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数值计算方法第四章

58 第四章函数插值

插值是对函数进行近似的基本方法，本章介绍了代数插值时常用的Lagrange 插值法、Newton 插值法、Hermite 插值法和三次样条插值法，并相应的介绍了差商，差分和插值余项等概念．

§4.1 引言

在科学与工程计算中，常会遇到如下问题：已知)(x f y =在区间[,]a b 上的一系列点{}n

i i x 0=处的函数值{}n

i i y 0=，需要利用这些数据来求某点)(i x x x ≠处的函数值

的近似值．若能利用这组数据建立一个近似)(x f 的函数)(x φ，)(x f 的值就可以用

)(x φ近似求出．

已知函数)(x f 在区间],[b a 上1+n 个互异节点{}n

i i x 0=处的函数值{}n

i i y 0=．若函

数集合Φ中函数()x φ满足条件

()() (0,1,2,,)i i x f x i n φ==

(4.1)

则称)(x φ为)(x f 在Φ中关于节点{}n

i i x 0=的一个插值函数，并称)(x f 为被插值函数，],[b a 为插值区间，{}n

i i x 0=为插值节点．式(4.1)被称为插值条件．

函数集合Φ可以有不同的选择，最常用的是形式简单的多项式函数集合．将多项式作为插值函数进行插值的方法称为代数插值．针对区间],[b a 上1+n 个互异节点，代数插值就是要确定一个不超过n 次的多项式

n n x a x a a x +++= 10)(φ (4.2)

使其满足插值条件(4.1)，即选取参数{}0n

i i a =，满足线性方程组

000

1111111n

n n n n n

n a y x x a y x x a y x x ???????

???????????

=??????

????????????

?? (4.3)

记方程组(4.3)的系数矩阵为A ．由于插值节点互异，故

0)()det(1)

(0≠∏-=

->=n j i j j i x x A ．

线性方程组(4.3)存在惟一的一组解T ),,,(10n a a a ．若0≠n a ，)(x φ是一个n 次多项式，否则)(x φ的次数低于n ．于是有下面的结论．

定理4.1 满足插值条件(4.1)的不超过n 次的多项式存在并且惟一．

)(x φ与)(x f 在插值节点{}n i i x 0=处函数值相同，但它们在其它x 处的函数值并

不一定相同．将

()()()n R x f x x φ=- (4.4)

称为用插值多项式)(x φ近似)(x f 的插值余项．

定理4.2 )(x φ是对)(x f 关于节点{}n

i i x 0=的n 次插值多项式，若)()1(x f n +在区间],[b a 内存在，则对[,]x a b ?∈，有插值余项

(1)1()

()()()()(1)!

n n n f R x f x x x n ξφω++=-=+ (4.5)

其中),()(b a x ∈=ξξ，101()()()

()n n x x x x x x x ω+=---．

证明由于)(x φ与)(x f 在插值节点上函数值相同，故 ()()()0 (0,1,n i i i R x f x x i n

φ=-=

= 因此插值余项可设为

)

()()(1x x k x R n n +=ω

(4.6)

将x 视为区间],[b a 上异于{}n

i i x 0=的任一固定点，作辅助函数

)()()()()(1t x k t t f t g n +--=ω?

易于验证01,,

,n x x x 和x 为)(t g 在区间],[b a 上的2+n 个零点．

由Rolle 中值定理知，函数)(t g '在区间),(b a 上至少有1+n 个互异零点，这1+n 个零点形成n 个子区间，在这些子区间上对)(t g '再次使用Rolle 定理，可知函数

)(t g ''在),(b a 上至少有n 个互异零点．依次类推，函数)()1(t g n +在),(b a 上至少有1

个零点，即存在ξ，使得

0)()!1()()()1()1(=+-=++x k n f g n n ξξ

从而得到

1()

()()1(+=

+n f x k n ξ

60 将上式代入式(4.6)就得到插值余项(4.5)，定理得证．

虽然通过1+n 个点{}n

i i i y x 0),(=的不超过n 次的多项式惟一，但可以选用不同的基来表示这个多项式．在本章，将选取两组不同的基函数表示该插值多项式，即Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式．

§4.2 Lagrange 插值

在构造n 次插值多项式时，式(4.2)简单地选取了n x x x ,,,12作为n 次多项式空间的一组基函数．为确定待定系数n a a a ,,,10 ，需要求解线性方程组(4.3)．能否选择另外一组基函数来避免求解线性方程组？下面从线性插值来着手分析．

线性插值就是构造一条直线使其通过两点),(00y x 和),(11y x ．此直线的两点式方程为

)(00

10x x x x y y y y ---=

将其等价变形为

100101

y x x x x y x x x x y --+--=

(4.7)

式(4.7)满足插值条件，并且右端是关于x 的一次多项式，故式(4.7)就是所求的插值多项式．将其记为)(1x L ，并引入记号

,)(101

0x x x x x l --=

101)(x x x x x l --=

式(4.7)就可以写成

11001)()()(y x l y x l x L += (4.8) 容易验证)()(10x l x l 和线性无关，它们被称为线性插值的Lagrange 插值基函数．

观察两个基函数，发现它们具有如下性质

???==0

)(1)(1000x l x l 1011()0()1l x l x =??

