数学运算讲义解析版2003
公考选卓博轻松就通过
2013年山东省考卓博行测
精讲班辅导资料
班次：
班别：精讲班
科目: 数量关系
主讲：杜壬禾
时间：2013年01月
2013山东省考卓博数量关系精讲
Part.1 数量关系综述 (3)
一、大纲解析 (3)
二、考情分析 (3)
三、复习方法 (5)
Part.2 数学运算基本解题方法 (6)
一、方程法 (6)
二、公式法 (8)
三、数字特性法 (10)
Part.3 数学运算模块精讲 (15)
一、行程问题 (15)
二、工程问题 (20)
三、浓度问题 (21)
四、利润问题 (22)
五、时钟问题 (23)
六、抽屉原理 (27)
七、盈亏问题 (28)
八、鸡兔同笼与还原问题 (30)
九、植树问题 (32)
十、容斥原理 (33)
十一、牛吃草问题 (34)
十二、排列组合问题 (37)
十三、统筹类问题 (44)
十四、几何问题 (48)
十五、年龄问题 (55)
十六、日期问题 (55)
十七、方阵问题 (57)
Part.4 数学运算速解方法 (57)
一、比例法 (58)
二、十字相乘法 (59)
三、代入排除法 (61)
四、赋值法 (62)
五、逆推法 (63)
Part.5 真题实战演练 (63)
真题实战演练答案 (70)
Part.1 数量关系综述
一、大纲解析
第一种题型：数字推理。每道题给出一个数列，但其中缺少一项，要求报考者仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律，然后从四个供选择的答案中选出最合适、最合理的一个来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。
【例题】1 2 4 8 16 （）
A．16 B．24 C．32 D．36
第二种题型：数学运算。每道题给出一个算术式子或者表达数量关系的一段文字，要求报考者熟练运用加、减、乘、除等基本运算法则，并利用其他基本数学知识，准确迅速地计算或推出结果。
【例题】某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？
A．8 B．10 C．12 D．15
二、考情分析
三、复习方法
（一）按照题目类型分模块集中做题；
（二）真题至上，国考、省考、联考真题；
（三）反复精研真题，尝试一题多解，提高做题熟练度和思维广度深度。
Part.2 数学运算基本解题方法
一、方程法
（一）定方程
【例题1】：（2009浙江行测第21题）
A、B两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60千米。邮递员骑车从A村到B村，用了3.5小时；再沿原路返回，用了4.5小时。已知上坡时邮递员车速是12千米/小时，则下坡时邮递员的车递是（）
A．10千米/小时 B．12千米/小时 C．14千米/小时 D．20千米/小时
解析：一去一回，上坡一个全程，下坡一个全程，设下坡车速为X，60/12+60/x=3.5+4.5 解得X=20
法二：一个来回就是2个全程，也就2X60=120，一共用了3.5+4.5=8个小时速度为 120/8=15KM/h 这个是平均速度，下坡要快些，自然得超过15千米每秒，一看答案，自然20千米每秒。
【例题2】：（2009北京行测第11题）
游乐场的溜冰滑道如下图所示，溜冰车上坡时每分钟行驶400米，下坡时每分钟行驶600米，已知溜冰车从A点到B点需要3.7分钟，从B点到A点只需要2.5分钟。AC比BC长多少米?
A．1200 B．1440 C．1600 D．1800
解析：AC/400+BC/600=3.7 AC/600+BC/400=2.5
两式做差=(AB-BC)/1200=1.2 AC-BC=1440 ,选B。
提示：有时候掌握列方程基本方法，也能快速秒杀题目，关键在于使用娴熟。
【例题3】：（2010河北行测38题）
小张和小王同时骑摩托车从A地向B地出发，小张的车速是每小时40公里，小王的车速是每小时48公里。小王到达B地后立即向回返，又骑了15分钟后与小张相遇。那么A地与B地之间的距离是多少公里？( )
A.144
B.136
C.132
D.128
法一：在这个题目中，两个人的速度是不一样的，而且题目中给出“同时出发”“相遇”这样的字眼，所以时间一定是不变量。拿时间作为等量关系，则甲的路程是S+12，乙的路程是S-12，速度分别是48和40，
那么用时间相等列式应该表示成：，解得S=132。
法二：设小王到达B地的时间为T,S=48T,48(T+1/4)+40(T+1/4)=2s,解得T=11/4
法三：48(T+1/4)+40(T+1/4)=2s→88（T+1/4）=2S→44(T+1/4)=S,S能被44整除，选C。
（二）不定方程
【例题1】(2009北京)
有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。写有1.1和1.11的卡片各有多少张?
