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参数导数极坐标

2已知函数x x x f ln )(=．

(1)若()f x 在点)0,1(处的切线方程； (2)若x

x f x g +=

)()()0(>a ，

在[]e ,1上的最小值为23，求实数a 的值； (3)证明：当1>x 时，1)(22-

1.已知函数()ln 2f x x ax =-(其中a R ∈)．

（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；

（Ⅲ）设2

()()2

g x f x x =+

，且函数()g x 有极大值点0x ，求证：

000()10x f x ax +->

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）当a=1时，

﹣2，由此利用导数的几何意义能求出函数

f （x ）的图象在x=1处的切线方程．

（Ⅱ）由不等式f （x ）≤1，得2a ≥恒成立，令φ（x ）=

（x ＞0），

则φ′（x ）=

，由此利用导数性质能求出实数a 的取值范围．

（Ⅲ）由g （x ）=f （x ）+x 2=，得

，

分类讨论求出a=，由x 0f （x 0）+1+ax 02=﹣，令h （x ）=

﹣

，x ∈（0，1），则

，利用构造法推导出h′

（x ）＜0，由此能证明x 0f （x 0）+1+ax 02＞0．

【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=lnx ﹣2x ，则﹣2，x ＞0，

∴f （1）=﹣2，f′（1）=﹣1，

∴函数f （x ）的图象在x=1处的切线方程为y ﹣（﹣2）=﹣（x ﹣1），即x +y +1=0．

（Ⅱ）不等式f （x ）≤1，即lnx ﹣2ax ≤1，∴2ax ≥lnx ﹣1，

∵x ＞0，∴2a ≥恒成立，

令φ（x ）=

（x ＞0），则φ′（x ）=

，

当0＜x ＜e 2时，φ′（x ）＞0，φ（x ）单调递增，当x ＞e 2时，φ′（x ）＜0，φ（x ）单调递减，

∴当x=e 2时，φ（x ）取得极大值，也为最大值，故φ（x ）max =φ（e 2）=，

由2a ≥

，得a ≥

，∴实数a 的取值范围是[

，+∞）．

（Ⅲ）证明：由g （x ）=f （x ）+x 2=

，得

，

①当﹣1≤a ≤1时，g （x ）单调递增无极值点，不符合题意；

②当a ＞1或a ＜﹣1时，令g′（x ）=0，设x 2﹣2ax +1=0的两根为x 0和x′， ∵x 0为函数g （x ）的极大值点，∴0＜x 0＜x′，

由

=1，

，知a ＞1，0＜x 0＜1，

又由g′（x 0）=

=0，得a=

，

∵

=﹣

，0＜x 0＜1，

令h （x ）=﹣，x ∈（0，1），则，

令，x ∈（0，1），则

，

当

时，μ′（x ）＞0，当

时，μ′（x ）＜0，

∴μ（x ）max =μ（）=ln

＜0，∴h′（x ）＜0，

∴h （x ）在（0，1）上单调递减，∴h （x ）＞h （1）=0， ∴x 0f （x 0）+1+ax 02＞0．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy 中，双曲线E 的参数方程为tan x y θ

θ?=??=??

(θ为参

数),设E的右焦点为F,经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线l的极坐标方程；

（2）设过点F与l垂直的直线与y轴相交于点A,点P是l上异于原点O

A O F P四点在同一圆上时,求这个圆的极坐标方程及点P的的点,当,,,

极坐标．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．

（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F

与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），由此能求出点P的极坐标．

【解答】解：（1）∵双曲线E的参数方程为（θ为参数），

∴，，

∴==1，

∴双曲线E的普通方程为．

∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，

∴l的极坐标方程为．

（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），

∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，

由（Ⅰ）知，|OF|=2，

又A 是过F 与l 垂直的直线与y 轴的交点，

∴∠AFO=

，|AF |=4，

于是圆C 的半径为2，圆心的极坐标为（2，），

∴圆C 的极坐标方程为，

此时，点P 的极坐标为（4cos （），

），即（2，）．

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数()||2f x x a a =+-,其中a R ∈．（1）当2a =-时,求不等式()21f x x ≤+的解集；

