第12章题解

一矩形线圈放在均匀磁场中，磁场的方向垂直于纸面向内（见附图），已知通过线圈的磁通量与时间的关系为2

3

34510Wb (t t )-Φ=++?。求：（1）线圈中感应电动势与时间的

关系。（2）6t =s 时，感应电动势的大小以及此时电阻上的电流方向。

解：（1）感生电动势大小为

3(64)10d t V dt

ε-Φ

=-

=-+? （2） 6t s =时 2

410V ε-=?

因为，垂直纸面向内的磁通量随着时间的推移逐渐增大，所以感应电流所产生的磁通量垂直纸面向外，由右手定则可知电阻的电流方向向右。

一根很长的直导线中通有交变电流0i I sin t ω=，式中0I 及ω都是常数。有一矩形线圈ABCD 与长直导线在同一平面内，其中长为l 的两对边与直导线平行（见附图）。求线圈中的感应电动势。

解：距导线r 处的磁感应强度为： 02I

B r

μπ=

， 矩形线圈内的磁通量为磁感应强度对矩形面积的积分：

00ln 22b

a

I Il b

BdS ldr r a

μμππΦ==?=??

， 线圈中的感应电动势为： 00ln ln cos 22l w l d b dI b wt dt a dt a

μμεππΦ

=-

=-=-? 半径分别为R 和r 的两个圆形线圈共轴放置，相距为x （见附图）.已知r x （因而

大线圈在小线圈内产生的磁场可认为是均匀的）。设x 以匀速率dx

v dt

=

随时间变化。（1）将小线圈的磁通Φ表示为x 的函数。（2）将小线圈的感应电动势的绝对值ε表示为x 的函数。（3）若0v >，确定小线圈中感应电流的方向。

解：（1）当两线圈相聚x 时，小线圈内的磁感应强度为：2

0223/2

2()IR B R x μ=

+

磁通量： 22

2

02

23/2

2()

I R r BS B r R x μππΦ===

+

（2）当x 变化时，小线圈内磁通量也发生变化。小线圈中感生电动势为：

2222223/200225/2

1

3()2

2()

d

I R r I R r vx d dx

R x dt dx dt R x μπμπεΦ+=-=?

?=+ （3）当0v >时。两线圈的距离增大，小线圈面积上的磁通量减小。根据楞次定律，小线圈上应产生与大线圈相同方向的感应电流，即电流方向为逆时针方向。

导体棒AB 与金属轨道CA 和DB 接触，整个导体框放在050B .=T 的均匀磁场中，磁场的方向与图面垂直（见附图）。求：（1）若导体棒以4.0m/s 的速度向右运动，导体棒内的感应电动势的大小和方向。（2）若导体棒运动到某一位置时，电路的电阻为Ω，在此时导体棒受到的安培力。（3）比较外力做功的功率和电路中消耗的热功率。

解：（1）由法拉第电磁感应定律，可知当导体棒向右做切割磁感线运动时，在导体棒内产生的感应电动势大小为（取回路绕行正方向为顺时针方向）：

0.500.5 4.01Blv V V ε=-=-??=-

0ε<表明感应电动势的方向与回路绕行方向相反，即逆时针方向。

（2）电阻0.02R =Ω，此时电流为: 1

50.2

I A A R

ε

=

=

= 导体棒所受安培力为：0.0550.50.125F BIl N N ==??= （3）外力做功功率 2

2

50.25P I R W W ==?=

热功率 1.2545P Fv W W ==?=

可见外力做功的功率和电路中消耗的热功率相等。

金属棒AB 以匀速m 20s

v .=平行于一长直导线运动，导线中载有电流40I .=A ，如

附图所示。求金属棒AB 中的感应电动势的大小和方向。

解：（图呢）距导线r 处的磁感应强度为： 02I

B r μπ=

当金属棒平行于导线运动时切割磁感线，故产生的动生电动势为：

760410 4.0 2.0 1.61022I l

B lv l V V r r r

Blv μπππε--??=?=??=?=?=

为了探测海水的流速，海洋学家有时利用水流通过地磁场所产生的动生电动势来进行测量。假设在某处海水中地磁场的竖直分量为407010B .-=?T ，将两个电极垂直插入海水中，相距200m ，测出两电极之间的电势差为，求海水的流速。

解:水垂直于地磁场方向流动，水中的正负离子将分别受到垂直于水流方向的两个方向的地磁场的作用，从而分别在垂直插入的两个电极上积聚正负离子，使两个电极间产生电势差。此时，两电极之间相当于存在一个垂直切割磁感线运动的导体棒，速度为水流速度

3

4

7.010/0.5/0.7010200

v m s m s Bl ε

--?===?? 法拉第圆盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。设圆盘的半径为R ，它的转轴与均匀外磁场平行，圆盘以角速度ω绕转轴转动（见附图）。求：（1）盘边与盘心的电势差。

（2）当R ＝15cm ，B ＝，转速为每秒30转时，电势差为多少（3）盘边与盘心哪点的电势

高当盘反转时，电势的高低是否会反过来

解：（1）导体圆盘可以看做为一根根长度为R 的导体棒组成，盘心O 为它们的共同端，对每根导体棒，由动生电动势公式()b ab a

v B dl ε=

???

