《二次根式》典型练习题

二次根式 二次根式的定义： 形如

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

才有意

义．【例1】下列各式1）

22211

,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153

x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、

2

1a

+

2、在a 、2a b 、1x +、2

1x +、3中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子

1

3

x -有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 1、使代数式4

3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3

B 、x ≥3

C 、 x>4

D 、x ≥3且x ≠4

2、使代数式2

21x x -+-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式m n

m 1+

-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

【例3】若y=

5-x +x -5+2009，则x+y=

1、若

11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=

4x 233x 2+-+-，求

xy 的值

3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。

二次根式的性质

1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a aa 20=≥． 3. a a a a a a 200=

=≥-

??

||()()

()2

2340a b c -+-+-=，=

+-c b a

1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312

=-+-y x ，则y x -的值为（ ）

A ．3

B ．– 3

C ．1

D ．– 1

3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652

+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿

4、若

1

a b -+与

24a b ++互为相反数，则()

2005

_____________

a b -=。

【例5】 化简：2

1(3)a a -+-的结果为（ ）

A 、4—2a

B 、0

C 、2a —4

D 、4 【例6】已知2x <,则化简244x x -+的结果是

A 、2x -

B 、2x +

C 、2x --

D 、2x -

1、根式2

(3)-的值是( )

A ．-3

B ．3或-3

C ．3

D ．9 2、已知a<0，那么│－2a │可化简为（ ）

A ．－a

B ．a

C ．－2a

D ．2a

3、若23a ，则

()

()

2

2

23a a --

-等于（ ）

A. 52a -

B. 12a -

C. 25a -

D. 21a -

【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2

()a b + 的结果

等于（ ）

A ．－2b

B ．2b

C ．－2a

D ．2a

实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：2

1(2)______a a -+-=．

1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）

A 、

B 、

C 、 (a ≥1)

D 、— 2、在二次根式， 中，x 的取值范围是（ ）

A 、x ≥1

B 、x ＞1

C 、x ≤1

D 、x ＜1

3、已知（x －1）2＋ =0，则（x ＋y ）2的算术平方根是（ ）

A 、1

B 、±1

C 、－1

D 、0 4、化简 =（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

1- 0

1 2

a

o

b a 4-3x -1-a 2-1

1--x 2+y 31

2

1

+56

1306

1

5630

6

5、下列二次根式： ， ， ， ， ， ， 其中是最简二次根式的有（ ）

A 、2个

B 、3个

C 、1个

D 、4个

6、若等式 成立，则m 的取值范围是（ ）

A 、m ≥

B 、m ＞3

C 、 ≤m ＜3

D 、m ≥3

7、下列各组二次根式中，属于同类二次根式的为（ ）

A 、 和

B 、 和

C 、 和

D 、 和

8、如果a ≤1，那么化简 =（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、 9、下列各组二次根式中，x 的取值范围相同的是（ ）

A 、 与

B 、（ ）2与

C 、 与

D 、 与 二、填空题：

10、用“＞”或“＜”符号连接：（1） ；（2） ； （3） 11、 的相反数是 ，绝对值是 ，（ ）2= 12、如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a 的值是 13、计算： = ；（ ）2= ； =

14、当x 时，二次根式 有意义；当x 时，代数式 有意义

15、若1＜x ＜2，则化简 = 16、化简下列二次根式：（1）

=

；（2） =

17、如果等式 成立，那么x 的取值范围是

a 5.03a

b a 221-

a 4

11222y x +n m 23

1

2312--=--m m m m 2

1

212b a 222ab 1+a 1-a 122

1

3)1(a -1)1(--a a a

a --1)1(1)1(--a a a a --1)1(x 1+x x 2x 12+x 22+x 1-x x

1

537

233-62-3

7-53-53-53-33-a a 27-248?3

12)5(-13+x x

x 1+22)1()2(x x ---2318y x m

x 42

1112-+=-?x x x

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【例11】在根式1) 222;2)

;3);4)275

x

a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)

1、)b a (17,54,b 40,2

12,30,a 45222+中的最简二次根式是 。 2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A ．7

B ．3

C ．

1

2

D ．2

3、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

(1)b a 23 (2)23ab

(3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)

xy 8 4、把下列各式化为最简二次根式：

(1)12 (2)b a 2

45 (3)

x y x 2

【例12】下列根式中能与3是合并的是( )

A.8

B. 27

C.25

D.

2

1

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A 、318和 B 、1

33

和

C 、22a b ab 和

D 、11a a +-和 83-a a 217-

【例13】 把下列各式分母有理化

（1）148 （2）43

37

- （3）11212 （4）13550-

【例14】把下列各式分母有理化

（1）328x

x y

（2）2a b - （3）38x x （4）2

5

2

5

a b b a -

【例15】把下列各式分母有理化：

（1）221- （2）5353+- （3）333223

-

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab =a 〃b （a ≥0，b ≥0）

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a 〃b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

a b =a

b

（a ≥0，b>0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

a b

=a b （a ≥0，b>0）

【例16】化简

(1)916? (2)1681? (3) 1525? (4)22

9x y (0,0≥≥y x ) (5)

1

2

×632? 【例17】计算（1） （2） （3） （4）

（5） （6） （7） （8）

【例18】化简：

(1)364 (2)22649b a (3)2964x y (4)2

5169x y

【例19】计算：(1)123 (2)3128÷ (3)11416÷

（4）64

8

【例20】计算（1）11

327520.53227--+-； （2）12543102024553457????+-- ? ? ? ?????

；

【例21】 （1）3538154a a a a a -+

（2） 1、a

b

b a ab b 3

)23(235÷-? 2、 22 (212 +41

8

－348 )

3、

1

3

2

x y 〃（-42

y x

）÷

162x y 4、673)3

2272(-?++

a a

b a b a ab 3

132722323+-