2)!(1)
(21)!n n
n n n n z n z n ∞
∞+==--=+--+∑∑。 10．将下列各函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立的范围：
（1） ()
2
21
1z +，其中z i =。
解
：
()
2
22
21
1111111
()4()4()41z i z i i z i z i
z =-
-+--+-++12011
(4(n n z z i z i i i i i
∞∞∞
-===
---
=-+--+---∑∑∑ 22
00111111[(1)()](1)()4()4()16282n n n n n n z i z i z i z i i i ∞∞==--=-+-+-+---∑∑
0||2
z i <-< （2）
()
12
11z
z e
--，1z =
解：()
12
2
2112
001
11(1)1(1)
(1)!(1)!(1)
n
z
n n n n z z e
z z n z n z e
∞
∞
--==---=-=-=--∑∑，|1|0z ->
11．把
()1
1f z z =
-展成下列级数：
（1）在1z <上展成z 的泰勒级数。
解：
()01
1n
n f z z z ∞
===-∑， 1z <。 (2)在1z >上展成z 的泰勒级数。
解；()0111111()()
1111n
n f z z z z z z
z ∞===-=-=----∑， ||1z >
(3)在12z +<上展成()1z +的泰勒级数。
解：原式01111()
122212n n z z ∞=+==+-∑， |12z +|<1 (4)在12z +>上展成()1z +的泰勒级数。
解：原式012(1)(1)()
2111n
n z z z z ∞
==-+=-++-+∑ 2||11z ?+ 12．把
()()1
1f z z z =
-展成在下列区域收敛的罗朗或泰勒级数： （1）01z <<， 解：原式01111n n z z z z ∞==+=+-∑， （2）1z >
解：原式0111111()11n
n z z z z z
z ∞==-=--∑，
（3）011z <-<
解：原式1
100111(1)(1)(1)1(1)11n
n n n n z z z z z -∞∞-===+=-+==---+--∑∑，
（4）11z ->
解
：
原
式
01111(1)()111111n
n n z z z z ∞==+-+---+-∑1
1
(1
1n
n
n z ∞==-
-∑，
（5）11z +<
解：原式
0111
(1)1(1)11n
n z z z z ∞
==-+=-++-+--∑ 0011(1)()
22n n
n n z z ∈
∞==+=-++∑∑，
（6）112z <+<
解：原式0011111111
()()11212211
1121n
n
n n z z z z z z ∞∞==+=+=+++++--+∑∑ 101
(1)(1)2n n n z ∞
+==-+∑。
（7）12z +>
解：原式00
1
111211()()2111111(1)(1)111n n
n n z z z z z z z z ∞∞===-+=-+++++++--
++∑∑
11
(1)(1)n n
n z z ∞
==-+∑ |1|2z +>
第四章 解析函数的幂级数表示（3）
13．确定下列各函数的孤立奇点，并指出他们是什么样的类型，对于无穷远点也要加以讨论：
（1） ()2
2
1
1z z z -+
解：孤立奇点为：0,,z z i z i ===-，
对于0,z =原式=1
()1()
z X z z z i z -=∴-Z 为一阶极点
z i =，原式=
22
2
211
1()()()(1)z z z z i z i z z i z --=∴-++-z i =为二阶极点， 同理：z i =-也为二阶极点。
对z =∞，原式=4222211
(1)11(1)(1)z z z z z z --=++，由于422
0(1)lim 0(1)n z z z →-=+，即为可去奇点。
（2）22
1()z i + 解：2
0z i += ，3()
4
i k z e
ππ+=为二阶极点。
4
2222222
22111lim lim lim lim 011()(1)()()z z z z z z i z i z i i z z →∞→∞→∞→∞====++++即为可去极点。
(3)3
1cos z
z -
解；23
31cos 1
22z z z
z z -==，0z =为一阶极点。 3300311cos
1cos 1lim lim lim (1cos )01z z z z z z z z
z →∞→→--==-=即为可去极点。
(4)
1cos
z i + 解：z i =-为本性极点。
011limcos limcos limcos()111()
