第二讲参数方程

第二讲 参数方程

[2018·备考导航]

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝

g (t )，那么???x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参

数方程．

2．常见曲线的参数方程和普通方程

1．若直线l 的参数方程为???x ＝1＋t ，

y ＝2－3t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．

解析 将直线l 的参数方程化为普通方程得y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.

答案 －3

2．二次曲线???x ＝5cos θ，

y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．

解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2

9＝1，左焦点为(－4，0)．

答案 (－4，0)

3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线???x ＝4t 2

，

y ＝4t

(t 为参数)上，则|PF |

＝________．

解析 将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.

答案 4

4．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是???x ＝－1＋4t ，

y ＝3t (t

为参数)，则直线l 与曲线C 相交所截的弦长为________．

解析 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1， 直线l 的普通方程为3x －4y ＋3＝0.

圆心到直线的距离d ＝|3×0－4×0＋3|32＋42＝3

5.

∴直线l 与曲线C 相交所截的弦长为2 1－? ????352＝85

. 答案

8

5

?考点1 参数方程与普通方程的互化

(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为

?????x ＝1＋1

2t ，y ＝32

t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为?

?

?x ＝cos θ，

y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．

【自主解答】 椭圆C 的普通方程为x 2

＋y 2

4

＝1.

将直线l 的参数方程?????x ＝1＋12t ，y ＝3

2t 代入x 2＋y 24＝1，得? ????

1＋12t 2＋

? ????32t 24＝1，

即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝16

7

.

●解法指导

消去参数的方法一般有三种

(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．

1．(2017·茂名模拟)在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为??

?x ＝2cos θ，

y ＝2＋2sin θ

(θ为参数)，则坐标原点到该圆的圆心的距离为________．

解析 ∵圆C 的参数方程为???x ＝2cos θ，

y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，

∴cos θ＝x

2，sin θ＝y －22，

∴1＝sin 2

θ＋cos 2

θ＝? ????x 22＋?

??

??y －222

， 化简得x 2＋(y －2)2＝4，故C (0，2)， ∴|OC |＝（0－0）2＋（2－0）2＝2. 答案 2

?考点2 参数方程的应用

已知直线l 的参数方程为???x ＝a －2t ，

y ＝－4t

(t 为参数)，圆C 的参数方程为

???x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，若直线l 与圆C 有公共点，则实数a 的取值范围为________．

【自主解答】 直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 因为直线l 与圆C 有公共点，

故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |

5≤4，

解得－25≤a ≤2 5. 【答案】 [－25，25] ●解法指导

参数方程的应用方法

已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．

2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为

???x ＝5cos θ，y ＝5sin θ

? ????θ

为参数，0≤θ≤π2和?????x ＝1－2

2t ，

y ＝－2

2

t (t 为参数)，则曲线C 1

和C 2的交点坐标为________．

解析 曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)． 曲线C 2的普通方程为x －y －1＝0.

解方程组???x －y －1＝0，x 2＋y 2＝5（x ≥0，y ≥0），得???x ＝2，

y ＝1.

∴曲线C 1与C 2的交点坐标为(2，1)． 答案 (2，1)

?考点3 极坐标、参数方程的综合应用

(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋

y 2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

(2)直线l 的参数方程是???x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |

＝10，求l 的斜率．

【自主解答】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.

由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±15

3.

所以l 的斜率为153或－15

3

.

●解法指导

在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．

3． (2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为???x ＝3cos α，y ＝sin α

(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ?

?

???θ－π4＝ 2.

(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；

(2)设点P (0，2)，已知l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |. 解析 (1)由???x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2

＝1，

即C 的普通方程为x 29＋y 2

＝1.

由ρsin ? ????θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)

将???x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为

π

4

. (2)解法一 由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线的参数方程为?????x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即?????x ＝2

2t ，y ＝2＋2

2t (t 为参数)，代入x 29＋y 2

＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0.

Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，

则t 1＋t 2＝－

1852<0，t 1t 2＝27

5

>0，所以t 1<0，t 2<0. 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝18

5 2.

解法二 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2. 由????