A. 8张，31张
B. 28张，11张
C. 35张，11张
D. 41张，1张
设1.11的有X张，1.1的有Y张。1.11X+1.1Y=43.21 Y=（4321-111X）除以110=39-X-（X-31）除以110 X只能是31张，Y有8张。
【例题2】(2009国考)
已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书？
A.75
B.87
C.174
D.67
甲的书有13/100是专业书，甲的书的数量是100的整倍数。乙的书有12.5％是专业书，即1/8是专业书，乙的书是8的整倍数。两人书数量之和=260 甲可能有100本或200本，甲有200本时，乙有60本，不是8的整倍数，舍去。甲有100本，乙有160本。100*(1-13/100)=87(本) 甲有87本非专业书。本题关键是把比率化为最简分数。
【例题3】(2007国考)
共有20个玩具交给小王手工制作完成。规定制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣。最后小王共收56元，那么他制作的玩具中不合格的共有（）个。
A.2
B.3
C.5
D.7
［解析］设小王制作了合格玩具x个，不合格玩具y个，因此5x-2y=56。
将B代入，y=3，得到5x=62，排除B选项；
将C代入，y=5，得到5x=66，排除C选项；
将D代入，y=7，得到5x=70，得x=14，此时x+y=21＞20，排除D选项；
因此选择A。［华图名师点评］本题在实际考场当中操作的时候，只需要代入A选项发现满足条件即可选择A，而不需要将后面三个选项再一一验证。
【例题4】(2009国考)
甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。单独购买签字笔、圆珠笔、铅笔各一支共需多少钱?
A.10元
B.11元
C.17元
D.21元
解析：3x+7y+z=32 4x+10y+z=43 9x+21y+3z=96 8x+20y+2z=86
二、公式法
（一）乘法与因式分解公式：
（二）裂项和公式
（三）等差数列与等比数列常用公式
（四） 特殊数列求和公式
（五） 平均数问题：总和＝平均数×个数
（六） 中位数问题：将一组数据按大小顺序依次排列，如果数据时单数个，就找出最中间位置的一个数据；如果数据是偶数个就求出最中间两个数据的平均数，这个数就是这组数据的中位数。
【例题1】(2007年福建)
12－22＋32－42＋52－62＋……＋92－102＝( )。 A.－55 B.－45 C.45 D.55
解析：-3 +（-7）+（-11）+（-15）+（-19）=-55
【例题2】(2009江苏C 类) 1=-y x ，=--333y xy x （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
解析：因式分解结合x-y=1
【例题3】（2008国家）
{a n }是一个等差数列，a 3+a 7-a 10=8，a 11-a 4=4，则数列前13项的和是（）。 A. 32 B. 36 C. 156 D. 182
解析：a7-8=a10-a3=a11-a4=4 a7=12 s=12*13=156
【例题4】（2008浙江）
在自然数1至50中，将所有不能被3除尽的数相加，所得的和是（）。 A. 865 B. 866 C. 867 D. 868
解析：3 6 9 12 …… 48 d=3 48-3=45 15+1=16 s=2/(16(3+48))=8*51=408 S=2/(50*51)=25*51 17*51
【例题5】(2008国考)
编一本书的书页，用了270个数字(重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字)，问这本书一共多少页?( )
A. 117
B. 126
C. 127
D. 189
解析：我们假设有A页这A页分3个部分个位，十位，百位，所有页码都有个位数那么就有A 个个位数，除了9个个位数页码没有十位数其余都有十位数页码即A－9 同理百位数就是A－99那么总字数就是A＋（A－9）＋（A－99）＝270
三、数字特性法
（一）奇偶运算法则
【例题1】(2008山西)
某人做一道整数减法题时，把减数个位上的3看成了8，把减数十位上的8看成了3，得到的差是122，那么正确的得数应该是（）。
A. 77
B. 88
C. 90
D. 100
解析：法一：个位多减了5，十位少减了50，少减了45,122-45=77
法二：被减数减去一个个位数字为8的减数(个位为8，该数为偶数)得到122，那么被减数减去个位数字为3的减数，结果一定为奇数，所以答案选择A。
【例题2】(2004山东)
某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和未答对的题数相差多少（）。
A.33
B.19
C.17
D.16
解析：由题目很容易的可以得到：答对题目加未答对题目=50,50是一个偶数，所以答对题目与未答对题目的差一定也是偶数，所以答案选择D。
【例题3】(2010黑龙江)
一次数学考试共有20道题，规定：答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解析：小明答对一题得2分，所有答对的题目总得分一定是偶数，答错一题扣1分，最终小明得了23分，可以确定小明的错题数一定是一个奇数，排除BD。假设A 为答案，答错3道题目，那么答对了(23+3)/2=13题，未答题目为20-3-13=4道题，符合要求，所以答案选择A。
【例题4】(2009北京)
哥哥5年后的年龄和弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍。哥哥今年( )岁。
A.10
B.12
C.15
D.18
