2013年高二统考理科数学试题答案
绝密★启用前试卷类型：B 2013年汕头市高二年级期末统考试题
数学（理科）2013.7
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；
之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：①体积公式：
1
3
V S h V S h
=?=?
柱体锥体
，，其中,,
V S h分别是体积、底面积和高；
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.）
1.已知全集U=R，集合{|021}
x
A x
=<<，
3
{|log0}
B x x
=>，则=
B
C
A
U
（）A．{|1}
x x> B．{|0}
x x> C．{|01}
x x
<< D．{|0}
x x<
2.已知i是虚数单位，则复数23
z i+2i3i
=+所对应的点落在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）
A． B． C． D．
4.已知变量,x y满足约束条件
1
10
1
x y
x
x y
+≤
?
?
+≥
?
?-≤
?
，则2x y
e+的最大值是（）
A.3e
B.2e
C. 1
D. 4
e-
5.双曲线22
221x y a b
-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，
则双曲线离心率为（ ）
A
．2 D ．3 6.阅读下面程序框图,则输出结果s 的值为（ ）
A ．
2
1
B ．23
C ．3-
D ．3
7.在下列命题中，
①“2
απ
=
”是“sin 1α=”的充要条件； ②34
1()2x x
+的展开式中的常数项为2；
③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1
(10)2
P p ξ-<<=
-； ④已知命题p:(0,),32x x x ?∈+∞>； 命题q:(,0),32x x x ?∈-∞>,则命题 ()p q ∧?为 真命题； 其中所有正确命题的序号是 （ ）
A ．①②④
B ．②③
C ．②③④
D ．①③④ 8.设Q 为有理数集，Q b a ∈,，定义映射Q Q f b a →:,，b ax x +→，则d c b a f f ,, 定义为Q 到Q 的映射：))(())((,,,,x f f x f f d c b a d c b a = ，则=)(,,d c b a f f （ ） A ．bd ac f , B. d b c a f ++, C. b ad ac f +, D. cd ab f ,
二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．）
(一)必做题(9～13题)
9.抛物线2
x y =的焦点坐标为 .
10. 函数322--=x x y 在点)3,2(-M 处的切线方程为 . 11．若向量，，满足∥且⊥，则?（+2）= .
12．我们知道，任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理，比如：在ABC ?中，三条边c b a ,,对应的内角分别为C B A 、、，那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为：
A bc c b a cos 2222-+=, 请你用规范合理的文字叙述余弦定理（注意，表述中不能出现任何字
母）：
13．不等式
1212->-x x 解集为___ ____.
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，以点)2
,2(π
为圆心，
半径为2的圆的极坐标方程为 .
15．如图，⊙O 中的弦CD 与直径AB 相交于点E ，M 为AB 延长线
D
上一点，MD 为⊙O 的切线，D 为切点，若2AE =，4DE =，3CE =，
4DM =，则=OB ________, MB = ．
三．解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题共12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，42=a ，355=S ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n
a n p
b =)0(≠p ，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．
17. （本小题满分12分）空气质量指数5.2PM (单位:3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM 进行监测,获得5.2PM 日均浓度指数数据如茎叶图所示:
（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天 内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由) （Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市
空气质量类别均为优或良的概率；
(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个, 设X 为空气质 量类别为优或良的天数,求X 的分布列及数学期望. 18.（本小题满分14分）已知函数2()2sin sin(
)2sin 12
f x x x x π
=?+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若0(
)2x f =0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. (Ⅲ) 在锐角ABC ?中，三条边c b a ,,对应的内角分别为C B A 、、，若2=b ，12
5π
=
C ， 且满足2
2
)82(
=
-πA f ， 求ABC ?的面积。 19. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ?是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠= ，点N 在线段PB
上，且PN = （Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．
3 0 2 2
4 4 8 9 6 6 1
5 1 7 8 8 2 3 0 9 8
甲城市 3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9
乙城市
20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22
22:1x y M a b
+=(0)a b >>的离心率35e =，且椭圆上一点与椭
圆的两个焦点构成的三角形周长为16
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ ?的面积4OPQ S ?=?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．
21．（本小题满分14分）设函数
2()=+(+1)f x x bln x ，其中b≠0。
(Ⅰ)当b>
1
2
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； (Ⅱ)求函数()f x 的极值点；
(Ⅲ)证明对任意的正整数n ，不等式23111
(
+1)>-ln n n n
都成立。
2013年高二统考理科数学试题答案
一、选择题：DCBBCDCC
二、填空题：
9、??
? ??41,0 10、05=--y x 11、0
12、三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差，（本题可以酌情给分，得分0分，4分，5分）（对于文字表达不太规范的可以考虑给4分） 13、?
??
???<
21|x x 14、θρsin 4= 15、424,4-
三、解答题：
16、解：（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ．
则114
5(51)
5352
a d a d +=??
