圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细答案

【椭圆】 一、椭圆的定义

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数

)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作

椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；

若)(2121

F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）

（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2

22b a c -=；

（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2

22b a c -=；

2、两种标准方程可用一般形式表示：

221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以122

22=+b

y a x )0(>>b a 为例）

知能梳理

1、对称性：

对于椭圆标准方程122

22=+b

y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对

称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围：

椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，

b y ≤。

3、顶点：

①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，

)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆

的长半轴长和短半轴长。 4、离心率：

① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a

c

a c e ==22。 ② 因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；

反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+2

2

。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

注意：椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：

e PM PF PM PF ==

2

21

1 )2(21a PF PF =+ )2(2

2

1c

a PM PM =+

5、椭圆的第二定义：

平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆（

e d

PF =|

|）

。 即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有

e PM PF PM PF ==2

21

1。

①焦点在x 轴上：122

22

=+b

y

a x （a ＞

b ＞0）准线方程：

c a x 2

±

=

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2

±=

6、椭圆的内外部

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（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00221x y a b ?+<

（2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部2200221x y a b ?+>

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 12

2

22=+b x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤

b x ≤，a y ≤

对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±

轴长

长轴长=a 2，短轴长=b 2

五、其他结论

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1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b

+=

2、若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线

方程是

00221x x y y

a b

+= 3、椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的

焦点角形的面积为122tan

2

F PF S b γ

?=

4、椭圆22

221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,

2(,0)F c 00(,)M x y )

5、设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 。

6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

7、AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2

2OM AB b k k a

?=-，即

20

2y a x b K AB

-=。

8、若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b

+=+

9、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y

x y a b a b

+=+

【双曲线】 一、双曲线的定义

1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；

当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（2

22a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）

需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系

1、点与双曲线

2、直线与双曲线

四、双曲线与渐近线的关系 五、双曲线与切线方程 六、双曲线的性质 七、 弦长公式

1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，

则

AB =12AB x =

-==

若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12AB y y =

-=

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长a

b AB 2

2||=。

3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。

4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 八、焦半径公式 九、等轴双曲线 十、共轭双曲线

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【抛物线】 一、抛物线的概念

平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 二、抛物线的性质 三、相关定义

1、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H 1H 2称为通径；通径：|H 1H 2|=2P

2、弦长公式：1212||||AB x x y y =-=-

3、焦点弦：过抛物线2

2y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则

(1) ||AF =x 0+2

p

， (2)12x x =42p ，12y y =－p 2

(3) 弦长)(21x x p AB ++=,p x x x x =≥+21212，即当x 1=x 2时,通径最短为2p (4) 若AB 的倾斜角为θ，则AB =θ

2

sin 2p

（5）

AF 1+BF 1=P

2 四、点、直线与抛物线的位置关系

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【圆锥曲线与方程】 一、圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。

当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。 特别注意：当时，轨迹为圆（，当b a c ==,0时）。 二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

三、曲线与方程

四、坐标变换 1、坐标变换： 2、坐标轴的平移：

3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程

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精讲精练

【例】以抛物线x y 382=的焦点为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.

解： 抛物线x y 382=的焦点为)0,32(，设双曲线方程为λ=-2

2

3y x ，9)32(3

42=∴=∴

λλ

，双曲线方程为13

92

2=-y x 【例】双曲线

22

24b

y x -=1(b ∈N)的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________。

解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y )，则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2)，即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2， 又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|，依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4， 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2，∴c 2＜3

17

, 又∵c 2=4+b 2＜

317

，∴b 2＜3

5，∴b 2=1。 【例】当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆2

2

916144x y +=相切，相交，相离

解：

{

22916144y x m x y =++=…… … … ①②

①代入②得2

2

916()144x x m ++=化简得22

2532161440x mx m ++-=

222(32)425(16144)57614400m m m ?=-?-=-+

当0,?=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0?>，即55m -<<时，直线与椭圆相交； 当0?<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离。

【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=3

10

4，试求椭圆的方程。

解：|MF |ma x =a +c ，|MF |min =a －c ，则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2，