（2）若x R ∈,不等式()|1|f x x ≤+恒成立,求a 的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

【分析】（1）当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f （x ）≤2x +1的解集；（2）若x ∈R ，不等式f （x ）≤|x +1|恒成立，|a +a |﹣|x +1|≤2a 恒成立，求出左边的最大值，即可求a 的取值范围．

【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f （x ）≤2x +1为|x ﹣2|﹣2x +3≤0． x ≥2时，不等式化为x ﹣2﹣2x +3≤0，即x ≥1，∴x ≥2；

x ＜2时，不等式化为﹣x +2﹣2x +3≤0，即x ≥，∴≤x ≤2，

综上所述，不等式的解集为{x |x ≥}；

（2）x ∈R ，不等式f （x ）≤|x +1|恒成立，即|a +a |﹣|x +1|≤2a 恒成立， ∵|a +a |﹣|x +1|≤|a ﹣1|，

∴|a ﹣1|≤2a ，∴

．

21．已知曲线()x f x ae x b =-+在1x =处的切线方程为(1)1y e x =--. （Ⅰ）求()f x 的极值；

（Ⅱ）证明：0x >时，ln 2(1)x

ex x f x x <+-+(e 为自然对数的底数)

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据系数对应相等，求出a，b的值，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）问题等价于xln x＞xe﹣x﹣，分别令g（x）=xlnx，h（x）=xe﹣x﹣，根据函数的单调性证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x﹣1，f（1）=ae﹣1+b，f′（1）=ae﹣1，

故切线方程是：y﹣ae+1﹣b=（ae﹣1）（x﹣1），

即y=（ae﹣1）+b=（e﹣1）x﹣1，

故a=1，b=﹣1，

故f（x）=e x﹣x﹣1，f′（x）=e x﹣1，

令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，

故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，

0）=0；

故f（x）

极小值=f（

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）f（x﹣1）+x=e x﹣1，

故问题等价于xln x＞xe﹣x﹣

设函数g（x）=xln x，

则g′（x）=1+ln x，

所以当x∈（0，）时，g′（x）＜0；

当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．

故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣，

设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．

所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．

故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣；

因为g min（x）=h（1）=h max（x），

所以当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），

故x ＞0时，＜exlnx +2．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ?

=??=+?(?为

参数),在以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线

l 的方程为cos()4

ρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（Ⅰ）求出曲线C 的普通方程，即可求曲线C 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为（φ为参数），普通方程为

x 2+（y ﹣2）2=4，即x 2+y 2﹣4y=0，

∴曲线C 在极坐标系中的方程为ρ=4sinθ；

（Ⅱ）直线l 的方程为ρcos （θ﹣）=2，即x +y ﹣4=0，

圆心到直线的距离d=

，

∴直线l 被曲线C 截得的弦长=2=2

．

[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数

()|||2|(,0).f x x x a a R a a

++∈≠且（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()5f x ≥的解集；

（Ⅱ）证明：()f x ≥【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，通过讨论x 的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可．【解答】（Ⅰ）解：a=﹣1时，f （x ）=|x +1|+|x ﹣2|≥5， x ≥2时，x +1+x ﹣2≥5，解得：x ≥3， ﹣1＜x ＜2时，x +1+2﹣x ≥5，无解，

x ≤﹣1时，﹣x ﹣1﹣x +2≥5，解得：x ≤﹣2，故不等式的解集是{x |x ≥3或x ≤﹣2}．

（Ⅱ）证明：f （x ）=|x ﹣|+|x +2a |≥|x +2a +﹣x |=|2a |+||≥2，

当且仅当|2a |=||，即a=

时”=“成立．

（21）（本小题满分12分）

已知函数()ln ,(0x

a f x a a x

=->，且1)a ≠.

（I ）若e a =，求函数()y f x =的单调区间；（其中 71828.2e =是自然对数的底数）

（II ）设函数e 1

()e g x x

，当[)(]1,00,1x ∈-U 时，曲线()y f x =与()y g x =有两个交点，求a 的取值范围.