?-+=?? ………………4分 ∴113a d =??=?
， ………………5分
∴ 32n a n =-．………………6分
∴ 前n 项和
(132)(31)
22
n n n n n S +--=
=． ………………7分
（Ⅱ）∵32n a n =-， ∴ 23-=n n p b ，且 p b =1 ()0≠p ………………8分
当n ≥2时，32)1(32
31p p
p b b n n n n ==----为定值， ………………9分
∴ 数列{}n b 构成首项为p ，公比为3p 的等比数列． ………………10分 所以 （1）当13=p ，即1=p 时，n T n =………………11分
（2）当13≠p ，即1≠p 时数列{}n b 的前n 项的和是
1
1)1(3
1333--=--=+p p
p p p p T n n n ． ………………12分 17、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好. ………………………………4分
（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
3
2
1510=，………………………………………………………………………5分 乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
3
1
155=，…………………………………………………………… ………6分 在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为9
2
3132=?.
………………………………………………………………… ……… ………8分
(Ⅲ)X 的取值为2,1,0，…………………………… ……… …………9分
73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(2151
1015===C C C X P ，212
)0(2
15
01025===C C C X P X 的分布列为： ……………………11分
X
1 2
P
7
3
2110 21
2 数学期望3
2
212221101730=?+?+?=EX ……………………12分
18、解:2
()2sin cos 2sin 1=?-+f x x x x …………………………… ……… …………1分
sin 2cos 2=+x x
π
)4
x =+.………………… ……… …………3分
（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2π
π2
T ==. ………………………… ……… …………4分
（Ⅱ）解法一：由已知得000(
)sin cos 2x f x x =+=，
………………… …………6分 两边平方，得021sin 29x +=
所以 07
sin 29
x =- ………………… …………7分 因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π
2(, )22
x π∈-.………………… …………8分
所以0cos 2x ==. ………………… …………9分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-
，所以0ππ
(0, )42
x +∈. ………………… …………5分
又因为000ππ(
)))22443x x f x =?+=+=，…………… …………6分
得 0π1sin()43x +
=. 所以0πcos()43
x +==………… …………7分 所以，00000πππ
cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444
x x x x x π
=+=+=++
123=?=
………………… …………9分 (Ⅲ)因为 22sin 24)8
2(2sin 2)82(=
=??? ??+-=-A A A f ππ
π ……… …………10分 所以21sin =
A ，又因为ABC ?为锐角三角形，所以6
π
=A ……… …………11分 所以由π=++C B A ,且125π=C 得到：12
5π
=B ……… …………12分
所以2==c b ，且ABC ?的面积A bc S sin 21=16
sin 2221=???=π
………………14分
19、证明：(I) 因为ABC ?是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分
又因为PA ABCD ⊥平面，BD ?平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ………………3分 又PC ?平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分
（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =5分 在ACD ?中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =
120CDA ∠= ，所以DM =
:3:1BM MD =………………6分
在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =
所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ?平面PDC ，PD ?平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ，
所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，
所以(4,0,0),(0,0,4)
B C D P………………10分
由（Ⅱ）可知，(4,
DB=
为平面PAC的法向量………………11分
4)
PC=-
，(4,0,4)
PB=-
设平面PBC的一个法向量为(,,)
n x y z
=
,
则
n PC
n PB
??=
?
?
?=
??
，即
240
440
x z
x z
?+-=
?
?
-=
??
，
令3,
z=则平面PBC
的一个法向量为n=
………………12分
设二面角A PC B
--的大小为θ(显然为锐角)，
则cos
n DB
n DB
θ
?
==
?
所以二面角A PC B
--余弦值为
7
7
………………14分
20、解：(Ⅰ)设椭圆C的半焦距为c ,由题意可知道：
??
?
?
?
=
=
+
5
3
16
2
2
a
c
c
a
，解得
?
?
?
=
=
3
5
c
a
…………………3分
又因为2
2
2c
b
a+
=，所以4
2
2=
-
=c
a
b
所以椭圆的方程为1
16
25
2
2
=
+
y
x
…………………6分
（Ⅱ）依题意OP=直线OP的方程为y x
=, …………………7分
因为4
OPQ
S
?
=,所以Q到直线OP
的距离为…………………8分所以点Q在与直线OP
平行且距离为l上,
设:l y x m
=+,
=解得4
m=±…………………10分当4
m=时,由22
4
1
2516
y x
x y
=+
?
?
?
+<
??
,
消元得2
412000
x x
+<,即
200
41
x
-<<…………………12分
又x Z
∈,所以4,3,2,1
x=----,相应的y也是整数,此时满足条件的点Q有4个.