?y ＝x ＋2，x 29＋y 2＝1消去y 得10x 2＋36x ＋27＝0，

于是Δ＝362－4×10×27＝216>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－

185<0，x 1x 2＝27

10

>0，所以x 1<0，x 2<0， 故|PA |＋|PB |＝1＋12|x 1－0|＋1＋12|x 2－0|＝2|x 1＋x 2|＝

182

5

.

A 组 基础达标

1． (2017·珠海模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．

(1)求圆C 的参数方程；

(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上一动点，试求x ＋y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．

解析 (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6， 所以x 2＋y 2＝4x ＋4y －6， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，

即(x －2)2＋(y －2)2＝2为圆C 的直角坐标方程．

所以所求的圆C 的参数方程为???x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．

(2)由(1)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ?

?

???θ＋π4.

当θ＝π

4，即点P 的直角坐标为(3，3)时，x ＋y 取得最大值，为6.

2． (2016·课标全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???x ＝3cos α，y ＝sin α

(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立

极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ?

?

???θ＋π4＝2 2.

(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；

(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解析 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2

＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.

(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．

因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2??????sin ? ????α＋π3－2，

当且仅当α＝2k π＋π

6

(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为? ??

??

32，12.

3． (2016·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???x ＝a cos t ，

y ＝1＋a sin t

(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .

解析 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．

将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.

(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组

?

??ρ2－2ρsin θ＋1－a 2

＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．

所以a ＝1.

4． (2016·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：???x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：???x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两

点A ，B .

(1)若α＝

π

3

，求线段AB 的中点M 的坐标； (2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．

解析 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2

＝1.当α＝π3时，设点

M 对应的参数为t 0.

直线l 的方程为????

?x ＝2＋1

2t ，y ＝3＋3

2t

(t 为参数)，

代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2

＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，

设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝

t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为? ????

1213

，－313. (2)将???x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2

＝1，

得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝

12

cos 2α＋4sin 2α，

|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2

α＝516.

由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝

54.所以直线l 的斜率为5

4

. B 组 能力提升

1．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为???x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数)，以坐

标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为

ρ＝2.

(1)分别写出C 1的普通方程，C 2的直角坐标方程；

(2)已知M ，N 分别为曲线C 1的上、下顶点，点P 为曲线C 2上任意一点，求|PM |＋|PN |的最大值．

解析 (1)曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2

3＝1.

曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.

(2)解法一 由曲线C 2：x 2

＋y 2

＝4，可得其参数方程为???x ＝2cos α，

y ＝2sin α

(α为参

数)，设P 点坐标为(2cos α，2sin α)，

又由题意可知M (0，3)，N (0，－3)， 因此|PM |＋|PN | ＝

（2cos α）2＋（2sin α－3）2

＋

（2cos α）2＋（2sin α＋3）2 ＝7－43sin α＋7＋43sin α， 所以(|PM |＋|PN |)2＝14＋249－48sin 2α. 所以当sin α＝0时，(|PM |＋|PN |)2有最大值28. 因此|PM |＋|PN |的最大值为27.

解法二 设P 点坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4， 又由题意可知M (0，3)，N (0，－3)， 因此|PM |＋|PN |＝x 2＋（y －3）2＋

x 2＋（y ＋3）2＝

7－23y ＋

7＋23y ，

所以(|PM |＋|PN |)2＝14＋249－12y 2. 所以当y ＝0时，(|PM |＋|PN |)2有最大值28. 因此|PM |＋|PN |的最大值为27.

2． (2016·安徽十校联考)已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是

???x ＝－3t ，y ＝m ＋3t

(t 是参数，m 是常数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝a sin ? ????θ＋π3，点M 的极坐标为? ????

4，π6，

且点M 在曲线C 上．

(1)求a 的值及曲线C 的直角坐标方程；

(2)若点M 关于直线l 的对称点N 在曲线C 上，求|MN |的长．

解析 (1)将点M 的极坐标? ????4，π6代入方程ρ＝a sin ?

?

???θ＋π3，得4＝

a sin ? ????

π6

＋π3，∴a ＝4.

由ρ＝4sin ?

?

???θ＋π3得ρ＝2sin θ＋23cos θ，

ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ.

