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第六章多元函数微积分课外习题

第六章多元函数微积分

§6.1 空间解析几何简介

一、填空题

1. )12,4,3(-M 点到坐标轴的距离为_________；

2. 以点)3,2,1(--为球心过)0,2,1(--点的球面方程为_________；

3. 将xoy 坐标面上的圆2)1(22=-+y x 绕oy 轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________；

4. 方程222

0223

x y z +-=表示旋转曲面.，它的旋转轴是_________； 5.方程z y =2在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________； 6. 点)3,2,1(--到平面042=-+z y x 的距离为_________；

7. 过三点)2,0,1(1-M ，)0,0,1(2M ，)0,1,1(3M 的平面方程为_________；

8. 在空间直角坐标系中方程??

???=-=-

0214

2x z x 表示_________； 9. 曲面z y x =-2

在xoz 坐标面上的截痕是_________；

10. 双曲抛物面z y x 23

=-与xoy 坐标面的交线是_________； 11. 由曲面22y x z +=

与222y x R z --=所围成的有界区域用不等式组可表示为

_________；

12. 用平面h x =去截双叶双曲面122

2222-=+-c

z b y a x ，所得截痕是__________；若用平

面)(2

b k k y >=截上述曲面所得截痕是_________ . 二、分别画出下列方程在平面和空间上的图形（1）x y =2

（2）3=y

（3）142

=+y x

三、画出下列各图

（1）yoz 坐标面上y z =2绕oy 轴旋转而成的曲面；

（2）19

2=+-y x ；

（1）由1,12

2=+=+y x z x 和0=z 所围立体的表面.

四、作出下列不等式所确定的空间区域

（1）;0),(4,12222≥+-≤≤+z y x z y x (2);2,2422≤≤+z z y x

(3);0,0,0,1632222≥≥≥≤++z y x z y x (4)2,442

≤≥+--z z y x .

五、指出下列方程所表示的曲线

(1) ???==++1

3694222y z y x ；

(2) ???==+-+4

8422y x z y .

六、画出下列曲线在第一卦限的图形：

224(1);0

z x y x y ?=--??-=?? .

222222

(2) x y a x z a

?+=??+=??

§6.2 多元函数基本概念

一、填空题

1. 已知2

224ln(1)

x y z x y -=--，则它的定义域是_________；

2. 若y

xy y x y x f tan

),(2

-+=，则___________),(=ty tx f ； 3. 若=++=+),( ,22),(22y x f y xy x xy y x f 则._________；

4. 若xy

y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -==；

5. 函数x

y x

y z 2222-+=的间断点是______________；

6. 若=-=+),( ,),(2

2y x f y x x

y y x f 则_________；

7. 已知)ln()(),(222y x e y x y x y x f x -+=+-，则=),(y x f _________； 8. 函数)arcsin()ln(22y x x y z +++=的定义域是_________； 9. =→→xy xy y x sin lim 00_________； 10. =++∞

→+∞→y x y x xy )1

1(lim _________.

二、叙述极限()00

lim ,x x y y f x y A →→=的定义.

三、求下列极限（包括非正常极限）

（1）22

00lim x y x y x y →→++; (2) ()332200

sin lim x y x y x y →→++;

（3）222200

lim

x y x y x y →→+++-; (4) ()22

lim sin

x y x y x y →→++;

（5）()2

lim ln x y x y x y →→+; (6) 00lim cos sin x y

x y e e x y →→+-;

（7）3

4200lim x y x y

x y →→+; (8) ()221

ln lim y x y x e x y →→++;

（9）()02sin lim x y xy x →→; (10) 4400

lim x y xy x y →→++;

（11）(

)(

)

lim x y x y x y

e -+→+∞→+∞

+; (12) 2

22lim x x y xy x y →+∞

→+∞?

?+?

（13）12

lim 2x y x y →→-；（14）()2210ln lim y

x y x e x y →→++；

四、叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 五、证明0lim

)

0,0(),(=+→y

x xy y x .

六、证明：极限0lim 2

42)0,0(),(=+→y x y

x y x 不存在.

七、讨论下列函数在()0,0点处的连续性

（1）()()

sin , 0,,0, 0;xy y f x y y

y ?≠?