解析：哥哥5年后和弟弟3年前的年龄和为29岁，那么哥哥和弟弟现在的年龄和一定是29-5+3=27岁，弟弟的年龄是年龄差的4倍，也就是说弟弟的年龄一定是一个偶数，所以哥哥的年龄一定是一个奇数，答案选择C。
（二）倍数法则
【例题1】(2010江西)
11338×25593的值为：
A.290133434
B.290173434
C.290163434
D.290153434
解析：这几个数只有中间一位不一样，2+9+0+1+3+4+3+4=26不能被3整除，因为25593是3的倍数，所以26+中间那位之后这个数可以被3整除，所以选B 26+7=33，其它的26+3=29，26+6=32，26+5=31都不行
【例题2】(2011国考)
某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？
A.329
B.350
C.371
D.504
答案：A
解析：比例问题。
秒杀思维一：今年男员工人数是 N*94/100=N*47/50 人数只能是整数，N跟50约分后，跟47相乘。所以男员工人数必然是47的倍数。只有A符合。
秒杀思维二：今年员工人数是830+3＝833人，考官很可能把男女今年分别的人数作为选项，因为很多人考场巨大压力下，在列方程求出女生人数后，却忘记用总人数减去女生人数，求得男生人数。
我们看AD选项，329+504＝833 恰好是总人数。又男减女增，总人数增多，可见总人数受女生影响较大，去年女生人数较多。那么我们可以估计男生可能是较少数，选A.
秒杀思维三：也有考生求出去年男生数，却忘记乘1-6％＝47/50了。我们看选项，只有B项是50的倍数，我们猜测这可能就是去年男生人数，用它乘以47/50验证一下，发现恰好得到A329的结果。选A
秒杀思维四：十字交叉法
-0.06*830 38.5 35
3
0.05*830 52.8 48
830*35/83=350
350*(1-6%)=329 选项只有A比350少，直接选A。
秒杀思维五：列方程
X+Y=830
X*6%-Y*5%=-3
求得X=350
350*(1-6%)=329
秒杀思维六：用鸡兔同笼问题的公式直接求解去年男生人数，
|3-5％*830|/0.05-(-0.06)=350
350*(1-6%)=329
（无需计算，只A比350小。）
【例题3】(2011浙江)
一个四位数“□□□□”分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少（）？
A．17 B．16 C．15 D．14
法一：因为15、12和10的最小公倍数是60.
所以□□□□=60K，且□□□□除以15、12和10得到的商为4K,5K,6K，
按题意可得4K+5K+6K=1365，所以K=91。
□□□□=60K=5460。结论显然为【C】。
法二：一个数能被12除尽，肯定可以被3除尽。由被3除尽的数的特点知道只有C满足
【例题4】(2011联考)
某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号，凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？
A.12
B.9
C.15
D.18
解析：
根据题意，排名第三的员工工号能被3整除，则排名第三的员工工号所有数字之和应该能被3整除，这个结论不能排除任何一个选项。再根据10名新员工的工号是10个连续的四位自然数，说明排名第三的员工工号加上6后就是排名第九的员工工号，也就是说，排名第三的员工工号所有数字之和再加上6后一定能被9整除，只有12满足，答案是12。
【例题5】(2011国考)
一个班的学生排队，如果排成3人一排的队列，则比2人一排的队列少8排；如果排成4人一排的队列，则比3人一排的队列少5排，这个班的学生如果按5人一排来排队的话，队列有多少排？
A.9
B.10
C.11
D.12
解析：
2人比４人多１３排
对折一半
２人时有２６排，４人时有１３排
共５２人
c
（三）最大公约数与最小公倍数
【例题1】
有两个两位数，这两个两位数的最大公约数与最小公倍数的和是91，最小公倍数是最大公约数的12倍，求这较大的数是多少？
A.42
B.38
C.36
D.28
【答案】D。解析：就是最大公约数与最小公倍数问题，那么我们可以根据定义来解决。这两个数的最大公约数是91÷（12+1）=7，最小公倍数是7×12=84，7*84就是这两个数的乘积，代入42，另一个数就是14，那么最大公约数就是14，与题意矛盾，那么只能选D。
【例题2】（2011联考）
有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交部站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟，假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会几点？
A.11点整
B.11点20分
C.11点40分
D.12点整
解析：
40，25，50的最小公倍数200，所以8点加200分钟，是11点20分，选B。
【例题3】(2008国考)
甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？
A.10月18日
B.10月14日
C.11月18日
D.11月14日
解析：
6,12,18,30 的最小公倍数，应该是180
我们按照每个月30天算应该是6个月那就是11月18日因为其中经过了 5，7，8，10这4个大月所以减少4天即11月14日
（四）余数问题
【例题1】(2006北京)
两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少?( ) A. 12 B. 41 C. 67 D. 71
解析：
设被除数为A，除数B
则 5*B+11=A ; A+B+5+11=99
解得 B=12；A=71.