∴

b 2=4，设椭圆方程为

14222

=+y a x ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m

② 将②代入①得：(4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0

③

设M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)，M 1M 2的中点为(x 0，y 0)，

则x 0=21 (x 1+x 2)=224a m a +，y 0=－x 0+m =244a

m +。

代入y =x ，得2

2

2444a m a m a +=

+，

由于

a 2＞4，∴

m =0，∴由③知x 1+x 2=0，x 1x 2=－

2

244a a +，又|M 1M 2|=3

10

44)(221221=

-+x x x x ， 代入x 1+x 2，x 1x 2可解a 2

=5，故所求椭圆方程为：4

52

2y x +

=1。 【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x 2=－2py ，将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4)，解得p =12。5， 于是抛物线方程为x 2=－25y 。

由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0。16，从而|EE ′|=(－－(－4)=。 故最长支柱长应为3.84米。

【例】已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=

2

10

，求椭圆方程。 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0，n ＞0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) 由????

?=++=1

1

2

2ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0，Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0，即m +n －mn ＞0， 由OP ⊥OQ ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0，∴n

m n

n m n --+-2)1(2+1=0，∴m +n =2 ① 又2

)2

10()(4=+-+n m mn n m 2

，将m +n =2，代入得m ·n =43 ②

由①、②式得m =

21，n =2

3或m =23，n =21

故椭圆方程为22x +2

3y 2

=1或23x 2+21y 2=1。

【例】已知圆C 1的方程为()()

320

122

2

=-+-y x ，椭圆C 2的方程为12222=+b

y a x ()a b >>0，C 2的离心率为

2

2

，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。

解：由.,2,22,222

222c b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b

y b x

设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A .2,42121=+=+∴y y x x 又

,12,

122

22

2

22

2

21

2

21

=+

=+

b

y b

x b

y b

x 两式相减，得

.022

2

2

212

22

21=-+

-b

y y b

x x

,0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x

又.1.2.42

12

12121-=--=+=+x x y y y y x x 得)..2(1--=-∴x y AB 的方程为

直线即3+-=x y

将得代入

,1232

22

2=+

+-=b

y b

x x y .021812322=-+-b x x

.07224.22>-=?∴b C AB 相交与椭圆直线Θ需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高

考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 由.3204)(22212

2121=

-+=-=

x x x x x x B A 得.3

20

3722422=-?b 解得 .82

=b 故所有椭圆方程.18

162

2=+y x

【例】过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2

2

的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =

2

1

x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程。

解法一：由e =22

=a c ，得21222=-a

b a ，从而a 2=2b 2，

c =b 。设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆上。

则x 12+2y 12=2b 2，x 22+2y 22=2b 2，两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0，

.)

(2212

12121y y x x x x y y ++-=--

设AB 中点为(x 0，y 0)，则k AB =－

02y x ，又(x 0，y 0)在直线y =21x 上，y 0=21

x 0，于是－002y x =－1，k AB =－1，

设l 的方程为y =－x +1。右焦点(b ，0)关于l 的对称点设为(x ′，y ′)，???-='='???????++'-='=-''

b y x b x y b

x y 11 1

22

1解得则

由点(1，1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2，b 2=

8

9

,1692=a 。 ∴所求椭圆C 的方程为2

29

1698y x + =1，l 的方程为y =－x +1。

解法二：需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总

结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”由e =21

,22222=-=a

b a a

c 得，从而a 2=2b 2，c =b 。设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2，l 的方程为y =k (x －1)， 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0， 则x 1+x 2=

2

2214k

k +，y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－

2

212k

k +。

直线l ：y =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++)，则2222122121k

k k k +?=+-，解得k =0，或k =－1。 若k =0，则l 的方程为y =0，焦点F (c ，0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1)，即y =－x +1，以下同解法一。 解法三：设椭圆方程为

)1()0(12

22

2>>=+b a b y a x

直线l 不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过2

1

=

中点矛盾。故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为

整理得：

消代入y )1()2()3(02)(2222222222=-+-+b a k a x a k x b a k )()(2211y x B y x A ，，设，2

2

2

22212b

a k a k x x +=

+知： 代入上式得：又k x x k y y 2)(2121-+=+

21221=+-x x k k ，212222222=+?-∴a k b a k k k ，2

1

22=--∴ka b k k ，22=e 又 122)

(2222

222

2-=+-=--

=-

=∴e a

c a a

b k ，x y l -=∴1的方程为直线，

222b a =此时，02243)3(22=-+-b x x 化为方程，0)13(8)1(241622>-=--=?b b

3

3

>

∴b ，)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆，2222b b a c =-=又， )0(，右焦点b F ∴，)(00y x l F ，的对称点关于直线设点，

则b y x b x y b x y -=-?????

