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第三章第七讲：三角形等高模型与鸟头模型例题精讲

板块一三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生

变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1

，则三角形面积与原来的一

样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b =

S 2S 1 D

C B

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶

6个面积相等的三角形．

【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上．

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？

⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？

【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面

积是平方厘米．

【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．

【例5】长方形ABCD的面积为362

cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

【例6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

【例7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12

AD=厘米，3

DE=厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍？

D C

【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF 那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？

C B

【解析】 AEC 、AFC 、ABF ．

【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE

的面积是多少？

B E

C D

C E

B A

【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC

?的面积是平方厘米．

【例 11】如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36

个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．

F E G

C B

【例 12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方

形组合而成．求阴影部分的面积．

【例 13】如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，

三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？

【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、

三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是．

【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形

BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．

【例 16】图中AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．

【例 17】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．

【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形

面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？

红

绿

黄红

【例 19】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ?的面积是25cm ，OAB ?的面积是22cm ，求OBD ?的面

积是多少？

【例 20】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方

分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？

【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ?的面积是15，求阴影BPD ?的面积．

【例 22】在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ?的面积为16，等腰DOC ?的面积占长方形面积

的18%，那么阴影AOC ?的面积是多少？

【例 23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F

分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ? 的面积为215cm ，而BCG ?的

面积恰好是梯形ABCD 面积的7

，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．

A B C

【例 24】如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

B A

【例 25】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．

F E

【例 26】如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的

面积．

【例 27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．

【例 28】如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10

厘米，求阴影部分的面积．

K E

C B

【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH

等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．

G F E

D C

B A

【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的

点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．

【例 31】如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么

三角形ABC 的面积是多少？

F E

D C

B A

【例 32】如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．

【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E

是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ?的面积为a 平方厘米，BDO ?的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米．

E b

D C

【例 34】如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ?的面积比AOD ?的面积小10

平方厘米．梯形ABCD 的面积是平方厘米．

A B C

【例 35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中

阴影部分的面积是多少？

【例 36】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边

上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？

【例 37】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是

多少平方厘米？

D C

【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大

伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．

E D

【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ?被分

成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．

H G

E D

C B A

【解析】由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ??==，所以2

109

BD BC =

=，35CD BC BD =-=；又::2:5

I F D F C D I D C S S ??

=，所以2

145

DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．

【例 40】

E 、M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP 、ME 彼此平行，若5AD =，7BC =，5AE =，3EB =．求阴影部分的面积．

Q B C

【例 41】 (2007年人大附中分班考试题)已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边

的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC

)

【例 42】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分

成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．

E D

C B

C D

E F

【例 43】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积

是．

【例 44】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，

15AD =，四边形EFGO 的面积为．

【例 45】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面

积是多少平方厘米？

【例 46】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为

10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ．

【例 47】如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．

A B C

【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD 中，67AB =，

30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是．

C D E F

【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意

一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是．

【例 50】如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四

边形PQRS 的面积之比．

【例 51】如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知

四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．

G F E

【拓展】如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形

EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几？

M H

G A B

【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分

别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =．

这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．

A B

N M Q

R P L X

Y Z

【例 53】如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的

，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AME 、三角形BMF 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．

M B

【例 54】如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ??=，224cm BEF S ?=，求

AOF ?的面积．

O F

【例 55】（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．

如果ASM ?、MTB ?与DSN ?的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形

ABCD 的面积为．

C B

板块二鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

B A

图⑴ 图⑵

【例 56】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16

ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

【例 57】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，

:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

【例 58】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)

的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

【例 59】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．

D C

【例 60】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的

面积是多少？

B E

C E

B A

【例 61】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，1

AE AC =

，1

CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．

【例 62】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；

延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．

B A

【例 63】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD

的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．

B C

D E

【例 64】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四

边形ABCD 的面积．

H G

D C

B A

【例 65】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若

四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．

A B C

D E

F G

【例 66】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使1

CE BC =

，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？

A B

【例 67】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS

．

F E D

【例 68】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，

三角形ABG 的面积是多少平方厘米？

F G

【例 69】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．

半角模型题

半角模型题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

半角模型例1(海淀201405-8) 如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合，当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B C D 例2.(海201311-24)．已知在ABC △中， 90=∠ACB ，26==CB CA ， AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上，CD DE 2 1=，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________，___________；（2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证： 45=∠CNE ；（3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得 45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由． D C B A N F E C B A

