平行线的证明(讲义及答案)
平行线的证明（讲义）
?知识点睛
1.对名称和术语的_______加以描述，作出明确的_______，就是给出它们的定义．
2._______一件事情的句子叫做命题．一般地，每个命题都是由______和______两部
分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
3.正确的命题称为________，不正确的命题称为________．
4.要证明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不
具备命题的结论，这种例子称为反例．
5.三角形____________________组成的角，叫做三角形的外角．
6.三角形外角定理：三角形的一个外角等于_______________
_____________________．
?精讲精练
1.下列语句属于命题的是（）
A．你吃过午饭了吗？B．过点A作直线MN
C．同角的余角相等D．红扑扑的脸蛋
2.下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②全等三角形的面积相等；③实数和数轴上的点是一一对应的；④如果a2=b2，那
么a=b；⑤若a≠b，b≠c，则a≠c．其中是真命题的是___________．（填序号）
3.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
（1）对顶角相等；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行．
4.指出下列命题的条件和结论，并判断它们是真命题还是假命题．如果是假命题，
举出一个反例．
（1）如果x2>0，那么x>0；
（2）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）两个锐角之和一定是钝角．
5. 如图，∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于点E ，若∠ABC =40°，∠
ACE =50°，则∠A -∠E =____________．
E
D C B A
A
F
D
B
C E
G
H
第5题图 第6题图
6. 已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长
线于点G ．若∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =____________． 7. 如图，CE 平分∠ACD ，F 为CA 延长线上一点，FG ∥CE 交AB 于点G ，∠
ACD =100°，∠AGF =20°，则∠B =_________．
A
B
C
D
E F G
8. 如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠C =60°，AD ，AE 分别是角平分线和高．求∠
DAE 的度数．
A
B
C D E
9. 如图，∠CAB =90°，点D 在射线AC 上移动，连接BD ，过点A 作BD 的平行线与∠
CDB 的平分线DE 的反向延长线交于点F ． （1）当∠B =60°，则∠F =______°．
（2）在点D 移动的过程中，∠B 与∠F 有怎样的数量关系？请说明理由．
F
E
D
C
B A 10. 如图，已知∠MON =100°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，∠OAB 的平分
线与△OBA 的外角平分线所在的直线相交于点C ． （1）当∠OBA =30°，则∠C =______°．
（2）随着点A ，B 的移动，∠C 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若
不变化，求出∠C 的度数．
N M
C
B
A
11. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ．
（1）若P 为线段AD 上的一个点，过点P 作PE ⊥AD 交线段BC 的延长线于点E ． ①若∠B =34°，∠ACB =86°，则∠E =________°；
②猜想∠E 与∠B ，∠ACB 之间的数量关系，并给出证明． （2）若P 在线段AD 的延长线上，过点P 作PE ⊥AD 交直 线BC 于点E ．请你直接写出∠PED 与∠ABC ，∠ACB 的数 量关系．
A B C D E
P
12. （1）问题引入：
①如图1，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A =α，则∠BOC =________（用含α的代数式表示），并说明理由；
②如图2，点O 是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 平分线的交点，若∠A =α，则∠BOC =________（用含α的代数式表示）． （2）拓展研究：
①如图3，在△ABC中，∠CBO=1
3
∠ABC，∠BCO=
1
3
∠ACB，∠A=α，则∠
BOC=_______（用含α的代数式表示）；
②如图4，∠CBO=1
3
∠DBC，∠BCO=
1
3
∠ECB，∠A=α，则∠BOC=__________（用
含α的代数式表示）．
图1C
B
A
O
C
B
A
O
图2
E
D
图3
C
B
A
O
D E
图4
O
A
B C
【参考答案】
? 知识点睛 1. 含义，规定
2. 判断，条件，结论
3. 真命题，假命题
5. 一边与另一边的延长线
6. 和它不相邻的两个内角的和 ? 精讲精练 1. C 2. ②③
3.
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 4. （1）条件：x 2>0； 结论：x >0；假命题；反例略（合理即可）
（2）条件：两个三角形中，两边分别相等且其中一组等边的对角相等； 结论：这两个三角形全等 假命题；反例略（合理即可） （3）条件：两直线平行
结论：这两条直线被同一条直线截出的同位角相等； 真命题
（4）条件：一个角是两个锐角之和 结论：这个角一定是钝角 假命题；反例略（合理即可） 5. 30° 6. 145° 7. 30°
8. ∠DAE 的度数为10° 9. （1）75
（2）∠F =45°+1
2
∠B ；理由略
10. （1）50
（2）∠C 的度数不变，为50°；理由略
11. （1）①26；②∠E =1
2(∠ACB -∠B )，证明略；
（2）∠PED =1
2(∠ACB -∠ABC )
12. （1）①902α?+；②902α
?-；
（2）①1203α?+；②1203
α
?-