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板块命题点专练(四) 基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程

板块命题点专练(四) 基本初等函数（Ⅰ）及函数与方程

1.(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0

C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0

解析：选A由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－b

2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0.

2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()

A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z

解析：选D设2x＝3y＝5z＝k>1，

∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.

∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝

log k2－

log k3

＝2log k3－3log k2

log k2·log k3＝

log k32－log k23

log k2·log k3＝

log k

log k2·log k3>0，

∴2x>3y；

∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝

log k3－

log k5

＝3log k5－5log k3

log k3·log k5＝

log k53－log k35

log k3·log k5＝

log k

125

243

log k3·log k5<0，

∴3y<5z；

∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝

log k2－

log k5

＝2log k5－5log k2

log k2·log k5＝

log k52－log k25

log k2·log k5＝

log k

log k2·log k5<0，

∴5z>2x.∴5z>2x>3y.

3．(2015·山东高考)若函数f(x)＝2x＋1

2x－a

是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为

()

A．(－∞，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1，＋∞)

解析：选C因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

即2－x＋1

2－x－a

＝－

2x＋1

2x－a

.化简可得a＝1，则

2x＋1

2x－1

>3，即

2x＋1

2x－1

－3>0，

即2x＋1－3(2x－1)

2x－1

>0，故不等式可化为

2x－2

2x－1

<0，即1<2x<2，

解得0

4．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()

A．a

C．c

解析：选C由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.

所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，

b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，

c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c

5．(2012·浙江高考)设a＞0，b＞0.()

A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b

B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b

C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b

D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b

解析：选A当0

∴2a＋2a<2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b成立．

∴它的逆否命题也不成立；

若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b成立，故A正确，B错误．

当0

∴C不正确，同理D不正确．

6．(2016·浙江高考)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R.( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b

解析：选B ∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．

∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b ，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.

7．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若

f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．

解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1

e x ，

得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1

e x －e x ＝－

f (x )，

所以f (x )是R 上的奇函数．

又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1

e x ≥3x 2－2＋2

e x · 1

x ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，

所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤1

2，

故实数a 的取值范围是????－1，12. 答案：?

???－1，1

2 8．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)．

(1)当b ＝a 2

4＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；

(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝????x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2

当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 2

4＋a ＋2.

当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ????－a

2＝1. 当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 2

－a ＋2.

综上，g (a )＝???

a 2

＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，

a 2

4－a ＋2，a ＞2.

(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，

则?????

s ＋t ＝－a ，st ＝b ，

由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)．

当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2

t ＋2

由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2

t ＋2

≤9－45，

所以－2

≤ b ≤9－4 5.

当－1≤t <0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2

t ＋2

，

由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2

t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.

故b 的取值范围是[－3,9－4 5 ]．

9．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中

min{p ，q }＝?

???

p ，p ≤q ，q ，p ＞q .

(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围． (2)①求F (x )的最小值m (a )；

②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．

解：(1)由于a ≥3，故当x ≤1时，

x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0；当x ＞1时，

x 2－2ax ＋4a －2－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．

所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]． (2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，

即m (a )＝?????

0，3≤a ≤2＋2，

－a 2

＋4a －2，a ＞2＋ 2.

②当0≤x ≤2时，F (x )＝f (x )，此时M (a )＝max{f (0)，f (2)}＝2. 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，

此时M (a )＝max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }，当a ≥4时，34－8a ≤2；当3≤a ＜4时，34－8a ＞2，

∴M (a )＝?????

34－8a ，3≤a ＜4，

2，a ≥4.

1.(2014·湖北高考)已知f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当x ≥0 时， f (x )＝x 2－3x . 则函数g (x )＝f (x )－x ＋3 的零点的集合为( )

A ．{1,3}

B ．{－3，－1,1,3}

C ．{2－7，1,3}

D ．{－2－7，1,3} 解析：选D 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根，由x 2－3x ＝x －3，

解得x ＝1或3；当x <0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x .由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．选D.

2．(2014·北京高考)已知函数f (x )＝6

x －log 2x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是

( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,4)

D ．(4，＋∞)

解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－1

2<0，

所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.

3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝?

???

|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，

使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．

解析：作出f (x )的图象如图所示．

当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，

∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0. 又m ＞0，解得m ＞3. 答案：(3，＋∞)

4．(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ????x ＋π

2－x 2的零点个数为________．解析：f (x )＝2sin x sin ????x ＋π

2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin 2x ＝x 2.

设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．

答案：2

1.(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇

宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与M

N最接近的是()

(参考数据：lg 3≈0.48)

A．1033B．1053 C．1073D．1093

解析：选D因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，

则M

N≈

10173

1080＝10

93.

2．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是

192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

解析：由已知条件，得192＝e b ， ∴b ＝ln 192.

又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2， ∴e 11k

＝????481921

2＝????141

2＝1

设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，

则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×????123＝24. 答案：24

(整理)基本初等函数教案.

第二章基本初等函数指数和指数函数考点回顾： 1．幂的有关概念 (1)正整数指数幂 )(*∈????=N n a a a a a n n 个 (2)零指数幂 )0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4) 正分数指数幂 ) 0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； (5) 负分数指数幂 ) 10,,,1m n m n a a m n N n a -* = = >∈> (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质 ()() 10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()() 20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()() 30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中() *∈>N n n ,1，n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则 ???<-≥==00a a a a a a n n ②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零课堂练习: 1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数

C ．指数函数 D ．余弦函数 2． (2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 3． (2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．01>a >0 4． (2010·辽宁，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) B ．10 C ．20 D ．100 5．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N * )都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( ) A ．a 3＋a 7>2a 5 B ．a 3＋a 7<2a 5 C ．a 3＋a 7＝2a 5 D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 6． (2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,4) C ．(1 2，2) D ．(0,1) 7. (2010·北京东城区)定义在 R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ????? 21－x x ≤0 f x －1－f x －2 x >0 ，则f (－1)＝______，f (33)＝________. 8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 9．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围．