离散数学

2014-2015学年第二学期期末《离散数学》大作业

一、简要回答下列问题：（每小题3分，共30分）

1．请给出集合运算的等幂率。

2．请给出一个集合A，并给出A上既具有对称性，又具有反对称性的关系。

3．设A={1，2，3}，问全域关系是否具有自反性，对称性？

4．设A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，M={4,3}，求M的上界，下界。5．关于P，Q，R请给出使极小项m1，m7为真的解释。

6．什么是图中的回路，请举一例。

7．设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，?，?是集合的交，并运算。求对于?的单位元，对?的单位元。

8．什么是群中左模H合同关系？

9．有壹环的子环是否一定是有壹环？

10．设R={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}是模12的整数环，问N1=6R，N2=2R是否为R的极大理想？

二、（12分）R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：

（1）(R∪S)-1= R-1∪S-1

（2）(R∩S)-1= R-1∩S-1

三、（20分）对P和Q的所有值，证明P→Q与?P∨Q有同样的真值。证明（P→Q）?（?P∨Q）是恒真的。

四、（18分）设I是如下一个解释：

D={a，b}

P(a，a) P(a，b) P(b，a) P(b，b)

1 0 0 1

试确定下列公式在I下的真值：

(1)?x?yP(x，y)；

(2)?x?yP(x，y)；

五、（20分）设G为有向图，若G具有有向树定义中的1)和2)，并且没有有向回路。问：若G有限，G是否是有向树？若G不是有限的，如何？

华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013-2014学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生，r:他可以在宿舍使用电脑，下列命题“除非他不是新生，否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集，下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x

2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系，它可以既满足对称性，又满足反对称性 B 、存在这样的关系，它可以既不满足对称性，又不满足反对称性 C 、存在这样的关系，它可以既满足自反性，又满足反自反性 D 、存在这样的关系，它可以既不满足自反性，又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是：______。 A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的，则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是：______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列，能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1，2，2，3，4，5

离散数学作业

第一章命题逻辑的基本概念 一、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化 （1）中国有四大发明。 （2）2是有理数。 （3）“请进！” （4）刘红和魏新是同学。 （5）a+b （6）你去图书馆吗？ （7）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。 （8）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》） （9）火星上有生命。 （10）这朵玫瑰花多美丽啊！ 二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2 （1）只要2<1，就有3<2。 （2）如果2<1，则3≥2。 （3）只有2<1，才有3≥2。 （4）除非2<1，才有3≥2。 （5）除非2<1，否则3≥2。 （6）2<1仅当3<2。 三、将下列命题符号化 (1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。 (2)王栋生于1992年或1993年。 - 1 -

四、设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。（1）p∨(q∧r) （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) (4)（?r∧s）→(p∧?q) 五．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 六、用真值表判断下列公式的类型： (1) p∧(p→q)∧(p→?q) (2) (p∧r) ?(?p∧?q) (2)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) - 2 -

第二章命题逻辑等值演算 一、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 二、用等值演算法证明下面等值式 (1)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (2)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) - 3 -

离散数学作业答案

离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，

离散数学 欧拉图实验

1、欧拉图判定和应用 【实验内容】 判断一个图是不是，如果是，求出所有欧拉路 【实验原理和方法】 （1）用关系矩阵R=n n ij r )(表示图。 （2）对无向图而言，若所有结点的度都是偶数，则该图为欧拉图。 C 语言算法： flag=1; for(i=1;i<=n && flag;i++) { sum=0; for(j=1;j<=n;j++) if(r[i][j]) sum++; if(sum%2==0) flag=0; } 如果 flag 该无向图是欧拉图 （3）对有向图而言，若所有结点的入度等于出度，则该图为欧拉图。 C 语言算法： flag=1; for(i=1;i<=n && flag;i++) { sum1=0; sum2=0; for(j=1;j<=n;j++) if(r[i][j]) sum1++; for(j=1;j<=n;j++) if(r[j][i]) sum2++; if(sum1%2==0 || sum2%2==0) flag=0; } 如果 flag 该有向图是欧拉图 （4）求出欧拉路的方法：欧拉路经过每条边一次且仅一次。可用回溯的方法求得所有欧拉路。 C 语言算法： int count=0,cur=0,r[N][N]; // r[N][N]为图的邻接矩阵，cur 为当前结点编号，count 为欧拉路的数量。 int sequence[M];// sequence 保留访问点的序列，M 为图的边数 输入图信息; void try1(int k) //k 表示边的序号