=??=?

；

（2）()()

222

sin , 0,,0, 0;

xy x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=?；

（3）()()2222222

ln , 0,

,0, 0;

y x y x y f x y x y ?++≠?=?+=??；

（4）()()22

2222

, 0,, (0)0, 0,

x x y x y f x y p x y ?+≠?+=>??+=?

八、若(),f x y 在某区域G 内对变量x 连续，对变量y 满足利普希茨条件，即对任意

(),'x y G ∈和(),''x y G ∈，有

()(),','''''f x y f x y L y y -≤-，

其中L 为常数，求证(),f x y 在G 内连续.

九、证明：若(),f x y 分别对每一变量x 和y 是连续的，并且对其中的一个是单调的，则

(),f x y 是二元连续函数.

§6.3 偏导数

一、填空题 1. 设y x z tan

ln =，则__________________,=??=??y

z x z ； 2. 设)(y x e z xy +=，则

__________

________,=??=??y

x z ； 3. 设z y x

u =，则________,__________________,=??=??=??z

y u x u ； 4. 设x y axc z tan =，则________

_________,_________,22222=???=??=??y x z

z x z ； 5. 设z y x u )(=，则________

2=???y

x u

； 6. 函数()cos()z x y xy =+在(0,1)点处的一阶偏导数是_________； 7. arctan

z y

=，则它的所有二阶偏导数是_________； 8. y z

u x y =+，则此三元函数的所有一阶偏导数是 _________；

9．设),(y x f 在点),(b a 处存在偏导数，则_________)

,(),(lim

=--+→x

b x a f b x a f x .

二、设

221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ?+≠?+=?

?+=?

考察函数在(0,0)点的偏导数.

三、设函数??

???=+≠++=0

00)(22222

2y x y x y

x xy y x f ， , 求)0,0()0,0(y x f f ''.

四、判断函数 ??

???=+≠++= 0 ,00 ,)(222

2y x y x y x xy y x f ，, 在(0，0)处是否连续

五、证明: 函数??

??=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(2

2y x y x y x xy

y x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.

六、证明函数22

u x y =+在(0,0)点连续但偏导数不存在.

七、y

x y e y x f z xy arctan

)1-(sin ),(+==π, 求)1,1()1,1(y x f f ''.

八、求下列函数的所有二阶偏导数

(1) 22ln u x y =+； (2) y u xy x

；

(3) sin()cos()u x x y y x y =+++； (3) xy

u e =.

九、求下列函数指定阶的偏导数：

(1) 3

sin sin u x y y x =+,求633u

x y

???；

(2) arctan 1x y

u xy

+=-，求所有三阶偏导数；

(3) 2

sin()u x y =+,求33u x ??，33u

??；

(4) x y z

u xyze ++=,求p q r p q r u x y z

++????；

(5) x y u x y +=- ()x y ≠，求m n m n u

x y

+???；

(6) ln()u ax by =+,求m n m n u

x y

+???.

十、验证下列函数满足 2222

0u u

x y ??+=??.

(1) 22ln()u x y =+；

(2) 22u x y =-；

(3) cos x u e y =；

(4) arctan y u x

十一、设函数(())u x y ?ψ=+，证明 222

u u u u

x x y y x ????=

?????.

十二、. )11(y

x e z +-=，试化简y

z y x z x

??+??22

§6.4 全微分

一、填空题

1. 一元函数的可导与可微是_________的.但对多元函数而言，函数连续以及偏导数存在只是全微分存在的_________条件，而非_________条件；

2. 多元函数可微的充分条件是_________；

3. yz x u xe e y -=++，则它的全微分是_________；

4. 2

x u x y

+，则在点(1,0)和(0,1)处的全微分是 _________；

5. (1)arcsin x

u x y y

=+-在点（0，1）处的全微分是 _________. 二、.求下列函数的全微分

（1）t s t s u -+= ；（2）设z y

z y x f 1

)(),,(=，求)1,1,1(df ；

（3）)1ln(22y x z ++=，求当2.0,1.0,2,1=?=?==y x y x 的全增量z ?和全微分

dz .

