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微分中值定理相关竞赛题

微分中值定理

这部分有关考题主要是证明题，技巧性比较高。

内容要点

一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、泰勒定理

典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f . 试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=

证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值M 和最小值m .于是M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故

M f f f m ≤++≤

)]2()1()0([3

1. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得1)]2()1()0([3

1)(=++=

f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[c ，3]上连续，（c ，3）

内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(?∈c ξ使得()0f ξ'=。

例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且?=1

2)0()(3f dx x f

求证：存在)1,0(∈ξ使0)('

=ξf

证：由积分中值定理可知，存在2

[,1]3

c ∈，使得

=13

2)3

21)(()(c f dx x f

得到 ?==1

2)0()(3)(f dx x f c f

对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）

故存在)1,0(),0(?∈c ξ，使()0f ξ'=

例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有?-=k x

dx x f xe

k f 1

1)()1(，

求证存在)1,0(∈ξ使1()(1)()f f ξξξ-'=-

证：由积分中值定理可知存在1[0,

]c k

∈使得)01)(

()(11

1-=--?

c f ce

dx x f xe

k x

令)()(1x f xe x F x -=，可知)1()1(f F =

这样1

110

(1)(1)()()()x

k F f k xe

f x dx ce

f c F c --====?

，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理

（三个条件都满足）存在)1,0()1,(?∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()x

F x e

f x xe

f x ---''=-+

∴ 11

()[()(1)()]0F e f f ξξξξξξ

-''=--

又01≠-ξξe ，则1

()(1)()f f ξξξ

'=-

罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(x F 是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ：设)(x f 在],[b a 上连续，（b a ,）内可导，0)()(==b f a f 则下列各结论皆成立。

（1）存在),(1b a ∈ξ使11()()0f lf ξξ'+=（l

（2）存在),(2b a ∈ξ使1

222()()0k f k f ξξξ-'+=（k

（3）存在),(3b a ∈ξ使333()()()0f g f ξξξ'+=（)(x g

例4 设)(x f 在]1,0[上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==f f ，1)21

(=f ，试证：

（1）存在)1,2

(∈η，使ηη=)(f 。

（2）对任意实数λ，存在),0(ηξ∈，使得()[()]1f f ξλξξ'--=

证明：（1）令x x f x -=Φ)()(，显然它在[0, 1]上连续，又

021)21(,01)1(>=Φ<-=Φ，根据介值定理，存在)1,2

(∈η使0)(=Φη即ηη=)(f

（2）令])([)()(x x f e x e x F x x -=Φ=--λλ，它在],0[η上满足罗尔定理的条件，故存在),0(ηξ∈，使()0F ξ'=，即

(){()[]}01=---'-ξξλξλξ

f f e

从而 ()[()]1

f f ξλξξ'--= （注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l 取为λ-，)(x f 取为

x x f x -=Φ)()(）

模型Ⅱ：设)(x f ，)(x g 在],[b a 上皆连续，（b a ,）内皆可导，且0)(=a f ，0)(=b g ，则存在),(b a ∈ξ，使

()()()()0f g f g ξξξξ''+=

证：令)()()(x g x f x F =，则0)()(==b F a F ，显然)(x F 在[b a ,]上满足罗尔定理的

条件，则存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'=，即证.

例5 设)(x f 在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，0)0(=f ，k 为正整数。求证：存在)1,0(∈ξ使得()()()f kf f ξξξξ''+=

证：令k

x x g )1()(-=，1,0==b a ，则0)0(=f ，0)1(=g ，用模型Ⅱ，存在

)1,0(∈ξ使得

()(1)(1)()0k k f k f ξξξξ-'-+-=

故()(1)()0f kf ξξξ'-+= 则()()()f kf f ξξξξ''+=

例6 设)(),(x g x f 在),(b a 内可导，且()()()()f x g x f x g x ''≠，求证)(x f 在),(b a 内任

意两个零点之间至少有一个)(x g 的零点

证：反证法：设b x x a <<<21，0)(1=x f ，0)(2=x f 而在)(2,1x x 内0)(≠x g ，

则令)

()()(x g x f x F =

在],[21x x 上用罗尔定理

[12121212()()()()0,()0,()0()

()

f x f x f x f x F x F x

g x g x ==∴===

= ]

（不妨假设0)(,0)(21≠≠x g x g 否则结论已经成立）

则存在),(21x x ∈ξ使()0F ξ'=，得出()()()()0f g f g ξξξξ''-=与假设条件矛盾。所以在),(21x x 内)(x g 至少有一个零点

例7 设)(),(x g x f 在[b a ,]二阶可导，且()0g x ''≠，又0)()()()(====b g a g b f a f 求证：（1）在（b a ,）内0)(≠x g ；

（2）存在),(b a ∈ξ，使()()()

()

f f

g g ξξξξ''=''

证：（1）用反证法，如果存在),(b a c ∈使0)(=c g ，则对)(x g 分别在[c a ,]和[b c ,]

上用罗尔定理，存在),(1c a x ∈使1()0g x '=，存在),(2b c x ∈使2()0g x '=，再对()g x '在[21,x x ]上用罗尔定理存在),(213x x x ∈使3()0g x ''=与假设条件()0g x ''≠矛盾。所以在),(b a 内0)(≠x g （2）由结论可知即()()()()0f g f g ξξξξ''''-=，因此

