实验3 曲线拟合的最小二乘法
数学与软件科学学院 实验报告
学期：××××至××××第×学期 ×××× 年 ×× 月 ×× 日 课程名称:___计算机数值方法___ 专业: ×× ××级××班 实验编号：03 实验项目 曲线拟合的最小二乘法 指导教师 ：张莉 姓名： 学号： 实验成绩：
一、实验目的及要求
实验目的：熟练掌握最小二乘原理；掌握曲线拟合的最小二乘算法。 实验要求：用一次、二次多项式拟合数据；用一般的经验函数取拟合数据。
二、实验内容
(1) 给出数据如下,分别用一次、二次多项式拟合这些数据，并给出最(2) 对下列数据用最小二乘法求形如的经验公式，画出拟合
函数图像。 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1: 实验分析 2：算法流程图 3：程序 4：测试结果
四、实验结果分析与评价
分析本次实验的结果，给出评价、总结。
注: 实验成绩等级分为(90-100分)优,(80-89分)良,(70-79分)中,(60-69分)及格,(59分)不及格
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 2 = 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最 小的曲线 )(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法 . 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) [ ] ∑ = = - m i i i y x p 0 2 min ) (
最小二乘法曲线拟合 原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ?来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ?最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ?=i y ，只要使i i i y x -=)(?δ尽可能地小）。 原理： 给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ?。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(?δ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到 了： ....... 4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB实现： MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。 polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s) y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。 如下给定数据的拟合曲线： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]， y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。 解：MATLAB程序如下： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.05:3.0; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 运行结果如图1 计算结果为： p =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560 图1 最小二乘法曲线拟合示例 对比检验拟合的有效性： 例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。 在MATLAB中输入如下代码： clear x=0:0.1:pi; y=sin(x); [p,mu]=polyfit(x,y,9)
最小二乘法的多项式拟合
用最小二乘法进行多项式拟合（m a t l a b 实现） 西安交通大学 徐彬华 算法分析： ,1,2,3,..,m),一共m+1 个数据点，取多项式P(x),使 函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，令似的 使得 其中，a0，a1,a2,…,an 为待求未知数，n 为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求 的极值问题。由多元函数求极值的必要条件： j=0,1,…,n 得到： 总共有7个数据点，令m=6 第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数n; x=::;y=[,,,,,,]; plot(x,y,'*') xlabel 'x 轴' ylabel 'y 轴' title '散点图' hold on
因此将拟合参数n设为3. 第二步：计算矩阵 A= 注意到该矩阵为（n+1）*(n+1)矩阵， 多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元素，程序如下： m=6;n=3; A=zeros(n+1); for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1 A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2) end end end; 再来求矩阵 B= B=[0 0 0 0]; for j=1:n+1 for i=1:m+1 B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1) end end 第三步：写出正规方程，求出a0,,a1…,an.
B=B'; a=inv(A)*B; 第四步：画出拟合曲线 x=[::]; z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3; plot(x,z) legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3') title('拟合图') 总程序附下： x=::;y=[,,,,,,]; plot(x,y,'*') xlabel 'x轴' ylabel 'y轴' title '散点图' hold on m=6;n=3; A=zeros(n+1); for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1 A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2) end end end; B=[0 0 0 0]; for j=1:n+1 for i=1:m+1 B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1) end end B=B'; a=inv(A)*B; x=[::]; z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3; plot(x,z) legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3') title('拟合图')
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析2012 年 4 月 13 日数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形二、方法最小二乘法三、程序M文件： syms x f;xx=input(‘请输入插值节点as [x1,x2...]\n’);ff=input(‘请输入插值_ __________________ ___________________ ___________________ ___________________实验一MATLAB在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值x为节点向量值，y为对应的节点函数值如果y