将???x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ

代入化简得x 2＋y 2－23x －2y ＝0， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x －2y ＝0.

(2)由x 2＋y 2－23x －2y ＝0配方得(x －3)2＋(y －1)2＝4，∴曲线C 是圆，且圆心坐标为 (3，1)．

易知点M 在圆C 上，∴由点M 关于直线l 的对称点N 在圆C 上，得直线l 经过圆C 的圆心，∴???3＝－3t ，

1＝m ＋3t ，

∴m ＝2.

这时直线l 的参数方程是???x ＝－3t ，

y ＝2＋3t ，

消去参数t 得x ＋3y －23＝0， 易知点M 的直角坐标为(23，2)， ∴点M 到直线l 的距离为 3.∴|MN |＝2 3.

最新高中数学参数方程大题(带答案)精选

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴

y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为

(完整)参数方程高考真题专题训练

高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上， 对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参 数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

北师大版数学高二选修4-4讲义第二讲参数方程3参数方程化成普通方程习题解答

习题2－3 第42页 A 组 1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2 b 2＝1，双曲线. (4)原参数方程变形为?????x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2， 所以y －2x －1＝4. 所以4x －y －2＝0，直线. (5)? ?? ??y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5. 3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225 ＝1，焦距为221. 4.椭圆的普通方程为（x －1）216 ＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0). 5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24 ＝1，中心坐标(2，1). 6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23 ＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°. 7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12. 8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b 2， 点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1). B 组 1.设动点A (x ，y )，则???x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ， 即x 2＋y 2＝2. 2.解 设动点M (x ，y )，则? ????x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2.

所以?????x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53 （y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25. 即（x ＋1）225＋（y －2）29 ＝1. 3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24 ＝1. 4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20 x 2，射程为3v 202g ， (2)证明略.

步步高理科数学第二讲参数方程

第二讲 参数方程 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t ， 并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在 ____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________． 2．几种常见曲线的参数方程 (1)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数)． (2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程??? ?? x ＝r cos α，y ＝r sin α. (3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数． 椭圆x 2b 2＋y 2 a 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数． (4)抛物线：抛物线y 2 ＝2px (p >0)的参数方程是??? ?? x ＝2pt 2 ， y ＝2pt . (t 为参数)． 1．(课本习题改编)若直线的参数方程为??? ?? x ＝1＋2t ， y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为 ________． 2．椭圆? ?? ?? x ＝2cos θ， y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ?? ?? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.

参数方程类型题详解

参数方程题型大全 参２７．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2 π (ρ∈R) 对称 D ．重合 ２８．极坐标方程 4ρsin 2 2θ =5 表示的曲线是( )。 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 ２９．点 P 1(ρ1,θ1) 与 P 2(ρ2,θ2) 满足ρ1 +ρ2=0，θ1 +θ2 = 2π，则 P 1、P 2 两点 的位置关系是( )。 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于θ=2 π所在直线对称 D ．重合 ３０．椭圆?? ?Φ +-=Φ +=sin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是( )。 A ．(-3, 5)，(-3, -3) B ．(3, 3)，(3, -5) C ．(1, 1)，(-7, 1) D ．(7, -1)，(-1, -1) 六、1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 2 3 B ．23- C ． 32 D ．3 2 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（ ） A ．1( ,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ． 2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2 cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）

最新坐标系与参数方程31793

坐标系与参数方程 31793

暑假作业---坐标系与参数方程试题 一、选择题 1．若直线的参数方程为?Skip Record If...?，则直线的斜率为（）A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...? D．?Skip Record If...? 2．下列在曲线?Skip Record If...?上的点是（） A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...? 3．将参数方程?Skip Record If...?化为普通方程为（） A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...? 4．化极坐标方程?Skip Record If...?为直角坐标方程为（） A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...? 5．点?Skip Record If...?的直角坐标是?Skip Record If...?，则点?Skip Record If...?的极坐标为（） A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...? 6．极坐标方程?Skip Record If...?表示的曲线为（） A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆7．参数方程为?Skip Record If...?表示的曲线是（）