{ int i,pre=cur; //j保留前一个点的位置,pre为前一结点的编号 for (i=0;i #include #define N 13 struct tree { float num; struct tree *Lnode; struct tree *Rnode; }* fp[N];//保存结点 char s[2*N];//放前缀码 void inite_node(float f[],int n)//生成叶子结点 { int i; struct tree *pt; for(i=0;i

中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案

《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群的元素，则-(a+b+c)= 。 10、一个图的哈密尔顿路是。 11、不能再分解的命题称为，至少包含一个联结词的命题称 为。 12、命题是。 13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示。 14、与一个个体相关联的谓词叫做。 15、量词分两种：和。 16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B 的。 17、集合上的三种特殊元是、 及。 18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别 是：，，，。

19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满 足、，并且*1和*2满足，则称是格。 21、集合A={a,b,c,d}，B={b }，则A \ B= 。 22、设A={1, 2}, 则∣A∣= 。 23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示，入度deg-(v)表示 以。 24、一个图的欧拉回路是。 25、不含回路的连通图是。 26、不与任何结点相邻接的结点称为。 27、推理理论中的四个推理规则 是、、、。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、空集是唯一的。 2、对任意的集合A，A包含A。 3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。 4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。 5、图G中，与顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg(v)。 6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。 7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。 8、设（A,*）是代数系统，a∈A，如果a*a＝a，则称a为（A，*）的等幂元。 9、设f：A→B，g：B→C。若f，g都是双射，则gf不是双射。 10、无向图的邻接矩阵是对称阵。 11、一个集合不可以是另一个集合的元素。 12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。 13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

离散数学(大作业)与答案

一、请给出一个集合A，并给出A上既具有对称性，又具有反对称性的关系。（10分）解：A={1,2} R={（1,1），（2,2）} 二、请给出一个集合A，并给出A上既不具有对称性，又不具有反对称性的关系。（10分）集合A={1,2,3} A上关系{<1,2>,<2,1>,<1,3>}，既不具有对称性，又不具有反对称性 三、设A={1，2}，请给出A上的所有关系。（10分） 答：A上的所有关系: 空关系，{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} {<1,1>} {<1,2>} {<2,1>} {<2,2>} {<1,1>,<1,2>} {<1,1>,<2,1>} {<1,1>,<2,2>} {<1,2>,<2,1>} {<1,2>,<2,2>} {<2,1>,<2,2>} {<1,1>,<1,2>,<2,1>} {<1,1>,<1,2>,<2,2>}

{<1,2>,<2,1>,<2,2>} {<1,1>,<2,1>,<2,2>} 四、设A={1，2，3}，问A 上一共有多少个不同的关系。（10分） 设A={1，2，3}，A 上一共有2^(3^2)=2^9=512个不同的关系。 五、证明： 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。（10分） 证明：设公式G 的合取范式为：G ’=G1∧G2∧…∧Gn 若公式G 恒真，则G ’恒真，即子句Gi ；i=1,2,…n 恒真 为其充要条件。 Gi 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在Gi 中，也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ，Gi 都取1值。 若不然，假设Gi 恒真，但每个原子和其否定都不同时出现在Gi 中。则可以给定一个解释I ，使带否定号的原子为1，不带否定号的原子为0，那么Gi 在解释I 下的取值为0。这与Gi 恒真矛盾。 因此，公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。 六、若G=(P ，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。证明：n ≤2m C ，其中2m C 表 示m 中取2的组合数。（10分） 证明：如果G=(P,L)为完全图，即对于任意的两点u 、v （u ≠v ）,都有一条边uv ，则此时对于元数为m 的P(G)，L(G)的元数取值最大为C m 2。因此，若G=(P,L)为一有限图，设P(G)的元数为m ，则有L(G)