令)()(')(')()(x f x g x f x g x F -=，可以验证)(x F 在[b a ,]上连续，在),(b a 内可导，0)()(==b F a F 满足罗尔定理的三个条件故存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'= 于是()()()()0f g f g ξξξξ''''-=成立

例8 已知函数()f x 在[0,1]上三阶可导，且(0)1,(1)0,(0)0f f f '=-==，试证至

少存在一点(0,1)ξ∈，使2

(1)

()1(),(0,1)3!

x x f x x f x ξ-'''=-++

∈（2004）

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理

例1 设)(x f 在),(∞+-∞内可导，且lim ()x f x e →∞

'=，)]1()([lim )

(

lim --=-+∞

→∞

→x f x f c

x c x x x

求c 的值解：由条件易见，0≠c

x x

x e

e x

c x

c c

x c x 2)

1()1(lim

)

(

lim ==

=-+-∞

→∞

→

由拉格朗日中值定理，有

()(1)()[(1)]()f x f x f x x f ξξ''--=--=

其中ξ介于)1(-x 与x 之间，那么

)

(lim )]1()([lim ∞→∞→∞

→=--ξx x x f x f ()f e ξ'=

于是e e c

=2，12=c ，则2

例2 设)(x f 是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且0)1(=f ，又设0>M 是)

(x f 在[1，2]上的最大值，证明：存在)2,1(∈ξ，使得()2f M ξ'≥。

证：由周期性可知0)2()1()0(===f f f ，不妨假定)2,1(0∈x 而0)(0>=M x f ，

对)(x f 分别在[1, 0x ]和[0x , 2]上用拉格朗日中值定理，

存在),1(01x ∈ξ，使得010()(1)

()1

f x f f x ξ-'=

- ①

存在)2,(02x ∈ξ，使得020

(2)()()2f f x f x ξ-'=

- ②

如果)2

1(0∈x ，则用①式，得010()()21

f x f M x ξ'=

≥-；

如果03[

,2)2

x ∈，则用②式，得020

()()22f x f M x ξ-'=

≥-；

因此，必有)2,1(∈ξ，使得()2f M ξ'≥

例3 设)(x f 在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且0)0(=f ，1)1(=f ，证明：（Ⅰ）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f

（Ⅱ）存在,(0,1)ηζ∈，ηζ≠，使()()1f f ηζ''=

证：（Ⅰ）令1)()(-+=x x f x g ，则)(x g 在[0, 1]上连续，且01)0(<-=g ，

01)1(>=g ，用介值定理推论存在)1,0(∈ξ，使0)(=ξg ，即ξξ-=1)(f

（Ⅱ）在[0, ξ]和[ξ，1]上对)(x f 用拉格朗日中值定理，存在),0(ξη∈，使

得()(0)

1()0

f f f ξξ

ηξξ

--'=

存在(,1)ζξ∈，ηζ≠，使(1)()1(1)()111f f f ξξξ

ζξ

---'=

---

∴ ()()1f f ηζ''?=

例4 设()x ?在[0,1]上可导，且(0)0,(1)1??==。证明：存在(0,1)内的两个

数ξ与η，使

)

='+'η?ξ?。

（2003）例5 设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，且()0f x '>，若极

限a

x a x f a

x --+

→)

2(lim

存在，证明：

（1）在),(b a 内0)(>x f ；（2）在),(b a 内存在ξ，使

)

(2)(2

ξξf dx

x f a

b b a

；

（3）在),(b a 内存在与（2）中ξ相异的点η，使

2()()()b a

f b a f x dx a ξ

ηξ'-=

证：（1）因为a

x a x f a

x --+

→)

2(lim

存在，故0)2(lim =-+

→a x f a

x ，由)(x f 在[b a ,]上

连续，从而0)(=a f . 又()0f x '>知)(x f 在),(b a 内单调增加，故

),(,0)()(b a x a f x f ∈=>

（2）设)()()(,)(2

b x a dt t f x g x x F x a

≤≤=

，

则()()0g x f x '=>，故)(x F ，)(x g 满足柯西中值定理的条件，于是在),(b a 内

存在点ξ，使

()()()()()

()()(())x b a x a

F b F a b a

x g b g a f t dt f t dt f t dt ξ

--=

，

即

)

(2)(2

ξξf dx

x f a

b b a

（3）因)()(0)()(a f f f f -=-=ξξξ，在[ξ,a ]上应用拉格朗日中值定理，知在

(,)a ξ内存在一点η，使()()()f f a ξηξ'=-，从而由（2）的结论得

2()()

()b a

b a

f a f x dx

ξηξ-=

'-?

，

即有 222()()()b a

f b a f x dx a ξ

ηξ'-=-?

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章微分中值定理及其应用上册P 178—180 习题解答 1．设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ，此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ，此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

一元微分中值定理练习题

一元微分中值定理练习题一、证明ff (nn )(ξξ)=00成立 1.若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中 a 0, 证明存在ξ∈(a,b)，使得f ′′(ξ)=0。 4.设曲线y=f(x)在[a,b]上二阶可导，连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线交曲线于点C（c,f(c)）(a

微分中值定理及其应用习题解析2

第六节定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。解由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2）（1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。