【例题2】(2008山东)
有a、b、c、d四条直线，依次在a线上写1，在b线上写2，在c线上写3，在d线上写4，然后在a线上写5，在b线、c张和d线上写数字6、7、8…按这样的周期循环下去，问数字2005在哪条线上？（）
A. a线
B. b线
C. c线
D. d线
解析：
有周期，1在A 5在A 9又在A
A线上的数字是 N*4+1
B线上的是N*4+2
...........
2005=501*4+1 余数为1 故在A上
【例题3】(2006国考)
一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个？（）A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
解析：
用剩余定理做：
7*100+2*36+3*45=907
9、5、4的最小公倍数是：180
907/180=5。。。7
所以这样的三位数是：180*1+7=187
180*2+7=367
180*3+7=547
180*4+7=727
180*5+7=907
共有：五个
Part.3 数学运算模块精讲
一、行程问题
【例题1】(2011国考)
小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从A城到B城需要多少分钟？
A.45
B.48
C.56
D.60
解析：速度比是1:2:4，时间比是4:2:1,5份对应2小时，一份对应24分钟，跑步时间两份，共48分钟。
【例题2】(2003浙江)
一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米；返回时速度为每小时20千米，则它往返的平均速度为（）千米/小时。
A. 24
B. 24.5
C. 25
D. 25.5
解析：公式法，选A。
【例题3】(2005国考)
甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑
1/7圈。丙比甲少跑1/7圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面（）。
A．85米B．90米C．100米D．105米
解析：时间相等，路程比等于速度比，7:8:6，乙跑800，甲跑700，丙跑600，选C。
【例题4】(2005北京)
甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分钟相遇。已知甲车速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，那么，甲车提前了多少分出发（）分钟。
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
解析：当甲车提前走的路程等于两车共同走30分钟的路程时
两车会提前30分钟相遇
因此设甲车提前X分钟出发
60X=（40+60）×30
60X=3000
X=50
【例题5】(2010联考)
一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍?