可知，当圆盘以ω旋转时，盘心和盘边的电动势为

21

2

R

Brwdr wBR ε==?

即盘心和盘边的电势差为21

2

U wBR = （2）()2

211600.60.150.40522

U wBR V V π=-

=-???=- （3）由v B ?的方向（盘心到盘边）可知，电动势方向由盘心到盘边，即盘边的电势高。 当盘反转时，v B ?的方向为从盘边到盘心，故此时盘心电势高，即电势高低也反过来。

发电机由矩形线圈组成，线圈平面绕竖直轴旋转。此竖直轴与大小为×10

－2

T 的均匀

水平磁场垂直。矩形线圈的长为20.0cm ，宽为10.0cm ，共有120匝。线圈的两端接到外电路中，为了在两端之间产生最大值为的感应电动势，线圈必须以多大的转速转动

解：矩形线圈在与之垂直的水平磁场中转动时，产生感应电动势为

cos NBSw wt ε=

最大电动势为 max NBSw ε= 当最大电动势为时，有max

212.0

250120 2.0100.20.1

w NBS

ε-==

=????弧度/秒

转速 25039.822w n ππ

=

==转/秒 一长直导线载有I ＝5.0A 的电流，旁边有一矩形线圈ABCD 与长直导线共面，矩形线圈长1l ＝0.20m ，宽2l ＝0.10m ，长边与导线平行，AD 边与导线相距a ＝0.10m ，线圈共1000匝。令线圈以速度v ＝3.0m/s 垂直于导线向右运动（见附图）。求线圈中的感应电动势。

解：在矩形线圈平面上，磁场方向垂直于平面向内。当线圈向右运动时，长度为2l 的两条边的运动方向与其长度方向平行，因而这两条边上无动生电动势；就边长为1l 的两条边而言，长度方向、运动方向、磁场方向两两垂直，因而它们都具有动生电动势。

011021222()

AD BC

I

NB lv N l v a

I

NB lv N l v

a l μεπμεπ====+

它们的方向对线圈而言是相反的。AD ε的方向是顺时针的，BC ε的方向是逆时针的。因而线圈电动势

012

7311

()2111000210 5.00.20 3.0()0.10.10.1

310AD BC Il v N

a a l V V

μεεεπ--=-=-+=??????-+=? 均匀磁场B 限定在无限长圆柱体内（见附图），磁感应强度的大小以 210dB /dt -=T/s 的恒定变化率减少。求位于图中P Q M 、、三点的电子从感生电场获得的瞬时加速度的大小和方向，图中r =5.0cm 。

解：在圆柱体区域内，当磁场变化时，距轴线r 处的感生电场的场强大小为2r dB

E dt

=

在该处电子收到的作用力的大小为2er dB

F eE dt

==

它获得的加速度大小为2e e F er dB

a m m dt

=

=

a 的方向与E 的方向相反，而E 的方向根据

dB

dt

的方向由左手螺旋法则确定。 电子在P 点时，r =，它的加速度

19222

3172

1.610 5.01010/29.110

4.410/a m s m s ----???=???=? B 在减少，

dB

dt

的方向垂直纸面向外，在P 点感生电场方向向左，因而电子加速度方向向右。

电子在O 点时，因为r =0，E =0，所以加速度为零。

电子在Q 点时，仍有r =，其加速度大小仍是7

2

4.410/m s ?，但方向向左。

均匀磁场B 限定在在半径为R 的无限长圆柱体内（见附图）。有一长为L 的金属棒放在磁场中。设磁场以恒定变化率dB /dt 增强，求棒中的感应电动势，并指出哪一端电势高。

解：设想有两段AO 和'

OA 于金属棒构成一回路（'

,A A 为金属棒的两个端点）。当磁感应强度为B 时，回路面积上的磁通量

2

222Bl l BS R ??

Φ==- ???

磁场变化时，回路内感生电动势的大小为

2

222d l l dB

R dt dt

εΦ??==- ???

由于磁场的对称性，变化磁场所激发的感生的电场线在圆柱形体积内是与圆柱同轴的同心圆。因此，在回路的AO 和'

OA 段的任一导线元上都有0E dl ?=。在这两段导线上无感生电动势，可见ε就是金属棒的感生电动势。实际上AO 和'

OA 这两段电路是不存在的，棒两端的电势差即为

2

222l l dB U R dt ε??==- ???

矩形截面螺绕环的尺寸如附图所示，总匝数为N ，求它的自感系数。 解：用安培环路定理可以证明，磁螺绕环内外磁场的分布为

()()

012122,0

NI R r R B r

r R r R μπ?<??

在截面上取距轴线r 处取一宽为dr ，长为h 的条形面积，面积上的磁通量为

02NI

d BdS hdr r

μπΦ==

整个截面上的磁通量 2

1

002

1

ln

22R R NI NIh R d hdr r R μμππΦ=Φ=

=??