=? 对于三点),(00y x 、),(11y x 及),(22y x 的插值可以类似地写出一个二次多项式

2211002)()()()(y x l y x l y x l x L ++=

为了满足插值条件，上式中基函数)()(10x l x l 、、)(2x l 需分别满足下面的关系式

?????===0)(0

)(1

)(201

000x l x l x l ?????===0)(1

)(0

)(211

101x l x l x l ?????===1

)(0

)(221

202x l x l x l 将以上思路推广到1+n 个节点的情形，将经过1+n 个点{}n

i i i y x 0),(=的n 次插值多项式表示为

∑==++++=n

i i i n n n y x l y x l y x l y x l y x l x L 0221100)()()()()()( (4.9)

)(x L n 被称为关于节点{}n

i i x 0=的Lagrange 插值多项式，式中() (0,1,

,)i l x i n =被称为基于节点{}n

i i x 0=的Lagrange 插值基函数．当每个基函数() (0,1,

,)i l x i n =分

别满足条件

?≠≤≤==i

j n j i

j x l j i ,0,

1)( (4.10)

时，可以验证)(x L n 满足插值条件．

对于某一个特定的{}n i ,2,1,0∈， )(x l i 为不超过n 次的多项式．根据式(4.10)，)(x l i 在除节点i x 外的其余n 个节点处函数值为零, 故)(x l i 可表示为

)())(())(()(1110n i i i i x x x x x x x x x x k x l -----=+-

由1)(=i i x l 解出

)

())(())((1

1110n i i i i i i i i x x x x x x x x x x k -----=

这样就得到插值基函数)(x l i 的具体表达式

)

())(())(()

())(())(()(11101110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+- (4.11)

式(4.11)也可写为

)()()

()(11i n

i n i x x x x x l ++'-=

ωω

62 依据公式(4.11)，前面提到的三点插值的Lagrange 插值基函数为

))(()

)(()(2010210x x x x x x x x x l ----=

))(()

)(()(2101201x x x x x x x x x l ----=

)

)(()

)(()(1202102x x x x x x x x x l ----=

例4.1 对于x y =，已知14)196(,13)169(,12)144(===f f f ，用Lagrange 线性和二次插值多项式求165的近似值，并给出插值误差估计．解记196169144210===x x x ，，；141312210===y y y ，，．

由于165=x 处在0x 和1x 之间，以它们为插值节点的Lagrange 线性插值多项式为

1010110

() x x x x L x y y x x x x --=

+-- 代入已知数据得

144

132516912)(1-?+--?

=x x x L 所以

4.1225

144

165132516916512)165()165(1=-?+--?

=≈L f 以210,,x x x 为插值节点的二次Lagrange 插值多项式为

0201122012010210122021()()()()()()

()()()()()()()

x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------

代入已知数据得

2(169)(196)(144)(196)(144)(169)

()12131413006751404

x x x x x x L x ------=?+?+?-

所以

8448.12)165()165(2≈≈L f

由于x

x f 21

)(='，2341)(--=''x x f ，25

83)(-

='''x x f ．故由式(4.5)可知，在165=x 处

线性插值多项式的余项

(165)()(165144)(165169)max ()4812!2144169

(144)48 4.1667102

R f f x x f ξ''''=--≤?≤≤-''=?=?

同理在165=x 处二次插值多项式的余项

1441961

(165)()(165144)(165169)(165196)

11max ()1488(144)1488 6.54061066

x R f f x f ξ-≤≤=---''''''≤?=?=? §4.3 Newton 插值

当插值节点逐个增加时，考察插值多项式之间的联系．

只有一个节点0x 时，插值多项式为0y y =．当增加一个节点1x 时，由点),(00y x 和),(11y x 确定的线性多项式为

10001010

()()()y y p x y x x y c x x x x -=+

-=+-- (4.12) 进一步考察三个节点012,,x x x 上建立的二次插值多项式2()p x ．由于2()p x 与1()p x 在01,x x 处函数值分别相等，故01,x x 是方程21()()0p x p x -=的根，则

21201()()()()p x p x c x x x x -=--

即

21201()()

()()p x p x c x x x x =+-- (4.13) 同理，当节点由k 个增加到1k +个，分别由它们所确定的1k -次和k 次多项式之间的关系为

1011()()()()()k k k k p x p x c x x x x x x --=+--- (4.14)

从上面的关系式可以看出，新增加一个节点，新的k 次多项式只需要在原来1k -次多项式的基础上增加一项即可，而且增加的这一项只需要确定系数k c ．

将式(4.12)、(4.13)等前面1k -个式子依次代入(4.14)就得到()k p x 的具体形式为

010011()()()()()k k k p x y c x x c x x x x x x -=+-+

+--- (4.15)

64 可将式(4.15)看成是以0010111,,()(),,()()()k x x x x x x x x x x x x -------为基函数

的插值多项式的表达形式，这种插值方法被称为Newton 插值法．一、差商的定义

给定1k +个节点，求出k 次Newton 插值多项式(4.15)的关键是求出系数12,,,k c c c ．将插值条件111()p x y =代入(4.12)可以求出

110

y y c x x -=

- (4.16) 同理将插值条件222()p x y =代入(4.13)，并结合1()p x 的表达式有

012022122202120211021201101212110202120

[()]()()

()()()()

[()]()()()y y c x x p x p x c x x x x x x x x y y y y y y c x x c x x x x x x x x x x x x -+--==-------

-+-----==

--- (4.17)

可见1c 是在两点处函数值增量与自变量增量的商，数学上将它形象的称为差商．系数2c 可以看成是差商的增量与自变量的增量的商．下面给出差商的一般定义：

已知()y f x =在互异节点012,,,x x x 处的函数值分别为012,,,

y y y ，定义

[,]j i i j j i

y y f x x x x -=

- (4.18)