三、考察函数(,)f x y 在(0,0)点的可微性，其中

221sin , 0,(,)0, 0.xy x y x y f x y x y ?+≠?+=?

?+=?

四、证明函数

222

22, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=?

在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微.

五、证明函数

2222

221()sin , 0,(,) 0, 0.x y x y x y f x y x y ?++≠?+=?

?+=?

的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而f 在原点(0,0)可微.

六、设 22

()

2222

221, 0,(,) 0, 0,x x y e x y f x y x y x y ?-+≠?=+??+=?

证明(,)f x y 在(0,0)点可微，并求(0,0)df ．

七、设,x y 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：

(1) (1)(1);m n x y ++

(2) arctan 1x y

++.

八、.计算3

3)97.1()02.1(+的近似值.

九、设,x y f f 在点00(,)x y 的某邻域内存在且在点00(,)x y 可微，

则有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =.

§6.5 复合函数微分法

一、填空题

1. 设v u z ln 2

=而y x v y x u 23,-==

，则____________________,=??=??y

z x z ； 2. 设)sin(y x ar z -=而t x 3=，则

_________=dt

； 3. 设1

)

(2+-=a z y e u ax ,而x

z x a y cos ,sin ==，则________=dx du ； 4. 设)arctan(

xy z =,而x e y =，则________=dx

； 5. 设),(22xy e y x f u -=，则

___________________,=??=??y

x u ； 6. ),,(xyz xy x f u =，则

________=??x

. 二、求下列函数的所有二阶偏导数（f 具有二阶连续偏导数）

(1) (,)u f ax by =； (2) (,)u f x y x y =+-；

(3) 22(,)u f xy x y =； (4) (,)x y u f y z

=；

(5) 222

()u f x y z =++； (6) (,,)x u f x y xy y

=+.

三、设22()y z f x y =

-，其中f 是可微函数，验证2

11z z z

x x y y y

??+=??.

四、设f e y x f z y

x ),,cos ,(sin +=具有二阶连续偏导数，求22x

??.

五、设1()r

v g t r c

-，c 为常数，函数g 二阶可导，222r x y z =++.证明：222222222

1v v v v x y z c t ????++=????.

六、验证下列各式：

(1) 2

()u x y ?=+, 则0u u y x x y

??-=??；

(2) 22()u y x y ?=-, 则u u xu

y x x y y

??+=

??；

(3) ()()u x x y y x y ?ψ=+++, 则2222220u u u

x x y y

???-+=????；

(4) ()()y y u x x x ?ψ=+, 则222

222220u u u x xy y x x y y

???++=????.

七、设f 与g 有二阶连续导数，且)()(at x g at x f z -++=，证明：22

222z z a t x

??=??.

(整理)多元函数微分习题

第五部分多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A

多元函数微积分测试题

第七、八、九章多元函数微积分复习测试题一、单项选择题（每题2分） 1、在空间直角坐标系中，1=y 表示（）。 A 、垂直于x 轴的平面 B 、垂直于y 轴的平面 C 、垂直于z 轴的平面 D 、直线 2、用平面1=z 截曲面22y x z +=，所得截线是（）。 A 、圆 B 、直线 C 、抛物线 D 、双曲线 3、下列关于二元函数的说法正确的是（）。 A 、可偏导一定连续 B 、可微一定可偏导 C 、连续一定可偏导 D 、连续一定可微 4、设3 2 y xy x z +-=，则=???y x z 2（）。A 、y 612+- B 、x - C 、y - D 、1- 5．若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d sin d cos d -=，则二阶偏导数y x z ???2=（） A ．y sin - B ．x sin C ．x cos D ． y cos 6、函数x x y y x f 2),(22+-=在驻点（1，0）处（） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 7．若函数),(y x f z =的一阶偏导存在，且 y y f xy x z ==??),0(,2，则=),(y x f （） A ．y x 2 B ．2 xy C ．y y x +2 D ．y xy +2 8、设20,10:x y x D ≤≤≤≤；则下列与 ??D dxdy 的值不相等的是（）。 A 、 ?1 2 dx x B 、? 1 dy y C 、?-1 )1(dy y D 、??1 2 x dy dx 9、二次积分dy y x x dx x ? ? -+240 2220 转化为极坐标下的二次积分为（） A 、dr r d ??20 32 cos θθπ B 、dr r d ?? 2 22 cos θθπ C 、 dr r d ?? 2 30 cos θθπ D 、dr r d ??2 20 cos θθπ 10、x y x D ≤≤≤||,10:，则二重积分=??D dxdy （）。 A 、 ? 10 ydy B 、 ? 10 xdx C 、 ? -11 ydy D 、 ? 10 2xdx 二、填空题（每空3分） 11、0242 2 2 =+++-z z y x x 的图形是球心为的球面。