z z o z z
z i zi i z →∞→→===+++即在无穷远点为可去极点。
(5)1z
z
e e -
解：z=0，1
1z z
z m e e e mz -=-即z=0时，有(m-1)阶极点，
1
00111lim lim lim (1)01
()z
m z z z z m e e z z e zm z →∞→→--==-=即无穷远点为可去极点。
(6)1z
z
e e -
解：0z =，
01
1
lim 1111z z z z
e e e
→=--
即无穷远点为可去极点。
(7)1
sin cos z z +
解：sin cos )4z z z π+=+，4z k π
π
+=，
4z k π
π=-
(k=0,1±, )一阶极点，
00111
lim lim lim 111sin cos sin cos sin()4z z z z z z z z π
→∞→→===+++不存在，为本性极点。
(8)11z
z
e e -+
解：1z e =-，z i θ=，1i e θ=- (21)z i
k π=+(0k =,1)± 一阶极点。 11
12111
0021
()11(1)lim lim lim lim 1111()()
z
z
z
z
z z z z z z z z e e e e z e e i e e z →∞→∞→→--
'---===-+'++- 即可去极点。
(9)22
3
(32)z z -+
解：1,2z z ==，三阶极点，
2
22
2
3
3
32001111lim(32)lim(32)lim[(1)(2)]z z z z z z z z z
→∞→→-+=-+=--223
4
0(132)
lim
3z z z z →-+==∞
(10)tgz 解：
2z k ππ=+ (0k =,1±,) 一阶极点，01sin
lim lim
1
cos
z z z tgz z →∞→==>不存在 (11)1sin
1z -
解：1z =，为本性奇点，0011limsin limsin limsin 01111z z z z
z z z →∞→→∴===---
即为可
去奇点。
(12)11
1
z z e e --
解：0,1z z ==，一阶极点，11
111
111
100lim
lim lim 0
11z z z
z
z z z z z z e e e
e e e ----→∞→→===--可去奇点。
14.设()(),f z g z 分别以z a =为m 阶极点，试问z a =为,,
f
f g f g g +?的什么
样的特点。
解；设
n m a z z z g a z z z f )()
()(,)()()(-?=
-λ= ??
?
??????=-φ+λ<-φ+λ->-φ-+λ=+--)()()()()()()
()()()()()
()()(n m a z z z n m a z z z a z n m a z z a z z g f n n
m
n m
n m （1）
()().()m n z z f g z a λφ+=
- (m+n)阶极点 （2）
可去奇点级零点）级极点（）（)()()()()
()
()()
()()()(1)()(n m n m n m z z n m z z a z n m z z a z z g z f m n n m --??????
???
=φλ<φλ->φλ-=-- (3)
所以
当m ≠n 时 z=a 为f+g 的max{m,n}阶极点
当m=n 时 阶的极点或可去极点低于阶极点n n a a a a _____0)()(0
)()(??
?=φ+λ≠φ+λ
15.设()0f z ≠，且以z a =为解析点或极点，而()z ?以z a =为本性奇点，
证明z a =是()()z f z ?±，()()z f z ? ，()
()z f z ?的本性奇点。
证明：设∑∞
=-?=?-λ=0)()
()(,)()()(n n
m a z z z a z z z f m n n
a z z a z z z f z )()
()
()()()(0-λ±-?=±?∑∞
=显然其中主要部分有无限项。 所以z=a 是±f(z)+ φ(z)的本性奇点。
n
m n m n n n n
m a z z z a z z a z z z f z a z z a z z z f z -∞
=∞
=∞=-λ?=-λ-?=?-?-λ=?∑∑∑)()()
()()()()
()()()()
()()()().(000
所以z=a 是f(z)φ(z)及)()
(z f z ?的本性奇点。
16．讨论下列函数在无穷远点的性质。 (1)2z
解：∞
==∞→∞→221lim lim z z z z 二阶极点。
(2)1z z +
解：?=+=+=+∞→∞→∞→111lim 111
lim 1lim z
z z z z z z z z z 可去极点。 (3)()12
1z +
解：
1
21
...
