2016年高考试题(北京卷)——数学(理)(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合A =B =

，则

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

（2）若x,y 满足 2030x y x y x -≤??

+≤??≥?

，则2x+y 的最大值为

（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5

（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为

（A ）1 （B ）2

（C ）3 （D ）4

（4）设a ,b 是向量，则“=a b ”是“+=-a b a b ”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（5）已知x,y R,且x y o，则

（A）-（B）

（C）(-0 （D）lnx+lny

(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）

（B）

（C）

（D）1

(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则

（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为

（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为

（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。 （10）在

的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）

（11）在极坐标系中，直线与圆

交于A ，B 两点，

则 =____________________.

（12）已知

为等差数列，为其前n 项和，若

，，则.

（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B

为该双曲线的焦点。若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. （14）设函数

①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；

②若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是_________________。

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分） 在?ABC 中，3

3

3

2a c b ac +=+ （I ）求B ∠ 的大小

（II ）求2cos cos A C + 的最大值

（16）（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8

B 班 6 7 8 9 10 11 12

C 班

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

（I ） 试估计C 班的学生人数；

（II ） 从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（III ）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断

和

的大小，（结论不要求证明）

（17）（本小题14分） 如图，在四棱

锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，

PA ⊥PD ,PA=PD,AB ⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5 ,

（I ）求证：PD ⊥平面PAB;

（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；

（II I ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BMll 平面PCD?若存在，求AM

AP

的值；若不存在，说明理由。

（18）（本小题13分）

设函数f(x)=xe a x e - +bx ，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4， （I ）求a,b 的值；

(I I) 求f(x)的单调区间。

（19）（本小题14分）

已知椭圆C ：22221X y a b += （a>b>0）的离心率为32

，A （a,0）,B(0,b)，O （0，0），△OAB 的面积为1.

（I ）求椭圆C 的方程；

(I I)设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。 求证：lANl lBMl 为定值。

（20）（本小题13分）

设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合。 （I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠ ? ；

(I I I ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于N a -1a 。

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C （6）A （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）60 （11)2 （12）6

（13）2 （14）2 )1,(--∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得2

2222cos 222=

=-+=ac ac ac b c a B . 又因为π<∠

π

=∠B .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知4

3π

=

∠+∠C A . )4

3cos(cos 2cos cos 2A A C A -+=+π

)4cos(sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2π-=+=+-

=A A A A A A , 因为430π<

∠

π

=∠A 时，C A cos cos 2+取得最大值1. （16）（共13分）

解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为4020

8

100=?

. （Ⅱ）设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1???=i ， 事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1???=j ，

由题意可知，51)(=

i A P ，5,,2,1???=i ；81

)(=j C P ，8,,2,1???=j . 40

1

8151)()()(=?=j i j i C P A P C A P ,5,,2,1???=i ,8,,2,1???=j .

设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，

3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A

因此

)

()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8

3

40115)()()()()()()(45352515342414=?

=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （Ⅲ）01μμ<. （17）（共14分） 解：（Ⅰ）因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥， 所以⊥AB 平面PAD . 所以PD AB ⊥. 又因为PD PA ⊥， 所以⊥PD 平面PAB .

（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结CO PO ,.

因为PD PA =，所以AD PO ⊥.

又因为?PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .

因为?CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO . 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.

如图建立空间直角坐标系xyz O -.由题意得，

)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.

设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则

????

?=?=?,0,0PC n PD n 即???=-=--,

02,

0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=n .

又)1,1,1(-=PB ，所以3

3

,cos -

=?>=

n PB n PB n . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为

3

3.

（Ⅲ）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .

因为?BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=?n BM ， 即0)2,2,1(),,1(=-?--λλ，解得4

1=

λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得∥BM 平面PCD ，此时4

1

=AP AM . （18）（共13分） 解：（Ⅰ）因为bx xe

x f x

a +=-)(，所以

b e x x f x a +-='-)1()(.

依题设，???-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即???-=+-+=+--,

1,22222

2e b e e b e a a 解得e b a ==,2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ex xe x f x

+=-2)(.

由)1()(12--+-='x x

e x e

x f 即02>-x e 知，)(x f '与11-+-x e x 同号.

令1

1)(-+-=x e x x g ，则1

1)(-+-='x e

x g .

所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .

综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. （19）（共14分）

解：（Ⅰ）由题意得????

???

??+===,,121

,23

222c b a ab a

c 解得1,2==b a .

所以椭圆C 的方程为14

22

=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，

设),(00y x P ，则442

020=+y x .

当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(2

00

--=

x x y y . 令0=x ，得2200--

=x y y M .从而221100

-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为11

0+-=

x x y y . 令0=y ，得100--

=y x x N .从而1

2200

-+=-=y x x AN N . 所以2

211200

00-+

?-+

=?x y y x BM AN 2

28

844224844400000000000000002

020+--+--=

+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.

当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=?BM AN . 综上，BM AN ?为定值. （20）（共13分）

解：（Ⅰ）)(A G 的元素为2和5.

（Ⅱ）因为存在n a 使得1a a n >，所以{

}

?≠>≤≤∈*

1,2a a N i N i i .

记{}

1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*， 则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,. 因此)(A G m ∈，从而?≠)(A G . （Ⅲ）当1a a N ≤时，结论成立. 以下设1a a N >. 由（Ⅱ）知?≠)(A G .

设{}

p p n n n n n n A G

对p i ,,1,0???=，记{}

i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*

,.

如果?≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .

又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以?=p G . 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤. 对i i n n a a p i ≤-???=-+11,1,,1,0.

因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a . 所以p a a

a a a a i i

p n p

i n n N ≤-=

-≤--∑=)(11

11.

因此)(A G 的元素个数p 不小于1a a N -.