为()f x 在节点,i j x x 处的一阶差商．定义

[,][,]

[,,]j k i j i j k k i

f x x f x x f x x x x x -=

- (4.19)

为()f x 在节点,,i j k x x x 处的二阶差商．更一般的，对于任意的正整数k ，当定义了两个1k -阶差商11[,,

,]i i i k f x x x ++-和12[,,,]i i i k f x x x +++后就可以定义()f x 在节点

1,,,i i i k x x x ++处的k 阶差商

12111[,,

,][,,,]

[,,,]i i i k i i i k i i i k i k i

f x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-=

- (4.20)

另外，规定()f x 在点i x 上的函数值()i f x 是()f x 在点i x 处的零阶差商，记为

[]i f x ．在实际计算中，常常采用表4.1所示差商表计算各阶差商．差商具有以下性质

性质1 差商可以表示为相关节点处函数值的线性组合，即对任意的n ，有

01'

111

[,,

,]()()

n i i n i f x x x f x x ω=+=∑

以上结论可以用数学归纳法进行证明．从性质1可知，改变节点的排列次序并不影响差商的值，由此得出差商的对称性．

性质2 差商具有对称性，即

01012[,,,

,][,,,]n n i i i f x x x x f x x x =

其中{}01,,

,n i i i 是{}0,1,2,,n 的任意排列．

66 性质3 设()f x 的n 阶导函数存在，则有()

()01[,,

n n f f x x x n ξ=

，这里0101(min(,,),max(,,))n n x x x x x x ξ∈，该性质的证明后面给出．

二、Newton 插值多项式

将式(4.12)中的0y 和1c 写成差商的形式，得到一次的Newton 插值多项式

10010()[][,]()N x f x f x x x x =+-

从(4.17)式可知2012[,,]c f x x x =，将2c 代入(4.13)式，得到二次的Newton 插值多项式

2001001201()[][,]()[,,]()()N x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--

一般的，由式(4.14)可知

1011()()()()

()k k k k N x N x c x x x x x x --=+---

将k x x =代入上式，且利用插值多项式的惟一性有

11011011()()()()

()()()()()()

k k k k k k k k k k k k k k k k N x N x f x L x c x x x x x x x x x x x x ------=

------ 这里1()k L x -表示1k -次Lagrange 插值多项式，将1()k L x -展开并利用差商性质1得

00()0111

10010()()()()()()

()()

()()()()k k k j k i i j j i i j k k k k k k k i k i k k k i j k i j j i x x f x f x x x c x x x x x x f x f x x x x x x x x x --==≠---=-=≠??

-- ?

?-??=

---=

---??

-- ???

∑∏∑

∏

01'

11()

[,,,]()k

i k i k i

f x f x x x x ω=+==∑

．

故k 次Newton 插值多项式的表达式

00100101()[][,]()[,,]()()k k k N x f x f x x x x f x x x x x x x -=+-+

+-- (4.21)

基于相同的插值条件，无论是用Lagrange 插值法还是Newton 插值法构造出的多项式相同，故相应的插值余项也应相同．根据定理4.2可知n 次Newton 插值多项式的插值余项为

(1)1()

()()()()

(1)!n n n n f R x f x N x x n ξω++=-=+

另外插值余项也可以用差商表示．设x 是异于01,,,n x x x 的一点，

则由这2n +个节点确定的以x 为自变量的1n +次多项式为

100100101101010101()[][,]()[,,]()()()

[,,,]()()()

()[,,

,,]()()

()

n n n n n n n n N t f x f x x t x f x x x t x t x t x f x x x x t x t x t x N t f x x x x t x t x t x +-=+-++---+---=+---

由于1()n N t +满足插值条件，即1()()n N x f x +=，将x 代入上式得

0101()()[,,,]()()()n n n f x N x f x x x x x x x x x x =+---

于是n 次Newton 插值多项式的插值余项的差商形式为

011()()()[,,

,]()n n n n R x f x N x f x x x x x ω+=-= (4.22)

对比两种余项表达式，可得 ()

(1)

01[,,

,](1)!

n n f f x x x x n ξ+=

+ (4.23) 以上推导过程同时也证明了差商的性质3．

例4.2 已知单调函数()y f x =在4个点处的函数值如下表

用插值法求方程()0f x =在区间(0.00, 1.80)内根的近似值．

解由于()y f x =是一个单调函数，所以反函数)(1

y f

x -=存在．以y 为自变

)(1y f x -=的三次Newton 插值多项式为

2() 1.12 1.866667( 1.10)0.2904761( 1.10)(0.5) 0.0238095( 1.10)(0.5)(0.9)

N y y y y y y y =-+?+-?++-?++-

方程()0f x =根的近似值2(0)0.7853571N =．

§4.4 等距节点插值

前面介绍的方法中节点是任意分布的，实际应用中常碰到节点等距分布的情

形，此时Newton 插值多项式有更为简单的形式．为此引入差分算子的概念．

设在区间[,]a b 上分布等距节点 (0,1,2,)i x a ih i n =+=，这里b a

h n -=称为

步长．将()f a ih +简记为i f 或i y ，称

1i i i f f f +?=- (4.24)

为()f x 在i x 处以h 为步长的一阶向前差分，简称一阶差分．称

1i i i f f f -?=-

为()f x 在i x 处以h 为步长的一阶向后差分．用递推的方法可以给出更高阶的差分的定义．一般的，

1111()k k k k i i i i f f f f ---

+?=??=?-?