解析：可以设队伍的长度S=1，队伍速度为V=1，那么这段时间为t=1/1=1;
设传令兵速度为X，则题目转化为求 Xt/1=X
将这一过程分为两部分（追赶+逆向）列一个方程：
S/(X-V)+S/(X+V)=t，即1/(X-1)+1/(X+1)=1
解得X=根号2+1
选C
网上找到另一种方法
O-----------------A
1
O--------C---------B
1-x x
设部队长度为OA=OB=1，传令兵去传令的
路程=返回队尾的路程=OC=X，
C为传令兵走完时候位置
当传令兵到队首时，与队伍的行进路程比为1+X:X,当传令兵回到队尾时，路程比为
X:1-X，可列比例式1+X:X=X:1-X，解得X=1+跟2
【例题6】(2011浙江)
a大学的小李和b大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于a、b两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问a、b两校相距多少米？( )
A.1140米
B.980米
C.840米
D.760米
解析：第二次相遇，2人共走了3S
85+105)*12/3=760
【例题7】(2011国考)
甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米，两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次？
A.2
B.3
C.4
D.5
解析：泳池长 30米，两人速度和为 90米/分，则两人相遇时所走的路程和应为1×30，3×30，5×30，7×30……，而 1分 50秒两人游了90×11/6=165米，所也最多可以相遇 3次
【例题8】(2007黑龙江)
一列队伍长15米，它以每分钟85米的速度通过一座长100米的桥，问队伍从队首上桥到队尾离开桥大约需要多少分钟？（）
A．1．0 B．1．2 C．1．3 D．1．5
解析：选择C，因为（15+100）/85约等于1.35，四舍五入，1.4。
【例题9】(2010浙江)
某环形公路长15千米，甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行，0.5小时后相遇，若他们同时同地同向而行，经过3小时后，甲追上乙，问乙的速度是（）千米/小时？
A. 12.5
B. 13.5
C. 15.5
D. 17.5
解析：设甲速度X,乙Y，15/（x+y）=0.5，15/（x-y）=3，x=17.5 y=12.5，A。
【例题10】
一只钟，每小时慢3分钟，早上4点30分时把表调准，则表走到上午10点50分时，标准时间是多少？
解析：应该是上午11点09分
一共走了6小时20分钟,平均每小时慢3分钟那么就是每20分钟慢1分钟,那么6小时20分钟就慢
了:6*3+1=19分钟,所以标准时间应该是:上午11点09
【例题11】（2009国考）
中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
解析：分针一小时比时针多走11/12圈,当分针比时针多走一圈是才能重叠依次,所以重叠一次所用的时间为12/11小时,而12小时包含有11个12/11小时,所以为11了
【例题12】(2009浙江)
甲、乙两港相距720千米，轮船往返两港需要35小时，逆流航行比顺流航行多花5小时，帆船在静水中每小时行驶24千米，问帆船往返两港要多少小时？
A.58小时
B. 60小时
C.64小时
D. 66小时
解析：先求静水速度(720/15-720/20)/2=6
所以帆船顺水30，逆水18
720/30+720/18=64
【例题13】(2010国考)
某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游船从甲到乙／顷水匀速行驶需3小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需4小时。假设水流速度恒定，甲乙之间的距离为y 公里，旅游船在静水中匀速行驶少公里需要x小时，则x满足的方程为：
A. 1/4-x = 1/x + 1/3
B. 1/3+x = 1/4 + 1/x
C. 1/3 - 1/x = 1/4 + 1/x
D. 1/3 - 1/x = 1/x - 1/4
解析：D
顺水速度—静水速度=静水速度—逆水速度=水速。
【例题14】（2005国家二类）
商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有（）。
A.40级
B.50级
C.60级
D.70级
解析：根据题意可知男孩逆电梯而行，电梯给男孩帮了倒忙，男孩所走的80级比电梯静止时的扶梯级数多，由于电梯帮倒忙而让男孩多走了一些冤枉路。反观女孩则是顺电梯而行，电梯帮助女孩前进，也就是说女孩走的40级比静止时的扶梯级数少，由于电梯的帮助而使女孩少走了一些梯级。显然男孩和女孩所走的路程比为 80：40=2：1，而根据题意可知男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，也就是说男孩的速度是女孩的两倍。至此可知男孩和女孩的路程比等于速度比，说明男孩和女孩爬扶梯所用的时间相等，也就说明扶梯给男孩帮倒忙的时间和给女孩帮忙的时间相等，又因为扶梯的速度一定，进而可以推出扶梯让男孩相对于静止扶梯级数多走的路程和扶梯让女孩相对于静止扶梯级数少走的路程相等，故此我们只需要讲男孩和女孩所走的路程相加就可以将男孩多走的路程和女孩少走的路程抵消掉，得到两倍的扶梯静止时的级数，除以2即可得到所求的结果。所以这道题答案是（80+40）÷2=60 。
【例题15】（2007山东）
甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；
当甲走了36级到达顶部，而乙则走了24级到顶部。那么，自动扶梯有多少级露在外面？（）A. 68 B. 56 C. 72 D. 85
解析：根据题意我们知道甲乙二人的速度比为2：1，所以当甲到达扶梯顶部时也就是甲走了36级时，乙走了18级，由于二人乘坐的电梯速度相同又同步，所以两种方式电梯走过的路程相同，此时乙距离顶部还有36-18=18级。而乙走了24级到达顶部，已经走了18级，还需要再走24-18=6级，而距离顶部还有 18级，说明还有18-6=12级是扶梯走的。由此我们可以推断扶梯和乙的速度比为12：6=2：1，因为时间相同时路程比等于速度比，也就说明了扶梯的速度和甲的速度相等，那么相同时间甲和扶梯的路程也相等，所以扶梯的级数为36×2=72。
二、工程问题
【例题1】（2009国考）
一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再有甲接替乙挖1天……，两人如此交替工作，那么，挖完这条隧道共用多少？A.14 B.16 C.15 D.13