选修4-4《第二讲参数方程》高考真题

第二讲 参数方程 本章归纳整合 高考真题 1．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． [命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 解析 由???x ＝ρcos θy ＝ρsin θ 得，cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ?ρ2＝2y ＋4x ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0 2．已知两曲线参数方程分别为?????x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和???x ＝54 t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． [命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围． 解析 由???x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)，得x 25＋y 2＝1(y ≥0，x ≠－5)，

由?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，联立方程可得?????x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2， 则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2 ＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为? ????1，255. 答案 ? ????1，255 3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆? ????x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线? ????x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________． [命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力． 解析 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普 通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0. 答案 x －2y －4＝0 4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为? ????x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ

极坐标与参数方程测试题(有详解答案)

极坐标与参数方程测试题 一、选择题 １.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 222t y t x (t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数) Ｃ、 ???-=-=121t y t x （ｔ为参数） D 、? ??+==1sin 2sin θθy x (t 为参数） ２.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ) ?A ．0 ?B.1 ?C ．-2 D.8 3.已知??? ? ?-3,5πM ,下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ) Ａ、??? ?? -3,5π B 、??? ?? 34,5π ??Ｃ、??? ??-32,5π ? D 、?? ? ?? --35,5π 4.极坐标系中,下列各点与点P(ρ,θ）（θ≠ｋπ，k ∈Ｚ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A.（－ρ,θ)B ．(－ρ，-θ)Ｃ．(ρ，2π-θ） D.（ρ，2π＋θ） 5.点()3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、??? ??3,2π ? Ｂ、??? ??34,2π ??C 、??? ??-3,2π ?Ｄ、?? ? ?? -34,2π 6.直角坐标系xo ｙ中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数)和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( )． A ．1 B ．2 Ｃ.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+???=?为参数表示的曲线是（ ) Ａ．一条直线 Ｂ.两条直线 Ｃ．一条射线 D.两条射线 8.()124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）

最新极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.

2012-2013高中数学《第二讲 参数方程》真题考点 新人教A版选修4-4

第二讲 参数方程 本章归纳整合 高考真题 1．(2011·江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． [命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 解析 由??? ? ?x ＝ρcos θy ＝ρsin θ 得，cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ ，ρ2＝x 2＋y 2 ，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ?ρ2＝2y ＋4x ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2 ＋y 2 －4x －2y ＝0 2．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为???x ＝5cos θ， y ＝sin θ(0≤θ<π)和?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的 交点坐标为________． [命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程 转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围． 解析 由???x ＝5cos θ，y ＝sin θ (0≤θ<π)，得x 25＋y 2 ＝1(y ≥0， x ≠－5)，由?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，联立方程可得?????x 2 5＋y 2 ＝1，x ＝54 y 2 ， 则5y 4 ＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2 ＝－4(舍去)，则x ＝54 y 2＝1，又y ≥0，所以 其交点坐标为? ???? 1，255. 答案 ? ???? 1，255 3．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆??? ? ?x ＝5cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)的右焦点，且与直线 ? ????x ＝4－2t ， y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________． [命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结知识讲解

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结

坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点 (,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 (,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式 如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(,)2r π ,半径为r 的 圆 2sin (0)r ρθθπ=≤< 圆心为(,)2r π ,半径为r 的 圆 2sin (0)r ρθθπ=≤<

人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-4【综合检测】第二讲 参数方程

(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．参数方程? ??? ? x ＝3t 2＋2y ＝3t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线 答案：A 2．圆的参数方程为? ???? x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)，若Q (－2，23)是圆上一点，则 参数θ的值是( ) A.π3 B.2π 3 C.4π3 D.5π3 答案：B 3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( ) A.? ???? x ＝t 2y ＝2t 2＋1(t 为参数) B.????? x ＝2t －1y ＝4t ＋1(t 为参数) C.????? x ＝t －1y ＝2t －1(t 为参数) D.? ???? x ＝sin θy ＝2sin θ＋1(θ为参数) 答案：C 4．参数方程??? x ＝2＋t y ＝3－4－t 2 (t 为参数)表示的曲线为( ) A ．半圆 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 答案：A

