线面垂直习题精选
线面垂直的证明中的找线技巧
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通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1,在正方体1111ABCD A B C D -
中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD .
证明:连结MO ,1A M
,∵DB ⊥
1A A ,DB ⊥AC ,1A A AC A =I ,
∴DB ⊥平面
11A ACC ,而1
AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =,2
234MO a =.
在Rt △11A C M 中,2
21
94
A M a =.∵22211A O MO A M +=,∴1AO OM ⊥. ∵OM ∩
DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD .
评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明. ◆
利用面面垂直寻求线面垂直
2 如图2,P 就是△ABC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证:BC ⊥平面PAC .
证明:在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D .
因为平面PAC ⊥平面PBC ,且两平面交于PC ,
AD ?平面PAC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质,得AD ⊥平面PBC . 又∵BC ?平面PBC ,∴AD
⊥BC .
∵PA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,∴PA ⊥BC . ∵AD ∩PA =A ,∴BC ⊥平面PAC .
(另外还可证BC 分别与相交直线AD ,AC 垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ).
评注:已知条件就是线面垂直与面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以瞧到,面面垂直?线面垂直?线线垂直.
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直???→←???判定性质
线面垂直???→←???
判定性质
面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问
题.下面举例说明.
3 如图１所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，.求
证:AE SB ⊥,AG SD ⊥.
证明:∵SA ⊥平面ABCD , ∴SA BC ⊥.∵
AB BC ⊥,∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ?平
面SAB ,∴BC
AE ⊥.∵
SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥.∴AE ⊥平面SBC .∴AE SB ⊥.同
理可证AG SD ⊥.
评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂
直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线与线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化.
4 如图２,在三棱锥Ａ－BCD 中,BC ＝AC ,AD ＝BD ,
作BE ⊥CD ,Ｅ为垂足,作AH ⊥BE 于Ｈ.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点Ｆ,连结CF ,DF . ∵AC
BC =,∴CF AB ⊥.
∵AD BD =,∴DF AB ⊥.
又CF DF F =I ,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =I , ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥.
∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E =I ,
∴ AH ⊥平面BCD .
评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论.
5 如图３,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一
点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .
证明:∵AB 就是圆Ｏ的直径,∴AC BC ⊥.
∵PA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,
∴PA BC ⊥.∴BC ⊥平面APC .
∵BC ?平面PBC , ∴平面APC ⊥平面PBC .
∵AE ⊥PC ,平面APC ∩平面PBC ＝PC , ∴AE ⊥平面PBC .
∵AE ?平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面PBC .
评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.
6、 空间四边形ABCD 中,若AB ⊥CD,BC ⊥AD,求证:AC ⊥BD
D
证明:过A 作AO ⊥平面BCD 于O
ΘAB CD CD BO
⊥∴⊥， 同理BC ⊥DO ∴O 为△ABC 的垂心 于是BD CO BD AC ⊥?⊥
7、 证明:在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,A 1C ⊥平面BC 1D
A
C
证明:连结AC
ΘBD AC ⊥
AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥?
???⊥BD A C
A C BC A C BC D
11111同理可证平面
8、 如图,PA ⊥平面ABCD,ABCD 就是矩形,M 、N 分别就是AB 、PC 的中点,求证:MN AB ⊥
C
、 证:取PD 中点E,则
EN DC //
1
2
C
?EN AM //
∴AE MN //
又平面平面平面ΘCD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥?
???⊥??
?
?
?⊥?
??
???⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////
9如图在ΔABC 中, AD ⊥BC, ED=2AE, 过E 作FG ∥BC, 且将ΔAFG 沿FG 折起,使∠A 'ED=60°,求证:A 'E ⊥平面A 'BC 分析:
弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系与位置关系。
解:
∵FG ∥BC,AD ⊥BC ∴A 'E ⊥FG ∴A 'E ⊥BC
设A 'E=a,则ED=2a
由余弦定理得:
A 'D 2=A 'E 2+ED 2
-2?A 'E ?EDcos60°
=3a
2
∴ED 2=A 'D 2+A 'E 2
∴A 'D ⊥A 'E
∴A 'E ⊥平面A 'BC
10如图, 在空间四边形SABC 中, SA ⊥平面ABC , ∠ABC = 90?, AN ⊥SB 于N , AM ⊥SC 于M 。求证: ①AN ⊥BC; ②SC ⊥平面ANM 分析:
①要证AN ⊥BC , 转证, BC ⊥平面SAB 。
②要证SC ⊥平面ANM , 转证, SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证SC ⊥AM , SC ⊥AN 。要证SC ⊥AN , 转证AN ⊥平面SBC , 就可以了。 证明:
①∵SA ⊥平面ABC ∴SA ⊥BC 又∵BC ⊥AB , 且AB I SA = A ∴BC ⊥平面SAB ∵AN ?平面SAB ∴AN ⊥BC ②∵AN ⊥BC , AN ⊥SB , 且SB I BC = B ∴AN ⊥平面SBC ∵SCC 平面SBC ∴AN ⊥SC 又∵AM ⊥SC , 且AM I AN = A ∴SC ⊥平面ANM
11已知如图,P ?平面ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面ABC ⊥平面PBC
分析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC 中点D,证明AD 垂直平PBC 即可 证明:取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形
同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a 在RT ΔBPC 中,PB=PC=a
BC=
2a ∴PD=
2
2
a 在ΔABC 中 AD=
2
2BD AB -
=
2
2a ∵AD 2
+PD 2
=2
2
22
22???
?
??+???? ??a a =a 2=AP 2
∴ΔAPD 为直角三角形即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC
∴AD ⊥平面PBC
∴平面ABC ⊥平面PBC
13 以AB 为直径的圆在平面α内,α⊥PA 于A,C 在圆上,连PB 、PC 过A 作AE ⊥PB 于E,AF ⊥PC 于F,试判断图中还有几组线面垂直。
A B C
D
F E
G A'