解析：甲用20天的时间可以挖完，说明甲每天完成工程总量的1/20，乙用10天的时间可以挖完，那么乙每天完成工程总量的1/10。一个循环（甲乙两人各挖1天）共完成1/20＋1/10＝3/20。如此6个循环后可以完成工程总量的18/20，还剩余2/20。甲再挖一天完成1/20，还剩余1/20，需要乙再挖半天才能完成。因此共需要6 2＋1＋1＝14天。所以，正确选项是Ａ。
【例题2】(2011国考)
甲、乙、丙三个工程队的效率比为6：5：4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束，问丙队在A工程中参与施工多少天？
A.6
B.7
C.8
D.9
解析：方法一：设三人工作效率分别是4 5 6,则共完成 16(4+5+6)=240 份，分别完成240/2=120 份，列方程: 6*16+4X=120 看尾数 0-6=4 **4/4=1或6,根据选项只有A符合。X=6
方法二: 比例法，总工作时间一样，所以甲完成6a，乙完成5a，丙完成4a 。6a+5a+4a=15a，A,B 工程一共15a，所以分别7.5a 。所以丙帮甲完成 1.5a 帮乙完成 2.5a，所以，丙帮甲16×
1.5/(1.5+
2.5)=6天。
2003考研数学一真题及答案解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷答案解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） ) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +→ = e 1 . 【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式) ()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行 计算求极限均可. 【详解1】 ) 1ln(1 2 ) (cos lim x x x +→=x x x e cos ln ) 1ln(1 lim 20+→, 而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02 020-=-==+→→→x x x x x x x x x x ， 故 原式=.12 1 e e = - 【详解2】 因为 2121lim )1ln(1 )1(cos lim 2 20 2 -=- =+? -→→x x x x x x ， 所以 原式=.12 1e e = - 【评注】 本题属常规题型 （2） 曲面2 2 y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 542=-+z y x . 【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面2 2y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n 平行确定. 【详解】 令 2 2 ),,(y x z z y x F --=，则 x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F . 设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面
高考真题理科数学解析版
理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用
哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右
考研数学三试题解析超详细版
考研数学三试题解析超 详细版 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
备注：前期已经传了2003-2011年9年的真题，现将答案发布供大家参考！想只要真题的童鞋请搜索C Z _V i c t o r 的文库下载，谢谢！ 2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限1 2sin lim 2+∞→x x x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. For personal use only in study and research; not for commercial use （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则 For personal use only in study and research; not for commercial use }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 a 1 b 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+=221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其 中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ]
2005年河南专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1.函数x x y --=5) 1ln(的定义域为为 （ ） A. 1>x B.5
A. 1 B. -1 C. 21 D. 2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B. 21- C. 41 D. 4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-, 所以 dy dx ) 1() 1(x y y x --= ,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n 解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！ ='?='''?='='', ?ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B. 9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11 )(2 --=x x f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,2 1 (内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的 解: 在)1,21 (内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函 数)(x f 在)1,2 1 (内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.
