江苏专用高考数学一轮复习加练半小时阶段滚动检测三文含解析
江苏专用高考数学一轮复习加练半小时阶段滚动检测三
文含解析
一、填空题
1.(2018·常州期末)若复数z ＝a －i
1＋2i
(a ∈R )为纯虚数，则实数a 的值为________.
2.已知向量a ＝(λ，－2)，b ＝(1＋λ，1)，则“λ＝1”是“a ⊥b ”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
3.曲线f (x )＝ln x －1
x
在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则
1
sin αcos α－cos 2
α
＝
________.
4.已知函数f (x )为偶函数，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，且f (x ＋1)为奇函数，则f ? ??
??212＝________.
5.设函数f (x )＝????
?
x 2＋1x ≤1，2
x
x >1，则f (f (3))＝________.
6.已知函数f (x )＝????
?
|log 2x |，0 2 x ＋6，x ≥4，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 的图象有三个不同 的公共点，这三个公共点的横坐标分别为a ，b ，c ，且a 7.已知函数f (x )＝??? ?? e x ，x ≤0， ln x ，x >0， g (x )＝f (x )＋x ＋a ，若g (x )存在2个零点，则a 的取值范 围是________. 8.(2018·无锡调研)如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝2，D ，E 是线段BC 上的点，且DE ＝13 BC ，则AD →·AE → 的取值范围是________. 9.已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，则tan α tan β＝______. 10.如果已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边分别是a ，b ，c ，且满足(a 2 ＋b 2 － c 2)·(a cos B ＋b cos A )＝abc ，c ＝2，则△ABC 周长的取值范围为________. 11.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)都有f (f (x )－x 3 )＝2，则方程f (x )－f ′(x )＝2的一个根所在的区间是________.(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4). 12.(2018·南通考试)如图，半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝2π 3，P 是弧AB 上的一点，且 满足OP ⊥OB ，M ，N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM →·PN → 的最大值为________. 13.若函数f (x )＝x 3＋ax 2 －2x ＋5在区间? ?? ??13，12上既不是单调递增函数，也不是单调递减函 数，则实数a 的取值范围是____________. 14.已知a ，b 是两个单位向量，且|c |＝13，a ·b ＝1 2，c ·a ＝1，c ·b ＝2，则对于任意实 数t 1，t 2，|c －t 1a －t 2b |的最小值是________. 二、解答题 15.已知m >0，p ：x 2 －2x －8≤0，q ：2－m ≤x ≤2＋m . (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围. 16.已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(－2x ＋3，－x )(x ∈R ). (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 17.已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2 x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈? ?????0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值. 18.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )·(sin A －sin B )＝c (sin C －sin B ). (1)求A ； (2)若a ＝4，求△ABC 面积S 的最大值. 19.在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为? ????v 103 ＋1(升)，在水 底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v 2(米/单位时 间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式； (2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少. 20.已知函数f (x )＝ln x －x 2 －ax . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)若f (x )≤0恒成立，求a 的取值范围. 答案精析 1.2 2.充分不必要 3.5 4.－ 32 解析 ∵函数f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x ). 又f (x ＋1)为奇函数，图象关于点(0,0)对称， ∴函数f (x )的图象关于点(1,0)对称， ∴f (x －2)＝f (2－x )＝－f (x )， 又f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x －4)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为4， ∴f ? ????212＝f ? ?? ??12－32 ＝f ? ????