(4.25) 被称为()f x 在i x 处以h 为步长的k 阶向前差分，简称k 阶差分．

由差分的定义可以得到k 分别取1、2、3时差分与函数值之间的关系

1i i i f f f +?=-

2121121()() 2i i i i i i i i i i

f f f f f f f f f f ++++++?=?-?=---=-+

332133i i i i i f f f f f +++?=-+-

1(1)(1)k m m k i k i k k i k k i m i f f C f C f f ++-+-?=-+

+-++- (4.26)

式(4.26)中!

!()!

m k k C m k m =

-．

用数学归纳法可以证明建立在等距节点上的差商和差分具有如下的关系

1[,,

]!n i

i i i n n

f f x x x n h ++?=

(4.27) 在节点等距分布时，n 次Newton 插值多项式(4.21)中的各阶差商依据式(4.27)可分别替换成差分形式，并令0x x th =+，则得

2000001(1)(1)()(1)2!!

n n t t t n N x th f t f t t f f n --++=+?+

-?+? (4.28) 称(4.28)式为Newton 向前差分公式．由式(4.5)还可将插值余项表示为 1(1)

(1)()

()(), ()(,)(1)!

n n n t t t n R x h f

x a b n ξξ++--=

∈+ (4.29)

当节点从大到小顺序排列时，还可得到基于向后差分算子的Newton 向后差

分公式．

21(1)(1)()(1)2!!

n n n n n n t t t n N x th f t f t t f f n ++-+=+?++?+? (4.30)

§4.5 Hermite 插值

在0x 附近，可用()f x 在0x 处的n 阶Taylor 展开式)(x p n 来近似函数()f x

显然它与()f x 在0x 处具有相同的函数值，以及1到n 阶导数值，即有

()()

00()() (0,1

,2,)i i n p x f x i n == (4.31)

故可将n 阶的Taylor 公式视为在0x 处满足插值条件(4.31)的一种插值方法．

n n x x n x f x x x f x f x p )(!)())((')()(00)(000-+-+=

70 为在较大的范围内能更好的近似被插值函数()f x ，在实际应用中，不但要求在节点上插值函数与被插值函数有相同的函数值，而且要求在部分或者全部节点上一阶甚至更高阶的导数值也相同．这类插值称为Hermite 插值．在一点处两个函数的函数值和一阶导数值相同，在几何上表现为两条曲线在该点有相同的切线；如果直至二阶导数值相同，则两条曲线在该点具有相同的凹凸性及曲率．可见，Hermite 插值是一类更广泛的插值方法，Taylor 公式可视为在0x 处的Hermite 插值．

在构造Hermite 插值时，如给出的插值条件有1m +个，则可以构造一个不超过m 次的插值多项式，下面就一些常见的例子来讨论建立Hermite 插值多项式的方法．

例4.3 试确定一个不超过二次的多项式2()p x ，使其满足如下插值条件

200211200(), (), ()p x y p x y p x m ===

解先利用前两个插值条件，构造一个１次的插值多项式

1010110

()x x x x p x y y x x x x --=

+-- 显然，100111(), ()p x y p x y ==，定义

2101()()()()p x p x c x x x x =+--

这里c 是一个常数，无论c 取何值，插值条件200211() ()p x y p x y ==和都能满足，再

利用条件'

200()p x m =确定系数c ，即

01010

()y y c x x m x x -+-=- (4.32) 从式(4.32)中解出c 回代到2()p x ，得到

0011

201001011001

011()()()()x x y y x x p x y y m x x x x x x x x x x x x ??---=

++---??----?? 类似于定理4.2的证明，可求出插值余项为

(3)

222011()()()()()()3!

R x f x p x f x x x x ξ=-=

-- 这里)),max(),,(min(1010x x x x ∈ξ．

例4.4 求一个三次多项式3()H x 使其满足插值条件

300311''3

003

11(), (),(), ().

H x y H x y H x m H x m ====

解构造四个不超过3次的插值多项式0101(),(),(),()x x x x ααββ，使它们分别满足

00010001''

10111011''

010001''10111011()1, ()0, ()0, ()0;()0, ()1, ()0, ()0;

()0, ()0, ()1, ()0;()0, ()0, ()0, () 1.

x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααββββββββ?====?====??====??====? 则满足插值条件的多项式可以写成如下形式

3001

()()()()()H x x y x y x m x m

αα

ββ

=+++ (4.33) 假设2

210001()()[()]()x x x Ax B l x Ax B x x α??-=+=+ ?-??

，

可验证条件'0101()0, ()0x x αα==是自动满足的．现利用另外的两个条件

00000

001()11'()2()0x Ax B x A Ax B x x αα=+=?

=++=?-?

求解可得00101

1x A B x x x x =-=+--，．

于是有函数

0100101()12x x x x x x x x x α????

--=- ???--?

??? (4.34) 同理可得

1111010()12x x x x x x x x x α????

--=-

???--?

??? (4.35)

72 假设2

210001()()[()]()x x x Cx D l x Cx D x x β??

-=+=+? ?-??

，可验证条件

'0101()0, ()0x x ββ==是自动满足的．现利用另外的两个条件

00000

001()01'()2()1x Cx D x C Cx D x x βα=+=?

=++=?-?

求可得01C D x ==-，．于是有函数

10001()()x x x x x x x β??

-=-? ?-??

(4.36)

同理可得

01110()()x x x x x x x β??

-=-? ?-??

(4.37)

得到插值多项式

001130101011010010011

0110()1212()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x ????????

----=-+- ?

?????----????????????

--+-+- ? ?--????