5．参数方程? ???? x ＝2＋sin 2θ y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．2x －y ＋4＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．2x －y ＋4＝0 x ∈[2,3] D ．2x ＋y －4＝0 x ∈[2,3] 答案：D 6．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y x ·y x －2 ＝－1}，C ＝{(ρ，θ)|ρ＝2cos θ，θ≠k π 4，k ∈Z }，D ＝{(x ，y )|? ???? x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z }，下列等式成立的是( ) A ．A ＝ B B ．B ＝D C ．A ＝C D ．B ＝C 答案：B 7．设圆? ???? x ＝3＋r cos θy ＝－5＋r sin θ(θ为参数)上有且仅有两点到直线－4x ＋3y ＋2＝0的距离等于 1，则r 的取值范围是( ) A ．4

最新坐标系与参数方程知识点

坐标系与参数方程知识点 1、平面直角坐标系中的伸缩变换：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>?? 2、 ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。 [注] ：①一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,) ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角，②负极径的规定：在极坐标系中，（ρ-， θ）与（ρ，θ）关于原点对称。 4、极坐标与直角坐标互化公式：（看课本） 5、球坐标系：空间点P 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 的变换关系：2222 sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θ? θ?θ ?++=? =??=??=?； 6、柱坐标系：空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ的变换关系为：cos sin x y z z ρθ ρθ=?? =??=? ； 7、参数方程化为普通方程，常见方法有三种：（1）代入法（2）三角消元（注：范围易错） 8、常见曲线的参数方程： （1）圆2 2 2 00()()x x y y r -+-=的参数方程为? ??+=+=θθ sin cos 00r y y r x x （θ为参数）； （2）椭圆122 22=+b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）； （3）双曲线122 22=-b y a x 的参数方程 ? ? ?==θθ tan sec b y a x （θ为参数）； （4）抛物线2 2y px =参数方程2 22x pt y pt ?=?=? (t 为参数）； （6）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数）；

(新)高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程导学案新人教A版选修4-41

一 曲线的参数方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即? ??==)(),(t g y t f x （＊）.并且对于t 的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程. 在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P （x ，y ）的坐标x,y 之间满足的等量关系F （x ，y ）＝0，这样得到的方程F （x ，y ）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x,y 的方程F （x ，y ）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t ，使之与曲线上动点P 的坐标x,y 间接地联系起来，此时可得到方程组???==) (),(t g y t f x 即点P 的运动通过变量t 的变化进行描述.若对t 的每一个值，由方程组确定的点（x ，y ）都在曲线C 上；反之，对 于曲线C 上的每一个点（x ，y ），其中x,y 都是t 的函数，则把方程组? ??==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，其中的t 称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义. 疑点突破 参数的选取应根据具体条件来考虑.但有时出于题目需要，也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少.一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程. 深化升华 参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量. 二、圆的参数方程 1.圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程：???==θ θsin ,cos r y r x (θ为参数). 2.圆心为O 1(a,b)，半径为r 的圆的参数方程：?? ?+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数). 参数θ的几何意义是：以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角（其中O 为坐标原点，P 为圆上一动点）. 圆的参数方程还可以表示为x=???+=+=θ θcos ,sin r b y r a x (θ为参数).

参数方程讲义

坐标系与参数方程 一、知识点梳理 (一)平面直角坐标系中的伸缩变化 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换? ??>?='>?=').0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称 ?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 （二）极坐标系与极坐标 1定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点 M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标 系。 2极坐标有四个要素：（1)极点；(2)极轴；(3)长度单位； 图1

(4)角度单位及它的方向。 3极坐标与直角坐标的不同点是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的。 4极坐标与直角坐标互化公式（以坐标原点为极点） （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，X 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度的单位，如图所示： （2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角 坐标是），（y x ,极坐标是），（θρ，于是极坐标与直角坐标的互化 公式如图一： （图一）

（图二） 5极坐标方程定义：用坐标系中的点与原点的距离以及该点与原点的连线与坐标轴的夹角来表示点的方法。 （三）常见曲线的极坐标方程

（四）参数方程 1参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x

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第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参 数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)． 抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别 是( )．

A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案 －6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极 坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________． 解析 将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交