微积分第一章

高等数学教案、

第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1．理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2．掌握极限四则运算法则。 3．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。第一章共12学时，课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时第一章习题课 2课时绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二）初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ．解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ．（2011）解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+，故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006）解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2．（2000）解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???．（2011）解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????，所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2．（2009）解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+

《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

第六章多元函数微分学［单选题］ 1、设积分域在 D由直线x+y二0所围成，则 | dxdy 如图: ［单选题］ 2、 A 9 B、4 C 3

【从题库收藏夹删除】【正确答案】A 【您的答案】您未答题【答案解析】［单选题］ 3、设H 二才，则y=() A V 皿2-1) B 、xQnx-1) D 【从题库收藏夹删除】【正确答案】C 【您的答案】您未答题【答案解析】首先设出-,J ' 二一；，然后求出最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果. ［单选题］ 4、 Ft F'y,尸空二 dx F f y

［% I 设Z = 则去九￡ |（） km ，（心+& J D ）L 『（也几） AK^*° A'X ?■ 【从题库收藏夹删除】【正确答案】D 【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到［单选题］ 5、设z=ln （x+弄），示=（） A 1 B 、 X+旷" C 1-2妒盂+沙 D X + 帘一" 【从题库收藏夹删除】【正确答案】A 【您的答案】您未答题【答案解析】 B 、 lim U m /侃+山+ 3) — / (险用) Ay 了0+山』0）—/（兀几） Ar lim /(x+Ax.y)-/^) 4y

|"S 1 I 对x求导，将y看做常数，小门?八［单选题］ 6、设U 了：,；_丁；：￡=() 【从题库收藏夹删除】【正确答案】A 【您的答案】您未答题【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］ 7、设f(x r x+y) = ^ + x2t则￡0,卩)+ ￡(尽刃二() A丨； B、… C : D ', 【从题库收藏夹删除】【正确答案】B 【您的答案】您未答题【答案解析】 f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀) /fcy) = ^y X '(^y)=y 二兀￡(2)+另(“)=曲［单选题］ 8

多元函数微积分复习题

多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

多元函数微积分复习试题

多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2

多元函数微积分复习题

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多元函数微积分复习题一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的（ B ) （A) 充分而不必要条件; (B ）必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件； (D) 既不必要也不充分条件． 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D ) (Ａ）充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (Ｃ）必要而且充分条件; (D ）既不必要也不充分条件. 3.函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B )． (A) 充分而不必要条件; (Ｂ) 必要而不充分条件; (Ｃ) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. ４．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=； B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在，则. 22z x ??=22z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). Ａ. 可微（指全微分存在）?可导(指偏导数存在)?连续; Ｂ. 可微?可导?连续; C ．可微?可导, 或可微?连续，但可导不一定连续; Ｄ. 可导?连续，但可导不一定可微. 6．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ) (A) 3 (B ） 3-

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学）练习题一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．

