2006年高中数学竞赛一试试题及答案
2006年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为
A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．
112x << B ．1
, 12
x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}
06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ??=，则整数对()b a ,的个数为
A. 20
B. 25
C. 30
D. 42 【答】 （ ）
4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，
2
BAC π
∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B
和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为
A. 1
??? B.1, 25??
???? C. 1,?? D. 【答】 （ ）
5. 设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的
A. 充分必要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为 A ．200620061(108)2+ B ．200620061
(108)2
- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7. 设x x x x x f 4
4cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .
9. 已知椭圆22
1164
x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l
：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比
12
PF PF 的值为 .
10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为
2
1
cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.
11. 方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++= 的实数解的个数为 .
12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰
好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明
对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m
m y x 为抛物线12
-=kx y 与直线x
y =的一个交点.
14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15
i j i j S x x ≤<≤=
∑
. 问：
（1）当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；
（2）进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.
15. 设 2
()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n = ，，
{}
R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：?????
?
-=41 ,2M .
参考答案
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.【答】 （ C ）【解】令ABC α∠=，过A 作AD BC ⊥于D
≥-，推
出
22222BA tBA BC t BC AC -+≥ ,令2BA BC t BC
=
，代入上式，得
2222
22
2cos cos BA BA BA AC αα-+≥ ，即
22
2sin BA AC α≥ , 也即
sin BA AC α≥ 。从而有AD AC ≥ 。由此可得 2
ACB π
∠=。
2.【答】（ B ）【解】因为2
0,121
0x x x x >≠??
+->?，解得 1
,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->-32log (2)log 2x x x x x ?+-> 32
01
22
x x x x <
122x x x x >?
?
+->? 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1
, 12x x >≠且. 3.【答】 （ C ）【解】 50x a -≤5a x ?≤
；60x b ->6
b
x ?>。要使{}2,3,4A B N ??=，则12645
5b
a ?≤
，即6122025b a ≤
4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１
为ｚ轴，则1(,0,0)F t （101t <<），1(0,1,)2E
，1
(,0,1)2
G ，2(0,,0)D t （201t <<）。所以
11(,1,)2EF t =--，21
(,,1)2
GD t =--。因为G D E F ⊥，所以1221t t +=，由此推出
2102t <<。又12(,,0)DF t t =- ，DF = ==
而有
1DF ≤<
。
5.【答】 （ A ）【解】显然(32()log f x x x =+为奇函数，且单调递增。于是 若0a b +≥，则a b ≥-，有()()f a f b ≥-，即()()f a f b ≥-，从而有()()0f a f b +≥. 反之，若()()0f a f b +≥，则()()()f a f b f b ≥-=-,推出 a b ≥-，即 0a b +≥。
6. 【答】（ B ）【解】出现奇数个
9
的十进制数个数有
1
2005
32003
20052006
2006
2006
9
9
9A C
C
C
=+++ 。又由于2006
2006
200620060(91)
9k
k k C -=+=∑以及2006
2006
200620060
(91)
(1)9k
k k k C -=-=-∑，从而得 12005320032005
20062006
2006200620061999(108)2
A C C C =+++=
- 。 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7.【解】 4
4
211
()sin sin cos cos 1sin 2sin 222
f x x x x x x x =-+=-
-。令sin 2t x =，则 2211911()()1()22822f x g t t t t ==--=-+。因此11919
min ()(1)0,824
t g t g -≤≤==-=
111919max ()()02828t g t g -≤≤=-=-= 。 即得9
0()8
f x ≤≤。 8. 【解】依题意，得2z ≤ 22
(cos )(2sin )4a a θθ?++-≤
22(cos 2sin )35a a θθ?-≤-2sin()35a θ??--≤- （
?=（对任意
实数θ成立）2
35a ?≤- a ?≤故 a 的取值范围为
????
。 9. 【解】 由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,F F ，P 三点的圆必定和直线l 相切于P
点。设直线l 交x 轴于
A (8--，则12APF AF P ∠=∠，即12APF AF P ?? ，即
12
2
PF AP PF AF =
（1），又由圆幂定理，2
12AP AF AF =?（2），
而1(F -
，2F ，
A (8--，从而有18AF =
，28AF =+。代入（1），（2）
得
1
21PF PF ====。 10. 【解】设四个实心铁球的球心为1234,,,O O O O ，其中12,O O 为下层两球的球心，,,,A B C D
分别为四个球心在底面的射影。则ABCD
是一个边长为
2的正方形。
所以注水高为12
+。
故应注水3
41(1432ππ??
-? ???
