椭圆的基本性质教学设计
《椭圆的几何性质（1）》教学设计
信丰二中邓丽华
一、教学目标：
1 、知识掌握目标：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形。
2 、基本技能和一般能力培养目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。
3 、创新素质和创新人格的培养目标：培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。
4 、德育目标：通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
二、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。
三、教学难点：利用椭圆方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
四、教材分析：
德育点：在研究性质的过程中，培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，培养学生喜欢探究的情感和态度。过对椭圆对称性的体验，使学生得到美的感受。
创新点：①教学中不拘泥于教材，改变教材的安排，有利于学生进行探究。在范围这一性质的教学中，鼓励用多种方法推倒，培养学生的创新思维；②在反馈训练中，让学生自己编拟方程并研究其性质。③留研究性作业，鼓励学生进一步探索。
空白点：①研究性过程中多处留白，鼓励学生大胆猜想并根据方程给予论证②反思性小结中设计表格留空白，调动学生积极参与。
五、教学过程
1 、创设情境引导目标与内容
教师： 2003 年 10 月 15 日是每一个中国人为之骄傲的日子（课件展示飞船绕地球运行模拟图），大家还记得这一天吗？
学生：神州五号飞船发射成功。
通过前面的学习我们知道，飞船在变轨前是沿着地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船的轨道方程，你怎样作出飞船的轨迹呢？这个问题的实质是什么？
学生：已知一个椭圆的方程，画出这个椭圆。
教师：让学生拿出预习中用描点法画出所示的图形，同时计算机给出作图过程，纠正学生作图中存在的问题后给出：这种作图方法虽然比较准确，同学们通过作图体会到了什么？
学生：麻烦。
教师：有简单的方法吗？如果有，需要知道什么呢？
学生：研究曲线的特点。
教师：对，如果我们能根据椭圆的方程，探讨出它的几何特征，那么作图就很方便了。这节课我们就一起来学习椭圆的简单几何性质（引出课题）教师：前面我们学习了椭圆的哪些知识？
学生：学习了定义和标准方程。
教师：你还记得标准方程吗？
学生：或
教师：这节课就以（ a ＞ b ＞ 0 ）为例来研究。
2 、教师点拨、指导，学生研究、合作、体验
（ 1 ）对称性
教师：（大屏幕展示所示的图形）请同学们观察这个图形在 x 轴的上方、下方， y 轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？（此处是空白点，激发学生思考）学生：有对称性，关于 x 轴、 y 轴、原点都对称。
教师：正确。那么一般的椭圆是否也具有这种对称性，你能根据方程得到结论吗？
学生： A ：（充分讨论后）也有同样的对称性。在上任取一点 P （ x,y ）则 P 点关于 x 轴、 y 轴和坐标原点的对称点分别是（ x,-y ）（ -x ， y ）、（ -x ， -y ），而代入方程知这三个对称点都适合方程，即点 P 关于 x 轴、y 轴和坐标原点的对称点仍然在椭圆上，可得结论。
教师：回答得非常正确。
课件展示对称过程后总结：所表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心，椭圆是有心曲线。做人应向椭圆学习，做一个有心之人。
（ 2 ）顶点
教师：（大屏幕展示所表示的图形）请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点呢？
学生 B ：与坐标轴有四个交点。
教师：对，一般的椭圆与坐标轴有几个交点呢？
学生 B ：同样是四个。
教师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与 x 抽的交点分别是、，与 y 轴的交点分别是、）
学生 B ：分别令 x=0,y=0 ，得 (-a,0) 、（ a,0 ）、（ 0,-b ）（ 0,b ） .