第六章多元函数微分法及其应用试题答案

第六章多元函数微分学答案及评分标准一、1、B 解：原式6)11(3lim )11(3lim 0 000=++=++=→→→→xy xy xy xy y x y x . 2、A 解：2R D =，当022≠+y x 时，),(y x f 连续；当022=+y x 时 22222221)(210),(y x y x y x y x f +=++≤-.即)0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→. 3、B 4、D 解：)0,0()0(111222?>≥?≥++≥z z y x z 是最小值点，由于)0,0(为定义域内点，所以)0,0(也是极小值点. 5.C 解：由方向导数的定义可得. 二、1、 2ln 2、xy xyz xyz yz -- 3、21f z f '+'，2212 2f xz f x f ''+''+' 解：21211f z f z f f x u '+'=?'+?'=??，故22122222122f xz f x f x f z f x f z x u ''+''+'=?''+'+?''=???. 4、{2x －4,4y －6,6z －8} 解：grad f ={2x －4,4y －6,6z －8}；grad f |(2,1,2)={0,－2,4}， |grad f |(2,1,2)=，即f 在点(2，1，2)处方向导数的最大值为. 5、 dy dx +2ln 2 三、解：1cos sin ?+?=????+????=??v e y v e x v v z x u u z x z u u )]cos()[sin(y x y y x e xy ++?+= ……………5分 1cos sin ?+?=????+????=??v e x v e y v v z y u u z y z u u )]cos()[sin(y x x y x e xy ++?+= ……………10分四、解：xy x z 2=?? y x y z cos 2+=?? （4分） x y x z 22=??? （7分） y y z sin 22-=?? （10分）

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16．二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____

第六章多元函数微积分复习概要

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理 1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数 A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于 000(,)P x y 时的极限.记作0 lim (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或 lim (,)f x y A ρ→=,或 (,)f x y A →,0ρ→.其中， ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意 0(,)()P x y U P ∈，都有 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（或 0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,) P x y 处连续. 3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义. （1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000 (,)(,)lim x f x x y f x y x ? →+?-?，记作 00 x x y y z x ==??，或 00 x x y y f x ==??，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即 x x y y z x ==??=00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ? →+?-?. （2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对 y 的偏导

《多元函数微积分》习题解答第二章-15页word资料

习题2-1 1、解：在任意一个面积微元 SKIPIF 1 < 0 上的压力微元 SKIPIF 1 < 0 ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力 SKIPIF 1 < 0 2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量??=D d y x Q σμ),( 3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得 ( ) ()????≤≤≤≤≤≤≤≤++≤ ++1 01 01 010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ 4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量 3 4 )384438()()(1 0321 22 2 2 2 =-+-=+=+=??? ??-dy y y y dx y x dy d y x M y y D σ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以????=1 10010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy （2）积分区域如图2-1-3所示，所以? ???=x x y y dy y x f dx dx y x f dy 2 /4 22 ),(),(2 （ 3 ）积分区域如图2-1-4所示，所以 ? ???+----=1 1210 2221 22 ),(),(y y x x x dx y x f dy dy y x f dx （4）积分区域如图2-1-5所示，所以????=e e x e y dx y x f dy dy y x f dx ),(),(1 0ln 00 6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以 () ? ????=??? ??-=-==1 01 054/1134/310 55 6 5111432322x x dx x x x dy y x dx d y x x x D σ （ 2）积分区域如图2-1-7所示，所以 15 64)4(2122 2240 22 2 2 2 =-==? ? ???--dy y y dx xy dy d xy y D σ

多元函数微分学练习题完整版

多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ．二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的（） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的（） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-

自考高等数学第六章多元函数微积分试题

第六章多元函数微积分一、单项选择题二、填空题 1.设z=22y x +，则)2,1(dz =___________. 2.设z =x y cos ，则全微分d z =___________. 3.设z=x e xy ,则y x z ???2=______________________. 4．设z =(2x +y )2y ，则x z ??=________. 5.设z=y x 322e -,则y x z ???2=_______________. 6．设函数v u w w v u w v u f ++-=)(),,(，则=-+),,(xy y x y x f ． 7.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题 1．设z=arctan x y ，求y x z 2???. 2．设隐函数z （x,y ）由方程x+2y+z=2xyz 所确定，求 x z ??. 3．计算二重积分I=??+D 22dxdy )y x (x ，其中D 是由直线x=0, y=0及x+y=3所围成的闭区域. 4.设z =z (x ,y )是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数，求 x z ??,y z ??. 5.计算二重积分I = ??D y x xy x d d )cos(2，其中D 是由直线x =1,y =x 及x 轴所围成的平面区域. 6.计算二重积分??D y x y x d d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域. 7．计算二重积分??=D y x x I d d ，其中区域D 由曲线x y = ，直线x =2以及x 轴围成. 8.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y z x z ????,.

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解

第一章习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??

多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。（2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？（2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

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