＝1(32π+
。 11.【解】20052004422006
2006)1)(1(x x x x x
=+++++
2420042005
1()(1)2006x x x x x
?+
++++=
3520052005
2003
2001111
1
2006x x x x x x x x
?+++++
++
++= 320053200511
1
2006210032006x x x x x x
?=+
+++++≥= 要使等号成立，必须 32005
32005111,,,x x x
x x x
=== ，即1x =±。 但是0x ≤时，不满足原方程。所以1x =是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。
12. 【解】第4次恰好取完所有红球的概率为
22
2918291821
10101010101010101010
??????+???+?? ? ?????=0.0434. 三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 【证明】 因为12
-=nx y 与x y =的交点
为00x y ==.显然有
00
1
x n x +
=。…（5分） 若),(00m
m
y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点，则00
1
m
m k x x =+
. …（10分） 记001m
m m k x x =+
，则 10110
1()m m m m m k k x k nk k x +--=+-=-， (2)m ≥ （13.1） 由于1k n =是整数，2
22
200200
11()22k x x n x x =+
=+-=-也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数m ，001
m
m m
k x x =+
是正整数. 现在对于任意正整数m ，取001m
m
k x x =+，使得12
-=kx y 与x y =的交点为),(00m m y x . …………………
（20分）
14. 【解】 （1） 首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若
123452006x x x x x ++++=, 且使 15
i j i j S x x ≤<≤=
∑
取到最大值，则必有
1,i j x x -≤ (1,5)i j ≤≤ ………（5分） (*)
事实上，假设（*）不成立，不妨假设122x x -≥。则令111x x '=-，221x x '=+,i i x x '=(3,4,5i =) 有1
212x x x x ''+=+，121212121x x x x x x x x ''?=+-->。将S 改写成 15
i j i j S x x ≤<≤=
∑
()()1212345343545x x x x x x x x x x x x x =+++++++
同时有
()1
212345343545()S x x x x x x x x x x x x x '''''=+++++++。于是有
12
10S S x x x x '''-
=->。这与S 在12345,,,,x x x x x 时取到最大值矛盾。所以必有1,i j x x -≤
(1,5)i j ≤≤. 因此当
1234402,4
01x x x x x ====
=取到最大值。 ……………………（10分）
（2）当123452006x x x x x ++++=且2i j x x -≤时，只有
（I ） 402， 402， 402， 400， 400； （II ） 402， 402， 401， 401， 400； （III ）
402， 401， 401， 401， 401；
三种情形满足要求。 ……………………（15分）
而后面两种情形是在第一组情形下作1i i x x '=-，1j j x x '=+调整下得到的。根据上一小
题的证明可以知道，每调整一次，和式15
i j
i j S x x ≤<≤=
∑
变大。 所以在
12345402,400
x x x x x =====情形取到最小
值。 …………………（20分）
15.【证明】（１）如果2a <-，则1
(0)||2f a =>，a M ?。 ………（5分）
（２）如果124a -≤≤
，由题意 1(0)f a =，12
(0)((0))n n f f a -=+,2,3,n = . 则 ① 当 104a ≤≤时，1(0)2n f ≤（1n ?≥）. 事实上，当1n =时，1
1(0)2
f a =≤, 设
1n k =-时成立（2k ≥为某整数），则对n k =， 2
2
1
111
(0)(0)242
k
k f f
a -??≤+≤+= ???.
② 当 20a -≤<时，(0)n f a ≤（1n ?≥）.事实上，当1n =时，1
(0)f a ≤, 设
1n k =-时成立（2k ≥为某整数），则对n k =，有()
2
12
||(0)(0)k k a a f f a a a --=≤=+≤+.
注意到 当20a -≤<时,总有22a a ≤-，即 2
||a a a a +≤-=. 从而有(0)||k f a ≤.由归纳
法，推出 12,4
M ??-????
?
。 ……………（15分）
（3）当14a >
时，记(0)n
n a f =，则对于任意1n ≥，14
n a a >>且
12
1(0)((0))()n n n n n a f f f f a a a
++====+。对于任意
1
n ≥，
221111()244n n n n n a a a a a a a a +-=-+=-+-≥-, 则114n n a a a +-≥-。 所以，
1111()4n n a a a a n a ++-=-≥-。当214
a
n a ->-时，11()224n a n a a a a +≥-+>-+=
，即1(0)2n f +>。因此a M ?。综合（１）（２）（３），我们有
?????
?
-=41 ,2M 。 …………………………（20分）
2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析
2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -=． 7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? ． （1）求证：1()2 A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数． 11．设,,, abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值．
高中数学竞赛训练题(0530)
数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10<
历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
上海市高三数学竞赛解答 供参考
2017年上海市高三数学竞赛（）解答（供参 考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域： ]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 计算可得：
归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得：|3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49，
由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±= 1+n n a a ， 进而3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9 ，从中任意
2020年全国高中数学联合竞赛一试B卷
2020年全国高中数学联合竞赛一试B 卷 试题参考答案及评分标准〔B 卷〕 讲明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 〔 B 〕 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当1 22x x =--时上式取等号． 而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2． 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，假设B A ?，那么实数a 的取值范畴为 〔 A 〕 A ．[0,3) B ．[0,3] C ．[1,2)- D ．[1,2]- [解] 因240x ax --=有两个实根 12a x =22a x = 故B A ?等价于12x ≥-且24x <，即 22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<． 3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 23，乙在每局中获胜的概率为1 3 ，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 〔 C 〕 A. 670243 B. 27481 C. 266 81 D. 24181 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.
高中数学竞赛_函数【讲义】
1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)
概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公
比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.
2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)
2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞，则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2, ,2009}A =，集合L A ?， 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤，都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的 子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ± 2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数 ()2f x 的解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2 1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ，得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 答案：2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=，所以arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48． 二次函数与命题 一、基础知识 1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-a b 2，下同。 2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a <0时，情况相反。 3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。 1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 上海市高中数学竞赛 说明：解答本试题不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分） 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题： 9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且 2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、（本题满分40分） 设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 二、（本题满分40分） 给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 三、（本题满分50分） 如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 四、（本题满分50分） 设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合 {(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值. 2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、（本题满分40分） 设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 证明：当1d ≥时，不等式显然成立 以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有 因此222 (1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 二、（本题满分40分） 给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -= 三、（本题满分50分） 如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY XC YB = 连接,BD CD ，因为ACQ ACQ ABC ABC ABP ABP S S S S S S ???????=， 所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222 AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又 CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ AC AP BP ?=? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，高中数学竞赛讲义_三角函数
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