２

(4.38)

上式称为三次Hermite 插值多项式，其余项为

(4)2233011

()()()()()()4!R x f x p x f x x x x ξ=-=--

这里)),max(),,(min(1010x x x x ∈ξ．

上面介绍了两种典型Hermite 插值问题的解法，例4.3将所求的多项式()p x 分解为()()q x r x +的形式，()q x 用Newton 插值法或者Lagrange 插值法确定，()r x 用待定系数法确定．例4.4采用了每个点分别构造两个基函数，再与该点函数值和导数值组合的方法．实际问题可仿照此两例类似求解．

§4.6 分段插值

在一个较大的区间[,]a b 上，如果用只过两个点的线性插值函数近似()f x ，效果显然不会很好．为了提高近似效果，一种方法是插入新节点．随着新节点的不断插入，插值多项式的次数通常会逐渐增高．节点数增多固然使插值多项式在更多的节点处与被插值函数有相同的函数值，但在两相邻插值节点之间，插值函数未必能够很好地近似被插值函数，它们之间甚至会有非常大的差异，即收敛性得不到保证，因此在实际中很少采用七、八次以上的高次插值．图4.1所示的是在区间[5,5]-上，分别采用五次和十次基于等距节点的Lagrange 插值多项式对函数

()1f x x

+进行近似的情况．不难看出，该近似随着插值多项式次数的增加，插值函数在节点间震荡的很厉害．

另一种提高近似效果的方法是插入节点将区间分成很多小区间，在每个小区间上采用低次插值（一次或二次），即分段插值方法．一、分段Lagrange 插值

设在区间[,]a b 上有1n +个点01n a x x x b =<<

<=，它们将区间分成了n 个小区

间．若已知函数()f x 在每个点上的函数值分别为() (0,1,2,)i i y f x i n ==，在每个小区

间1[,] (1,2,

)i i x x i n -=上做线性插值，最终得到一个分段线性函数1()g x ．1()g x 在每个

小区间上是线性函数，在整个区间[,]a b 上连续，且经过所有点{}n

i i i y x 0),(=．

图4.1 高次插值不稳定现象示意图

1()g x 在区间1[,]i i x x -上的具体表达式为 1

1111

()i i i i i i i i x x x x g x y y x x x x ------=

+-- (4.39)

依照Lagrange 插值方法的思路，也可通过构造基函数的方法来构造1()g x ．若点i x 上的基函数()i x ?满足以下条件 (1) 在每个小区间上都是线性函数；

(2) 0 () 1 i k i k

x i k

?≠?=?=?；

则1()g x 可以表示成这些基函数与函数值的线性组合，即10()()n

j j j g x y x ?==∑．

分段线性插值多项式的余项可以通过线性插值多项式的余项进行估计．定理4.3 设有节点01n a x x x b =<<

<=及相应的函数值{}0n

i i y =，"()f x 在

[,]a b 上存在，1()g x 是基于点集{}n

i i i y x 0),(=对()f x 的分段线性插值多项式，则有插

值误差估计

1()()()

h R x f x g x M =

-≤ (4.40)

其中''11max ,max ()i i i n

a x b

h x x M f x -≤≤≤≤=-=．

证明根据式(4.5)，在每个区间1[,] (1,2,

)i i x x i n -=上1()g x 的插值余项为

11()()()()2!

i i i i R x f x x x x ξ-=

-- 其中1(,)i i i x x ξ-∈．取绝对值

1''

1''2

11()()()()2!

max ()()2!4i i i i i i i i x x x R x f x x x x f x x x ξ---≤≤=

?--≤?-

因此，在整个区间[,]a b 上，设11max ,max ''()i i i n

a x b

h x x M f x -≤≤≤≤=-=

1()max ()8

i i n h R x R x M ≤≤≤≤

从而定理得证．

类似地，可构造分段二次插值函数2()g x ．将整个区间[,]a b 分成n (n 为偶数)个小区间，在区间222[,] (0,1,

,1)2

i i n

x x i +=-上，2()g x 的表达式为

21222222221

221222************

2222221()()()()

()()()()()

()()

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x g x y y x x x x x x x x x x x x y x x x x ++++++++++++++----=

+------+-- (4.41)

类似定理4.3证明，可推出分段二次插值的插值余项为

2()()()12

h R x f x g x M =-≤

其中'''222max ,max ()i i a x b

h x x M f x +≤≤=-=．

76 分段插值函数虽在插值节点上连续，但在节点上导数不一定存在，故光滑性比较差．但从整体而言，能对被插值函数达到较好的近似，特别是将区间划分的足够多，足够细时更是如此．二、分段Hermite 插值

4.5节的例4.4构造了两点三次Hermite 插值多项式，结合分段插值的思想可以构造分段三次Hermite 插值，即在每个小区间1[,]i i x x -上构造两点三次Hermite 插值3()S x ．相应的插值条件为

3 () (0,1,2,) ()i i

i S x y i n S x m =?=?=?

在区间1[,] (1,2,)i i x x i n -=上，将节点01,x x 替换为1,i i x x -就得到分段三次

Hermite 插值多项式，

113111112

11111()1212 ()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y x x x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x ------------????????

----=-+- ?

?????----????????????

--+-+- ?

?--????

