2015年高考数学考点分类自测 数系的扩充与复数的引入 理

2015年高考理科数学考点分类自测：数系的扩充与复数的引入

一、选择题

1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( )

A ．－i

B ．i

C ．－1

D ．1

2．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )·z ＝( )

A ．1＋3i

B ．3＋3i

C ．3－i

D ．3

3．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数

x ＋y i ＝( )

A ．－2＋i

B ．2＋i

C ．1－2i

D ．1＋2i 4．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数

f 1＋i 3＋i 对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 5．若a 、b ∈R ， i 为纯虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )

A ．a ＝1，b ＝1

B ．a ＝－1，b ＝1

C ．a ＝1，b ＝－1

D ．a ＝－1，b ＝－1 6．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i

为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2

B ．－2

C ．－12

D.12 二、填空题

7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝________. 8．已知复数x 2

－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．

9．复数2＋i 1－2i

的共轭复数是________． 三、解答题

10．实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i

(1)与复数2－12i 相等；

(2)与复数12＋16i 互为共轭复数；

(3)对应的点在x 轴上方．

11．计算：－23＋i 1＋23i ＋(21＋i )2012＋ 4－8i 2－ －4＋8i 211－7i

.

12．复数z 1＝

3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．

详解答案

一、选择题

1．解析：由i z ＝1得z ＝1i

＝－i. 答案：A

2．解析：∵(1＋z )·z ＝z ＋z 2＝1＋i ＋(1＋i)2＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.

答案：A

3．解析：由题意得，x i ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1，

即x ＋y i ＝2＋i.

答案：B4．解析：f (1＋i)＝(1＋i)2＝2i ，∴

f 1＋i 3＋i ＝2i 3＋i ＝2＋6i 10＝15＋35

i ，故对应点在第一象限．

答案：A

5．解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.

答案：C

6．解析：法一：

1＋a i 2－i ＝ 1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2－a ＋ 2a ＋1 i 5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2；

法二：1＋a i 2－i ＝i a －i 2－i

为纯虚数，所以a ＝2. 答案：A

二、填空题

7．解析：1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝－i ＋i －i ＋i ＝0. 答案：0

8．解析：∵x 为实数，∴x 2－6x ＋5和x －2都是实数．

由题意，得????? x 2－6x ＋5＜0，x －2＜0，解得????? 1＜x ＜5，x ＜2，

即1＜x ＜2.故x 的取值范围是(1,2)．

答案：(1,2)

9．解析：2＋i 1－2i ＝ 2＋i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i 5

＝i ，所以其共轭复数为－i.答案：－i 三、解答题

10．解：(1)根据复数相等的充要条件得

?????

m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得

????? m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16. 解之得m ＝1.

(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，

解之得m ＜－3或m ＞5.

11．解：原式＝ －23＋i 1－23i 12＋ 23 2＋[2 1＋i 2]1006＋ 4－8i 2－ 4－8i 2

11－7i

＝13i 13＋(1i )1006＋0＝i ＋(－i)1006＝i ＋i 2＝i －1＝－1＋i.12．解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a )＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i

＝a －13 a ＋5 a －1

＋(a 2＋2a －15)i. ∵z －1＋z 2是实数，

∴a 2

＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3. ∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.