2018年全国卷1理科数学试题详细解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学 解析人 跃华 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{}{} 131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=U A B x x D ．A B =?I 【答案】A 【解析】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x =
3. 设有下面四个命题（） 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． A ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， 【答案】B 【解析】1:p 设z a bi =+，则 2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确； 3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复 数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确； 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】45113424a a a d a d +=+++= 6165 6482 S a d ?=+ = 联立求得11 272461548a d a d +=???+=??① ② 3?-①②得()211524-=d 624d = 4d =∴ 选C 5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的 x 的取值围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13， 【答案】D 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=， 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤ 3x ∴1≤≤ 故选D
2003年考研数学二试题及答案
2003年考研数学（二）真题评注 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） 若0→x 时，1)1(4 12--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . （3） x y 2=的麦克劳林公式中n x 项的系数是 . （4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 . （5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若???? ??????----=111111111T αα，则 ααT = . （6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2 ，其中E 为三阶单位矩阵，若 ???? ? ?????-=102020101A ，则 =B . 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞ →n n a ,1lim =∞ →n n b ,∞=∞ →n n c lim ,则必有 (A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞ →lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞ →lim 不存在. [ ] （2）设dx x x a n n n n n +=?+-12310 1 , 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(2 3++e . (B) 1)1(2 31-+-e . (C) 1)1(2 3 1++-e . (D) 1)1(2 3-+e . [ ]
2005年考研数学一真题(解析)
2005年考研数学一真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线1 22 +=x x y の斜渐近线方程为 _____________. （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9 1)1(-=y の解为. ____________. （3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3 1= n ρ，则) 3,2,1(n u ??=.________. （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成の空间区域，∑是Ωの整个边界 の外侧，则 ??∑ =++zdxdy ydzdx xdydz ____________. （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .. （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P =____________. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前の字母填在题后の括号内） （7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f(x)在),(+∞-∞内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，""N M ?表示“M の充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数? +-+-++=y x y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导 数，则必有 (A) 2222y u x u ??-=??. （B ） 2222y u x u ??=??. (C) 222y u y x u ??=???. (D) 222x u y x u ??=???. [ ]
高考全国1卷理科数学试题及答案解析
绝密★启用前 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页， 23小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前， 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时， 选出每小题答案后， 用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题， 每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}， B ={x |31x <}， 则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图， 正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ， 则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ， 则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ， 则12z z =；
2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数 学（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的 1．已知2 (π - ∈x ，0），5 4c o s = x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）7 24 （D ）724 - 2．圆锥曲线θ θρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数?????-=-2112)(x x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+） （C ）（∞-，2-）?（0，∞+） （D ）（∞-，1-）?（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）2 5．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+ 6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22R π （B ）249 R π （C ）238R π （D ）223R π 7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为4 1的的等差数列，则 =-||n m （ ） （A ）1 （B ）4 3 （C ）21 （D ）83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3 2 - ，则此双曲线的方程是 （ ）
2005全国高考数学3试卷与答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国3理）试题精析详解 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知α为第三象限角，则2 α所在的象限是 （ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性. 【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以(2,2)()2 k k k Z π απππ∈--∈， 所以 (,)()2 24k k k Z α π πππ∈- -∈，即2 α 所在的象限是第二或第四象限.选D 解法(2)用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选D 解法(3)用特值法令 0135α=-和0225α=,也可以得到答案D 【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如 n α (1)先写出α范围(2)再求出除以n 的范围(3)再分成n 类情况讨论可完成. 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为 （ ） A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10 【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系. 【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有422 m m -=-+，得8m =-. 选B. 解法(2)可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案B. 【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ） A ．－14 B ．14 C ．－28 D ．28 【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用. 【正确解答】8 8 8 (1)(1)(1)(1)x x x x x -+=+-+，5x 的系数为45 8814C C -=.
2005考研数学三真题及答案解析