1
1)1( (1)
1)1(102
022101
22101==∴+++=+∴+++=+c c c z
c z c c z z
c z c c z z z
令
由上得：0c =±1 211±
=c
从而得：z=∞为本性奇点。
(4)
1sin
z z 解：1
sin 1
lim 1sin lim ==∞→∞→z z z z z z 可去奇点。
第五章 残数及其应用（1）
1. 求下列函数在指定点处的残数.
()1()()211z
z z -+在1,z =±∞
解:当1z =时，
()2111Re ()lim 1z z z z s f z z →→=??
= ? ?
+??=14, 当1z =-时，()()11111
Re lim 4
z z z z d z s f z dz =-→-→-????-??==-
??????.
求z →∞时的残数，用残数和定理，即, ()()11Re Re Re 0z z z s f z s f z s →∞→→-=+=,
()
12sin z 在()0,1,2z n n π==±±
解:由题可知,z n π=是本题的极点，将sin z 用罗朗展开得:
sin z =()()21121!n
n z n +-+∑，求()Re z n s f z π=，
()Re 1
z n s f z π
==。
(3)24
1z e z -在0,z =∞.
解:将原式用罗朗展开得：
241z
e z -=()
()2
4
222
z z z --
，
()()340024
321Re Re 3
z z z s f z s z ==??
??
-????==-
????????,根据残数和定理，()4Re 3z s f z →∞
=
. (4)1
1
z e
-在1,z =∞,
解: ()f z 的奇点为1，将11
z e
-用罗朗展开式展开得：
2111121(1)z z +++-??-
所以,
()111Re Re 11z z s f z s z ==??
== ?-??, 根据残数和定理得：11Re 1z z s e -→∞
??
=- ???
2.求下列函数在其孤立奇点(包括无穷远点)处的残数(m 是自然数).
()1
1sin
m z z
解:将式子用罗朗展开()()()2111
sin 21!n n m m z z z z n -+-=+∑，当
1
211,2
m n n m --=-=.
当m 为奇数时，残数为0，当m 为偶数时,()()
2
1Re (1)!m z s f z m =-=
+,根据残数和定
理,
()()()2
11!m z Res f z m →∞
-=-
+
(2) 21m
m
z z +
解：2(0,1,2(1))k i
m
z e
k m ππ+==- 是函数的一阶极点。 当1m =时，
()2Re 1k i m
z e
s f z ππ
+==-，
()
()
()
1
3()
m
Z z αβαβ≠--
解:本题是以z α=为m 阶极点，以z β=为其一阶极点.
(1)
1
1Re ()lim (1)!m z z s f z m z ααβ-→=??== ?--??-()1m βα-
()()1
Re m z s f z β
βα==-
根据残数和定理得:
()Re z s f z →∞=-()1m βα-+()1
m βα-=0
(4) ()
2
1z
e z - 解:
()()
2
1z
e f z z =
-是以1z =为二阶极点，
()()
(
)()2
21
1
1
(
1)
1Re lim
lim z
z x z z e d z z s f z e e
dz
→→=--===
根据残数定理和得:()Re z s f z e
→∞=-.
()
51cos z
z -
解:用罗朗展开式展开得：本题以z n π=为一阶极点.
()()()20112!n n n z f z z n ∞==--∑
=()()21
12!n n n z
z n ∞
=-∑ 当1n =时有解,则，()R e 2
z k s f z π==，所以,根据残数和定理得：()Re z s f z →∞=-()Re 2z k s f z π==-
1(7)z z
e +
解:本题以0z =为其孤立齐点.
112
12z z
z z
z e e e z +
??=?=+++ ??? 21112z z ??
?+++????
()()01111
Re 122!3!!1!z n s f z n n ∞
===+++=-∑
()Re z s f z →∞
=-()()0
1111
Re (1)22!3!!1!z n s f z n n ∞
===-+++=--∑ ()
9cos z z
解：本题以z n π=为奇点。
用罗朗展开式得：()224
0(1)cos 12!2!4!n n n z z z z n ∞
=-==-+-∑
原式得：
24
13
1
112!4!2!4!z
z z z z z =
-+--+- ，所以()Re 2z n s f z π==
()
()
2101m
m
z z +
解：本题以1z =-为m 阶极点。所以
()()()2(1)111Re lim[1]1!(1)m m m m z z z s f z z m z -→-=-?
