第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示

第二章曲面的表示与曲面论

第一节曲面的显式方程和

隐式方程

一、由显式方程表示的曲面

设2R

D?是有界闭区域，函数

:连续。我们称函数f的图

f→

D

R

像

z y

R

z

f

x

f

∈

=

G∈=

x

:

,(

}

y

),,

),(),

y

x

(3D {(

)

为一张曲面，它展布在D上，称这

个曲面是由显式方程

,

=)

z∈

(),

,

(

y

f

D

y

x

x

所确定的。

∑表示一个曲面。

通常用

二、几种常见的曲面

例1 在空间直角坐标系中，中心

a、在xy平面

在坐标原点、半径为

上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为

2

22y x a z --=，D y x ∈),(， 其中

}:),{(222a y x y x D ≤+=，即D 是xy 平面上以原点为中心、半径为a 的圆盘。

显然，下半球面的方程为

222y x a z ---=，D y x ∈),(；

同样可给出左半球面、右半球面的方程式。

例2 点集

}1,0,,:),,{(=++≥z y x z y x z y x

是3R 中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达

y x z --=1，D y x ∈),(，

其中}1,0,:),{(≤+≥=y x y x y x D 。

例 3 由方程a x y z =，2),(R y x ∈，

（常数0>a ），所确定的曲面称为双曲抛物面。

由于这曲面在在xy 平面的上的，第一、第三象限中，在xy 平面的上

方，而在第二、第四象限中是在xy 平面的下方，因此在原点)0,0,0(的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。

例4 旋转曲面的方程

1设想在xz 平面上有一条显式曲线)0(),(b x a x f z ≤≤≤=。

如果固定z 轴不动，让xz 平面绕着z 轴旋转 360，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面∑。

设∑∈),,(z y x ，它在过点),0,0(z 平行于xy 平面的平面上，以),0,0(z 为中心，半径为r 的圆周上（)(r f z =），

222r y x =+，

于是得这个旋转曲面∑的方程为):(),(222222b y x a D y x f z ≤+≤+=。

曲线???=≤≤≤=,00),(y b x a x f z

称为这个旋转曲面∑的发生线。

为了了解旋转曲面的几何形态，通常看一看发生线的形状就足够了。

例如 曲面

222),(,R y x y x z ∈+=，

是一个旋转曲面，

这是一个圆锥面；

它的发生线是直线)0,0(,=≥=y x x z 。

曲面

22y x z +=，2),(R y x ∈，

是一个旋转抛物面，因为它的发

生线是抛物线

)0,0(,2=≥=y x x z

2把xz 平面上曲线

),0)()((b x a x f x f z ≤≤≥=

绕x 轴旋转一周，那么这条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面∑。 设∑∈),,(z y x ，它在过点)0,0,(x 平行于yz 平面的平面上，以)0,0,(x 中心，半径为)(x f 的圆周上。

显然，曲面∑的方程为

2

22))((x f z y =+， 由此得旋转曲面在z 正方向的方程为22))((y x f z -=，D y x ∈),(，

其中D 是旋转曲面在xy 平面的投影区域，

b x a x f y x f y x D ≤≤≤≤-=),()(:),{(。 例如 把xz 平面上曲线22x a z -=， 绕x 轴旋转一周，所得旋转曲面

方程为2222a z y x =++ 。

三、曲面的隐式表示

例如，

}0:),,{(2222=-++a z y x z y x 表示中心在原点，半径为a 的球面，这个球面上的点完全可以用方程02222=-++a z y x 的解),,(z y x 来表示。

一般地，设三元函数F 定义在区域3

R D ?，区域D 中所有满足方程 0),,(=z y x F ， （2） 的点集组成一张曲面，称为由方程

（2）所确定的隐式曲面。 例如，0122

2222=-++c z b y a x 表示椭球面；

0)(2

22=+-y x z 表示锥面。 四、曲面的切平面和法向量 设D z y x p ∈=),,(0000是隐式曲面

（2）上的一点，任意作一条过点0p 的曲面上的曲线Γ，设Γ有参数方程

)(),(),(t z z t y y t x x === 并且参数0t 对应着点0p ，将参数方程的三个分量代入（2），得到一个关于t 的恒等式

0))(),(),((≡t z t y t x F ，

对上式双方在点0t 处求导，得到

0)()()()()()(000000='??+'??+'??t z p z

F t y p y F t x p x F 用向量的内积来表示，上式乃是 ()0)(),(),()(),(),(000000='''???