24. （本小题满分8分）（1）AE ⊥CM ，AE =CM （2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°， 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =162 AB =. ∵ M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==， ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中， ∴△CAG ≌△CBM ． ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠． ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=．在△FCG 和△FCM 中， ∴△FCG ≌△FCM ． ∴FCG FCM ∠=∠． ∴45FCH ∠=. 由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . （3）存在. AF =8. 例3．(平谷201405-24)（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；

平行线典型例题

结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A ④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（） A 、80 B 、50 C 、30 D 、20 例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（） A 、43° B 、47° C 、30° D 、60° 例、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（2）如图2，点1 P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1 AP 、1 BP ．求证：BD P B AP CAP 1 11∠+∠+∠=360°；（3）如图3，点1 P 、2 P 是直线CM 、DN 内部的一个点，

连结1 AP 、2 1P P 、B P 2 ．试求BD P B P P P AP CAP 2 2 12 11 ∠+∠+∠+∠的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠2 11 P AP CAP … BD P 5∠+的度数（不必写出过程）．例、如图，已知直线l 1∥l 2，且l 3和l 1、l 2分别交于A 、B 两点，点P 在AB 上．（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；（2）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（3）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B 不重合） A M B C N D P A M B C N D 图 P P A M B C N D 图

八上培优半角模型精修订

八上培优半角模型 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页1~4题 1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD 上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF． 2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证： AE=EF+CF． 3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.

A C B F E A C B F E D 4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系． 3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

平行线有关模型汇总

直线平行的条件和性质 1. 猪蹄模型已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。 2. 铅笔模型如图,已知: CD AB ∥,求证: ∠+B ∠D +∠=BED 360°. (至少用三种方法) 3. 其他 4. 角平分线如图1，在ABC ?中,BE 平分,ABC CE ∠平分ACB ∠.若80A ∠=?，则BEC ∠= ;若A n ∠=?，求BEC ∠用含n 的代数式表示)

如图3，在ABC ?中，BO 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠.若A n ∠=?，求BOC ∠. 如图5，在ABC ?中，BE 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠.若A n ∠=?，求BEC ∠. 5. “8”字形如图b 所示的“ ”字型，其也存在着一个等式：1+2=3+4∠∠∠∠，请证明； 6. “A ”字型如图a 所示的“”字型，我们可称其为“A 字型”或“塔形”，其存在一个等式： 1+2=3+4∠∠∠∠，请证明；

7. 燕尾形如图c所示，其也存在着如下等式：D A B C ∠=∠+∠+∠，请证明一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论 1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行； 2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行； 3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．三．易错点： 1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”； 2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．题型一：猪蹄模型例1. 如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（） A． 15° B． 25° C． 35° D． 55° 题型二：铅笔模型 ∠+∠+∠+∠=（）例2. 如图，AB∥CD，A E F C

平行线四大模型

1、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补

模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案

正方形角含半角模型提升例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么例4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB = 例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点 O ,90AOF ?∠=. 求证：BE CF =. (2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O ,90FOH ?∠=,4EF =.求GH 的长. 【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的面积为________2cm ． (6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________． 4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以 AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。求证：FN EC =。 5.如图，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△；（2）求证：DE EF FB =+．【纵向应用】 6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2 1 = 7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 2 1= 8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥ 9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G , 图2 D G A E B C F 13 A D E F C G B

平行线经典四大模型典型例题及练习

平行线四大模型平行线的判定与性质 l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

半角模型专题--优选专练.doc

半角模型例题已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦ 45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF 结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3：AH﹦ AD 结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小 22 2 结论 6：BM﹢DN﹦MN 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线结论 9：四点共圆结论 10：△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论 11： MN﹦EF（可由相似得到）结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到）结论 5 的证明：设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小结论 6 的证明：将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中，由勾股定理可得： 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形： △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE

结论 8 的证明：因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3＝∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3＝∠ 4 ∴∠ 2＝∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1＝∠ 4 ∴∠ 1＝∠ 2 结论 9 的证明：因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45° ∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF. 一、全等关系（）求证：① 2 2 2 平分，平分 DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系（2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG . （3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系（4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB . （5) 、和差关系 BE 求证：① BG DG 2BE ；② AD DF 2DH ； ③ | BE DF | 2 | BH DG | .