2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(2 3 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+= 221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0Λ=>n a n 若 ∑∞ =1 n n a 发散， ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞ =-11 2n n a 收敛， ∑∞ =1 2n n a 发散 . （B ） ∑∞ =1 2n n a 收敛， ∑∞ =-1 1 2n n a 发散. (C) )(1 21 2∑∞ =-+n n n a a 收敛. (D) )(1 21 2∑∞ =--n n n a a 收敛. [ ] （10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是
2018年新课标全国卷1理科数学试题及答案解析上课讲义
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ；
2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．6 2 1(1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 8．右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在和 两个空白框中， 可以分别填入 A ．A >1 000和n =n +1
2003考研数三真题及解析.doc
2 0 0 3年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) x cos 1 , 若x 0, 0 处连续，则. 设 f ( x) x 其导函数在 x 的取值范围是 0, 若x 0, (2) 已知曲线 y x3 3a 2 x b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b2 . (3) 设 a 0 ， f ( x) g( x) a,若0 x 1, D 表示全平面，则 而 0, 其他， I f ( x) g( y x)dxdy =. D (4) 设n维向量(a,0, ,0, a)T , a 0 ；E为 n 阶单位矩阵，矩阵A E B E 1 T ，其中A的逆矩阵为B，则a. a T ， (5) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为0.9, 若Z X 0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 . (6) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X1, X2, , X n为来自总体X 的简单随机样本，则当 n 时， Y n 1 n X i2依概率收敛于. n i 1 二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数g ( x) f ( x) () x (A) 在x 0 处左极限不存在 . (B) 有跳跃间断点(C) 在x 0 处右极限不存在 . (D) 有可去间断点x0 . x0 . (2) 设可微函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是( ) (A) f ( x0 , y) 在 y y0处的导数等于零. (B) f (x0, y)在y y0处的导数大于零. (C) f ( x0 , y) 在 y y0处的导数小于零. (D) f (x0 , y) 在 y y0处的导数不存在. (3) 设 p n a n a n a n a n 1,2, ，则下列命题正确的是( ) ， q n ， n 2 2 (A)若a n条件收敛，则p n与q n都收敛. n 1n 1n 1
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案
全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 一、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （1）极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . 【答案】2 【考点】等价无穷小 【难易度】★ 【详解】 解析：1 2sin lim 2+∞ →x x x x 22lim 2.1x x x x →∞=+等 （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 . 【答案】2xy = 【考点】变量可分离的微分方程；一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】 解析：方法一：原方程可化为0)(='xy ，积分得 C xy =， 代入初始条件2)1(=y 得C =2，故所求特解为 2xy =. 方法二：按变量分离法解之. 由0=+'y y x ，分离变量为 dy dx dx dx =- 积分ln ln ln y x C =-+.改写为C y x = . 去掉绝对值号，认为C 可取负值，得通解C y x =. 以2)1(=y 代入得C =2，得特解2xy =. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz . 【答案】2ed (e 2)d x y ++ 【考点】全微分形式不变性 【难易度】★★ 【详解】 解析： [] e y xe e x z y x y x 2)0,1()1ln() 0,1(=+++=??++, 2) 0,1(11)0,1(+=??? ???+++=??+e y x xe y z y x ,
于是 =) 0,1(dz dy e edx )2(2++. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则 a = . 【答案】1 2 【考点】向量组线性相关的充分必要条件 【难易度】★★ 【详解】 解析：方法一：由题设，有 21110100011010210 111 -1 -1-2-1 -1-13211212-2 -1 -2 -2 -1 -1 4321 23 1 2 a a a a a a a a a a a -----= =-=------- (1)(21)0a a =--= 得2 1,1==a a ， 但题设1≠a ，故.21=a 方法二： 令12342234112311231 12300120012[,,,]112011101111 101220011a a a a a a a a αααα????????????----? ?????=→→?????? ------?????? -----?????? 1 123011100120 0021a a ????---??=??-?? -+?? 向量组线性相关?1234[,,,]4r αααα<1a ?=或12a = ，1a =不合题意，故 1 2 a =. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X , 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则 }2{=Y P = . 【答案】 13 48 【考点】全概率公式；条件概率 【难易度】★★★
(完整版)2019年高考理科数学试题解析版
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+= C. 22(1)1x y +-= D. 22(+1)1y x += 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ． 【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22 (1)1x y +-=．故选C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 【答案】B 【解析】 【分析】 运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】 22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21, <<=则 01,c a c b <<<<．故选B ． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 12
2018全国高考II卷理科数学试题及答案解析
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
2003年数一真题、标准答案及解析(超强版)
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） )1ln(1 )(cos lim x x x +→ = . （2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . （3） 设)(cos 0 2 ππ≤≤-= ∑∞ =x nx a x n n ，则2a = . （4）从2 R 的基???? ??-=???? ??=11,0121αα到基???? ??=???? ??=21,1121ββ的过渡矩阵为 . （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他, 10, 0,6),(≤≤≤?? ?=则=≤+}1{Y X P . （6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975 .0)96.1(=Φ=Φ 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) [ ] （2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞ →n n a ,1lim =∞ →n n b ,∞=∞ →n n c lim ,则必有 (A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞ →lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞ →lim 不存在. [ ] （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2 220 ,0=+-→→y x xy y x f y x ，则
2005年考研数学一真题解析
2005年考研数学一真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） （1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为.4 1 21-=x y 【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为a=21 2lim )(lim 22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []4 1 )12(2lim )(lim -=+-=-=∞→∞ →x x ax x f b x x ， 于是所求斜渐近线方程为.4 1 21-= x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9 1 )1(-=y 的解为.9 1ln 31x x x y -= . 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式： ?+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】原方程等价为 x y x y ln 2 =+ '， 于是通解为??+?= +???=- ]ln [1]ln [2 22 2 C xdx x x C dx e x e y dx x dx x = 21 91ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.9 1 ln 31x x x y -= （3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3 1 =n ，则) 3,2,1(n u ??= 3 3. 【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n }的方向导数为：
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