教师：回答得很好。这四个点是椭圆与坐标轴的交点，也是椭圆与其对称点的交点。
及时总结并给出顶点的定义（强调是与对称轴的交点）。结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长半轴长、短半轴长，点明方程中 a 、 b 的几何意义。
教师：（根据课件中的图）如果过、、分别作 y 轴的平行线，过、分别做 x 轴的平行线，则这四条直线将构成 ----？
学生：一个矩形。
教师：椭圆在矩形 ----？
学生：内部
教师：正确，这说明了什么？
学生：有的说有界，有的说有范围。
教师：指出椭圆是有范围的，根据前面求得的、、、的坐标，你能说出x 、 y 的范围吗？
学生 C ： -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y≤ b.
教师：完全正确。那么你根据方程研究 x 、 y 的取值范围吗？请同学们想一想，并互相讨论讨论。（此处既是空白点、又是创新点，学生能够动脑思考，
动手实践，亲身体验，积极地投入到“创新性研究”中，把数学的重点放在了学生的学习过程，而不是获得一个简单的结果）
（ 3 ）范围
引导学生用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。
学生 D ：由利用两个实数的平方和为 1 ，结合不等式知识得≤ 且≤ ，则有 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ b.
教师：很好，谁还有不同意见？
学生 E ：利用三角换元，令θ，θ，θ∈ R 。由弦函数有界可得范围。
教师：这个想法也不错，谁还有不同见解？
学生 F ：从中解出，利用≥ 0 可得 y 的取值范围，同样可得 x 的取值范围。
教师：这种想法也不错，谁还有不同见解？
此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、植域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？
学生议论纷纷，有的开始动笔推导，有的几个人一起在商量。
教师：谁研究出来了，或哪个小组研究出来了？请到前面给大家讲一讲。
学生 G ：（实物展台展示）由则y= ± ，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。
教师：y= ± 是函数吗？
学生 G ：（思考后）说不是。
教师：怎么处理呢？
学生 G ：把 y= 和 y=- 分别看作是一个函数。
教师：正确。往下怎么研究呢？
学生 G ：先求函数 y= 的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得 -a ≤ x ≤ a ，0 ≤ y ≤ b ，同样得 y= 中 -a ≤ x ≤ a ， -b ≤ y ≤ 0 ，于是得到范围。（课堂响起一片掌声，表示对这位同学的支持、肯定与鼓励
教师：前面我们研究了椭圆的对称性，谁能简化学生 G 的推导过程呢？
学生 H ：老师，我想只需求y= (0 ≤ x ≤ a) 的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围。
教师：很好。
教师：通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内。有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了教师在黑板上示范作图（先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，光滑曲线连接，并注意对称性）
教师：请同学们根据这种作图方法，在同一坐标系下画出方程和所示的椭圆，并思考这两个椭圆的形状有何不同？
学生 M ：实物展台展示画图，指出一个扁一些，一个圆一些。
教师：（追问）圆扁与什么有关系？（提示学生注意两个方程）
学生 M ：与 b 有关系。
教师：是这样吗？
学生 N ：在 a 不变的情况下与 b 有关系， b 大则圆， b 小则扁，因此与 a 、 b 有关系。
教师课件动画展示（ a 不变，随 b 变化，椭圆形状的变化）印证学生的猜测是正确的，同时提出问题：在推导方程中曾令，这又意味着形状还与什么有关系呢？
学生有的说与 b 、 c 有关，有的说与 a 、 b 、 c 有关。（鼓励学生大胆猜测）
教师：在给出椭圆的定义中，大家还记得吗？影响椭圆形状的最关键的要素是什么？
学生：是 a 和 c
教师：下面我们就一起看一下在 a 不变的情况下，随 b 的变化 c 是如何变化的（动画演示）。从而引出离心率。
（ 4 ）离心率
教师在动画演示过程中，引导学生发现 a 不变， b 大则 c 小，椭圆较圆，b 小则 c 大，椭圆较扁，特别当 a=b 时， c=0 椭圆为圆。教师指出：当 a 不变， b 大则 c 小，此时也变小，学生通过观察指出此时椭圆较圆，反之较扁，c=0 时变成了圆。及时总结并给出离心率的定义、符号和范围及特例。（强调离心率是焦距与长轴长之比，与坐标系选取无关，并引导学生分析出：固定 a 、 b 、c 中任何一个量，改变另外两个量可得到同样的结论，即 e 大则扁， e 小则圆，特别 e=0 时为圆）
因此离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量。（此处是难点，教学中借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响）
3 、巩固与创新应用
请你自己设计一个焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，并指出它的几何性质。（此题把主要权交给学生，提高学生的参与意识）
利用本节所学的知识，说出椭圆的简单几何性质。（此处也是一个创新点，培养学生运用类比化归的思想解决实际问题的能力，也通过本题使学生体验这节课所学的性质是椭圆自身固有的性质与坐标系的选取无关）
椭圆 (k ＞ 0) 的长轴是短轴的 2 倍，则 k=
如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个三角形，求椭圆的离心率，（通过第（ 3 ）（ 4 ）两题巩固本节所学知识）
4 、反思与小结
教师引导学生从知识、思想方法和研究问题的方法三个方面进行总结。
教师：通过这节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？
学生讨论、反思。
师生合作：
（ 1 ）知识总结：教师设计关于性质的表格，学生填表，并总结：记住这些性质的关键是抓住两条线（对称轴），一个框（范围），七个点（一个中心、两个焦点、四个顶点）和用 e 刻画圆扁。思想方法总结：本节课主要利用了数形结合的思想和类比化归的思想研究性质的，平时学习中要注意数学思想方法的运用。
（ 2 ）掌握利用曲线方程研究曲线性质的基本方法，即通过研究曲线的对称性、顶点、范围、离心率等，这样就可以从整体上把握曲线了。
