因式分解培优(待定系数十字相乘法)

教师寄语：学好数学：先知其然，然后知其所以然。

1 易优数学川北个性化教育体验中心 笛卡尔：

数学是知识的工具，亦是其他知识工具的泉源，所有研究顺序

和度量的科学均和数学有关。

八年级数学：因式分解培优专题

在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c

c =，把1212a a c c ，，，排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的

一次项系数b ，即1221ac ac b +=，

那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.

【例1】、将下列各式分解因式：

（1）

； （2）21016x x -+； （3）2310x x --

【分类解析】

1. 在方程、不等式中的应用

例1. 已知：x x 211240-+>，求x 的取值范围。

教师寄语：学好数学：先知其然，然后知其所以然。

2

例2. 如果x x mx mx 43222-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。

2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足

x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。

待定系数法分解因式：

【例1】因式分解 3x 2+5xy-2y 2+x+9y-4

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3

例2 因式分解 x 2+xy-6y 2+x+13y-6

【练1】 先因式分解在求值

1、2226100m

m n n ++-+= 2、2214202

x y xy y ++--=

巩固练习：

二.填空题

. 若()()21336m m m a m b -+=++，则a b -＝ .

. 因式分解22a b ac bc -++___________．

．因式分解：4a 2+4a ﹣15= ．

. 因式分解：ax bx cx ay by cy +++++＝_______________；

. 因式分解()2064x x -+＝ .

.分解因式：321a a a +--＝________.

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4 三.解答题

.若多项式2

36x px ++可以分解成两个一次因式()()x a x b ++的积，其中a 、b 均为整数，请你至少写出2个p 的值．

.分解因式：

（1）268x x -+； （2）21024x x +-；

（3）215238a a -+； （4）22568x xy y -++；

（5）225533a b a b --+. （6）2x 2+x ﹣3．

因式分解--十字相乘法练习题

十字相乘法分解因式练习题 1. 如果))((2b x a x q px x ，那么p 等于() A.ab B.a ＋b C.－ab D.－(a ＋b) 2. 如果 305)(22x x b x b a x ，则b 为() A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 多项式a x x 32可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为( ) A.10和－2 B.－10和2 C.10和2 D.－10和－2 4. 不能用十字相乘法分解的是 () A.22x x B.x x x 310322C.242x x D.2 2865y xy x [5. 分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 () A. 20)(13)(22y x y x B.20)(13)22(2y x y x C.20)(13)(22y x y x D.20)(9)(22y x y x 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x －1的多项式有( ) ①672x x ；②1232x x ；③652x x ；④9542x x ；⑤823152x x ；⑥12 1124x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.10 32x x .8.6 52m m (m ＋a)(m ＋b).a ＝_____，b ＝__________. 9.3522x x (x －3)(). 10.2x ____22y (x －y)(__________). 11.1522x x =______________. 12. 当k ＝______时，多项式k x x 732有一个因式为__________. 13. 若x －y ＝6，3617 xy ，则代数式3 2232xy y x y x 的值为__________. 14. 把下列各式分解因式：

(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题

十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式． 在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一