第二讲全参数方程同步练习

第二讲 参数方程 第一节 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程 一、选择题 1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )． A ．(2，3) B ．(1，5) C.? ?? ??0，π2 D ．(2，0) 2．将参数方程?????x ＝2＋sin 2 θ， y ＝sin 2 θ (θ为参数)化为普通方程为 ( )． A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x －2 (2≤x ≤3) D ．y ＝x ＋2 (0≤y ≤1) 3．曲线的参数方程是?????x ＝1－1 t ， y ＝1－t 2 (t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是 ( )． A ．(x －1)2(y －1)＝1 B ．y ＝ x （x －2） （1－x ）2 C ．y ＝1 （1－x ）2 －1 D ．y ＝x 1－x 2 4．直线l 的参数方程为? ????x ＝a ＋t y ＝b ＋t ，(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ， b )之间的距离为 ( )． A ．|t 1| B ．2|t 1| C. 2|t 1| D.2 2 |t 1| 二、填空题 5．曲线?????x ＝1＋cos θ， y ＝2sin θ 经过点? ????32，a ，则a ＝________． 6．物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为________． 7．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________． 8．将参数方程?????x ＝sin θ＋cos θ， y ＝sin θcos θ 化成普通方程为__________． 三、解答题 9．已知曲线C ：?????x ＝cos θ， y ＝－1＋sin θ， 如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的 取值范围．

最新极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、极坐标：直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? 极坐标?直角坐标 222 tan(0) x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ? ? 二、直线的参数方程：过定点（x0，y0）倾角为α的直线： α α sin cos t y y t x x + = + = （t为参 数）直线上 12 ,P P对应的参数是 12 ,t t。|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2. 直线的一般参数方程：0 x x at y y bt =+ =+ （t为参数）若221 a b +=，则上面几何意义成立，否则，不成立。此时，需要换参，令) ( 2 2 2 2 2 2 为参数 t b a t b y y b a t a x x b a t t' ? ? ? ? ? ? ? + ' + = + ' + = ? + ' = 三、圆、椭圆的参数方程 圆心在（x0，y0），半径等于r的圆： α α sin cos r y y r x x + = + = （α为参数） 椭圆 22 22 1 x y a b +=（或 22 22 1 y x a b +=）： α α sin cos b y a x = = （α为参数）（或 α α sin cos a y b x = = ） 补充知识：伸缩变换：点) ,(y x P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? ? ? > ? =' > ? =' ). (,y y 0), ( x, x : μ μ λ λ ?的作用下，点) , (y x P对应到点) , (y x P' ' '，称伸缩变换抛物线22 y px =： pt y pt x 2 22 = = （t为参数，p＞0） 题型归类：方程的互化：1、代公式；2、消参

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线导学案新人教A版选修44

四渐开线与摆线 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、渐开线的产生过程 我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图2-4-1). 图2-4-1 也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象. 渐开线在实际生活和生产中比较常见.在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力,由于渐开线齿形的齿轮磨损少传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形.设计加工这种齿轮要依据圆的渐开线方程. 在物理问题中,许多问题都要涉及到渐开线问题,因为它是有关传动力学的基础.在数学中,我们都学习过三角函数,其图象的画法,是首先根据单位圆上的点进行平移,实际上也是圆的渐开线问题. 深化升华圆的渐开线是研究最多的一种渐开线.但是并不是只有一种渐开线,除了圆的渐开线之外,还有正方形的渐开线,长方形的渐开线,椭圆的渐开线等.只需把圆的渐开线中的基圆换成相应的图形即可得到相应的渐开线.研究这些渐开线可以仿照圆的渐开线建立相应的参数方程,进一步得出其性质. 二、摆线的概念和产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线. 市面上曾经流行过一种可绘制曲线的器具,它包含一个在圆周上刻满锯齿的小圆形板,以及一个在内外圆周上都刻有锯齿的大圆环形板.把玩之时,将小圆板放在大圆环板内部,并让锯齿套合而使小圆板沿着大圆环板滚动.将笔插入小圆板上的一个小洞,随着小圆板的滚动,铅笔就会描绘出一条曲线,这条曲线实际上也是摆线的一种(如图2-4-2).

高中数学全参数方程知识点大全知识讲解

高中数学全参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.