为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或xi 的维数，则返回NaN ◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1) ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值的算法默认为线性算法其值常用的可以是如下的字符串nearest 线性最近项插值linear线性插值spline 三次样条插值贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告1. 对函数f(x)?,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?七、总结1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.八、附录1、M文件：function cy=Lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(1,m);for k=1:n+1t=ones(1,m);for j=1:n+1if j~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t ;end>> x=-5::5;>> y=1./(x.+1);>> plot(x,y)>> n=10;>> x0=-5:10/n:5;>> y0=1./(1+x0.);>> cx=-5::5;>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);>> hold on>> plot(cx,cy)e1 =xxxx大学数值分析实验报告题目：学
最小二乘拟合实验报告
实验名称： 最小二乘拟合 1 引言 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m =出发， 寻求函数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟 合的问题。 多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。首先，由实验提供的数据往往有测试误差。如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类问题。 定义()i i i x y δ?=-为拟合函数在i x 处的残差。为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。在最小二乘法中，我们选取()x ?，使得偏差平方和最小，即 2 2 1 1 [()]min m m i i i i i x y δ?=== -=∑∑，这就是最小二乘法的原理。 2 实验目的和要求 运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。 以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。数据如下： 3 算法原理与流程图 （1） 原理 最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2, ,)i i x y i m =，要求存在某个函数类 01{(),(),()}()n x x x n m ???Φ=<中寻求一个函数： ** **0011()()()()n n x a x a x a x ????=++ +，使得*()x ?满足
最小二乘法数据拟合
最小二乘法数据拟合 设给定数据),(i i f x ，),,2,1(m i = 在集合},,,{Span 10n ??? =Φ中找一个函数 )()(* 0** x a x S k n k k ?∑==，)(m n < (1) 其误差是 i i i f x S -=)(*δ，),,2,1(m i = (2) 使)(* x S 满足 2 1 )(2 *1 1 2 ])()[(min ])()[(i i m i i x S i i m i i m i i f x S x f x S x -=-=∑∑∑=Φ ∈==ωωδ (3) 0)(≥x ω是],[b a 上给定的权函数。上述求逼近函数)(*x S 的方法就称为曲线拟合的最小二 乘法。满足关系式(3)的函数)(* x S 称为上述最小二乘问题的最小二乘解。 并且有结论： 1)对于给定的函数表),(i i f x ，),,2,1(m i =，在函数类},,,{Span 10n ??? =Φ中存在唯一的函数)()(*0** x a x S k n k k ?∑== ，使得关系式(3)成立。 2)最小二乘解的系数* *1*0,,,n a a a 可以通过解法方程 ),(),(0 ???f a k n k j k =∑=，),,2,1,0(n j = (4) 作为曲线拟合的一种常用的情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取 },,,,1{},,,{210n n x x x =??? 那么相应的法方程(4)就是 ??????????????=???????????????????????? ??∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑++i n i i i i i i i n n i i n i i n i i n i i i i i i n i i i i i f x f x f a a a x x x x x x x x ωωωωωωωωωωωω 102112 (5)
曲线拟合的最小二乘法讲解
实验三 函数逼近与曲线拟合 一、问题的提出： 函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。主要内容有： （1）最佳一致逼近多项式 （2）最佳平方逼近多项式 （3）曲线拟合的最小二乘法 二、实验要求： 1、构造正交多项式； 2、构造最佳一致逼近； 3、构造最佳平方逼近多项式； 4、构造最小二乘法进行曲线拟合； 5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差； 6、探讨新的方法比较结果。 三、实验目的和意义: 1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程； 2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；
3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较； 4、掌握曲线拟合的最小二乘法； 5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组； 6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系； 四、 算法步骤： 1、正交多项式序列的生成 {n ?（x ）}∞ 0：设n ?（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ?（x ）} ∞0 满足关系式???=>≠==?.,0,, 0)()()()(),(k j A k j x d x x x k k j b a k j ??ρ?? 则称多项式序列{n ?（x ）}∞ 0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ?（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。 1）输入函数)(x ρ和数据b a ,; 2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j n ???的内积； 3）按公式①)()) (),(()) (,()(,1)(1 0x x x x x x x x j n j j j j n n n ??? ???∑-=- ==计算)(x n ?，生成正交多项式； 流程图： 开始
实验3__曲线拟合的最小二乘法
《计算方法》实验报告 学院：计算机学院 专业：计算机科学与技术 指导教师：JW-++1 爨莹
班级学号：201207010229 姓名：图尔荪托合提