六、板书设计：
椭圆的简单几何性质
1 、对称性； 4 、离心率
2 、顶点； 5 、板书学生推导
3 、范围； 6 、作图
七、教后反思：
1、渗透教学思想方法重在平时
当学生有一天不再学习数学了，我们给学生留下的是什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式和解决问题的方法。本节课始终是引导学生观察图形后研究方程，即数形结合的思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此在平时教学中，要注意渗透数学思想方法的教学。
2 、信息技术走进课堂
在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。
不足：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。面对新课改教师惟有主动适应，创造新生。
现代教育技术既作为教的工具，也作为学的工具。
圆的基本性质-教学设计
圆的基本性质教学设计 教材分析 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 知识与技能： 1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。 过程与方法： 1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。 情感态度价值观： 体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 教学重难点 重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。 难点：垂径定理探索及其应用。 教学方法 启发式教学 教学过程设计 第一课时 一、观察与思考 观察汽车和皮带转动轮的视频或图片 提问：车轮是什么形状的？ 生：圆形（问题简单，一起回答） 教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？” 生：“不能！”“它们无法滚动！”
初中数学九年级《圆的基本性质复习课》公开课教学设计
圆的基本性质复习课 教学活动 一、圆的基本性质复习： 例1、 （1）如图，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且OD//AC 。 求证：CD=BD 师：在圆中，你想到用什么方法证明弦相等呢？下面我们以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明这两条弦相等。每组选派一位代表，整理组员的意见，待会来汇报展示。 （学生分组交流，一会后学生汇报成果。） 组一：连接OC ，OD AC // C O D A C O B O D A ∠=∠∠=∠∴, O C OA = ∴ACO A ∠=∠DOB CO D ∠=∠∴ BD CD =∴ 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等。还有其他证明方法吗？ 组二：连接AD ，OD AC // ， OA=OD ∠=∠∴CAD OAD ODA ∠= ∴弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等。这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的 弧相等。这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证 弧相等，也可以考虑去证圆周角相等。 （边总结，边在黑板上抽离基本图形） 师：还有其他方法吗？ 组三：连接BC ， AB 是直径 090=∠∴ACB AC//OD OD BC ⊥∴ 由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ∴CD=BD 师：这就利用了垂径定理的基本图形。（同时在黑板上画 出这个基本图形） 垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的 关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立。但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立。垂径定理及逆定理体现的是圆的 轴对称性。 而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角； 而0 90的圆周角所对的弦是直径。（同时在黑板上抽离这个基本图
圆的基本性质
第3章圆的基本性质试卷分析——二探 嘉善县天凝中学盛伟峰 1. 测试信息的统计与呈现 总体难度适中符合中考要求，试题在第5,8,9,12,17,19,21题设置难点 2. 讲评重点的选定与分析： 通过小组学习，组内讲评试卷找出存在的疑难问题汇总到教师处，教师制定讲授教学目标和教学策略。 一、本节课的教学目标： 1.解决学生小组讨论后反馈的试卷遗留问题（通过探一、探二）。 2.引导学生二次探索这两方面的题型和解题技巧（老题新作、新题复做、夯实提高）。 3.引导学生总结归纳本节内容。 重点：探一、探二 难点：二探提高 二、教学过程 3. 讲评难点的解析与突破 探一：圆中求度：（将圆中关于度数和角度计算的汇总分析，找出一般的解题技巧和易错题分析） 1.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）
3.（2014·浙江温州中考）如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，为优弧，下列选项中与 ∠AOB 相等的是（ ） A.2∠C B.4∠B C.4∠A D.∠B +∠C 5.如图，在⊙中，直径垂直弦 于点，连接 ，已知⊙的半径为2 ， 32,则∠ 的大小为( ) A. B. C. D. 19.(5分)如图所示，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD .求∠D 的度数. 探二：圆中求长：（将圆中关于线段或边长计算的汇总分析，找出一般的解题技巧和易错题分析） 8.如图，在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A.点P 在⊙O 内 B.点P 在⊙O 上 C.点P 在⊙O 外 D.无法确定 9. （2015·浙江温州中考）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连接AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ，， 的中点分别是M ，N ，P ， Q .若MP +NQ =14，AC +BC =18，则AB 的长是（ ） A. 29 B. 7 90 C. 13 D. 16 12. （2015?浙江绍兴中考）在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，点P 在以点C 为圆心， 5为半径的圆上，连接P A ，PB .若PB =4，则P A 的长为_________. 17.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O 是这段弧的圆心，C 是 上一点， ，垂足为 ， 则这段弯路的半径是_________． 第9题图