? ????????t z t y t x p z F p y F p x F ， 这表明：曲线Γ在点0p 的切向量与向量

???

? ????????=?)(),(),()(0000p z F p y F p x F p F （3） 垂直，由于Γ是曲面上过点0p 的任

一条曲线，而（3）是一个固定的向量，这表明：曲线上过点0p 的任何曲线在点0p 的切线是共面的。这个平面称为曲面（2）在0p 的切平面，

而向量（3）称为曲面（2）在点0p 处的一个法向量，所以，曲面（2）在点0p 处的切平面的方程是 0)()()()()()(000000=??-+??-+??-p z

F z z p y F y y p x F x x （4）

这里),,(z y x 是切平面上的流动坐标。

曲面在一点处的法线方程亦可写出。

例如：考察球面

0),,(2222=-++=a z y x z y x F ， 在点),,(000z y x 处，由（3）可得法向量),,(000z y x ，这是一个指向球外的法向量，可以叫做外法向量。 为了求球的切平面方程， 由（4）可得

0)()()(0

00000=-+-+-z z z y y y x x x ， 注意到),,(000z y x 是球面上的点，

()

220202

0a z y x =++ 上式又可写作 2000a zz yy xx =++；

例考察椭球面

01),,(22

2222=-++=c z b y a x z y x F ， 在点),,(0000z y x p =处， 法向量

???? ????????=?)(),(),()(0000p z F p y F p x F p F )2,2,2(202020c

z b y a x =， 切平面

0)()()(020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ， 注意到),,(000z y x 是椭球面上的点， 上式又可写作

1202020=++z c

z y b y x a x 。 例 由方程0),(=y x F 所确定的隐函数I x x f y ∈=),(。

在I x x f x F ∈=,0))(,(中对x 求导得 0)(='??+??x f y

F x F ， 0),())(,1(=?????'y

F x F x f ，（两向量正交）； ))(,1()(x f x r '=' 正是曲线))(,()(x f x x r = 的切向量，),(y

F x F ????曲线))(,()(x f x x r = 的法向量。切线方程为

0),()(),()(000000=??-+??-y x y F y y y x x F x x 。

例 椭圆或双曲线

01),,(22

22=-±=b y a x z y x F ， 在点),(000y x p =处的的法向量 法向量

???

? ??????=?)(),()(000p y F p x F p F )2,2(2020b y a x =， 切线方程为

12020=±y b

y x a x 。

五、显式曲面的切平面和法向量

曲面:∑D y x y x f z ∈=),(),,(，

令),(),,(y x f z z y x F -=， 则此曲面的方程为

0),(),,(=-=y x f z z y x F ，D y x ∈),(； 任取D y x ∈),(00，再置),(000y x f z =，依（3）可得曲面的一个法向量 )1),,(),,((0000y x y

f y x x f ??-??- （5） 由（5）看出：这法向量的第三个分量为1，所以它同z 轴的正向的夹角不超过2

π，可以称（5）为上法向量，相应地

)1),,(),,((0000-????y x y

f y x x f 可称为曲面(,)z f x y =的下法向量，这两个法向量只是有相反的方向，所以它们都是垂直于过),,(0000z y x p =的切平面。这时切平面的方程为

0)())(,())(,(0000000=-+-??--??-z z y y y x y

f x x y x x f ，

))(,())(,(),(00000000y y y x y f x x y x x f y x f z -??+-??=- ，(6)