－32＝－f ? ????32－2 ＝－f ? ?? ??－12 ＝－ 1－? ?? ??－122 ＝－32. 5.139 6.(7,11) 解析 画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，8 ??log 21a ， 故ab ＝1， 所以7 7.[－1，＋∞) 解析 如图画出函数f (x )的图象， 即y ＝ln x 和y ＝e x 的图象，y ＝e x 在y 轴右侧的部分去掉， 再画出直线y ＝－x ，之后上下移动， 可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点， 即方程f (x )＝－x －a 有两个解， 也就是函数g (x )有两个零点， 此时满足－a ≤1，即a ≥－1. 8.???? ??89，43 解析 如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则 A (0,1)， B (－1,0)， C (1,0)，设 D (x,0)， 则E ? ????x ＋23，0? ????－1≤x ≤13. 据此有AD → ＝(x ，－1)， AE → ＝? ?? ??x ＋23 ，－1， 则AD →·AE →＝x 2＋23x ＋1＝? ????x ＋132＋89 . 据此可知，当x ＝－13时，AD →·AE →取得最小值89；当x ＝－1或x ＝13时，AD →·AE → 取得最大值43， 所以AD →·AE →的取值范围是??????89，43. 9.－1 19 10.(4,6] 11.④ 解析 由题意，可知f (x )－x 3 是定值，不妨令t ＝f (x )－x 3 ，则f (x )＝x 3 ＋t ， 又f (t )＝t 3 ＋t ＝2， 整理得(t －1)(t 2 ＋t ＋2)＝0， 解得t ＝1， 所以有f (x )＝x 3 ＋1，所以f (x )－f ′(x )＝x 3 ＋1－3x 2 ＝2， 令F (x )＝x 3 －3x 2－1， 可得F (3)＝－1<0，F (4)＝15>0， 即F (x )＝x 3 －3x 2 －1的零点在区间(3,4)内， 所以f (x )－f ′(x )＝2的一个根所在的区间是(3,4). 12.1 解析 ∵扇形AOB 的半径为1， ∴|OP → |＝1， ∵OP ⊥OB ，∴OP →·OB → ＝0. ∵∠AOB ＝2π3，∴∠AOP ＝π 6. ∴PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON → ) ＝PO →2＋ON →·PO →＋OM →·PO →＋OM →·ON → ＝1＋|OM →|cos 5π6＋|OM →|·|ON →|cos 2π3≤1＋0×? ?? ??－32＋0×? ????－12＝1. 13.? ?? ??54，52 解析 ∵f (x )＝x 3 ＋ax 2 －2x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2 ＋2ax －2.根据题意，函数在区间? ?? ??13，12上至少有一个零点， ①若只有一个零点，则f ′? ?? ??13 f ′? ????12<0，得a ∈? ?? ??54，52 ；②若有两个不同零点， 则????? f ′? ?? ??13 >0， f ′? ???? 12>0， 13<－a 3<12， 得a ∈?. 综上所述，a ∈? ?? ??54，52. 14.3 15.解 (1)由x 2 －2x －8≤0得－2≤x ≤4， 即p ：－2≤x ≤4， 记命题p 的解集为A ＝[－2,4]， 命题q 的解集为B ＝[2－m ,2＋m ]， p 是q 的充分不必要条件，∴A B ， ∴? ?? ?? 2－m ≤－2，2＋m ≥4，等号不同时成立， 解得m ≥4. (2)若m ＝5，则p ：－2≤x ≤4，q ：－3≤x ≤7，∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴命题p 与q 一真一假， ①若p 真q 假，则? ?? ?? －2≤x ≤4，x <－3或x >7， 无解；②若p 假q 真，则??? ? ? x <－2或x >4，－3≤x ≤7， 解得－3≤x <－2或4 综上得实数x 的取值范围为[－3，－2)∪(4,7]. 16.解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0， 所以－2x ＋3－x 2 ＝0，即x 2 ＋2x －3＝0， 解得x ＝1或x ＝－3.故x 的值为1或－3. (2)由a ∥b 得x (－2x ＋3)＝－x ， 即2x 2 －4x ＝0， 解得x ＝0或x ＝2. 当x ＝0时，a －b ＝(－2,0)， 所以|a －b |＝2； 当x ＝2时，a －b ＝(2,4)， 所以|a －b |＝2 5. 故|a －b |＝2或2 5. 17.解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2 x ＝32sin2x －12cos2x －1 2 ＝sin ? ????2x －π6 －1 2. ∵ω＝2， ∴T ＝π，即f (x )的最小正周期为π， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 得k π－π6≤x ≤k π＋π 3 ，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为??????k π－π6，k π＋π3 (k ∈Z ). (2)∵x ∈? ?????0，π2， ∴－π6≤2x －π6≤5π 6 ， 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取最大值12， 当2x －π6＝－π 6，即x ＝0时，f (x )取最小值－1. 18.解 (1)根据正弦定理可知(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )， 整理得b 2 ＋c 2 －a 2 ＝bc ， 由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1 2 ，