当4
m=-时,由对称性,同理也得满足条件的点Q有4个. …………………13分
y
综上,存在满足条件的点Q ,这样的点有8个. ……… …………14分
21、解：(Ⅰ)由题意可知：函数)(x f 的定义域为),1(+∞-，……… …………1分
且1
2212)(2/
+++=++=x b x x x b x x f ……… …………2分 设021)2
1
(222)(2
2
>-
++=++=b x b x x x g 恒成立)2
1(>b 所以0)(/>x f 对任意),1(+∞-∈x 恒成立， 函数()f x 在定义域上是增函数；……… …………3分 (Ⅱ) ① 显然由(Ⅰ)可知：当b>
1
2
时，函数无极值点；……… …………4分 ②当21=b 时，01
)21(2)(2
/≥++=x x x f 恒成立， 所以函数在定义域上单调递增，无极值点；……… …………5分 ③当2
1<
b 时，0)(/
=x f 有两个不同的解 2
2111b
x ---=
， 22112b x -+-=
（A ）显然0x ，即),1,(1--∞∈x ),,1(2+∞-∈x
0<∴b 时，)(),(/x f x f 的变化情况如下表：
x ),1(2x -
2x
),(2+∞x
)(/x f
- 0 + )(x f
单调递减
极小值
单调递增
由此表可知：当0<∴b 时，)(),(/
x f x f 有唯一的极小值点2
2112b
x -+-=
……7分
(B)当210<
2111->---=b x ，),,1(,21+∞-∈x x 此时)(),(/
x f x f 的变化情况如下表：
由此表
可知：当
210<
2111b
x ---=
， x
),1(1x -
1x
),(21x x
2x
),(2+∞x
)(/
x f
+ 0 - 0 +
)(x f
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
一个的极小值点2
2112b
x -+-=
……… …………9分
综上：①当0<∴b 时，)(),(/
x f x f 有唯一的极小值点2
2112b
x -+-=
②当210<
个的极大值点2
2111b
x ---=，一个的极小值点22112b x -+-=
③当2
1
≥
b 时，函数)(x f 无极值点……… …………10分 （Ⅲ）当
1-=∴b 时，函数)1ln()(2+-=x x x f ，令)1ln()()(233++-=-=x x x x f x x h 则1
)1(31123)(2
22
/
+-+=++-=x x x x x x x h ，……… …………11分 所以当),0(+∞∈x 时，0)(/>x h ，所以函数)(x h 在),0[+∞∈x 上是增函数，所以当),0(+∞∈x 时，
0)0()(=>h x h
即)1ln(23+->x x x 恒成立，故当),0(+∞∈x 时，32)1ln(x x x ->+。……………13分 所以对任意正整数n ，取),0(1+∞∈=
n x ，则有不等式23111
(+1)>-ln n n n
都成立…14分
高二下学期数学期末考试试卷文科)
高二下学期数学期末考试试卷(文科) (时间：120分钟，分值：150分) 一、单选题(每小题5分，共60分) 1．把十进制的23化成二进制数是( ) A. 00 110(2) B. 10 111 (2) C. 10 110 (2) D. 11 101 (2) 2．从数字，，，，中任取 个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两 位数大于 的概率是( ) A. B. C. D. 3．已知命题 p ：“1a ，有2 60a a 成立”，则命题 p 为( ) A. 1a ，有260a a 成立 B. 1a ，有2 60a a 成立 C. 1a ，有2 60a a 成立 D. 1a ，有2 60a a 成立 4．如果数据x 1 ，x 2 ，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2 ， 则5x 1＋2，5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数和方差分别为( ) A. x ，s 2 B. 5x ＋2，s 2 C. 5x ＋2，25s 2 D. x ，25s 2 5．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的 心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为 3，则抽取的最大
编号为( ) A. 15 B. 18 C. 21 D. 22 6．按右图所示的程序框图，若输入 81a ，则输出的i =( ) A. 14 B. 17 C. 19 D. 21 7．若双曲线2 2 221(,0)y x a b a b 的一条渐近线方程为 34 y x ，则该双曲线的离 心率为( ) A. 43 B. 53 C. 169 D. 259 8．已知 01,0,a a x 且，命题P ：若11a x 且，则log 0a x ，在命 题P 、P 的逆命题、P 的否命题、P 的逆否命题、P 这5个命题中，真命题的个数 为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9．函数f(x)＝ ln 2x x x 在点(1，－2)处的切线方程为( ) A. 2x －y －4＝0 B. 2x ＋y ＝0 C. x －y －3＝0 D. x ＋y ＋1＝0 10．椭圆 2 2 1x my 的离心率是 32 ，则它的长轴长是( ) A. 1 B. 1或2 C. 4 D. 2或4 11．已知点P 在抛物线2 4x y 上，则当点P 到点1,2Q 的距离与点P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为( )