六、对隐式曲面0),,(=z y x F ，在一定条件下，可以解成显式曲面。 例如，0)(0≠??p z F ，1

C F ∈ 。

补充：平面方程，

平面的法线方向。

由两个曲面相交的曲线的切线方程和法平面方程

设曲面0),,(:1=∑z y x F 与曲面

0),,(:2=∑z y x G 的交线为Γ。

Γ∈=),,(0000z y x p 。

设τ为曲线Γ在0p 处的切向量， 则有 0)(0=??τp F ，

0)(0=??τp G

记)(01p F n ?=，)(02p G n ?=，

显然21n n ?是曲线Γ在0p 处的切线方向，由此可写出切线方程和法平面方程。

01-第一节-微分方程的基本概念

第八章常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. ---- 傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具” ，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念 分布图示 ★引言 ★微分方程的概念★例1 ★ 例2★例3★ 例4 ★微分方程解的概念 ★ 例5★例6 ★内容小结★课堂练习 ★习题8-1 内容要点： 一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: F(x,y,y ,y ,y(n)) 0, (1.5) 其中x 为自变量，y y(x) 是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程

曲线和方程的概念说课

《曲线和方程的概念》说课稿 临朐二中谢文利 各位评委、老师,大家好！ 我说课的内容是“曲线和方程的概念”。下面我从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序设计、板书设计以及教后评价六个方面来汇报对教材的钻研情况和本节课的教学设想。恳请在座的领导、专家、同仁批评指正。 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 “曲线和方程”是高中数学人教B版选修2-1第二章第一节的重点内容之一，对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的研究。这部分内容从理论上揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为“形”与“数”的相互转化开辟了途径，同时也体现了解析几何的基本思想，为解析几何 https://www.wendangku.net/doc/7810662771.html,/view/900761eae009581b6bd9eb45.html 的教学奠定了一个理论基础。 2、教学内容的选择和处理 本节教材主要讲解曲线的方程和方程的曲线 https://www.wendangku.net/doc/7810662771.html,/view/9d02094fc850ad02de8041ad.html） 坐标法、解析几何等概念，讨论怎样求曲线的方程以及曲线的交点等问题。共分两课时，这是第一课时。此课时的主要内容是建立“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念，并对概念进行初步运用。我在处理教材时，不拘泥于教材，敢于大胆进行调整。主要体现在对曲线的方程和方程的曲线的定义进行归纳上，通过构造反例，引导学生进行观察、讨论、分析、正反对比，逐步揭示其内涵，加深学生对概念的认识然后在此基础上归纳定义。 3、教学目标的确定 根据新课程标准的要求以及本节教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点，我认为，通过本节课的教学，应使学生理解曲线和方程的概念；会用定义来判断点是否在方程的曲线上、证明曲线的方程；培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力，渗透数形结合的数学思想；并借用曲线与方程的关系进行辩证唯物主义观点的教育；通过对问题的不断探讨，培养学生勇于探索的精神。 4、关于教学重点、难点和关键 由于曲线和方程的概念体现了解析几何的基本思想，学生只有透彻理解了这个概念，才能用解析法去研究几何图形，才算是踏上学好解析几何的入门之径。因此，我把曲线和方程的概念确定为本节课的教学重点。另外，由于曲线和方程的概念比较抽象，加之刚刚进入高二的学

01-第一节-微分方程的基本概念

01-第一节-微分方程的基本概念

第八章常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴

弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念 分布图示 ★引言 ★微分方程的概念★例1 ★例2★例3★例4 ★微分方程解的概念 ★例5★例6 ★内容小结★课堂练习

则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数. 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程. 在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有 ,0))(,)(),(),(,() (='''x x x x x F n ???? 则称函数)(x y ?=为微分方程(1.5)在区间I 上的解. 二、 微分方程的解 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）. 注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们

曲线与方程(轨迹方程)

高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

第四章第一节微分方程的基本概念

第四章第一节微分方程的基本概念 基本内容 1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数 ) (x y y=称为微分方程的解。如果微分方 程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。 习题选解 1.试指出下列各微分方程的阶数 （1） 220 x dy y dx -= 解：一阶 （2） 4 3()0 y y y y '''''' -= 解：二阶 （3） 2 2 0 d Q dQ Q L R dt C dt ++= 解：二阶。 （4）(76)()0 x y dx x y dy -++= 解：一阶 （5） 2 sin d d ρ ρθθ += 解：一阶 （6） (5)20 y y y y '''' -++= 解：5阶 2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解