平行线模型经典例题

平行线模型经典例题几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉，不能把几何学等同于逻辑推理，只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造的。现在初一的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决实际问题，会起到事半功倍的效果。下面，我就平行线的判定与性质中的一个经典题型为例，引导学生来掌握最基本的平行线的模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。探究：（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明为什么吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？名师点拨：已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．解：（1）过E作EF∥AB，则∠B=∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D=∠DEF， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．（2）若∠B+∠D=∠E，由EF∥AB，∴∠B=∠BEF， ∵∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D， ∴∠D=∠DEF，∴EF∥CD， ∴AB∥CD；（3）若将点E移至图b所示位置，过E作EF∥AB， ∴∠BEF+∠B=180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF=180°， ∠E+∠B+∠D=360°；（4）∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD， ∵∠D+∠E=∠BFD， ∴∠D+∠E=∠B；（5）∵AB∥CD，∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D；（6）由以上可知：∠E 1+∠E 2 +…+∠E n =∠B+∠F 1 +∠F 2 +…+∠F n-1 +∠D；

半角模型题

半角模型例1(如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合，当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B CD 例2.已知在ABC △中， 90= ∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线 CD 上，CD DE 2 1 = ，点F 在线段AB 上，M 是 DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________ ，___________；（2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证： 45=∠CNE ；（3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得 45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由． D C B A N M F E D C B A

24. （本小题满分8分）（1）AE ⊥CM ，AE =CM （2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°， 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =1 62 AB =. ∵M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==， ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中， CA CB CAG CBM AG BM =?? ∠=∠??=? ，，， ∴△CAG ≌△CBM ． ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠． ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠= ．在△FCG 和△FCM 中， CG CM FG FM CF CF =?? =??=? ，，， ∴△FCG ≌△FCM ． ∴FCG FCM ∠=∠． ∴45FCH ∠= . 由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . （3）存在. AF =8.

中考数学压轴题专项汇编专题角含半角模型

专题15 角含半角模型破题策略 1．等腰直角三角形角含半角如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45° （1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA （2）BD 2＋CE 2＝DE 2 ． 45° E A B C D 证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ，所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ． 45° F E A B C D 则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ，所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）．所以DE ＝ EF ．而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°，所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2 ．方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ． 45° E A B C D 因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ，又因为∠BAD ＝∠DAF ，则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ，所以△FAE ∽△CAE （SAS ）．所以EF ＝ E C ．

而DF ＝BD ， ∠DFE ＝∠AFD ＋ ∠AFE ＝90°，所以BD 2＋ EC 2＝ FD 2＋ EF 2＝ DE 2 ．【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且∠DAE ＝45°，则BD 2＋CE 2＝DE 2 ． E D 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： E A D F E A D ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在 BC 上，且∠DAE ＝1 2 ∠BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180° －∠BA C ． B 可以通过旋转、翻折的方法将BD ，DE ，EC 转移到一个三角形中，如图： B C E B D

平行线拐点问题六种模型题型

平行线常见四种易错题型分析七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析:过拐点作已知直线的平行线。本篇内容，我们接着介绍平行线中常见的六种易错题型，早掌握避免遇到时出错。平行线间拐点问题基本模型有三种: 第一种铅笔模型；第二种M型；第三种猪手模型。我们还介绍了平行线四大拐点模型：“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“臭脚”模型、“骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。一、性质定理与判定定理的区分要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．

二、三线八角理解不透彻很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。【分析】∠A与∠B的共边线为直线AB，那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么∠A与∠B是同旁内角，正确；∠1与∠2是邻补角，错误；∠2与∠A的共边线为直线AC，是同位角，错误；∠2与∠3是内错角，错误。三、对平行线的概念理解不透彻

人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)

几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ．由题意可知∠ADG=GDM ，则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=2 2-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1 (10)2 BF x =+．由2 22PB PF BF =+．可得：2 221 10 (10)4 x x =++．故6x =． 2 16256ABCD S ==．例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥， ?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ． ∴EF=ME+MF=BE+DF ．

平行线与相交线经典例题

相交线与平行线经典题型汇总班级: 姓名: 1. 如图，∠B=∠C，AB∥EF 求证：∠BGF=∠C 2.如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。求∠AGD 3.已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H ，∠AGE=500 ，求：∠BHF的度数。 4.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗试说明理由 H G F E D C B A H G 2 1 F E D C B A G F E D C B A