(4.42)

3()S x 具有以下性质

(1) 3()S x 在区间[,]a b 上是连续函数；

(2) 在插值节点i x 上，33(), '()i i i i S x y S x m ==； (3) 在每个小区间1[,] (1,2,

)i i x x i n -=上，3()S x 是不超过三次的多项式．

虽然3()S x 对()f x 有着比12(),()g x g x 更好的近似效果，但构造3()S x 时不仅需要每个节点上函数值还需要每个节点上的导数值，过多的数据要求限制了它在工程上的使用．工程中常采用不需要节点导数信息却依然能达到二阶光滑性的三次样条插值方法．

§4.7 三次样条插值

一、三次样条插值函数的定义

{}0n

i i x =是区间[,]a b 上的1n +个节点，若函数()S x 满足条件

(1) 在区间[,]a b 上()S x 具有连续二阶导数； (2) 在每个小区间1[,] (1,2,3,

,)i i x x i n -=上，()S x 是一个三次多项式；

(3) 在节点处满足插值条件，即() (0,1,2,,)i i S x y i n ==．

则称()S x 为()f x 关于节点{}n

i i x 0=的三次样条插值函数．

在每个小区间上()S x 是三次多项式，则在每个小区间上需要确定4个待定系

数．由于一共有n 个小区间，故在整个插值区间上有n 4个待定系数．依据三次样条插值函数的定义，共有如下24-n 个约束

边界节点处： 00(0)()

(0)()n n S x f x S x f x +=??-=?

内节点i x 处: ''''''

(0)(0)(0)(0) (1,2,3,,1)(0)(0)()()i i i i

i i i i S x S x S x S x i n S x S x S x f x -=+??-=+?=-?-=+??=?

要确定n 4个待定系数, 还需附加2个约束条件．通常在[,]a b 的边界上补充两个边界条件，常见的补充条件有以下三种．

(1) 给定端点处的一阶导数值（转角边界条件），即

''00(), ()n n S x m S x m == (4.43)

(2) 给定端点处的二阶导数值（弯矩边界条件），即

''''00(), ()n n S x M S x M == (4.44)

特别地, 当00==n M M 时，称该条件为自然边界条件． (3) 周期性边界条件

''0''''

0(0)(0)

(0)(0)n n S x S x S x S x ?+=-??+=-??

(4.45)

数值计算方法大作业

目录第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法第一章非线性方程求根 1.1迭代法程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）

1.2牛顿法程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）

数值分析第1章习题

一选择题(55分=25分) (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解,时,, m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算 B.计算 C.计算 D.计算解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系） A． B. C. D. 解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为二填空题：(75分=35分)

1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。(有效数字) 解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当时, ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。 2.设 =2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150. 3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算）解：因为，， 4.算法的计算代价是由时间复杂度和空间复杂度来衡量的。(算法的复杂度) 5.设的相对误差为2%，则的相对误差为 2n% 。（函数的相对误差）解：， 6.设>0，的相对误差为δ，则的绝对误差为 δ 。（函数的绝对误差）解：，， 7.设，则=2时的条件数为 3/2 。(条件数) 解:，三计算题(220分=40分) 1.要使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（有效数字和相对误差的关系）解：设取n位有效数字,由定理由于知=4所以要使相对误差限小于0.1%,则，只要取n-1=3即n=4。所以的近似值取4位有效数字,其相对误差限小于0.1%。 2.已测得某场地长的值为，宽d的值为，已知试求面积的绝对误差限和

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值计算方法思考题

数值计算方法思考题第一章预篇 1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？ 3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。 4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？ 5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。（2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。（3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。（4）高精度运算可以改善问题的病态性。（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。（6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。（7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题 ax 2 + bx + c = 0. 下面的公式是熟知的 a ac b b x 242-±-=. 与之等价地有 ac b b c x 422--= . 对于 a = 1, b = -100 000 000 , c = 1 应当如何选择算法？ 8．指数函数有著名的级数展开 ++++=!3!213 2x x x e x 如果对x < 0用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好？为什么？ 9．考虑数列x i , i = 1,…, n , 它的统计平均值定义为 ∑==n i i x x x 1 1 它的标准差

1 12)(11??????--=∑-n i i x x n σ 数学上它等价于 1 12211???????????? ??--=∑=n i i x n x n σ 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根 1．判断如下命题是否正确： (a) 非线性方程的解通常不是唯一的； (b) Newton 法的收敛阶高于割线法； (c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton 法； (d) Newton 法总是比割线法更节省计算时间； (e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法； (f) Newton 法是有可能不收敛； (g) 考虑简单迭代法x k +1 = g (x k )，其中x * = g (x *)。如果| g '(x *) | <1，则对任意的初始值，上述迭代都收敛。 2．什么叫做一个迭代法是二阶收敛的？Newton 法收敛时，它的收敛阶是否总是二阶的？ 3．求解单变量非线性方程的单根，下面的3种方法，它们的收敛阶由高到低次序如何？ (a) 二分法 (b) Newton 方法 (c) 割线方法 4．求解单变量非线性方程的解，Newton 法和割线方法，它们每步迭代分别需要计算几次函数值和导数值？ 5．求解某个单变量非线性方程，如果计算函数值和计算导数值的代价相当，Newton 法和割线方法它的优劣应如何评价？第三章解线性方程组的直接法 1．用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？ 2．高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？ 3．乔列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？ 4．哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 5．什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 6．何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。 7．何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (a i j )的三种范数|| A ||1，|| A ||2，|| A ||∞，|| A ||1与|| A ||2哪个更容易计算？为什么？ 8．什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？ 9．满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。

