数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章

泛函分析答案

泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定

陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(数列极限)

第2章数列极限 §1 实数系的连续性 1．（1）证明不是有理数； （2）是不是有理数？ 证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是 ，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： 解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有 ，所以min B不存在． max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．

3．A，B是两个有界集，证明： （1）A∪B是有界集； （2）也是有界集． 证明：（1）设，有，有，则，有 ． （2）设，有，有，则，有 ． 4．设数集S有上界，则数集有下界．且． 证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即． 5．证明有界数集的上、下确界惟一． 证明：设sup S既等于A，又等于B，且A

7．证明非空有下界的数集必有下确界． 证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略． 8．设并且，证明： （1）S没有最大数与最小数； （2）S在Q内没有上确界与下确界． 证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数． （2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能： （i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这 说明，与矛盾； （ii），取有理数r>0充分小，使得，于是 ，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界． 同理可证S没有下确界． §2 数列极限

泛函分析答案

泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。

数学分析课本(华师大三)习题及答案第二十章

第十章 曲线积分 一、证明题 1.证明:若函数f 在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(β≤≤αt )上连续，则存在点()L y ,x 00∈，使得，()?L ds y ,x f =()L y ,x f 00? 其中L ?为L 的长。 二、计算题 1.计算下列第一型曲线积分: (1) ()?+L ds y x ,其中L 是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形; (2) ()?+L 2122ds y x ,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; (3) ?L xyds ,其中L 为椭圆22a x +22 b y =1在第一象限中的部分; (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆22y x +=1; (5) () ?++L 222ds z y x ,其中L 为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(π≤≤2t 0)的一段; (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线x=t,y=3t 232,z=2t 2 1 ()1t 0≤≤的一段; (7) ?+L 22ds z y 2,其中L 是222z y x ++=2a 与x=y 相交的圆周. 2.求曲线x=a,y=at,z=2at 21(0a ,1t 0>≤≤)的质量,设其线密度为a z 2=ρ, 3.求摆线x=a(t －sint),y=a(1－cost)(π≤≤t 0)的重心,设其质量分布是均匀的. 4.若曲线以极坐()θρ=ρ()21θ≤θ≤θ表示,试给出计算 ()?L ds y ,x f 的公式.并用此公式计算下列曲线积分.

(1)? +L y x ds e 22,其中L 为曲线ρ=a ??? ??π≤θ≤40的一段; (2)?L xds ,其中L 为对数螺线θ=ρx ae (x>0)在圆r=a 内的部分. 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcos θ,y=rsin θ(π≤θ≤0),其线密度θ=ρa (a 为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m 的质点的引力. 6.计算第二型曲线积分: (1) ?-L ydx xdy ,其中L 为本节例2的三种情形; (2) ()?+-L dy dx y a 2,其中L 为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(π≤≤2t 0)沿t 增加方向的 一段; (3) ?++-L 22y x ydy xdx ,其中L 为圆周222a y x =+,依逆时针方向; (4)?+L xdy sin ydx ,其中L 为y=sinx(π≤≤x 0) 与x 轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5)?++L zdz ydy xdx ,其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功. 8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy 平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(0c ≠) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功. 9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1) ?L xyzddz ,其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; (2) ()()() ?-+-+-L 222222dz y x dy x z dx z y ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz 平面部分和zx 平面部分 .

(完整word版)泛函分析习题标准答案

第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+-

4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则

泛函分析习题解答

第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05

第五章 导数和微分 习题 §5.1导数的概念 1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=?t ，求从t=4至t t ?+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。 2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。 3、设4)(,0)(00='=x f x f ，试求极限 x x x f x ?+?→?) (lim 00 。 4、设? ??<+≥=,3,, 3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f 在x=3处可导。 5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线： （1）;1-=x y （2）32-=x y 6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1）).1,0(,cos )2();1,2(,4 2 p x y p x y == 7、求下列函数的导函数： ? ??<≥+==,0,1, 0,1)()2(;)()1(3 x x x x f x x f 8、设函数 ?? ???=≠=,0,0, 0,1sin )(x x x x x f m （m 为正整数）， 试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续； （2）m 等于何值时,f 在x=0可导； （3）m 等于何值时,f '在x=0连续。 9、求下列函数的稳定点： (1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。 10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。 11、设0)0()0(='=g g ，?? ??? =≠=,0,0, 0,1sin )()(x x x x g x f

最新泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若

0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

数学分析第三版答案下册

数学分析第三版答案下册 【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126； 2、2； 3、1?x?x2???xn?o(xn)； 4、arcsinx?c （或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a； 4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分） n??n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3??22 n?3n?3n 993n2

因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分） n?n?3 3n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分）即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分） 证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) （3分） 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta 六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分） 解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分） 两边求一次导数，有： y??xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分）解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。（10 42