?=+ ?-+??
=
1
1
2(21)(2)(1)(1)!m m m m m +?-+--
第五章 残数及其应用（2） 3．计算下列积分。
1(1)sin z dz z z =?
解：用残数方法求，用罗朗展式展开，
35
11
sin 3!5!z z z z z z =??-+- ?
?? 由上式可已看出没有符合残数要求的项，所以，即1sin z dz z z =?=0。
()()()
()22
22
2,:211c dz c x y x y z z +=+-+?
解：用残数方法求解，
()
()2
2
1
11z z
-+在1z =有 二阶极点，z =±i 有一阶极点.
()
()
2
2
1
1
1
Re lim
11z z s
z z
→==-+(z+i)
()()2
1
14
1()
z z i z i =
-+-
(3)
()()
1
n
n
z dz
z a z b =--?,1,1,a b a b <<≠,n 为自然数。
解：
()1
()n
n
z a z b --分别以,z a z b ==为其n 阶极点。 Re z a s =()1()n n z a z b --=()1n a b -，Re z b s =()1()n n z a z b --=()1
n a b -+
当n 为偶数时，()()1
n
n
z dz z a z b =--?=
()
22n
i
a b π?-
当n 为奇数时，
()()
1
n
n
z dz
z a z b =--?=0
（4）
222
121z z e dz z π
=+?
解：在围线内，有,z i z i ==-两个不解析点，
()22Re lim 2z i z i z i e e s f z z i i →===-， ()22
Re lim 2z i z i z i e e s f z z i i -→-=-==
+-
即
222
1
21z z e dz
z π
=+?=221
2sin 2222i i e e i i i i ππ-???-=????
（5）
7
11cos z z dz z =+-?
（6）
132
1z
z z e z =+?
解：本题以1,0z z =-=为其一阶极点。
31z z +1z e =31z z +21112!z z ??
?+++ ? ??
? ， Re z s
→∞3
1z z +1z e =16。 即711cos z z dz z =+-?=-Re z s →∞31z z +1z e 2i π?=-162i π?=13i π-
4．求下列积分值。
(1)20cos d a πθθ+?(a>1)
解:20cos d a πθ
θ+?=
21(21)z dz iz z az =++? 由于分母有两个一阶极点
:1z a =-+
,2z a =-,很明显只有
11z < 所
以
只
有
1z a =
-符合
题意，所
以,()()(
)11
12
Re lim x z z z s f z z z f z i →==-= 即20cos d a π
θ
θ+?
2i π?
(2) 220cos 1d πθ
θ+?
离散数学作业答案
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
川大离散数学习题6
习题6 1.设A={1，2，3，4}，B=A×A。确定下述集合是否为A到B的全函 数或部分函数。 (1) {(1,(2,3)),(2,(2,2)),(3,(1,3)),(4,(4,3))}. (2) {(1,(1,2)),(1,(2,3)),(3,(2,4))}. (3){(1,(3,3)),(2,(3,3)),(3,(2,1)),(4,(4,1))}. 解： （1）、全函数 （2）、不符合单值 （3）、全函数 要点：根据全函数定义，X中每个元素x都在Y中有唯一元素y 与之对应。 2.判别以下关系中那些是全函数。 (1){(n1,n2)|n1,n2∈N,0<2n1-n2<5}。 (2){(n1,n2)|n1,n2∈N,n2是n1的正因子个数}。 (3){(S1,S2)|S1,S2?{a,b,c,d}且S1 S2=?}。 (4){(a,b)|a,b∈N,gcd(a,b)=3}. (5){(x,y)|x,y∈Z,y=x2}. 解： (1) {(n1,n2)|n1, n2∈N, 0<2 n1-n2<5} 不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。 (2) {(n1,n2)|n1, n2∈N, n2是n1的正因子个数}
部分函数，n1=0时无定义 (3) {(S1,S2)|S1, S2?{a,b,c,d}且 S1? S2= ?} 不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。 (4) {(a, b)|a, b ∈N, gcd(a,b)=3} 不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。 (5) {(x, y)|x, y ∈Z, y=x2} 全函数 3.在§3.1中已经定义了集合的特征函数。请利用集合A和B的特征函数χA（x）和χB（x）表示出A B，A B，A-B，A以及A○+B对应的特征函数。 解：（略） 4.试确定在含n个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是全函数。 解: 可以定义n n个二元关系，n！个全函数 5.设，证明：。 证明：b∈f(A)-f(C)?b∈f(A)∧ b?f(C) ?(?x)[x∈A ∧ x?C ∧ f(x)=b] ?(?x)[x∈A-C ∧ f(x)=b] ?b∈f(A-C) 所以f(A)-f(C)?f(A-C)
四川大学网络土木《高等数学(理)》专升本第二次作业答案
首页- 我的作业列表- 《高等数学（理）》专升本第二次作业答案 你的得分： 100.0 完成日期：2013年07月24日 15点57分 说明：每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案，而选项旁的标识是标准答案。 一、单项选择题。本大题共40个小题，每小题 2.5 分，共100.0分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. ( A ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.以上均不对 2. ( D ) A.-1 B.0 C. 1 D. 2 3. ( B ) A. A B. B
