第1章-1.3-第1课时

一、选择题

1．下列说法中正确的有( )

①辗转相除法也叫欧几里得算法；

②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；

③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；

④编写辗转相除法的程序，要用到循环语句．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】 本题考查对辗转相除法和更相减损术的理解与认识．③不正确，因为除了辗转相除法，还有其他方法，如更相减损术．

【答案】 C

2．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，主要用哪种结构实现

( )

A ．顺序结构

B ．条件结构

C ．循环结构

D ．条件、顺序结构

【解析】 该种算法主要是由内到外计算

???

v 0＝a n ，v k ＝v k －1·

x 0＋a n －k (k ＝1，2，…n )， 故在求值时用到循环结构．

【答案】 C

3．用秦九韶算法求多项式f (x )＝4x 5－x 2＋2当x ＝3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为( )

A ．4,2

B ．5,3

C ．5,2

D ．6,2 【解析】 f (x )＝4x 5－x 2＋2＝((((4x )x )x －1)x )x ＋2，需5次乘法运算和2次加法运算．

【答案】 C

4．225与135的最大公约数是( )

A．5 B．9

C．15 D．45

【解析】∵225＝135×1＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，∴45是225与135的最大公约数．

【答案】 D

5．下面一段程序的目的是()

A．求m，n的最小公倍数

B．求m，n的最大公约数

C．求m被n除的商

D．求n除以m的余数

【解析】本程序当m，n不相等时，总是用较大的数减去较小的数，直到相等时跳出循环，显然是“更相减损术”．故选B.

【答案】B

二、填空题

6．464与272的最大公约数为________．

【解析】464÷16＝29,272÷16＝17,29－17＝12,17－12＝5,12－5＝7,7－5＝2,5－2＝3,3－2＝1,2－1＝1，∴最大公约数为1×16＝16.

【答案】16

7．用更相减损术求152与92的最大公约数时，需要做减法的次数是________．

【解析】∵152与92都是偶数，∴先两次用2约简得38与23，又38－

23＝15，

23－15＝8，

15－8＝7，

8－7＝1，

7－1＝6，

6－1＝5，

5－1＝4，

4－1＝3，

3－1＝2，

2－1＝1，

故要用10次减法．

【答案】10

8．已知多项式函数f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7，当x＝5时由秦九韶算法v0＝2，v1＝2×5－5＝5，则v3＝________.

【解析】∵v2＝v1x－4＝5×5－4＝21，

v3＝v2x＋3＝21×5＋3＝108.

【答案】108

三、解答题

9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2，当x＝－2时的值．

【解】∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2

＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2.

∴当x＝－2时

v0＝1，

v1＝1×(－2)－5＝－7，

v2＝－7×(－2)＋6＝20，

v3＝20×(－2)＋0＝－40，

v4＝－40×(－2)＋1＝81，

v5＝81×(－2)＋0.3＝－161.7，

v6＝－161.7×(－2)＋2＝325.4，

∴f(－2)＝325.4.

10．求三个数324,243,135的最大公约数．

【解】法一324＝243×1＋81，

243＝81×3.

∴324与243的最大公约数为81.

又135＝81×1＋54，

81＝54×1＋27，

54＝27×2.

则81与135的最大公约数为27.

∴三个数324,243,135的最大公约数为27.

法二324－243＝81,243－81＝162,162－81＝81.

∴324与243的最大公约数为81.

135－81＝54,81－54＝27,54－27＝27.

∴81与135的最大公约数为27.

∴324,243,135的最大公约数是27.

11．求1 356和2 400的最小公倍数．

【解】 2 400＝1×1 356＋1 044,1 356＝1×1 044＋312，

1 044＝3×312＋108,312＝2×108＋96，

108＝1×96＋12,96＝12×8，

∴1 356和2 400的最大公约数为12.

∴1 356和2 400的最小公倍数为(2 400×1 356)÷12＝271 200.