泛函分析答案

泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

应用泛函分析习题解答

1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞?ε，0N ?，当0,N n m >时，有εε<-?<-m n m n x x x x ，不妨设m n x x ≥，则0, ,N n m x x m n >+<ε。取0N m =，则有 0 ,0N n x x N n >+<ε， 令},,,,max{0021ε+=N N x x x x c ，则 1 ,≥?ε，总0N ?，当0,N p n ≥时，有 ε<-+n p n y y ，所以}{n y 是E 中的Cauchy 列，又因为E 是Banach 空间，则必 存在E ∈x ，使得∑∑∞ ==∞ →==1 1 lim k k n k k n x x x 。 9．（Hamel 基）设A 是线性空间E 的非空子集，若A 中任意多个元素都是线性无关的，则称A 是线性无关的。若A 是线性无关的，且E =A span ，则称A 是E 是的一个Hamel 基。此时若A 是无穷集，则称E 是无穷维的；若A 是有限集，则称E 是有限维的，并定义E 的维数为A 中所含有的元素个数。通常用E dim 表示 E 的维数， 并约定当}0{=E 时，0dim =E ，可以证明任何线性空间都存在Hamel 基。证明酉空间n C 的维数为n ，并问当视n C 为实线性空间时，其维数是多少？ 证明：设n y x C ∈,，C ∈βα,， 则有n y x C ∈+βα。令)0,0,1,0,0( 项 共项 第n k k =e ，则对任意的),,(21n x x x x =，必有∑==n k k k x x 1 e ，因此},,,{21n e e e 是空间n C 的基，则n n =C dim 。 当视n C 为实线性空间时，可令基为},,,,,{11n n i i e e e e ，则对任意的 ) ,,(21n x x x x =，有 ∑∑==+=n k k k n k k k i x g x x 1 1 ) )((Im )Re(e e ，所以 n n 2dim =C 。 10．证明∞=],[dim b a C ，这里b a <。 证明：取],[,0,)(b a t k t t x k k ∈≥=，只需证},,{10 x x 线性无关。为此对 0≥?n ，令01 =∑=n k k k x c 。则00!01 =?=?=∑=n n n n k k k c c n x c 次求导 。因此必有 01 1 =∑-=n k k k x c ，求该式求1-n 导后有00)!1(11=?=---n n c c n 。依次类推，有 001====-c c c n n ，所以对任意的0≥n ，都有},,{10n x x x 线性无关，即∞=],[dim b a C 。 第 二 节 2.（点到集合的距离）设A 是E 的非空子集，E ∈x 。定义x 到A 的距离为： }|inf{),(A A ∈-=y x y x d 证明： 1) x 是A 的内点?0),(>c x d A ； 2) x 是A 的孤立点?A ∈x ，且0}){\,(>x x d A ； 3) x 是A 的外点?0),(>A x d 。 解： 1）必要性： x 是 A 的内点 内点的定义 ?ε ?，使得

2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库

2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库 第1部分名校考研真题 第9章数项级数 一、判断题 1．若对任意的自然数p都有，则收敛．（）[东南大学研] 【答案】错查看答案 【解析】根据级数收敛的Cauchy收敛准则，举出反例：例如，对任意的自然数p，有 ，但是发散．正确的说法应该是，关于p一致有 ． 2．若，且对任意的n，有，则收敛．（）[重庆大学研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：例如，虽然对任意的n，有，但是发散．n 必须足够大，才可以成立． 二、解答题 1．设收敛，证明：[华东师范大学研]

证明：记级数的前n项和S n．则 对上式两边取极限，从而 即 2．证明下列级数收敛． [东北师范大学研] 证明：（1）方法一 所以 所以收敛。 方法二 由于

所以 而收敛，从而收敛． （2） 由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即 收敛。 3．证明：[浙江大学研] 证明：因为且单调减， 所以 反复利用分部积分法， 又 所以 将②代入①得 4．讨论级数的敛散性．[复旦大学研] 解：（1）若p、q>1，则

绝对收敛。 （因为，例如p>q，则为优级数）； （2）若0＜p=q≤1，应用莱布尼兹定理知级数收敛，且是条件收敛； （3）当p、q>0，原级数与级数同时敛散，若p>1，0＜q ≤1或q>1，0＜p≤1时级数 一敛一散，故原级数发散． 若0＜p＜q＜1，则，且与同阶（当）；故级数发散，从而原级数发散． 同理可证，若0＜q＜p＜1，原级数发散． 5．若一般项级数与都收敛且下列不等式成立 证明：级数也收敛．又若与都发散，试问一定发散吗？[汕头大学研、北京工业大学研] 证明：由于级数与都收敛，所以由Cauchy收敛准则知对任意的ε＞0，存在N∈N，使得当n＞N及对任意的正整数p，都有

泛函分析第七章 习题解答125

第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=

泛函分析 曹广福版答案

21．试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解： 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二： 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法，可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? ， (*) 当l k =时， 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=， 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=?

泛函分析习题解答

第 七 章 习 题 解 答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 （23． n x 1)1<。设δ )∞。因B 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明 （1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=

= ) ,(),(1) ,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++ ) ,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___ __z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。 证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈，即 t a ≤ ∑∞ +=o r r 即d A={f|当t 上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞ >-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集 充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使 )(max )(0t f t f B t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈， 必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集 必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→? n ，

泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)

第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ? N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ? N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为 包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ? F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2 ，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2， || x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是 2 中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ?x , y ∈cl(L )，?a ∈ ，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0? M ．证明： L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈ }也是X 的闭线性子空间． [证明] 若a , b ∈ ，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ， 则(a - b ) x 0 = z - y ∈ M ，得到a = b ，y = z ；即L 中元素的表示是唯一的． 若L 中的序列{ a n x 0 + y n }收敛于X 中某点z ，则序列{ a n x 0 + y n }为有界序列． 由于M 闭，x 0? M ，故存在?r > 0，使得|| x 0 - y || ≥ r ，?y ∈ M ．则当a n ≠ 0时有 | a n | = | a n | · r · (1/r ) ≤ | a n | · || x 0 + y n /a n || · (1/ r ) = || a n x 0 + y n || · (1/r )， 所以数列{ a n }有界，故存在{ a n }的子列{ a n (k ) }使得a n (k ) a ∈ ．