欧拉图

所有A都是B 所有A都不是B 有A是B 有A不是B A B A B A B A B A B A B B A A B A B B A 所有A都是B 所有A都不是B 有A是B 有A不是B

所有A都是B 上图的非阴影部分是否非空未作断定，如果非空，则是种属关系，否则是全同关系。 所有A都不是B A B 有A是B 上图的非阴影部分分左右两部分。如果两部分都空，则是全同关系；如果左不空，右空，则是属种关系；如果左空，右不空，则是种属关系；如果两部分都不空，则是交叉关系。 有A不是B 上图的非阴影部分分左右两部分。如果左不空，右空，则是属种关系；如果左空，右不空，则是不相容关系；如果两部分都不空，则是交叉关系。

7．藏獒是世界上最勇猛的狗，一只壮年的藏獒能与5只狼搏斗。所有的藏獒都对自己的主人忠心耿耿，而所有忠实于自己主人的狗也为人所珍爱。 如果以上陈述为真，以下陈述都必然为真，除了 ．．： A．有些为人所珍爱的狗不是藏獒。 B．任何不为人所珍爱的狗不是藏獒。 C．有些世界上最勇猛的狗为人所珍爱。 D．有些忠实于自己主人的狗是世界上最勇猛的狗。 答案是A 试题类型：逻辑推断 藏獒忠实人爱 ． [例] 所有的灰狼都是狼。这一断定显然是真的。因此，所有的疑似SARS病例都是SARS病例，这一断定也是真的。 以下哪项最为恰当地指出了题干论证的漏洞？ A．题干的论证忽略了：一个命题是真的，不等于具有该命题形式的任一命题都是真的。 B．题干的论证忽略了：灰狼与狼的关系，不同于疑似SARS病例和SARS病例的关系。 C．题干的论证忽略了：在疑似SARS病例中，大部分不是SARS病例。 D．题干的论证忽略了：许多狼不是灰色的。 E．题干的论证忽略了：此种论证方式会得出其它许多明显违反事实的结论。 答案是B。

大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)