数值分析第8章作业

第八章矩阵特征值问题计算 3．用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量 12732343()341;()463213331a A b A --???? ????=-=-???? ????--???? 当特征值有3位小数稳定代终止。解：套用幂法公式 010,,,1,2,.... max()k k k k k v u v Au u k v -≠== = 取0(1,1,1)0T u =≠,将A 1代入上式，计算结果见下表则1A 的主特征值19.605572λ≈，特征向量1(10.6050.394369)T x ≈- 将2A 代入幂法公式，取0(1,1,1)T u =，计算结果见下表则2A 主住特征值18.869699λ≈，特征向量1(0.604228,1,0.160881)T x ≈- 4．用反幂法求矩阵 621231111A ?? ??=?? ???? 的最接近于6的特征向量。解：本题按带原点平移的反幂法计算。平移向量p=6,则将

021231115B A pI ?? ??=-=-?? ??-?? 进行三分解：PB=LU ，其中 1 002310101511 001,10,02 221004 2701005 5P L U ? ??? ????-??? ??? ??????===-???????????? ?? ?? ??? ??? 然后1(1,1,1)T Uv =，解得 1 111,max()v v u v = 1,,,2,3,.... max()k k k k k k k v Ly PU Uv y U k v -=== = 计算结果如下：

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

第7章复习与思考题

求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )

数值分析作业答案(第5章)part2

.证明： (1).如果A 是对称正定矩阵，则1-A 也是对称正定矩阵 (2).如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成L L A T =，其中L 是具有正对角元的下三角矩阵。证明： (1).因A 是对称正定矩阵，故其特征值i λ皆大于0，因此1-A 的特征值1 -i λ也皆大于0。因此 1-i λ也皆大于0，故A 是可逆的。又 111)()(---==A A A T T 则1-A 也是对称正定矩阵。 (2).由A 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解 U L A ~ =。又 022211111 1222 11111DU u u u u u u u u u U n n nn =? ???? ???? ???????? ?=????????? ?? ?=M O ΛΛO 其中D 为对角矩阵，0U 为上三角矩阵，于是 0~ ~DU L U L A == 由A 的对称性，得 ~ T T T L D U A A == 由分解的唯一性得 ~ L U T = 从而 ~~ T L D L A = 由A 的对称正定性，如果设),,2,1(n i D i Λ=表示A 的各阶顺序主子式，则有 011>=D d ，01 >= -i i i D D d ，n i ,,3,2Λ=

故 2 12 12 1 2 121D D d d d d d d d d d D n n n =?????? ? ?????? ?????????????? ?=????????????=O O O 因此 T T T LL D L D L L D D L A ===)(21~ 2 1~ ~2 121~ ，其中2 1~ D L L =为对角元素为正的下三角矩阵。 .用列主元消去法解线性方程组 ??? ??=++-=-+-=+-6 1531815331232 1321321x x x x x x x x x 并求出系数矩阵A 的行列式(即A det )的值。解 ?? ?? ??????----?→?-=???? ??????----?→??? ??? ?????----??→?- =-=?113/110053/7101513 186 76/3118/176/7053/7101513 186111153312151318)(323 2 18 1 21312 1m b A m m r r 所以解为33=x ，22=x ，11=x ，66det -=A 。

数值计算方法第一章

第一章绪论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题． §1.1 引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法．这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括 (1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法； (3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”．之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差．如 +++=! 21 !111e 的计算是无穷过程，当用 ! 1 !21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差e e n -．

《数值分析》第五章答案

习题5 1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式：?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式：?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈，??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??，),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ ，法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+，)2 ()2(b a f b a H +'=+'，则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ， ),(b a ∈ξ 于是 2．考察下列求积公式具有几次代数精度：（1） ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ；（2） )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。解：（1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右；当x x f =)(时，左21= ，右=2 1 210=+，左=右；当2 )(x x f =时，左=3 1 ，右=1，左≠右，代数精度为1。

(完整版)数值分析第7章答案

第七章非线性方程求根一、重点内容提要（一）问题简介求单变量函数方程 ()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)()m f x x x g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在 (a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001 ()2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若 00()()0 f a f x <,则令 10,10 a a b x ==,得新的有根区间 11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001()2b a b a -=-.再令1111 ()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,] a b ,如此反复进行,可得一有根区间套 1100...[,][,]...[,] n n n n a b a b a b --????

《数值分析》杨大地-标准答案(第八章)

数值分析第8章数值积分与数值微分 8.1 填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f(x)dx b a ≈∑A j n j=0f(x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。【注：第1空，见定理8.1】（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】（3）求积公式∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)?f ′(h)]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。解：令f(x)=1,x,x 2带入有， { h 2[1+1]+ah 2[0?0]=h h 2[0+h ]+ah 2[1?1]=12 (h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0?2h ]=13 (h 3) //注：x 的导数=1 解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。 ∴ 积分公式为：∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+h 2 12[f ′(0)?f ′(h)] 令 f(x)= x 3带入求积公式有：h 2 [0 +h 3]+ h 212 [0?3h 2]=14 (h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值1 4 (h 4)相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。令f(x)= x 4带入求积公式有，h 2[0+h 4]+h 2 12[0?4h 3]=1 6(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值1 5(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。 8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。（1）∫f(x)dx 2h 0≈A 0f (0)+A 1f (h )+A 2f(2h) 解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】 {A 0+A 1+A 2=2h A 1h +A 22h =1 2(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=1 3(2h )3 求解得A 0=13h ，A 1=43h ，A 2=1 3h ， ∴求积公式为：∫f(x)dx 2h 0≈13hf (0)+43hf (h )+1 3 hf(2h) ∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0， //注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)= x 3，代入求积公式有：4 3hh 3+1 3h (2h )3=4h 4 ∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 2h 0=1 4(2h )4=4h 4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。