C. C D. D 4. ( A ) A. B. C. D. 5. ( B ) A. 1 B. C. 3 D. 6. ( A )
A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D. 7. ( A ) A. A B. B C. C D. D 8. ( B ) A.(1，-2，3) B.(1，2，-3) C.(-1，2，3) D.(-1，-2，-3) 9. ( C )
B. B C. C D. D 10. ( B ) A.充分条件，但不是必要条件 B.必要条件，但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 11. ( B ) A.-1 B.0 C. 1 D. 2 12. ( B ) A. A B. B
D. D 13. ( A ) A. A B. B C. C D. D 14. ( D ) A. A B. B C. C D. D 15. ( D ) A. A B. B C. C D. D
16. ( C ) A. A B. B C. C D. D 17. ( D ) A. A B. B C. C D. D 18. ( D ) A. A B. B C. C D. D 19.
(完整版)离散数学作业答案一
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
川大-第一学期高等数学试题与答案
第一学期高等数学试题(一) 一、1.［5分］设 ，求 。 2.［5分］求 3.［5分］讨论极限 4.［5分］函数 与函数 y = x 是否表示同一函数，并说明理由。 二、1.［6分］讨论数列 当时的极限。 2.［6分］讨论函数 在 x = 0 处的可导性。 3．［6分］设求。 4.［6分］求曲线的凹凸区间。 三、1.［8分］求 。 2.［8分］求 。 3.［8分］计算 。 4.［8分］求。 四、［8分］设 试讨论f (x) 的单调性和有界性。 五、［8分］求曲线及 x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积 V 。 六、［8分］ A ，B 两厂在直河岸的同侧，A 沿河岸，B 离岸4公里，A 与B 相距5公里，今在河岸边建一水厂C ，从水厂到B 厂的每公里水管材料费是A 厂的倍，问水厂C 设在离A 厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费为最省。 ()3 222 +-=-x x x f () 2+x f 3423lim 4 3 1 +-+-→x x x x x x x x sin lim →() x y arcsin sin =()() () ,2,1,161212 =-++= n n n n n a n ∞→n ()?? ?<-≥=0 10sin x x x x x f ???==-t t te y e x 2 2dx y d () ()212 -+=x x y () dx x x ?+2 3 sin sin dx x x ?+33 ? x dx x x 20 2 cos ? +∞ -0 2dx xe x ()() +∞ <≤ += x x x x f 012() 2 2 1, -==x y x y 5
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每
一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
川大版高数第三册答案(1)
第一章 行列式 1. ()()[][][]23154110103631254=520010=8(1) 3(1)321(1)(2)(3)2 441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-?=-+-+-+?+2+1+0===+τ-?=+=+τ-?=?（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列 当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1) 13521)246(2)0123(1)2 44113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ?-?=++++?+-= ==+τ?-?=+=+τ?-?=??-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列 当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1) 3)2 (1) 2 x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+?+2+1+0=----τ?=-τ?个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故 3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇 排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。∴偶排列与奇排列各占一半。 4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列 τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号 （2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。 5 解： 11 233244 12 23344114 23 31 42 a a a a a a a a a a a a 利用τ为正负数来做，一共六项，τ为正，则带正号，τ为负则带负号来做。 6 解：（1）因为它是左下三角形 11 212231 32 33...... . . . . 12300 (00) ... 0... ...n n n nn a a a a a a a a a a = 112131411223242233433444 ....... . . . . . ...0 ...00 0 (0000) ...n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a =