椭圆及其性质
编辑 Apollonius 所著的八册《圆锥曲线论》(Conics)集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。今日大家熟知的ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）这些名词，都是Apollonius所发明的。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。 此事一直到十六、十七世纪之交，开普勒（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。开普勒三定律乃是近代科学开天辟地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。 2定义 编辑 第一定义 平面内与两定点、的距离的和等于常数（）的动点P的轨迹叫做椭圆。 椭圆定义说明 即： 其中两定点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。为椭圆的动点。 椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为 椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为 可变为 第二定义 平面内到定点（c,0）的距离和定直线：（不在上）的距离之比为常数（即离心率，0 《圆的基本性质复习课》教案 潮阳区华阳初级中学陈朝鸿 复习目标 1、使学生理解圆及其有关概念，圆的性质； 2、使学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3、使学生理解圆的对称性（轴对称和中心对称）； 复习重点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3、圆周角的定理及其推论； 4、与性质相关的计算。 复习难点 1、垂径定理及推论； 2、圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质； 3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 4、与性质相关的综合计算 目标分析 新课程标准的总体目标，即：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三位一体的目标，它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 （一）课前反馈用多媒体小试卷的形式： 展示自主学习案习题：1.在一个平面内，线段OA绕的一个端 点O旋转一周，所形成的图形叫做圆，固定的叫做， 线段叫做。 2.连接圆上任意两点的线段叫；经过圆心的弦叫 ; 圆上任意两点间的部分叫 ;大于半圆的弧叫 ;小于 半圆的弧叫。 3.外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点，叫三角形的外 心，锐角三角形的外心在三角形的，钝角三角形的外心在 三角形的，直角三角形的外心在三角形。 4. 圆是一个特殊的图形，它既是一个对称图形，又是一个对 称图形。 5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两 条弧； 6.推论：（1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧；（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 参与习 题的解 答。 使学生 对所学的 圆的性质 有一个较 系统的回 顾。 复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？ ∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） A.40cm B.30cm C.20 cm D.50cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE ⌒ ⌒ C.OE=BE D.BD=BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 B 圆的基本性质 复习总标 1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。 2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。 3.会用垂径定理进行有关计算。 知识梳理 1.圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2.圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 90圆周角所对的弦是圆的直径。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角； （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3.圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 易错知识点 1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。 2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。 4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 中考规律盘点及预测 本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。旗本性质的应用 主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。 1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且 CD=， ，则AB 的长为…【 】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得 ，由勾股定理得HB=1 ，则()2 2 2 1R R =+-由此得2R=3 或由相交弦定理得 ()2 121R =?