数值计算方法第七章习题 2013

计算方法第七章习题复习与思考题 1．设f ∈C [a , b ]，写出三种常用范数2 1 f f 及∞ f 。 2．f , g ∈C [a , b ]，它们的内积是什么？如何判断函数族{? 0, ? 1, …, ? n }∈C [a , b ]在[a ,b ]上线性无关？ 3．什么是函数f ∈C [a , b ]在区[a , b ]上的n 次最佳一致逼近多项式？ 4．什么是f 在[a , b ] 上的n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据{}m i f 0的最小二乘曲线拟合？ 5．什么是[ a , b ]上带权ρ (x )的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？ 6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？ 7．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？ 8．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n 较大时为什么不直接求解法方程？ 9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 10．判断下列命题是否正确？（1）任何f (x ) ∈C [a , b ]都能找到n 次多项式P n (x ) ∈ H n ，使| f (x ) - P n (x ) | ≤ ε ( ε 为任给的误差限)。（2）n n H x P ∈)(* 是f (x )在[ a , b ]上的最佳一致逼近多项式，则)()(lim * x f x P n n =∞ →对 ],[b a x ∈?成立。（3）f (x ) ∈C [a , b ]在[a , b ]上的最佳平方逼近多项式P n (x ) ∈ H n 则)()(lim x f x P n n =∞ →。（4）)(P ~ x n 是首项系数为1的勒让德多项式，Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则 ? ? --1 1 21 1 2d )(d )](P ~ [x x Q x x n n 。（5）)(T ~ x n 是[-1 , 1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。Q n (x ) ∈ H n 是任一首项系数为1的多项式，则 .)(max )(~ max 1 11 1x Q x T n x n x ≤≤-≤≤-≤ （6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。

数值分析第五章学习小结【计算方法】

第五章最小二乘法与曲线拟合小结一、本章知识梳理 1、从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即

(3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 3、曲线拟合：曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。

郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章常微分方程数值解法

郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课第八章常微分方程数值解法

待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾

§8.2 欧拉(Euler)法通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 )

§8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′

数值分析第五章答案

数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章 2-1 程序： clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); or j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp(4次牛顿插值多项式); p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs; disp(三次样条函数); for i=1:4 s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1]; s=vpa(collect(s),5) end x2=0.2:0.08:1.08; dot=[1 2 11 12]; figure ezplot(p4,[0.2,1.08]); hold on y2=fnval(pp,x2); x=x2(dot);

y3=eval(p4); y4=fnval(pp,x2(dot)); plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co); title(4次牛顿插值及三次样条); 结果如下： 4次牛顿插值多项式 p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数 x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x + 0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下 2-3（1）程序： clear; clc; x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点 n=length(y1); a=ones(n,2); a(:,2)=-x1; c=1; for i=1:n c=conv(c,a(i,:)); end q=zeros(n,n); r=zeros(n,n+1); for i=1:n [q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk) end dw=zeros(1,n); for i=1:n dw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数 end p=dw*q; syms x l8; for i=1:n

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。 * * e* x * _x 解：近似值x*的相对误差为:.=e* x* x* 1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e* x* 进而有；(ln x*)::. 2?设x的相对误差为2%求x n的相对误差。解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1 n A. x nx . 又7 f '(x)= nx n」C p |=n n 又；；r((x*) n) ： C p ；,x*) 且e r (x*)为2 .；r((x*)n) 0.02 n 3 ?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0. 解：x；=1.1021是五位有效数字； X2 =0.031是二位有效数字； X3 =385.6是四位有效数字； x4 = 56.430是五位有效数字； x5 -7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4. * * * * 其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。

解:

* 1 4 ；(x-| ) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1)；(为 X 2 X 4) =；(为)亠：(x 2)亠：(x 4) =1 10 4 1 10 J 丄 10^ 2 2 2 = 1.05 10” * * * (2)(X 1X 2X 3) * * * ** * ** * X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2) 1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10 (3) XX 2/X 4) X 4 0.031 1 10” 56.430 丄 10’ 2 2 56.430 56.430 =10° 5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 =1.1021汉 0.031 汉 * 汉 10」+ 0.215

数值分析第一章作业

数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计? 8.设0x >,近似值*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限. 9.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =-+-在2x =处的值. 11.已知近似值 1.0000x *=的误差限4()110x ε*-=?,21()16 f x x = ,求(())f x ε*,并说明x *及()f x *的各有几位有效数字. 12. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=?的数值稳定性.

李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析

WORD格式.分享第5章复习与思考题 1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？ k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现 a的情况，这时消去法无法进行；即 kk k时主元素0 和舍入增长 a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重 kk 计误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。 2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。 A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，?，n-1）不为零。 3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。 4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。 5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组 6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见p53，符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式 x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设 n ||x|||x| 1i i1 1 n 22 ||x||(x) 2i i1 ||x||max|x i| 1in

数值计算方法第四章

数值计算方法大作业

数值分析第1章习题

数值分析第一章绪论习题答案

数值计算方法思考题

数值分析第8章作业

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

数值分析作业答案(第5章)part2

数值计算方法第一章

《数值分析》第五章答案

(完整版)数值分析第7章答案

《数值分析》杨大地-标准答案(第八章)

数值计算方法第七章习题 2013

数值分析第五章学习小结【计算方法】

郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法

数值分析第五章答案

最新(完美版)第八章习题答案_数值分析

数值分析第一章绪论习题答案

数值分析第一章作业

李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析

郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章常微分方程数值解法