一.含参数导数问题的分类讨论问题
求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。
★例1已知函数ax x a x x f 2)2(2
131
)(23++-=(a>0),求函数的单调区间 ★★例2已知函数x a x a x x f ln )2(2
)(+--=(a>0)求函数的单调区间
★★★例3已知函数()()22211
ax a f x x R x -+=∈+,其中a R ∈。 (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程;
(Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值。 。 练习:已知函数
1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈ 当12a ≤时,讨论()f x 的单调性.
二.已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题;
.例4.已知函数f (x )=ln a +ln x x
在[1,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围为__________.
练习:已知函数f (x )=x 3+ax 2-x +c ,且
a =f ′? ?????23. (1)求a 的值;
(2)设函数g (x )=(f (x )-x 3)·e x
,若函数g (x )在x ∈[-3,2]上单调递增,求实数c 的取值范围.
恒成立分参
例1:设函数f (x )=kx 3
-3x +1(x ∈R ),若对于任意x ∈[-1,1],都有f (x )≥0成立,则实数k 的值为________.
练习: 当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A .[-5,-3]
B .[-6,-98]
C .[-6,-2]
D .[-4,-3]
含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点,本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳. 一、分离参数,转化为最值策略 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出 ()max f x ,则()max a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转 化为函数求最值. 例1、已知函数x x x f ln )(=.(Ⅰ)求)(x f 的最小值; (Ⅱ)若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,所以必须分类,通过令导函数为零的实根等于定义域端点值,求分点,从而引起讨论. 例2.已知a 是实数,函数))(2 a x x x f -=(. (Ⅰ)若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (Ⅱ)求)(x f 在区间[0,2]上的最大值. 三、导函数为0是否存在,分类讨论策略 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定,所以必须分类,通过导函数是二次函数或者与二次函数有关,令△=0,求分点,从而引起讨论. 例3、已知函数,,讨论在定义域上的单调性. 四、导函数为0的方程的根大小不确定,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,通过令几个根相等求分点,从而引起讨论. 例4、已知0>m ,讨论函数x e m x m mx x f 6 3)1(3)(2++++=的单调性.
导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x -1 x +m = e x x +1-1 x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 x +22>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1 t +2=0????-12
导数解答题归纳总结 19.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R . (I )若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (II )若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围. 解析 (Ⅰ)由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ,解得0=b ,3-=a 或1=a (Ⅱ)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调,等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点,根据零点存在定理,有 0)1()1(<'-'f f , 即:0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得:0)1)(1)(5(2 <-++a a a ,解得15-<<-a 20.(2009北京文)(本小题共14分) 设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能 力. (Ⅰ)()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切, ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? (Ⅱ)∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时,()' 0f x >,函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增, 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时,由()' 0f x x a =?=± , 当() ,x a ∈-∞-时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增, 当(),x a a ∈-时,()'0f x <,函数()f x 单调递减, 当(),x a ∈+∞时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增,
由参数引起的案—— 含参导数问题 一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ,x x x x g 452)(2 3 ++=,按以下条件求k 的范围。 (1)对于任意的]3,3[-∈x ,都有)()(x g x f ≤成立。 (构造新函数,恒成立问题) (2)若存在成立。,使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ (与恒成立问题区别看待) (3)若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈,都有、 (注意21,x x 可以不是同一个x ) (4)对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得,总存在。 (注意:哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于:谁的x 是任意取的,谁的x 是总存在的。) (5)若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立; (与(4)相同) 二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+, a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ,
(2)函数f (x )在区间(2,3)上单调,则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈),若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立,求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点 一、 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。 二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内,从而引起讨论。 三、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落 在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值; (可因式分解,比较两根大小,注意别丢两根相等情况) 解: 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时,()0f x '≤,(,)-∞∞是函数的单调减区间;无极值;……………6分 0a >时,在区间(,),(3,)a a -∞∞上,()0f x '<; 在区间(,3)a a 上,()0f x '>, 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间,(,3)a a 是函数的单调增区间, 函数的极大值是(3)f a a =;函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ;………………8分 0a <时,在区间(,3),(,)a a -∞∞上,()0f x '<; 在区间(3,)a a 上,()0f x '>, 因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间,(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ,函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式.若2 '()(1)f x x a x a =-++,若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。(比较根大小,考虑定义域)
导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令