请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为?

??=+=ααsin 2cos 22y x ，参数

()πα,0∈，M 为1C 上的动点，满足条件OM 2=的点P 的轨迹为曲线

2C ．

（I ）求2C 的普通方程；

（II ）在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射

线3

θ=

与21,C C 分别交于B A ,两点，求AB ．

（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()1-=x x f ，关于x 的不等式()123+-

A .

（I ）求A ；

（II ）已知A b a ∈,，求证：()()()b f a f ab f ->.

（21）解：（I ）定义域(,0)(0,)-∞+∞U

e a =时，22

e e e e (1)

()1(),x x x x x x f x f x x x x --'=-==， ……………1分

由

()0,f x '>得()f x 增区间为(1,)+∞， ……………2分由

()0,f x '<得()f x 减区间为(,0),(0,1)-∞ ……………3分

（II ）联立()y f x =与()y g x =得ln x a a x -=e 1e x +，1ln 10e x

a x a ---= 令1()ln 1,e

h x a x a =---[1,0)(01]x ∈-?，

则()ln ln ln (1)x x

h x a a a a a '=-=- ……………4分

（1）当1a >时，ln 0a >，

由()0h x '>得，01x <≤，()h x '在(01]，上单调递增

由()0h x '<得，10x -≤<，()h x '在[1,0)-上单调递减 ……………5分

1(0)0e

h =-<且

由题意得1(1)110e

11(1)110

e h a na h na a ?

=---≥????-=+--≥??

……………6分

令11()(1)11F a h na a e =-=+--，则22111

()(1)0F a a a a a

'=-+=->，

()F a 单调递增， 11

(e)1e 10,e e e F n a =+--=∴≥ ……………7分

令11

()(1)11,()10,()e G a h a na G a G a a

'==---=->单调递增，

e a ≥时，1

(1)()(e)e 110e

h G a G =≥=--->，e a ∴≥合题意……………8分

（2）当01a <<时，ln 0a <，

由()0h x '>得，01x <≤，()h x '在(01]，上单调递增

由()0h x '<得，10x -≤<，()h x '在[1,0)-上单调递减 ………9分

(0)0e

h =-<且

由题意得1(1)110e

11(1)110

e h a na h na a ?

=---≥????-=+--≥??

……………10分

令11

()(1)11,()10,()e G a h a na G a G a a

'==---=-<单调递减，

11111

()110,0e e e e e

G n a =+--=∴<≤ ……………11分

令11()(1)11e F a h na a =-=+--，则22111

()(1)0F a a a a a

'=-+=-<，

()F a ∴单调递减

10e a <≤时， 1(1)()(e)e 110,e

h F a F -=≥=--->1

0e a ∴<≤合题意.

综上，a 的取值范围是1

(0,][e,)e

+∞U ……………12分

（22）解：（I ）设()y x P ,，则()y x M 2,2，

因为M 为1C 上的动点，所以???=+=ααsin 22cos 222y x ，即?

??=+=ααsin cos 1y x ，()πα,0∈. ……3分

消去参数得()101122

≤<=+-y y x ，.

所以，2C 的普通方程为()101122

≤<=+-y y x ，. ……………5分

（II ）1C 的极坐标方程为：)2

0(,cos 4π

θθρ<<=，

2C 的极坐标方程为：)2

0(,cos 2π

θθρ<

<=，……………7分

由???

????

<<==)

20(,cos 43πθθρπθ得点A 的极坐标为)3,2(π，

由???

????<<==)

20(,cos 23πθθρπθ得点B 的极坐标为)3,1(π，……………9分

所以，1=AB . ……………10分

（23）解：（I ）由()123+-

????

?<----≤312121x x x 或?????<++-<<-3

1211

x x x 或???<++-≥31211x x x ，……………3分

解得，211-

≤<-x 或12

<<-x . 所以，集合{}11|<<-∈=x R x A . ……………5分（II ）A b a ∈, ，11<<-∴ab .