（1）30dy x y dx +=， 3 C y x = 解：因为34 3()dy C C dx x x '==-，代入微分方程，得： 左边=333330dy C C x y dx x x +=-+==右边，所以 3 C y x =是微分方程的解。 （2）22 2220d y dy x x y dx dx -+=， 223y x x =- 解：因为2 (23)26dy x x x dx '=-=-，22 (26)6d y x dx '=-=-代入微分方程，得： 左边22 22 2 2262(26)2(23)0d y dy x x y x x x x x dx dx =-+=---+-==右边，所以 223y x x =-是微分方程的解。 （3）022 2=+dt dS dt S d ω，t C t C S ωωsin cos 21+= 解：因为1212(cos sin )sin cos dS C t C t C t C t dt ωωωωωω'=+=-+， 22212122 (sin cos )cos sin d S C t C t C t C t dt ωωωωωωωω'=-+=--，代入微分方程，得： 左边22222212122cos sin (sin cos ) d S dS C t C t C t C t dt dt ωωωωωωωωω=+=--+-+ 22112[()cos ()sin ]0C C t C C t ωωω=--+≠=右边，所以t C t C S ωωsin cos 21+=不是 微分方程的解。 （4）0)(=++xdy dx y x ， x x C y 22 -= 解：由x x C y 22-=，得：22x C xy -=，两边微分，得：2 )(2dx xy d -=，即 xdx xdy ydx 2)(2-=+。从而得0)(=++xdy dx y x ，所以x x C y 22 -= 是微分方程的解。

曲线和方程教案

《课堂教学设计》 课题：曲线和方程（1） 一：教学目标 ?知识与技能目标 （1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； （3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 ?过程与方法目标 （1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识； （2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点； （3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。 ?情感与态度目标 （1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律； （2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具； （3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。 二：教材分析 1、教学分析：因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于接受。在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。 2、教学重点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

最新01第一节微分方程的基本概念

01第一节微分方程的 基本概念

第八章常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念 分布图示 ★引言

★微分方程的概念★例1 ★例2★例3 ★例4 ★微分方程解的概念 ★例5★例6 ★内容小结★课堂练习 ★习题8-1 内容要点： 一、微分方程的概念 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: ?Skip Record If...? (1.5) 其中?Skip Record If...?为自变量，?Skip Record If...?是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程 ?Skip Record If...? (1.6) 以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数?Skip Record If...?在所讨论的范围内连续. 如果方程(1.6)可表为如下形式: ?Skip Record If...? (1.7) 则称方程(1.7)为?Skip Record If...?阶线性微分方程. 其中?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?均为自变量?Skip Record If...?的已知函数. 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.

微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等 教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 教学难点：微分方程的通解概念的理解 教学内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函 数

)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。 微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。

曲线和方程知识要点

曲线和方程的概念 【知识要点】 定义 一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线. 注意：要建立曲线与方程间的对应关系，仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的，因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上；仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的，因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时，才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程，曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线. 求曲线的方程 【知识要点】 1 求曲线的方程的步骤： ①建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略). ②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ，写出已知点的坐标，设出相关点的坐标. ③根据曲线上点所适合的条件，写出等式. ④用坐标表示这个等式(方程)，并化简. ⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求). (6)检验，该说明的要说明. 2 求曲线方程的常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法等. (1)定义法：根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道，往往用待定系数法求. (2)直接法：根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式，即方程0),(=y x F . (3)相关点法(代入法)：是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时，一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式，从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==，由于),(11y x M 在已知曲线上，故),(11y x M 满足已知曲线方程，将11,y x 的表达式代入已知曲线方程，从而求得动点P 的轨迹方程. (4)参数法：根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参

微分方程的基本概念

求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念 下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处 的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解 由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y

我们知道式③表示一族曲线， 曲线族中的每一条曲线的函数 代入式①中都成为恒等式， 而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.

（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.