由此可得螺绕环的自感系数202

1

ln 2N h R N L I R μπΦ==

长50cm ，截面积为8.0cm 2

的空心螺线管共绕400匝，求它的自感系数。如果电流在×10－3

s 内由1.0A 减小到0.1A ，线圈中的自感电动势的大小为多少

解：螺线管的磁链为 200NI

N I

NBS N S S l

l

μμψ===

螺线管的自感系数

2724

404104008.010 3.2100.5

N L S H H I l μπ---ψ????====?

当电流在×10－3

s 内由减小到时，自感电动势为

431.00.1

3.2100.2881.010L dI L

V V dt ε---==??=?

传输线由两个共轴长圆筒组成，半径分别为12R R 、，如附图所示。电流由内筒的一端流入，由外筒的另一端流回，求传输线一段长度为L 的自感系数。

解：由安培环路定理可以证明，传输线在空间的磁场分布为

012

10

12

2

220

Ir r R R I B R r R r r R μπμπ?≤???=≤≤???>??

由此可计算自感系数为

1

21

1

00

200

01

21221ln 24R R R Ir I Ldr Ldr BLdr BdS r L R R L I

I

I

R μμπμππ∞

+??

==

=

=

+ ???

?

???

一长螺线管长l ＝1.0m ，截面积S ＝10cm 2

，匝数1N ＝1000，在其中段密绕一个匝数2N ＝20的短线圈。求：（1）这两个线圈的互感系数。（2）如果线圈1内电流的变化率为10A/s ，求线圈2中的感应电动势。

解：（1）设长线圈中有电流I ，它在中心处的磁感应强度为012N I

B R

μ=

短线圈上的磁场可认为是均匀的，则短线圈面积上的磁通量012N IS

BS R

μΦ==

两个线圈的互感即为

74

40122 2.24102N N S N M H H I R μ---Φ====?

（2）当长线圈有电流时，它在短线圈中中产生全磁通21221N MI ψ=Φ=

当电流的变化率为10A/s 时，，短线圈中的感应电动势为

4321212

22 2.241010 2.2410d M dI dI

N N M V V dt N dt dt

ε--Φ=-=-=-=-??=-? 一螺绕环截面的半径为a ，中心轴线的半径为R （R

a ）

。其上用表面绝缘的导线密绕两个线圈，其中一个绕1N 匝，另一个绕2N 匝，。求两个线圈的互感系数。

解：设线圈1中有电流I ，电流I 在螺绕环中产生的磁场为

01()

2N I

B R r R a r

μ=

<<+

因为R>>a ，所以在螺绕环内的每一点可认为磁场是均匀的，012N I

B R

μ=

故电流I 在线圈2中产生的磁通量为

22

0110111222N I N I a BS a R R

μμππΦ==?=

则穿过线圈2的磁通链数

2

0121122122N N I a N R

μψ=Φ=

由互感系数定义有 2

0121212N N a M I R

μψ==

一个单层密绕的螺线管，长为0.2m ，横截面积为4×10－4m 2

，共绕1000匝，载有电流0.5A 。求螺线管内的磁能。

解：设螺线管上通有电流I ，管内磁场为0

N

I l μ，故螺线管的自感系数为 2

00

N N IS N S NBS l L I I I l

μμψ====

当电流为时，螺线管磁能

227642

24014101104100.5 3.15102220.2

m N SI W LI J J l μπ---??????====??

一同轴电缆由两个同轴的圆筒组成。内筒半径为1.0mm ，外筒半径为7.0mm ，两筒间充满相对磁导率近似为1的非铁磁性磁介质。若有100A 的电流由内筒流去，外筒流回，两筒的厚度可忽略。求磁介质中的磁能密度和单位长度同轴电缆中所储存的磁能。

解：由安培环路定理可以证明，传输线在空间的磁场分布为

012

10

12

2

220

Ir

r R R I B R r R r r R μπμπ?≤???=≤≤???>??

在磁介质中距轴线r 处，取一半径为r ，厚为dr 、单位长度的共轴薄壁圆柱壳，薄壁圆柱壳内磁能密度为 22

01

22028m I B r

μωμπ== 同样在内筒内的磁能密度为 222

02

22

0128m I r B R μωμπ==

单位长度同轴电缆中所储存的磁能为

21

1

1212222

2200

01222

22

011723

322ln 4488410100110ln 7441.9510m m m m m R R R W W W dV dV I I r I R R rdr rdr R r R J

J

ωωμμμπππππππ---=+=+??

=?+?=+ ????????=?+ ???

=????

?

一平行板电容器，两极板都是半径为5.0cm 的圆形导体片。充电时其电场强度的变化率dE /dt ＝×1012

V/m ?s 。求：（1）两极板间的位移电流。（2）极板边缘处的磁感应强

解：（1）两极板间的位移电流

12122420

8.8510 1.010510 6.910d d dE

I j S S A A dt

επ---==?=??????=? （2）极板边缘处的磁感应强度

72

70410 6.910 2.810220.05

d I B T T R μπππ---???===??