实验三曲线拟合的最小二乘法 1、实验目的： 在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关 系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上， 通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。 2、实验要求: 1) 认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方 案和算法； 2) 编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3) 上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果(包括必要的中间结 果)； 4) 分析和解释计算结果； 5) 按照要求书写实验报告； 3、实验内容： 1) 给定数据如下： x ：0.15，0.4，0.6 ，1.01 ，1.5 ，2.2 ，2.4，2.7，2.9，3.5 ，3.8 ， 4.4，4.6 ， 5.1 ， 6.6， 7.6； y ：4.4964，5.1284，5.6931 ，6.2884 ，7.0989 ，7.5507 ，7.5106， 8.0756， 7.8708，8.2403 ，8.5303 ，8.7394，8.9981 ，9.1450 ，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。 2) 已知一组数据： x ：0，0.1，0.2 ，0.3 ，0.4 ，0.5 ，0.6，0.7，0.8，0.9 ，1 y ：-0.447，1.978，3.28 ，6.16 ，7.08 ，7.34 ，7.66，9.56，9.48，9.30 ，11.2； 试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。
数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法
第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1）
其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程：
实验报告2
《GIS原理与应用》课程实验报告二 姓名：杨波班级学号：0802601-20 实验名称 影像配准及矢量化 实验目的 1.利用影像配准(Georeferencing) 工具进行影像数据的地理配准。 2.编辑器的使用（点要素、线要素、多边形要素的数字化）。 3.了解GPS数据在ArcGis中的转换与显示。 实验原理 由普吉地形图上的1:10000方里网坐标配准影像。 实验数据 昆明市西山区普吉地形图1:10000 地形图――70011-1.Tif，昆明市旅游休闲图.jpg 实验过程记录： 实验过程
第1步地形图的配准－加载数据和影像配准工具 第2步输入控制点
第3步设定数据框的属性 第4步矫正并重采样栅格生成新的栅格文件 第5 步分层矢量化－在ArcCatalog中创建一个线要素图层 第6步.GPS数据的转换成果。 问题回答： 一、总结屏幕跟踪数字化过程的基本步骤及每一步骤的必要性。 答：屏幕数字化就是根据数字化(矢量化)软件（如R2V，ArcMap中Arcscan模块等），对已经进行扫描的地图分层进行矢量化的过程。 ①、打开ArcMap，加载ArcScan模块（在菜单栏空白处右键，选择ArcScan就可以了），然后在菜单栏上Tools/Extensions，将ArcScan前的复选框挑上钩；加载地图配准模块Georeferencing,方法同加载ArcScan一样。 ②、为data frame设置地图坐标系统，从前面的介绍可以知道，这里设置坐标系统是
和地图的真实坐标系统一致的，也即是采用Beijing54地理坐标系统下的高斯-克吕格投影，具体的设置前面已有介绍。 ③、加载地图 ④、利用Georeferencing进行地图配准（建议先把Georeferencing下的Auto Adjust 前的勾去掉。点击图标进行选取控制点。控制点的选取原则是知道确定坐标的点（在这里是，如果是图到图的配准的话则需选取实际位置不变的点），地图的四角都有经纬度坐标，因此先分别选择这四个点（具体方法是放大地图，在经纬度相交的地方点一下，然后再在其他任何位置点一下（也许认为这样不对，别忙，下面将做解释），这就完成了一个控制点的初选取，然后在依次完成其余点的选取。 选择完成后在点击图标，可以看到地图的Xmap,Ymap字段，先把这个放在一边，下面进行大地坐标（经纬度表示），到平面坐标的转换（平面单位，这里是米），也即使地图上的如48°50′N，127°45′E的点投影后在地图上的平面坐标是多少的计算过程。转换需要相应的投影参数，为了方便，可以使用一些坐标转换的小软件。将这些点的坐标转换完成后对应输入Xmap和Ymap下的表格中。 ⑤、地图数字化 建立需要数字化的图层，如等高线层，图层的坐标系统应和之前实际地图坐标系统一致。加载需要数字化的图层和地图文件（已经完成地图配准后的文件）和该地图文件的某一个波段栅格数据（如Band2），将该单波段栅格图像二值化，Start Editing后这时可以看到ArcScan工具条被激活。 说明：ArcScan矢量化工具只能在二值化栅格数据的情况下使用，而加载RGB合成的地图数据是为了便于人工干涉矢量跟踪，当然也可以不加载（后果是工作量大大增加并且容易出错）。将单波段图像不显示，这是就可以利用ArcScan矢量化地图要素同时人看到的是
最小二乘拟合实验报告材料
工程学院 《计算方法》实验报告 课 程 名 称 计算方法 系 院 理 学 院 专 业 信息与计算科学 班 级 12级一班 学 生 姓 名 志辉 学 号 2012101316 《最小二乘求解》 1 引言 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m 出发，寻求函 数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟 合的问题。 多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。首先，由实验提供的数据往往有测试误差。如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类
问题。 定义()i i i x y δ?=-为拟合函数在i x 处的残差。为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。在最小二乘法中，我们选取()x ?，使得偏差平方和最小，即 2 2 1 1 [()]min m m i i i i i x y δ?=== -=∑∑，这就是最小二乘法的原理。 2 实验目的和要求 运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。 以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。数据如下： 3 算法原理与流程图 （1） 原理 最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2, ,)i i x y i m =，要求存在某个函数类 01{(),(), ()}()n x x x n m ???Φ=<中寻求一个函数： ** ** 0011()()()()n n x a x a x a x ????=++ +，使得*()x ?满足 * 2 2 ()1 1 [()]min [()]n n i i i i x i i x y x y ???∈Φ ==-=-∑∑。 根据以上条件可知，点* ** 01(,,,)n a a a 是多元函数 2 011 (,, ,)[()]m n n k k i i i k S a a a a x y ?=== -∑∑ 的极小点，从而* ** 01,, ,n a a a 满足方程组 0(0,1,,)k S k n a ?==? 即00111 1 11 () ()()()()()()m m m m k i i k i i n k i n i k i i i i i i a x x a x x a x x x y ???????====+++= ∑∑∑∑，