1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={|x,y 属于A ，y 盖住x}； 9.极小元：集合A 中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)； 极大元：集合A 中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)； 最小元：比集合A 中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)； 最大元：比集合A 中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)； 10.前提：B 是A 的子集 上界：A 中的某个元素比B 中任意元素都大，称这个元素是B 的上界(若存在，可能不唯一)； 下界：A 中的某个元素比B 中任意元素都小，称这个元素是B 的下界(若存在，可能不唯一)； 上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)； 下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)； 6.函数 1.若|X|=m,|Y|=n,则从X 到Y 有mn 2种不同的关系，有m n 种不同的函数； 2.在一个有n 个元素的集合上，可以有2n2种不同的关系，有nn 种不同的函数，有n!种不同的双射； 3.若|X|=m,|Y|=n ，且m<=n ，则从X 到Y 有A m n 种不同的单射； 4.单射：f:X-Y ，对任意1x ,2x 属于X,且1x ≠2x ，若f(1x )≠f(2x )； 满射：f:X-Y ，对值域中任意一个元素y 在前域中都有一个或多个元素对应； 双射：f:X-Y ，若f 既是单射又是满射，则f 是双射； 5.复合函数：f og=g(f(x)); 5.设函数f:A-B ，g:B-C ，那么 ①如果f,g 都是单射，则f og 也是单射； ②如果f,g 都是满射，则f og 也是满射； ③如果f,g 都是双射，则f og 也是双射； ④如果f og 是双射，则f 是单射，g 是满射； 7.代数系统 1.二元运算：集合A 上的二元运算就是2A 到A 的映射； 2. 集合A 上可定义的二元运算个数就是从A ×A 到A 上的映射的个数，即从从A ×A 到A 上函数的个数，若|A|=2,则集合A 上的二元运算的个数为2*22=42=16种； 3. 判断二元运算的性质方法： ①封闭性：运算表内只有所给元素； ②交换律：主对角线两边元素对称相等； ③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同； ④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同； ⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同； 4.同态映射：,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f 为由到的同态映射；若f 是双射，则称为同构； 8.群 广群的性质：封闭性； 半群的性质：封闭性，结合律； 含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元； 群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元； 2.群没有零元； 3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律； 4.循环群中幺元不能是生成元； 5.任何一个循环群必定是阿贝尔群； 10.格与布尔代数 1.格：偏序集合A 中任意两个元素都有上、下确界； 2.格的基本性质： 1) 自反性a ≤a 对偶: a ≥a 2) 反对称性a ≤b ^ b ≥a => a=b 对偶:a ≥b ^ b ≤a => a=b 3) 传递性a ≤b ^ b ≤c => a ≤c 对偶:a ≥b ^ b ≥c => a ≥c 4) 最大下界描述之一a^b ≤a 对偶 avb ≥a A^b ≤b 对偶 avb ≥b 5）最大下界描述之二c ≤a,c ≤b => c ≤a^b 对偶c ≥a,c ≥b => c ≥avb 6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a 8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a 9) a ≤b <=> a^b=a avb=b 10) a ≤c,b ≤d => a^b ≤c^d avb ≤cvd 11) 保序性b ≤c => a^b ≤a^c avb ≤avc 12） 分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c) 13）模不等式a ≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c 3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)； 4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构； 5.链格一定是分配格，分配格必定是模格； 6.全上界：集合A 中的某个元素a 大于等于该集合中的任何元素，则称a 为格的全上界，记为1；(若存在则唯一) 全下界：集合A 中的某个元素b 小于等于该集合中的任何元素，则称b 为格的全下界，记为0；(若存在则唯一) 7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格； 8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a 和b 互为补元； 9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元； 10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格； 布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数； 11.图论 1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接； 2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联； 3.平凡图：只有一个孤立点构成的图； 4.简单图：不含平行边和环的图； 5.无向完全图：n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图； 有向完全图:n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图； 6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边； 7.r-正则图：每个节点度数均为r 的图； 8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍； 9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个； 10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和； 11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路； 12.可达：对于图中的两个节点i v ,j v ，若存在连接i v 到j v 的路，则称i v 与j v 相互可达，也称i v 与j v 是连通的；在有向图中，若存在i v 到j v 的路，则称i v 到j v 可达； 13.强连通：有向图章任意两节点相互可达； 单向连通：图中两节点至少有一个方向可达； 弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通) 14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集； 割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点； 15.关联矩阵：M(G)，mij 是vi 与ej 关联的次数，节点为行，边为列； 无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2； 有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1， 关联矩阵的特点： 无向图： ①行：每个节点关联的边，即节点的度； ②列：每条边关联的节点； 有向图： ③所有的入度(1)=所有的出度(0); 16.