???+-==-11212

100000

，， 得：

在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+，3

3

43>

=∴b ， 1692=

∴b ， 8

9

2=a 所以所求的椭圆方程为：116

9892

2=+y x

【例】如图，已知△P 1OP 2的面积为4

27

，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为

2

13

的双曲线方程。

解：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系。 设双曲线方程为

2

22

2b y a x -=1(a ＞0，b ＞0)，由e 2=

222

2

)213()(1=+=a b a c ，得23

=a b 。

∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－2

3

x 设点P 1(x 1，

23x 1)，P 2(x 2，－2

3

x 2)(x 1＞0，x 2＞0)， 则由点P 分21P P 所成的比λ=2

1PP P

P =2，得P 点坐标为(22,322121x x x x -+)， 又点P 在双曲线

2

22

294a y a x -=1上，所以

2

2

212

2

219)2(9)2(a x x a x x --

+=1，

即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2，整理得8x 1x 2=9a 2 ①

,4

271312

41321sin

||||2113

124

91232tan 1tan 2sin 2

13

4

9||,21349||212121121212222212121121=

??=??=∴=+?

=

+==+==+

=?x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又

即x 1x 2=

2

9 ②

由①、②得

a 2=4，

b 2=9。

故双曲线方程为9

42

2y x -

=1。 【例】需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”过椭圆C ：

)0(12

22

2>>=+b a b x a y 上一动点P

引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的两条切线P A 、P B ，A 、B 为切点，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于M 、N 两点。(1) 已知P 点坐标为(x 0，y 0 )并且x 0y 0≠0，试求直线AB 方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且

16

25

||||2

22

2=+

ON b OM a ，求椭圆C 的方程；(3) 椭圆C 上是否存在点P ，由P 向圆O 所引两条切线互相垂直若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。

解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2) 切线P A ：211b y y x x =+，P B ：222b y y x x =+ ∵P 点在切线P A 、P B 上，∴2020220101b y y x x b y y x x =+=+

∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x

(2)在直线AB 方程中，令y =0，则M(02x b ，0)；令x =0，则N(0，0

2

y b )

∴1625

)(||||222

2

02202222

22==+=+b a b x a y b a ON b OM a ① ∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25， b 2 =16 ∴椭圆C 方程：)0(116

252

2≠=+xy x y

(3) 假设存在点P(x 0，y 0)满足P A ⊥P B ，连接O A 、O B 由|P A |=|P B |知，

四边形P A O B 为正方形，|OP|=2|O A | ∴220202b y x =+ ① 又∵P 点在椭圆C 上 ∴222

0220

2b a y b x a =+ ② 由①②知

x 2

2

222

2

2

2222

0,

)2(b

a b a y

a b a b -=

--=

∵a >b >0 ∴a 2 －b 2>0

(1)当a 2－2b 2>0，即a C 上存在点，由P 点向圆所引两切线互相垂直； (2)当a 2－2b 2<0，即b b 时，椭圆C 上不存在满足条件的P 点

【例】已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点A （m ，2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论。

（3）已知点A （m ，2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2。求证：直线DE 过定点，并求出这个定点。

解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入 ).

2,5(),5(1

2,0)2()5()2(),14(44

4424:).24,14(4),1(1

2:).24

,14(,242,048

4,4)1(2).2,1(,14)2,()2(2

22222221222----

=+=+--++---+=++--+=--=--+∴-=

==-+-=-=-∴==过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将x k k y y x k y k k x k

k k k k y DE k k E x y x k

y AE k k

D k y y k

y k y x y x k y AD A m x y m A

),

1,(21

2

12,2,0)2(24),(),,(,,

14)2,()3(212211222211112≠=--?--∴=?=+-+?????=+=+===x x x y x y k k b x kb x k x

y b kx y y x E y x D b kx y DE m x y m A AE AD Θ得由的方程为设直线得代入将

)

2,1(,,),2,1(,2)1(22).2,1(,2)1(22).