数值分析上机实验最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析上机实验最小二乘法 数值分析实验报告五最小二乘法一、数值分析实验报告五最 小二乘法一、题目设有如下数据题目设有如下数据 xj -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 ( )jf x -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 用三次多项式拟 合这组数据，并绘出图形。 二、用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。 二、方法最小二t(f,[xx(1),xx(n)]) 四、结果 save and run 之后： 请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插 值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 结果 save and run 之后： 请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插 值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/4503599 627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x 9627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x五、拓展： 1 / 2
最小二乘法拟合原理
最小二乘拟合 在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。 一、最小二乘法原理 在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x ，而把所有的误差只认为是y 的误差。设x 和y 的函数关系由理论公式 y ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-1） 给出，其中c 1，c 2，……c m 是m 个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（x i ，y i ）i ＝1，2，……，N 。都对应于xy 平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确 落在理论曲线上。只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组 y i ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-2） 式中i ＝1，2，……，m.求m 个方程的联立解即得m 个参数的数值。显然N
最小二乘拟合实验报告
南昌工程学院 《计算方法》实验报告 课 程 名 称 计算方法 系 院 理 学 院 专 业 信息与计算科学 班 级 12级一班 学 生 姓 名 魏志辉 学 号 2012101316 《最小二乘求解》 1 引言 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m 出发，寻求函数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟合的问题。 多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。首先，由实验提供的数据往往有测试误差。如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因
此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类问题。 定义()i i i x y δ?=-为拟合函数在i x 处的残差。为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。在最小二乘法中，我们选取()x ?，使得偏差平方和最小，即 2 2 1 1 [()]min m m i i i i i x y δ?=== -=∑∑，这就是最小二乘法的原理。 2 实验目的和要求 运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。 以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。数据如下： 3 算法原理与流程图 （1） 原理 最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2,,)i i x y i m = ，要求存在某个函数类 01{(),(),()}()n x x x n m ???Φ=< 中寻求一个函数： **** 0011()()()()n n x a x a x a x ????=+++ ，使得*()x ?满足 * 2 2 ()1 1 [()]min [()]n n i i i i x i i x y x y ???∈Φ ==-=-∑∑。 根据以上条件可知，点*** 01(,,,)n a a a 是多元函数 2 011 (,,,)[()]m n n k k i i i k S a a a a x y ?=== -∑∑ 的极小点，从而***01,,,n a a a 满足方程组 0(0,1,,)k S k n a ?==?
最优化-最小二乘法拟合
Least Squares Fit Abstract: The techniques of least squares optimization have their origins in problems of curve fitting, and of finding the best possible solution for a system of linear equations with infinitely many solutions. Curve fitting problems begin with data points (t 1, S 1), . . . , (tn' sn) and a given class of functions (for example, linear functions, polynomial functions, exponential functions), and seek to identify the function S = f(t) that "best fits" the data points. On the other hand, such problems as finding the minimum distance in geometric contexts or minimum variance in statistical contexts can often be solved by finding the solution of minimum norm for an underdetermined linear system of equations. Keyword:Least Squares、Fit、Equations Text：Suppose that in a certain experiment or study, we record a series of observed values (t 1 , Sl), (t 2 , S2), ..., (tn, Sn) of two variables s, t that we have reason to believe are related by a function s = f(t) of a certain type. For example, we might know that sand t are related by a polynomial function of degree < k, where k is prescribed in advance, but we do not know the specific values of the coefficients xo, Xl' ..., X k of p(t). We are interested in choosing the values of these coefficients so that the deviations between the observed value Si at t i and the value p(tJ of p(t) at t i , are all as small as possible. One reasonable approach to this problem is to minimize the function
最小二乘法实验报告
?