5. 已知：如图， AB E F AB CD 1D ∠=∠2∠C ∠EC AF ⊥O //AB CD //AC BD //AB CD E ∠=∠1 F ∠=∠2AE CF O CF AE ⊥ 8．如图13，AEB NFP ∠=∠，M C ∠=∠，判断A ∠与P ∠的大小关系，并说明理由. 9．如图14，AD 是CAB ∠的角平分线，//DE AB ，//DF AC ，EF 交AD 于点O ．请问：（1）DO 是EDF ∠的角平分线吗如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（2）若将结论与AD 是CAB ∠的角平分线、//DE AB 、//DF AC 中的任一条件交换，?所得命题正确吗 F E M P A C N 1 2 3 O B C D E

10.如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B = 30°，你能算出∠EAD 、∠DAC 、∠C 的度数吗 11. 如图, ∠1=∠2 , ∠3=1050，求 ∠4的度数。 12．如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。将求∠AGD 的过程填写完整。因为EF ∥AD ，所以 ∠2 = 。又因为 ∠1 = ∠2，所以 ∠1 = ∠3。所以AB ∥ 。所以∠BAC + = 180°。又因为∠BAC = 70°，所以∠AGD = 。 d c 3 1 a b 2 4

第5讲角含半角模型(原卷版) 2020年中考数学几何模型能力提升篇(全国通用)

中考数学几何模型5：角含半角模型st ●模型1：截长补短模型●模型2：共顶点模型●模型3：对角互补模型●模型:4：中点模型●模型5：角含半角模型 ●模型6：弦图模型 ●模型7：轴对称最值模型 ●模型8：费马点最值模型 ●模型9：隐圆模型 ●模型10：胡不归最值模型 ●模型11：阿氏圆最值模型 ●模型12：主从联动模型

名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。类型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（2）（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.. 任意等腰三角形

类型二：正方形中角含半角模型（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠ C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1 2 ∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

(完整word版)平行线典型例题

例、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．例、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数．例、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮筋上的一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。(提示：先画出示意图，再说明理由)提示：这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。本题可分为AB ，CD 之间或之外。结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A ④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ．例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（） A 、80 B 、50 C 、30 D 、20 例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（） A 、43° B 、47° C 、30° D 、60° 例、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ．（1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ；（2）如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证： BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=360°；（3）如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2．试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数；（4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BD P 5∠+的度数（不必写出过程）． A M B C N D P 1 A M B C N D 图2 P 1 P 2 A M B C N D 图3

半角模型专题专练

半角模型例题已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段 BC 、DC 于点 E 、 F ，且∠EAF﹦45 结论 1：BE ﹢DF ﹦EF 结论 2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦ S △AEF 结论 3：AH ﹦AD 结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当 BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小结论 6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8： EA 、FA 是△CEF 的外角平分线结论 9：四点共圆结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论 11：MN ﹦√2EF （可由相似得到）结论 12：S△AEF﹦2S△AMN（可由相似的性质得到）结论5 的证明：设正方形 ABCD 的边长为 1 则 S △ AEF ﹦ 1 ﹣ S 1 ﹣ S 2 ﹣ S 3 ﹦ 1 ﹣ x ﹣ y ﹣ (1 ﹣ x)(1 ﹣ y) 11 结论6 的证明：将△ADN 顺时针旋转 90°使 AD 与 AB 重合 ∴DN﹦BN ′ 易证△AMN≌△AMN ′ ∴MN﹦MN ′ 在 Rt △ BMN ′ 中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即 BM 2 ﹢ DN 2 ﹦ MN 2 所以当 x ﹦y 时，△AEF 的面积最小结论7 的所有相似三角形： △AMN∽△DFN △AMN∽△BME △AMN∽△BAN △AMN∽△DMA △AMN∽△AFE

结论8 的证明：因为△AMN∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9 的证明：因为∠EAN﹦∠EBN＝45° ∴A、 B、E、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证 C、 E、N、F 四点共圆 A、M、 F、D 四点共圆 C、E、M、F 四点共圆 **必会结论 ---- 图形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且EAF = 45，AE、AF分别交BD于H、G，连EF. 一、全等关系（1）求证：① DF + BE = EF；②DG2﹢BH2﹦HG2；③ AE平分BEF，AF平分DFE . 二、相似关系（2）求证：①CE = 2DG；②CF = 2BH；③ EF = 2HG. （3）求证：④ AB2=BG DH；⑤AG2= BG HG；⑥ BE DF = 1. CE CF 2 三、垂直关系（4）求证：① AG⊥EG；② AH⊥FH；③ tan HCF = AB. BE （5）、和差关系求证：① BG - DG = 2BE；② AD + DF = 2DH；

第三章第七讲：三角形等高模型与鸟头模型例题精讲

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