()ab ab ab f -=-=∴11，()a a a f -=-=11，()b b b f -=-=11. ……………7分

()()()()()011111)(>--=-++--=--b a b a ab b f a f ab f . ……………9分 ()()()b f a f ab f ->∴. ……………10分

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ，，的距离为则取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．的极坐标方程为： cos=

∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．的极坐标方程为，把，利用三角形的面积计算公式即可得出．的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为；（t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

参数方程和极坐标方程知识点归纳

专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注：极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1

极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或 θ θsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-，的极坐标为。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π，，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为。三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=，（1）写出直线l 的参数方程。（2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。极坐标与参数方程单元练习1参考答案【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π，或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

极坐标和参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（） A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（） A ．1(,2 B ．31(,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为

极坐标与参数方程经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

全参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个参数t 的函数， x f （t ）即 y f （t ），其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数. 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆: { x r cos 特殊地，当圆心是原点时，、 y r si n 注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。 Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0 上的动点，求: （1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。 Eg2 :将下列参数方程化为普通方程总结：参数方程化为普通方程步骤：（1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆: x x 0 rcos 〔y y o rsin （为参数，的几何意义为圆心角） (1 ) x=2+3cos y=3sin 1 (|3) x=t+ 一 t Y 2 1 I y=t 2+ ” x=s in y=cos

4、抛物线的参数方程: 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线： x 2pt 2 y 2pt （t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程 x a cos y bsin （为参数，的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆, 点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程: X 。 a cos y bsi n x Eg :求椭圆 36 y =1上的点到 M (2,0) 20 的最小值。 3、双曲线的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线: a sec bta n 为参数，代表离心角），中心在（x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线: x x 0 asec y y 0 bta n 2 2

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标互化公在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①．方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．

极坐标与参数方程高考题含答案

极坐标与参数方程高考题含答案文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得 1ρ=，2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积 o 11sin 452?=1 2 . 2.已知曲线194:22=+y x C ，直线?? ?-=+=t y t x l 222:（t 为参数）（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,.

经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案) https://www.wendangku.net/doc/7613505627.html,work Information Technology Company.2020YEAR

《极坐标与参数方程》综合测试题 1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线 l 过点P （1,0），倾斜角为3 ，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求 +． 2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．

3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标． 4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数）， 3 P,0 2 ?? ? ?? ，当直线l与曲线 C相交于A，B两点，求 2 AB PA PB ? .

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M a 的值．解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）

（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数）（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.

2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧解答题模板3：极坐标与参数方程 1、题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径；椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ =??=?为参数；双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =??=?为参数；抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.

极坐标与参数方程题型及解题方法65164

Ⅰ复习提问 1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳 1、题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） { 参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，() ()2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-，即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

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1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为12232 x t y t ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝ 6 π ，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y α α =+??=-+?（α为参数），点Q 的极坐标为7(22,)4 π。（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结

1.弦长问题模型1 1.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为()2562 2 =+ +y x （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程为t t y t x (sin cos ???==α α 为参数），l 与C 交于点B A ,， ①若4 3π α= ，求AB ， ①若10=AB ，求l 的斜率。

2.已知直线t t y t x (32???=+=为参数）与曲线θθρcos 8sin 2=交于B A ,，求AB 2. 弦长问题模型2（只对直线过原点才可以）注意：若直线倾斜角为α且过原点，则该直线的直角坐标方程为αtan x y =，其参数方程为?==α α sin cos t y t x ，其极坐标方程为)(R ∈ =ραθ 3.在极坐标系中，以点(2, ) 2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R π θρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .

3.参数方程最值问题模型 4.已知曲线θ θθ (sin 2cos 1:1???+=+=y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线:2C 4π θ= ()R ∈ρ （1）写出1C 的极坐标方程，2C 的一个参数方程；（2）设1C 与2C 交于N M ,两点，P 为1C 上一动点，求PMN ?面积的最大值。

4.利用直线参数方程中t 的几何意义问题模型 5.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π ，曲线C 的方程为) 4sin(22π θρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．