第一节微分方程的基本概念

第十二章 微分方程 一、 学时分配： 讲课学时：14 习题学时：2 共 16 学时 二、 基本内容： 1． 微分方程的基本概念 2． 可分离变量的微分方程 3． 齐次方程 4． 一阶线性微分方程 5． 全微分方程 6． 可降阶的高阶微分方程 7． 高阶线性微分方程 8． 一阶常系数齐次线性微分方程 9． 一阶常系数非齐次线性微分方程 三、 教学要求： 1．理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等． 2．熟练掌握可分离变量的微分方程的解法． 3．熟练掌握齐次微分方程的解法 4．掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法 5．掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察法找 积分因子 6．掌握)()(x f y n =、),(///y x f y =、),(///y y f y =三种高阶微分方程的解法， 即降阶法，理解降阶法的思想 7．掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式 8．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式 ９．掌握自由项为x m e x P x f λ)()(=和x m m e x x Q x x P x f λωω]sin )(cos )([)(+=的二 阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法 四、重点难点：

1．重点： 2．难点： 第一节 微分方程的基本概念 教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等． 教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 教学难点：微分方程的通解概念的理解 教学内容： 一、 两个实例 1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解：设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） 2．列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：

微分方程(习题及解答)

第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=

微分方程的基础知识与练习

微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度 2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了 多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运 动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020 s t == 。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们 都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

01 第一节 微分方程的基本概念

第六章 微分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节 微分方程的基本概念 一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子. 分布图示 ★ 引 言 ★ 微分方程的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 微分方程解的概念 ★ 例3 ★ 例4 ★ 内容小结 ★ 习题6-1 内容要点 一、微分方程的概念 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是： ,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)

最新8-曲线与方程汇总

8-曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1曲线与方程 教材分析 曲线与方程是人教A版高中数学选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”第一节的内容，这一 节具有承上启下的作用，在前面必修2部分已经学习了“直线的方程”、“圆的方程”.曲线与 方程是它们的上位概念，学生的学习是上位学习.在已有学习的基础上，进行由“特殊”到“一般”的进一步抽象提升，引出一般意义上曲线与方程的关系，体验“数”与“形”的转化与结合， 领会解析几何的基本思想方法——坐标法.同时介绍“求曲线的方程”的通法，为后续学习圆 锥曲线等储备理论基础. 课时分配 本课时是曲线与方程的第一课时，主要解决的是曲线与方程的关系和曲线方程与方程曲线的概念，为下一步用方程研究曲线的性质做好铺垫. 教学目标 重点: 通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念；体会解析几何的核心思想方法——坐标法. 难点：由特殊的“直线与圆”的方程，抽象出一般的曲线与方程的概念. 知识点：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释. 可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线. 能力点：用合适的方式解释曲线的方程的作用，说明解析法的价值. 教育点：结合直线、圆或者其他图形的方程的研究过程，解释求一般的曲线方程的步骤和过程.

自主探究点：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进. 考试点：把曲线（图形）看成点运动的结果，把对一个整体图形的研究变为对图上任意点的特点的研究. 易错易混点：自觉按照规范的步骤分析解决相关问题，说明中的自变量范围的界定. 拓展点：链接高考. 教具准备实物投影机和粉笔 课堂模式诱思探究 一、创设情境 师：在必修2关于几何问题的学习中，我们讨论的对象是直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中主要做的应该是什么呢？ 生：用解析的方法，用方程来研究. 师：那么借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题了? 生：直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系…… 老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升： 第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的. 第二，在今后的学习中，我们会发现方程的作用很强大，利用方程我们可以研究更多的几何图形（曲线），对几何图形的认识会更加深入、更加细致. 师：本节课，我们将继续研究一般曲线与方程的关系，进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.

§1 常微分方程的基本概念

第十三章 常微分方程简介 本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。 由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。 本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念 像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 1.1 两个实例 例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。 解 平面上的曲线可由一元函数来表示 设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。 另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。 从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。 为了解出)(x f y =，我们只要将(1.1)的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22， 我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程(1.1)。 再由条件(1.2)，将2|1==x y 代入C x y +=2，即

01-第一节-微分方程的基本概念

第八章 常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节 微分方程的基本概念 分布图示 ★ 引 言 ★ 微分方程的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 微分方程解的概念 ★ 例5 ★ 例6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-1 内容要点： 一、微分方程的概念 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: ,0),,,,()(='''n y y y y x F Λ (1.5) 其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程