邻接矩阵：A(G)，aij 是vi 邻接到vj 的边的数目，点为行，点为列； 17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A (G)+3A (G)+4A (G) 可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路； A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数； 2A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数； 3A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数； 4A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数； P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数； 18.布尔矩阵：B(G)，i v 到j v 有路为1，无路则为0，点为行，点为列； 19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0； 20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图； 21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先； 深度优先： ①选定起始点0v ； ②选择一个与0v 邻接且未被访问过的节点1v ； ③从1v 出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次； 广度优先： ①选定起始点0v ； ②访问与0v 邻接的所有节点v1,v2,……,vk,这些作为第一层节点； ③在第一层节点中选定一个节点v1为起点； ④重复②③，直到所有节点都被访问过一次； 22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树； 23.构造最小生成树的三种方法： 克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法； （1）克鲁斯卡尔方法 ①将所有权值按从小到大排列； ②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序； ③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序； ④重复③，直到所有节点都被访问过一次； （2）管梅谷算法(破圈法) ①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图； ②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图； ③重复②，直到所有节点都被访问过一次； （3）普利姆算法 ①在图中任取一点为起点1v ，连接边值最小的邻接点v2； ②以邻接点v2为起点，找到v2邻接的最小边值，如果最小边值比v1邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v ，连接1v 现在的最小边值(除已连接的边值)； ③重复操作，直到所有节点都被访问过一次； 24.关键路径 例2 求PERT 图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径. 解：最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max{0+1}=1 TE(v3)=max{0+2,1+0}=2 TE(v4)=max{0+3,2+2}=4 TE(v5)=max{1+3,4+4}=8 TE(v6)=max{2+4,8+1}=9 TE(v7)=max{1+4,2+4}=6 TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min{12-6}=6 TL(v6)=min{12-1}=11 TL(v5)=min{11-1}=10 TL(v4)=min{10-4}=6 TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0 关键路径: v1-v3-v7-v8 25.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路； 欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路； 欧拉图：具有欧拉回路的图； 单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路； 欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路； 26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件： ①连通图；②有0个或2个奇数度节点； （2）无向图中存在欧拉回路的充要条件： ①连通图；②所有节点度数均为偶数； （3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件： ①除两个节点外，每个节点入度=出度； ②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1； （4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件： 图中每个节点的出度=入度； 27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路； 哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路； 哈密顿图：具有哈密顿回路的图； 28.判定哈密顿图（没有充要条件） 必要条件： 任意去掉图中n 个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n ； 充分条件： 图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数； 29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议； 方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可； 30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图； 31.面次：面的边界回路长度称为该面的次； 32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍； 33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v 个节点，e 条边，r 个面，则 v-e+r=2； 34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图) 设图G 是v 个节点，e 条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6； 35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的； 36.判断G 是平面图的充要条件： 图G 不含同胚于K3.3或K5的子图； 37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2； ②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中； 完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接； 判定无向图G 为二部图的充要条件： 图中每条回路经过边的条数均为偶数； 38.树：具有n 个顶点n-1条边的无回路连通无向图； 39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数； 40.树高：层数最大的顶点的层数； 41.二叉树： ①二叉树额基本结构状态有5种； ②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度； ③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1； ④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立； ⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1； ⑥位于二叉树第k 层上的节点，最多有12-k 个(k>=1)； ⑦深度为k 的二叉树的节点总数最多为k 2-1个，最少k 个(k>=1)； ⑧如果有0n 个叶子，n2个2度节点，则0n =n2+1； 42.二叉树的节点遍历方法： 先根顺序（DLR ）； 中根顺序（LDR ）； 后根顺序（LRD ）； 43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树； 44.最优二叉树的构造方法： ①将给定的权值按从小到大排序； ②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值； ③重复②，直达所有权值构造完毕； 45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值； 每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；