2().

2(,)2(,)

2(2,02)2())(22()2(,222

2212

212212122211--∴+-=-+=+=-=---+=-+=+=-=-±=∴-±=∴-==

--=

+=--+++-+-∴+=+=定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且x k k kx y b kx y k b x k k kx y b kx y k b k b k b k b k b x x k kb x x b x x k kb x x k b

kx y b kx y

【例】需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”已知曲线

332)0,0(12

22

2=

>>=-e b a b y a x 的离心率，直线l 过A （a ，0）、B （0，－b ）两点，原点O 到l 的距离是.2

3

（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=?ON OM ，求直线m 的方程。

解：（Ⅰ）依题意，,0,1=--=-+ab ay bx b y a x l 即方程 由原点O 到l 的距离为23，得

2

32

2==

+c ab b a ab

又3

32==a c e

3,1=

=∴a b 。 故所求双曲线方程为13

22

=-y x

（Ⅱ）显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y =k x －1， 则点M 、N 坐标（11,y x ）、（22,y x ）是方程组 ???

??=--=13

1

2

2y x kx y 的解

消去y ，得066)31(22=-+-kx x k ① 依设，,0312

≠-k 由根与系数关系，知1

36,13622

1221-=-=

+k x x k k x x

)

1)(1(),(),(212121212211--+=+=?=?kx kx x x y y x x y x y x ON OM =

1

)()1(21212++-+x x k x x k =

11

3613)1(622

2

2+---+k k k k =

11

362

+-k

23-=?ON OM Θ ∴

11

36

2

+-k =－23，k=±21。 当k=±21

时，方程①有两个不等的实数根 故直线l 方程为12

1,121--=-=x y x y 或

【例】已知动点P 与双曲线13

22

2=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且

21cos PF F ∠的最小值

为9

1

-

． （1）求动点P 的轨迹方程；

（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围． 解：（1）由已知可得： 5=c ，

9

1

2)2(2

2

22-

=-+a

c a a ∴ 4,

92222=-==c a b a

∴ 所求的椭圆方程为 14

92

2=+y x 。

(2)方法一：由题知点D 、M 、N 共线，设为直线m ，当直线m 的斜率存在时，设为k ，则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ① 由判别式 045)94(4)54(22≥?+?-=?k k ，得9

5

2≥

k 。 再设M (x 1 ， y 1 )， N ( x 2 ， y 2)，则一方面有 ))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x DN y x DM λλλλ，得??

?-=-=)3(321

2

1y y x x λλ 另一方面有 2

219454k k

x x +-=+，2

219445

k x x +=

②

将21

x x λ=代入②式并消去 x 2可得94)1(532422+=+k λλ，由前面知， 536402≤

∴ 5

81

)1(532492

≤

+<

λλ，解得 551<<λ。

又当直线m 的斜率不存在时，不难验证：55

1

==λλ或，所以

55

1

≤≤λ为所求。 方法二：同上得??

?-=-=)3(321

2

1y y x x λλ

设点M (3cosα，2sinα)，N (3cosβ，2sinβ) 则有?

??-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβ

λα

由上式消去α并整理得)

(1251813sin 22λλλλβ-+-=， 由于1sin 1≤≤-β

∴ 1)

(1251813122≤-+-≤

-λλλλ， 解得

55

1

≤≤λ为所求。 需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5，最小值为1。进而推得λ的取值范围为55

1

≤≤λ。 【例】 如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为

4

π

的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积。

解：由题意，可设l 的方程为y =x +m ，－5＜m ＜0。

由方程组?????=+=x

y m

x y 42，消去y ，得x 2+(2m －4)x +m 2=0……………①

∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0， 解得m ＜1，又－5＜m ＜0，∴m 的范围为(－5，0)

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2，∴|MN |=4)1(2m -。 点A 到直线l 的距离为d =

2

5m +。

∴S △=2(5+m )m -1，从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(3

5522m m m ++++-)3

=128。

∴S △≤82，当且仅当2－2m =5+m ，即m =－1时取等号。 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为82。

【例】已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)。(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在。

解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1，与曲线C 有一个交点。 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1)，

代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0………………(*) (ⅰ)当2－k 2=0，即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点