-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B 2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表 示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。一条弧所对的圆周角 等于它所对圆心角的一半。()?=?-?==∠2030702 1 21Q P PAQ 选B 3、（2008年海南） 如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段 OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 第9题图 《圆的基本性质复习》教案 教学目标: 熟悉本章所有的定理。 教学重点：圆中有关的定理 教学难点: 圆中有关的定理的应用 教学方法：谈话法 教学辅助：多媒体 教学过程： A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O 3、篮球是圆吗？ –圆必须在一个平面内 ?以3cm为半径画圆，能画多少个？ ?以点O为圆心画圆，能画多少个？ ?由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ –半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 ?圆是“圆周”还是“圆面”？ –圆是一条封闭曲线 ?圆周上的点与圆心有什么关系？ 4、点与圆的位置关系 ?圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 ?圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 ?圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 ?由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 5、圆的有关性质 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。 7、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ? 如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 8、（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 圆的两条平行弦所夹的弧相等 9、圆的性质 ? 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 ? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ? 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。 10、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角. 11、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ? 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 ? 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ ? 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ ? 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 12、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 13、思考： （1）、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ （2）、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 14、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 15如果用字母S 表示扇形的面积，n 表示所求面积的扇形的圆心角的度数，r 表示圆的半径，那么 弧长L 公式是------------- 扇形的面积计算公式是 ---------------- 圆锥的侧面积和全面积:S 侧= 16、小结和同步作业 P B O 一、 第三章圆的基本性质复习点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d 圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．0 A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O 圆的基本性质复习学案 教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 课题：圆的基本性质复习目标：理解圆以及有关概念；理解弧、弦、圆心角的关系；探索并掌握垂径定理、圆周角定理及相关的推论。 基础回顾 例尝试 巩固提高 【基础知识】 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又 是对称图形，是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分，并且平 分；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧， 两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组 量，那么它们所对应的其余各组量都 分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是，90°的圆周角 所对的弦是。 【基础训练】 1．如图1，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC=_______度． 2.如图，⊙O中OA BC ⊥，25 CDA ∠=，则AOB ∠ 的度数为． 3．如图3，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC＝2cm，则⊙O的半径为cm． 4．下列每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（） （A）（B）（C）（D）例1．