离散数学作业(2)

离散数学作业布置 第1次作业（P15） 1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 解：（1）p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s)=（0?1）∧(1∨1)=0∧1 =0 （3）（﹁p∧﹁q∧r）?(p∧q∧﹁r)=（1∧1∧1）? (0∧0∧0)=0 (4)（r∧s）→(p∧q)=（0∧1）→(1∧0)=0→0=1 1.17 判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2 也是无理数。另外只有6能被2整除，6才能被4整除。” 解：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 1.19 用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(﹁q→﹁p) （5）(p∧r) ? (﹁p∧﹁q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 解：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式，最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例），最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1）。 第2次作业（P38） 2.3 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ﹁(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 解：(1) ﹁(p∧q→q) ?﹁(﹁(p∧q) ∨q) ?(p∧q) ∧﹁q?p∧(q ∧﹁q) ? p∧0 ?0 所以公式类型为矛盾式 (2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ? (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ?﹁p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) (p∨q) → (p∧r) ?￢(p∨q) ∨ (p∧r) ? (￢p∧￢q) ∨(p∧r) 易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111

离散数学作业

命题逻辑的基本概念 一、单项选择题 1．下列语句中不是命题的有（ ）. A 9+5≤12 B. 1+3=5 C. 我用的电脑CPU 主频是1G 吗D.我要努力学习。 2. 下列语句是真命题为( )． A. 1+2=5当且仅当2是偶数 B. 如果1+2=3，则2是奇数 C. 如果1+2=5，则2是奇数 D. 你上网了吗 3. 设命题公式)(r q p ∧→?,则使公式取真值为1的p ，q ，r 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0 ,1,0)C (1 ,0,0)B (0 ,0,0)A ( 4. 命题公式q q p →∨ )(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 5. 设p:我将去市里,q ：我有时间． 命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为为( ) q p q p q p p q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (6．设P ：我听课,Q ：我看小说. “我不能一边听课，一边看小说”的符号为（ ） A. Q P ?→ ； B. Q P →?； C. P Q ?∧? ； D. )(Q P ∧? 二、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化 （1）中国有四大发明。 （2）2是有理数。 （3）“请进！” （4）刘红和魏新是同学。 （5）a+b （6）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。 （8）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子显学》） （9）火星上有生命。 （10）这朵玫瑰花多美丽啊！ 二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2 （1）只要2<1，就有3<2。 （2）如果2<1，则32。 （3）只有2<1，才有32。 （4）除非2<1，才有32。 （5）除非2<1，否则32。

厦门大学离散数学2015-2016期末考试试题答案年

一（6%）选择填空题。 (1) 设S = {1，2，3}，R 为S 上的二元关系，其关系图如右图所示，则R 具有（ ）的性质。 A. 自反、对称、传递； B. 反自反、反对称； C. 自反、传递； D. 自反。 (2) 设A = {1, 2, 3, 4}， A 上的等价关系 R = {, , , } A I , 则对应于R 的A 的划分是（ ）。 A. {{a }, {b , c }, {d }}； B. {{a , b }, {c }, {d }}； C. {{a }, {b }, {c }, {d }}； D. {{a , b }, {c , d }}。 二（10%）计算题。 (1) 求包含35条边，顶点的最小度至少为3的图的最大顶点数。 (2) 求如下图所示的有向图中，长度为4的通路的数目，并指出这些通路中有几条回路，几条由3v 到4v 的通路。 23 三 (14%) (1) 求 )()(p r q p →→∨ 的主析取范式,主合取范式及真值表; (2) 求 )()),(),((x xH y x yG y x xF ?→?→??的前束范式。 四 (8%) 将下列命题符号化：其中 (1), (2) 在命题逻辑中，(3), (4) 在一阶逻辑中。 (1) 除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班； (2) 我不能一边听课，一边看小说； (3) 有些人喜欢所有的花； 厦门大学《离散数学》课程试卷 学院 系 年级 专业 主考教师： 张莲珠，杨维玲 试卷类型：（A 卷）

(4)没有不犯错的人。 五（10%）在自然推理系统Ｐ中构造下面推理的证明： 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，则他一定学过DELPHI语言且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者Ｃ++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。 六（10%）在自然推理系统中构造下面推理的证明（个体域：人类）： 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。 七（14%）下图给出了一些偏序集的哈斯图，判断其是否为格，对于不是格的说明理由，对于是格的说明它们是否为分配格、有补格和布尔格（布尔代数）。 八（12%）设S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}，“ ”为S上整除关系， (1)画出偏序集> ,S的哈斯图； < (2)设B = { 2, 3, 4, 6, 12}，求B的极小元、最小元、极大元、最大元，下界，上界。 九（8%）画一个无向图，使它是： (1)是欧拉图，不是哈密尔顿图； (2)是哈密尔顿图，不是欧拉图； (3)既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图； 并且对欧拉图或哈密尔顿图，指出欧拉回路或哈密尔顿回路，对于即不是欧拉图也不是哈密尔顿图的说明理由。 十（8%）设6个字母在通信中出现的频率如下： 12 13 :c :b% 45 :a% % :e% :f 9 5 : d% % 16 用Huffman算法求传输它们的最佳前缀码。要求画出最优树，指出每个字母对应的编码，n个按上述频率出现的字母需要多少个二进制数字。 并指出传输)2 ( n 10≥