十字相乘法因式分解-教学设计

教学设计方案 学校：闵行四中年级：七年级班级：六班 人 数： 30 日期：2015-11-26 学科：数学课题：十字相乘法因式分解课 时： 1 教师：萨如拉 教学目标确定的依据： 内容分析：因式分解在学生进一步学习一元二次方程、分式方程、无理方程中起着至关重要的作用，特别是在学生即将要进行的分式学习中更是举足轻重，如分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。可以说学生掌握因式分解的程度直接影响着学生对代数的进一步学习。因此前几节课中我们通过提取公式法、公式法分解因式的学习帮助学生了解了如何利用这些方法去将二次三项式降次并分解因式。但主要涉及的二次三项式都有着可以直接提取公因式或可以利用乘法公式逆应用来完成因式分解的特殊的一面。但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的 的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？对于学生来讲这将是一个难点。为了帮助学生克服这个难点，我们将研究思路从利用特殊的一次二项式乘一次二项式的公式——平方差公式和完全平方公式，回归到整式乘法一般法则的逆向思维中。为此我们将本节课的教学过程分为三个环节展开。第一环节是“初步感知与规律探究”。这一环节主要目的是帮助学生将研究思路从运用特殊的乘法公式转换到一般法则的理解和运用上，初步感知十字相乘法因式分解的意义。第二环节是“形成十字相乘法的概念”。这一环节的目的是帮助学生在“二拆一凑”中探究出十字相乘因式分解法。第三环节是“巩固练习与拓展延伸”。这一环节的目的是帮助学生通过相应的练习巩固理解十字相乘分解因式法，帮助学生梳理包括完全平方公式法在内的分解二次三项式 的基本路径，帮助学生形成解决 因式分解问题的基本思路。 学生分析：学生通过对因式分解概念的学习和提取公因式、公式法因式分解，已经

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：

◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算：

（1） （2） （3） （4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一： 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条的整数的个数为（ ） 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式： ①、

因式分解之十字相乘法专项练习题

十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．

例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；

十字相乘法分解因式经典例题和练习

用十字相乘法分解因式 十字相乘法： 一．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----

二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解： （1）422416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --； 练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-． 例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值

因式分解之十字相乘法专项练习题

因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； (3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2； (5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6； (7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6； (9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15； (13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9； (17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20； 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x

4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x

(完整版)十字相乘法因式分解练习题

十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 5 、 =++8624x x 6、=++-+3)(4)(2 b a b a 7、=+-22 23y xy x 9、=++342 x x 10、 =++1072a a 11、 =+-1272y y 12 =+-862q q 13、=-+202 x x 14 =-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822 t t 17、=--2024 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-22 149b ab a 20、=++22 1811y xy x 21、=--2222 65x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 26、=-+22 865y xy x 27、=++71522 x x 28、=+-4832 a a 29、=-+6752x x 30、=-+1023522 ab b a 31、=+-2222 10173y x abxy b a 32、=--22224 954y y x y x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562 l l 35、=+-22 22110y xy x 36、=+-22 15228n mn m 一元二次方程的解法 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、 ()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x

十字相乘法分解因式

十字相乘法分解因式 同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？ 观察=，可知=。 这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。 下面举例具体说明怎样进行分解因式。 例1、因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8） 例2、因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） 例3、因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8） 例6、因式分解。 分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。 因为 -2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a 解：原式=[-2][ -12] =(a+1)(a-2)(a+3)(a-4) 从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了 因式分解的一点补充——十字相乘法 宜昌九中尤启平 教学目标 1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解； 2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。 难点：灵活运用十字相乘法因分解式。 教学过程设计 一、导入新课 前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

因式分解之十字相乘法几大类型

因式分解之十字相乘法几大类型 一. 基本十字相乘法 1、分解因式：2421x x --. 2、分解因式：2712x x -+. 3、分解因式：21118x x ++. 4、分解因式：2421a a --+. 5、分解因式：2522+-x x . 6、分解因式：2321a a --. 7、分解因式：23145b b +-. 8、分解因式： 2592a a -+. 二. 两个字母的十字相乘法. 9、分解因式：xy y x 2514422-+. 10、 分解因式：22152y ay a --. 11、 分解因式：2210116y xy x ++-. 12、 分解因式：()()2 20x y x y +++-. 13、 分解因式：2278a x ax +-. 14、 分解因式：222256x y x y x -+. 15、 分解因式：3)()(22-+++n m n m . 16、 分解因式：3)()(22----b a b a . . 三. 双十字相乘法 17、 分解因式：233222+++-+y x y xy x . 18、 分解因式：2023265622-++--y x y xy x . 19、 分解因式：y x y xy x 422322++++.