如图， 在△ABC中， 以BC为直径 的⊙O交AB于 D、交AC于 E，且BD=EC． 求证： AB=AC. 例2．如图， 在⊙O中，弦 AB＝AC＝ 5cm，BC＝ 8cm，求⊙O 的半径 例3．如图， 在⊙O 中，AB 是直径， CD是 弦， AB⊥CD ． ⑴ P是弧 CAD上一 点（不与 C、D重 合），求 证： ∠CPD＝ ∠COB； ⑵点P′在劣 弧CD上 （不与 1．如图1，ABC △ 是O的内接三角 形，50 B= ∠，点 P在CA上移动（点 P不与点A，C重 合），则α的变化 范围是_______． 2．如图2，AB是 O的直径，以B为 圆心，BO为半径画 弧交O于C D ，两 点，则BCD ∠的度 数是． 3．若⊙O的半径 OA＝10cm，弦AB ＝16cm，P为AB上 一动点，则OP的取 值得范围是 c 4．如图3，AB是 ⊙O的直径，C、 D、E都是⊙O上的 点，则∠1＋∠2 ＝． 5．如图，△ABC是 ⊙O的内接三角 形，点C是优弧AB 上一点(点C不与 A，B重合)，设 ∠OAB＝α，∠C＝β. （1）当α＝35°时， 求β的度数；(2)猜 想α与β之间的关 系，并给予证明. 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 第28课圆的概念与性质 复习目标：1.理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的概念，了解弧、弦、圆心角的关系。 2.了解圆的对称性以及垂径定理。 复习重点：圆的相关概念与性质。 复习难点：垂径定理的内容及应用。 复习过程： 一、基本知识点： 1、点与圆的位置关系。 2、如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在圆上---- d=r 点在圆内-----d 二、基础训练：见《中考指要》P.74页 三、例题讲解：见《中考指要》P.74页 四、变式训练: 1、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度. 2、(2004·山西)如图所示，已知RtΔABC中，∠C=90°,AC= ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝。 3、如图，O是∠CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE. 求证：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DB∥CE. 五、作业：见中考零距离 主备人：吴寿根 个性化教学辅导教案 学科：数学 年级：九年级 任课教师： 授课时间： 2017 年 春季班 第1周 教学 课题 圆的基本性质 教学 目标 1、掌握圆及与圆有关的概念，掌握圆的对称性。 2、掌握点与圆的位置关系。 3、掌握垂径定理，并利用垂径定理求线段的长度。 教学 重难点 圆及与圆有关的概念，垂径定理及其应用。 垂径定理及其应用。 教学过程 【知识要点】 1、圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径的长（通常也称为半径），以点O 为圆心的圆记作⊙O ， 读作“圆O ”。 注意：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆。 2、圆有关的概念 ①弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 ②弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 ③弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧分为半圆、优弧、劣弧三种。 自我检测：如图所示，线段AB 、CD 是⊙O 的_____；CD 经过点O ，是⊙O 的 ______，在一个圆中，_____是最长的弦,CD ⌒ 是______，AB ⌒ 和AC ⌒ 是_____，ACD ⌒ 和BDC ⌒ 是______。 ④能够完全重合的两个圆叫做________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做__________。 3、点和圆的位置关系 点和圆的位置关系：设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种: ①点在圆外?r d >；②点在圆上?r d =；③点在圆内?r d <。 4、圆的对称性 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心。 注意：①圆有________条对称轴。 ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的的弧________，所对的弦_________。 ③在同圆或等圆中，如果两个___________，两条_________，两条_________中有一组量 _________，那么他们所对应的其余各组量都分别_________。 自我检测：如图D C B A 、、、是⊙O 上的四点， 圆的基本性质 3.1 圆 1．圆的定义： 在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。 以点O 为圆心的圆作：“⊙O ”，读作：“圆O ”。 圆指的是封闭的曲线，而不是圆面。 ２、点与圆的位置关系： 设⊙Ｏ的半径为r ，则点P 与⊙O 的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r （２）点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r （３）点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＞r 例题分析： 1、画图：已知Rt △ABC ，∠B=90°，试以点B 为圆心，BA 为半径画圆。 2、根据图形回答下列问题： （1）看图想一想， Rt △ABC 的各个顶点与⊙B 在位置上有什么关系？ （2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？ ３、证明几个点在同一个圆上的方法。 要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。 4.确定唯一的一个圆的条件： （1）经过一个已知点能作无数个圆！ 经过一个已知点并确定圆的半径同样也能作无数个圆，这些圆的圆心构成一个圆。 （2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上。 经过两个已知点A 、B 并确定圆的半径，能作几个圆呢？ （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （过三个已知点作圆时要考虑圆的存在性和唯一性） （4）外接圆，外心的概念。 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点 （5）对于不同的三角形，三角形外心的位置也不同。 锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点上， 钝角三角形的外心在三角形的外部。 A 《圆的基本性质》知识点总结 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，以点O 为圆心的圆，记作☉O ，读作“圆O ” 2、与圆有关的概念 （1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC 叫做弦，经过圆心的弦AB 叫做直径） （2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧，每一条弧都叫做半圆） （3）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆） 3、点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d 椭圆的第一定义与基本性质的练习题 1.椭圆2x 2 +3y 2 =6的焦距是 A.2 B.2(3－2) C.25 D.2(3+2) 2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是 A.R >0 B.0 椭圆的第二定义与性质的练习题 16.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________. 17.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的 A.4倍 B.9倍 C.12倍 D.18倍 18.设点A (－2，3)，椭圆16 2 x + 12 2 y =1的右焦点为F ，点P 在椭圆上移动.当|P A |+2|PF |取最小值时,P 点的坐 标是__________. 19.设椭圆 2 2a x + 2 2b y =1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0),左准线l 1与x 轴交于点N (－3,0),过点N 且倾斜角为30° 的直线l 交椭圆于A 、B 两点. (1)求直线l 和椭圆的方程； (2)求证:点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上. 20.已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程； (2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值. 21.设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程. 第24讲圆的基本性质 陕西《中考 说明》 陕西2012～ 2014年中考 试题分析 考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重 考点1圆的 主要概念 理解圆及其 有关概念 ———————————— 考点2圆的 有关性质 1.了解弧、 弦、圆心角 的关系；2. 了解并探索 点与圆的位 置关系；3. 知道圆周角 与圆心角的 关系及直径 所对的圆周 角为直角； 90°的圆周 角所对的弦 是直径；4. 了解三角形 的内心和外 心；5.探索 圆的性质 2014 填空题16 3 以动点和求 最值的形式 考查垂径定 理、勾股定 理、图形面 积的计算等 2013 填空题16 3 圆与三角形 结合，涉及 三角形中位 线、圆周角 定理、直角 三角形的性 质 2012 选择题9 3 垂径定理的 有关计算， 涉及勾股定 理和正方形 的性质 2.5% 和填空为主，分值为3分，综合性较强，难度较大，如2013年和2014年的第16题，都涉及圆中的动点问题，对学生的理解能力要求较高．预计2015年中考对本节内容的考查仍会出现在选择或填空的压轴题位置，考查垂径定理或圆周角定理的有关计算． 1．主要概念 (1)圆：平面上到__定点__的距离等于__定长__的所有点组成的图形叫做圆．__定点__叫圆心，__定长__叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O. (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫__弧__，连接圆上任意两点的线段叫__弦__，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的__弦__． (3)圆心角：顶点在__圆心__，角的两边与圆相交的角叫圆心角． (4)圆周角：顶点在__圆上__，角的两边与圆相交的角叫圆周角． (5)等弧：在__同圆或等圆__中，能够完全__重合__的弧． 2．圆的有关性质 (1)圆的对称性： ①圆是__轴对称__图形，其对称轴是__过圆心的任意一条直线__． ②圆是__中心对称__图形，对称中心是__圆心__． ③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． (2)垂径定理及推论： 垂径定理：垂直于弦的直径__平分弦__，并且__平分弦所对的两条弧__． 垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径__垂直于弦__，并且__平分弦所对的两条弧__； ②弦的垂直平分线__经过圆心__，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． (3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论： ①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦__相等__． ②推论：在同圆或等圆中，如果两个__圆心角__、__两条弧__、__两条弦__、__两条弦心距__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． (4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__． (5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上?__d＝r__； ②点P在圆内?__d《圆的基本性质复习课》教案
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