MA ATLAB 实现最小 实 小二乘多项式拟合 合实验报 报告
某田水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间是否 否有一个确定 定性的关系？ 在 7 块并排，形状大小相 相同的试验田 田上进行施肥 肥量对水稻产 产量影响的实 实验。得到如 如下的一组数 数据。 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 2 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 5
目标：用最小 小二乘方法求 求得水稻产量 量 y 与施肥量 量 x 之间的确 确定性关系。 首先描点作图
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点分布呈现“S”型，考 考虑用多项式 式函数拟合 写出最小二乘 乘拟合的函数 数形式： function [A]= =leastsquaren nihe(X,Y,n,w) mx=size(X,2 2); my=size(Y,2) ); if mx~=my error('D Data not enoug gh.X and Y dismatch.'); d end m=mx; if nargin==3 w=ones(1,m); end
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Q=zeros(n+1 1,1); P=zeros(n+1,n+1); f=@(x,p,y,q,w,t)(x(t)^p)*(y(t)^q)*w(t) ); for i=1:n+1 for j=1:n n+1 sum m=0; for r t=1:m sum=sum+ +f(X,i-1,X,j-1 1,w,t); end d P(i i,j)=sum; end sum=0; for t=1:m m sum m=sum+f(X,i i-1,Y,1,w,t); end Q(i,1)=s sum; end A=P\Q; xx=min(X):0 0.01:max(X); yy=zeros(1,s size(xx,2)); for i=1:size(x xx,2) for j=1:n n+1 yy( (i)=yy(i)+A(j j)*xx(i)^(j-1) ); end end plot(X,Y,'r.'); ; hold on; plot(xx,yy); title('最小二乘法多项式拟 拟合'); xlabel('x'),yla abel('y'); X=[15 20 25 30 35 40 45] ] Y=[330 345 365 405 445 450 455] 运行结果如下 下： 4 次多项式拟 拟合的结果：系数阵 A= 1.0e+002 * 6.084523 3809758176 -0.423712121248494 0.020787 7878789875 -0.000351515151561
最小二乘法线性拟合y
%最小二乘法线性拟合y=ax+b x=[0:0.2:4.0]; y=[0.02 0.375 0.73 1.06 1.335 1.595 1.84 2.045 2.23 2.38 2.485 2.565 2.625 2.67 2.705 2.73 2.76 2.78 2.79 2.81 2.82]; p=polyfit(x,y,1); z=polyval(p,x); plot(x,y,'+'); title(‘V-X曲线’) grid on xlabel(‘X/mm’) ylabel(‘V/v’) hold on x=[0:0.2:-4.0]; y=[0.01 -0.385 -0.8 -1.22 -1.64 -2.055 -2.455 -2.825 -3.165 -3.64 -3.74 -3.915 -4.06 -4.155 -4.235 -4.295 -4.345 -4.385 -4.415 -4.445 -4.47]; p=polyfit(x,y,1); z=polyval(p,x); plot(x,y,'+'); x=[0:0.2:4.0]; y=[0.02 0.375 0.73 1.06 1.335 1.595 1.84 2.045 2.23 2.38 2.485 2.565 2.625 2.67 2.705 2.73 2.76 2.78 2.79 2.81 2.82]; p=polyfit(x,y,1); x=[0:-0.2:-4.0]; y=[0.01 -0.385 -0.8 -1.22 -1.64 -2.055 -2.455 -2.825 -3.165 -3.64 -3.74 -3.915 -4.06 -4.155 -4.235 -4.295 -4.345 -4.385 -4.415 -4.445 -4.47]; p=polyfit(x,y,1); x=[0:0.2:4.0]; y=[0.02 0.375 0.73 1.06 1.335 1.595 1.84 2.045 2.23 2.38 2.485 2.565 2.625 2.67 2.705 2.73 2.76 2.78 2.79 2.81 2.82]; xmean=mean(x);ymean=mean(y); sumx2=(x-xmean)*(x-xmean)'; sumxy=(y-ymean)*(x-xmean)'; a=sumxy/sumx2;%解出直线斜率a(即传感器灵敏度) b=ymean-a*xmean;%解出直线截距b z=((a*(x(1,11))+b-(y(1,11)))/(y(1,11))); a b z figure plot(x,y,'+'); hold on