作业 1. 分解因式：20122-+-x x . 2. 分解因式：276x x -+. 3. 分解因式：2328b b --. 4. 分解因式：3522--x x 5. 分解因式：2257x x +-. 6. 分解因式：61362+-x x 7. 分解因式：226420x y xy ++- 8. 分解因式：2232x xy y -+ 9. 分解因式：3168)2(42++--y x y x . 10. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y . 11. 分解因式：)()()(b a ab a c ca c b bc +--++. 12. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？ 13. 分解因式：1)1()2+-+ab b a （. 14. 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证： c a b +=2.

十字相乘法因式分解练习题

十字相乘法因式分解练习题 一、选择题 1 ． 如 果 ) )((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2 ． 如 果 30 5)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4 ． 不 能 用 十 字 相 乘 法 分 解 的 是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )

①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x ___ ______． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__ ________，b ＝____ __ ____． 9．=--3522x x (x －3)(___ _______)． 10．+2x _ ___=-22y (x －y )(_____ _____)． 11．22____)(____(_____)+=++ a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(________ __)． 13．若x －y ＝6，36 17 =xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为_______ ___． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： 2522++x x 3832-+x x 20322--x x 6732-+x x 25562--x x 2352--x x 6724+-x x ； 36524--x x ；

因式分解-十字相乘法

因式分解-十字相乘法 一、十字相乘法分解因式 十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。 简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即 ()()()x a x b x a b x a b ++=+++2 将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++ 得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上 式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2 ++，就需要找到满足下列条件的a 、b ； a b p ab q +==?? ? 如把762 -+x x 分解因式，首先要把二次项系数2 x 分成x x ?，常数项-7分成)1(7-?， 写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。交叉相乘的和为 x x x 67)1(=?+-?，正好是一次项。从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。 2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解 二次三项式ax bx c 2 ++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳 为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762 x x -+，首先要把二次项系数 2分成1×2，常数项6分成()()-?-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227?-+?-=-，正好是一次项系 x -=-+762x ) 1)(7(-+x x x x ? ? ? 7 1 x x x 67=+-

十字相乘法因式分解(经典全面)

十字相乘法分解因式 (1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例5、分解因式：652 ++x x 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2 解：652++x x =32)32(2?+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例1、分解因式：672 +-x x 解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1 =)6)(1(--x x 1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习1、分解因式 (1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 练习2、分解因式

因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法,

板块二：选主元 【例1】 分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++ 【例2】 分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++-- 【例3】 分解因式：2222a b ab bc ac --++ 【例4】 分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ 【例5】 分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++ 【例6】 分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++ 【例7】 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++- 板块三：双十字相乘 双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式 22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。 由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法. 【例8】 分解因式：222332x xy y x y +-+++ 【例9】 分解因式：22344883x xy y x y +-+--

【例10】 分解因式：2265622320x xy y x y --++- 【例11】 分解因式：22276212x xy y x y -++-- 【例12】 分解因式：22121021152x xy y x y -++-+ 【例13】 分解因式：22243x y x y ---- 【例14】 分解因式：22534x y x y -+++ 【例15】 分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++-+- 【例16】 分解因式：22265622320x xy y xz yz z ----- 【例17】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证： 2b a c =+ 【例18】 分解因式：2262288x xy y x y +-+-- 【例19】 分解因式：223224x xy y x y ++++ 【例20】 分解因式：222695156x xy y xz yz z -+-++

经典十字相乘法分解因式整理

因式分解的一点补充——十字相乘法 一、学习目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解； 2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。 二、学习重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。 三、学习难点：灵活运用十字相乘法因分解式。 四、自主学习： （一）导入新课 关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+12 3．x4-7x2+18 4．x2-5xy+6y2 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 （二）、探究： 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1； 分解常数项：3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 归纳：一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。例2把6x2-7x-5分解因式。 例3把5x2+6xy-8y2分解因式。 例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 （三）、课堂练习 1．用十字相乘法因式分解： （1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5； （4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。 2．把下列各式因式分解： （1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35； （3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。 （四）、小结 1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题： （1）正确的十字相乘必须满足以下条件： a1c1 在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜 a2c2 向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。” （2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。 2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。 3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。（五）、作业 1．用十字相乘法分解因式： （1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；（4）3a2-7a-6； （5）6x2-11xy+3y2；（6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2；（8）8m2-22mn+15n2。