慕课 离散数学 电子科技大学 课后习题十 答案
作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G=
数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
四川大学离散数学试题
离散数学模拟试题1 一.单项选择题(每小题1.5分,共30分) 1. 永真命题公式( ) ①只存在主析取范式;②只存在主合取范式; ③既存在主析取范式也存在主合取范式;④都不对. 2. 下列代数系统中消去侓不成立的是( ) ①.群;②含幺半群;③整环;④分配格. 3.在4个元素的集合上可定义的满射有( )个 ①4;②12; ③16 ④24 4. 在整环和格的定义中对运算都要求满足的性质是( ) ①及收律; ②幂等律; ③交换律; ④分配律. 5. 下面说法中正确的是( ) ①半群都有幂等元;②.剩余类环
高等数学答案-第四册-四川大学编
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -=--=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102 i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-= -112 2 ())] a bi =+= 112 22 4 sin )]()(cos sin );22i a b i θ θ θθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。 解： 121cos sin ;(cos sin );4 4266z i z i π π ππ=+=+ 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1 231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;; z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z ===Q 123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
国开放大学离散数学本离散数学作业答案
国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021
离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题
1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
川大《高等数学(文)》第一次作业答案
《高等数学（文）》第一次作业答案 你的得分： 100.0 完成日期：2013年12月09日 16点29分 说明：每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案，而选项旁的标识是标准答案。 一、单项选择题。本大题共25个小题，每小题 4.0 分，共100.0分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. ( B ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.以上均不对 2. ( B ) A.[-1,0) B.(0,-1] C.[-1,+1] D.R 3. ( B ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3
4. ( D ) A.-1 B.0 C. 1 D.不存在 5. ( B ) A.有一条渐近线 B.有二条渐近线 C.有三条渐近线 D.无渐近线 6. ( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. ( C )
A. A B. B C. C D. D 8. ( C ) A. A B. B C. C D. D 9. ( D ) A. A B. B C. C D. D 10. ( C ) A.0 B. 1 C. 2
D. 3 11. ( B ) A. A B. B C. C D. D 12. ( B ) A. A B. B C. C D. D 13. ( B ) A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
14. ( D ) A. 3 B. 2 C. 1 D.0 15. ( C ) A. A B. B C. C D. D 16. ( B ) A. A B. B C. C D. D 17. ( B )
A.仅有一条 B.至少有一条 C.不一定存在 D.不存在 18. ( B ) A. A B. B C. C D. D 19. ( B ) A. A B. B C. C D. D 20. ( B ) A. A
- 高等数学答案-第四册-四川大学编
- 四川大学高等数学2015年试题B
- 川大继续教育《高等数学(理)》复习资料2020.6
- 川大版高等数学(第一册)部分课后题答案
- 四川大学网络土木《高等数学(理)》专升本第二次作业答案
- 川大版高数第三册答案
- 四川大学高数微积分I(上)考前复习用2018年期末真题试卷(含答案)
- 四川大学《高等数学(文)(I)》14秋在线作业2答案
- 四川大学高数微积分I(下)考前复习用2017年期末真题试卷(含答案)
- 四川大学精品课程高等数学下,徐小湛 课件考题评讲3 Jacobi(学生版)
- 川大版高数第四册最全答案
- 川大 高数2 答案
- 四川大学高数期末考试模拟题及答案
- 四川大学精品课程高等数学下,徐小湛 课件考题评讲1 Gauss (学生版)
- 川大版高等数学(第一册)部分课后题详细答案
- 四川大学网络教育专升本高等数学模拟试题
- 四川大学《高等数学(文)(I)》14秋在线作业1答案
- 四川大学高数期末考试题
- 川大版高数第四册课后答案目前最全的
- 川大版高数 物理类专用 第三册 答案