(ⅱ)当2－k 2≠0，即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k )

①当Δ=0，即3－2k =0，k =2

3

时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点。 ②当Δ＞0，即k ＜

23，又k ≠±2，故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜2

3

时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点。

③当Δ＜0，即k ＞

2

3

时，方程(*)无解，l 与C 无交点。 综上知：当k =±2，或k =2

3

，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜2

3

，或－2＜k ＜2，或k ＜－2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞

2

3

时，l 与C 没有交点。 (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则2x 12－y 12=2，2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2) 又∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=2∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =

2

12

1x x y y --=2

但渐近线斜率为±2，结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在。 【例】已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2

2

10200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率

为

1

4

的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2

PA PB PC ?=．

（1）求双曲线G 的渐近线的方程； （2）求双曲线G 的方程；

（3）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．

解：（1）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆2

2

10200x y x +-+=

相切可得：

=

所以，12k =±

．双曲线G 的渐近线的方程为：1

2

y x =±． （2）由（1）可设双曲线G 的方程为：2

2

4x y m -=．

把直线l 的方程()1

44y x =

+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=． 则8164, 33

A B A B m

x x x x ++==- （＊）

∵ 2

PA PB PC ?=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上，

∴ ()()()2

P A B P P C x x x x x x --=-，即：()()4416B A x x +--=，

整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =．所以，双曲线的方程为

22

1287

x y -=． （3）由题可设椭圆S

的方程为：

(22

2128x y a a

+=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则

22

112

22

222

1281

28x y a x y a ?+=????+=??．两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a -+-++= 由于

12124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+= 所以，0024028x y

a

-=，

所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线

2

4028x y

a -=截在椭圆S 内的部分． 又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，

21

1122

a =．

所以，2

56a =，椭圆S 的方程为：

22

12856

x y +=． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．

【例】已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP

OM

=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 解：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得

1,4,37a c a c a c -=?==?

+=?

解得，w 。w 。w 。k 。s 。5。u 。c 。o 。m 所以椭圆C 的标准方程为22

1167x y += （Ⅱ）设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。由已知

222

OP OM

λ=及点P 在椭圆C 上可得

2222

911216()

x x y λ+=+。整理得2222

(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。 （i ）34

λ=

时。化简得2

9112y = 所以点M

的轨迹方程为44)y x =-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。 （ii ）3

4

λ≠时，方程变形为

22

22

111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-

当3

04

λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。 当

3

14

λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分； 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；

【例】已知椭圆()22220x y C a b a b

∶＋＝1＞＞

，过右焦点F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点，

当L 的斜率为1时，坐标原点O 到L 的距离为2。 (Ⅰ) 求a ，b 的值；

(Ⅱ) C 上是否存在点P ，使得当L 绕F 转到某一位置时，有OP OA

OB u u u r u u u r u u u r

＝＋成立若存在，求出所有的P 的坐标与L 的方程；若不存在，说明理由

考点：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解：（Ⅰ）设(),0,c F 当l 的斜率为1时，其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为

2

2

00c c

=

--。 故

2

2

2

=

c ， 1=c 由 3

3==

a c e ，得 3=a ，22c a

b -==2 （Ⅱ）C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立。 由 （Ⅰ）知C 的方程为22x +2

3y =6。 设).,(),,(2211y x B y x A (ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时，设不垂直当 C OB

OA OP P +=使上的点成立的充要条件是

）点的坐标为（2121,y y x x P ++且

6)(3)(2221221=+++y y x x

整理得 664323221212

22

22

12

1=+++++y y x x y x y x

632,6322

2222

1

21=+=+y x y x C B A 上，即在、又。 故 03322121=++y y x x ①

将 并化简得代入,632)1(2

2

=+-=y x x k y 0636)32(2

2

2

2

=-+-+k x k x k

于是 2221326k k x x +=+, 21x x =223263k k +-,2

2212

21324)2)(1(k k x x k y y +-=--=

代入①解得，22

=k ，此时2321=

+x x 。 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -， 即)2

,23(k

P -

因此， 当2-=k 时，)2

2

,

23

(P ， 022=-+y x l 的方程为； 当2=

k 时，)2

2

,23(-P ， 022=--y x l 的方程为。