因式分解之十字相乘法专项练习题

因式分解之十字相乘法专项练习题1 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； (3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2； (5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6； (7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6； (9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15； (13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9； 因式分解之十字相乘法专项练习题2 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142x x 4、=-+1522 x x 5、=++862 4 x x 6、=++-+3)(4)(2b a b a 7、=+-2223y xy x 8、=--2 3 4 283x x x 9、=++342 x x 10、=++1072a a 11、=+-1272y y 12、=+-862q q 13、=-+202 x x 14、=-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822t t 17、=--202 4 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-2 2 149b ab a 20、=++2 21811y xy x 21、=--2 2 2 2 65x y x y x 22、=+--a a a 1242 3

1. 解方程 11322x x x -=--- 2. 关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根， 3. 解关于x 的方程15 m x =-下列说法正确的是（ ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 1x a a x +=-无解，则a 的值为---------- 5. 若分式方程 =11m x x +-有增根，则m 的值为----------- 6.分式方程121 m x x =-+有增根，则增根为----------- 7. 关于x 的方程1122k x x +=--有增根，则k 的值为----------- 8. 若分式方程x a a a +=无解，则a 的值是-------- 9.若分式方程201 m x m x ++ =-无解,则m 的取值是------ 10. 若关于x 的方程 (1)5 321m x m x +-=-+无解，则m 的值为------ 11. 若关于x 的方程 3 11x m x x --=-无解，求m 的值为------- 12.解方程21162-x 2312x x x -=--- 13．解方程2240x-11x -=- 14. 解方程2212525 x x x -=-+ 15. 解方程 222213339x x x x --=-+- 16. 关于x 的方程2 1326 x m x x -=--有增根，则m 的值 17.当a 为何值时，关于x 的分式方程3 11x a x x --=-无解。

十字相乘法因式分解练习题

因式分解详解——注意中间项的符号！最后的符号同十字相乘列式的符号~ 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x+ + = + + + 2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 例1 把2x2-7x+3分解因式。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 =-5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之 积，即a=a 1a 2 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c 1 c 2 ，把a 1 ，a 2 ，c 1 ，c 2 排列如下： a 1 c 1 a 2× c 2 a 1c 2 + a 2 c 1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2 +a 2 c 1 ，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系 数b，即a 1c 2 +a 2 c 1 =b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1 x+c 1 与a 2 x+c 2 之积，即 ax2+bx+c=（a 1x+c 1 ）（a 2 x+c 2 ）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 × -5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二镒项系数不是1的二次三贡式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三贡式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例3把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 × -4 1×（-4）+5×2=6 解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。 例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。 问：两个乘积的历式有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？ 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解（x-y）（2x-2y-3）-2 =（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1 =［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）。 指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

因式分解十字相乘

海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案（真题演练）

三、课堂小结 对二次三项式x2 + px + q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面： 1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项. 2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同. 3．书写格式:竖分横积 系数不为1的十字相乘法 例2 把2x2－7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3). 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常 叫做十字相乘法. 例2 把6x2－7x－5分解因式.

因式分解法——十字相乘法

第7课时 § 因式分解法——十字相乘法 教学目标 1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式； 2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。 教学重点和难点 重点：运用十字相乘法求解一元二次方程 难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式 教学过程设计 一、 从学生原有的认知结构提出问题 这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。 二、 师生共同研究形成概念 1、 复习分解因式 分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式 一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。 3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。 二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2 进行因式分解？它们有什么特点？ 特点：1）二次项系数是1； 2）常数项是两个数之积； 3）一次项系数是常数项的两个因数之和。 2、 十字相乘法 步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况； （2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数； （3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。 关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数 二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式 3、 讲解例题 例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862 ++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ； 5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322 --x x 。