李雅普诺夫稳定性分析报告

控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

内容提要

稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然，稳定性是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都不可避免的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。

随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不变系统或其它各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在19世纪所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要基础。

习题与解答

5.1 判断下列函数的正定性

1)222

1231213()2322V x x x x x x x x =++-+ 2)222

123121323()82822V x x x x x x x x x x =++-+- 3)22

131223()2V x x x x x x x =+-+

4)222

123122313()104224V x x x x x x x x x x =+++-- 5)222

123122313()311242V x x x x x x x x x x =++-++

解

1) 210()131011T T V x x Ax x x -??

??==-??????

, 因为顺序主子式

2120,

50,1

3

->=>- 2101

11300

1

1

--=> 所以0A >，()V x 为正定函数。

2) 841()421111T T V x x Ax x x -??

??==--????-??

, 因为主子式

8481218,2,10,

0,

70,

10,4

2

11

1

1

-->==>=>--

8

41

4

211644216801

1

1

---=++---<- 所以A 不定，()V x 为不定函数。

3) 1212110()1001T T V x x Ax x x -??

??==-??

????

, 因为顺序主子式

11

20,

10,1

->=-<- 12

12

11011

0104

1

--=--

< 所以A 为不定矩阵，()V x 为不定函数。

4) 1012()141211T T V x x Ax x x -??

??==-??

??--??

, 因为顺序主子式 101100,

390,1

4

>=> 1010

141401102900

1

1

-=--=>- 所以0A >，()V x 为正定函数。

5) 111()1321211T T V x x Ax x x -??

??==-??

????

, 因为顺序主子式 1110,

20,1

3

->=>- 1111

32332231141101

2

11

--=-----=> 所以0A >，()V x 为正定函数。 □

5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。

2211211222

21221

2()()

x x x x x x x x x x x x =-+++=--++

解

解方程组 221211222

12212

()0

()0x x x x x x x x x x ?-+++=?--++=?得三个孤立平衡点（0，0），（1，－1）和（－1，1）。

在（0，0）处将系统近似线性化，得1211x x -??

=?

?--??

，由于原系统为定常系统，且矩阵

1211-??

??--??

的特征根1λ=-均具有负实部，于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。

在（1，－1）和（－1，1）处将系统近似线性化，得3133x x -??=??-??，由于矩阵3133-??

??-??

的特征根30λ=>，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，－1）附近不稳定。

在（－1，1）处将系统近似线性化，得3133x x -??

=?

?

-??

，由于原系统为定常系统，且矩阵3133-????

-??

的特征根30λ=±>，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，－1）和点（－1，1）附近不稳定。

该题求解时往往容易忽略平衡点（1，－1）和（－1，1）。 □

5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。

1123x x -??

=??-??

解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用第一方法比较

合适。经计算知矩阵1123-????

-??

的特征根为20-<，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。

对于线性系统关于稳定性的结果是大范围的全局性结果。

5.4 设线性离散时间系统为

01

0(1)001() m>0020x k x k m ????+=??

????

试求在平衡状态系统渐近稳定的m 值范围。 解 令,Q I =由方程T

G PG P Q -=-得

11

121311121312

222312222313

23

331323

33000010100100010102001000102P P P P P P m P

P P P P P P P P m P

P P ????????

????

??????????-=-????????

????????????????

??????

解此方程得

2

22

10080

0412004m

P m m ?

???

??+??=??-??

??-??

若要0P >应有02m <<。 □

5.5 试用李雅普诺夫方法求系统

11122122a

a x x a a ??=????

在平衡状态0x =为大范围渐近稳定的条件。

解 用李雅普诺夫第一方法。首先求系统矩阵的特征方程

11

12

211221122122121

22

()0a a I A a a a a a a a a λλλλλ---=

=++-=--

由韦达定理，两个特征值同时具有负实部的充要条件为11220a a +<，11221221a a a a >。□

5.6 系统的状态方程为

1011x x ??=??--??

试计算相轨迹从1(0)0x ??=????

点出发，到达222

12(0.1)x x +=区域内所需要的时间。

解 由于12()1,()1A A λλ==-，该系统发散，22

12x x x =+单调增加。注意到

22

12(0)(0)10.1x x +=>，所以此题无解。 □

5.7 给定线性时变系统

11

101x x t ????=??--+??

， 0t ≥ 判定其原点0e x =是否是大范围渐近稳定。

解 取2

2121(,)((1))2V x t x t =

++，则 2112221

(,)(1)2V x t x x x t x

x =+++ 21221211

(1)(10)21x x x t x x x t =+++--+

2

219(10)02

t x =-+<

因为lim ()x V x →∞

=∞，所以系统在原点处大范围渐近稳定。 □

5.8 考虑四阶线性自治系统

14

2332

1401000100010

x b x x Ax b x b b x ????

????-?

???==????-????--????

，0≠i b ，4,3,2,1=i 应用李雅普诺夫的稳定判据，试以i b ，4,3,2,1=i 表示这个系统的平衡点0≡x 渐近稳定的充要条件。

解 在李雅普诺夫矩阵方程式

W VA V A -=+'

中，令W 为

?

?

???

????

???=212000

000000

000000b W

显然，W 是半正定矩阵。求矩阵方程式的解V ，V 是对称矩阵。

?????

???????=4443

42

41

3433323124232221

14131211v v v v v v v v v v v v v v v v V 将方程左边的i 行j 列元素记成),(j i 元素，可求得下面的一系列等式： (1,1)元素02124=-=v b

(1,2)元素022413311=--=v b v b v (1,3)元素023414212=--=v b v b v (1,4)元素024414113=--=v b v b v (2,2)元素02223212=-=v b v

(2,3)元素03332422213=--+=v b v b v v (2,4)元素03432412314=--+=v b v b v v (3,3)元素02234223=-=v b v

(3,4)元素04423413324=--+=v b v b v v

(4,4)元素2

144134222b v b v -=-=

由对于(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)元素的等式和0≠i b ，4,3,2,1=i 有

012=v ，023=v ，034=v ，144b v =

由对于(1,3)、(2,4)、(1,4)元素的等式，有

014=v ，024=v ，013=v

由(1,2)、(2,3)、(3,4)元素，有

22411v b v =，33322v b v =，44233v b v =

因此

123411b b b b v ???=，12322b b b v ??=

1233b b v ?=，144b v =

即，

?

??????????

???????=1121231

234000000000000b b b b b b b b b b V 为对角线矩阵。

因为W 为半正定阵，所以要检查0T

x Wx =在原点0≡x 以外的x 是否满足系统状态方

程。由于满足0T

x Wx =的x 同时满足04=x ，而04=x 时，状态方程的解为

32140x x x x ====，所以满足0T x Wx =的状态方程的解只有0=x 。

由李雅普诺夫的稳定判据， 0≡x 是渐近稳定的充要条件是对角矩阵V 为正定阵。因此01>b ，02>b ，03>b ，04>b 是求的充要条件。 □

5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式

1

1122

212dx ax x x dt

dx x x x dt

βγδ=+=+

式中，1x 、2x 分别是生物个体数，α、β、γ、δ是不为零的实数。关于这个系统，1) 试求平衡点；2) 在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。 解

1) 由

01

=dt

dx ，02=dt dx ，得

??

?=+=+=+=+0

)(0

)(1221221211x x x x x x x x x x δγδγβαβα 同时满足这二式的1x 、2x 有两组：01=x 、02=x 和δγ/1-=x 、βα/2-=x 。即，系统的平衡点为：

平衡点(a) 01=x 、02=x

平衡点(b) δγ/1-=x 、βα/2-=x

2) 分两种情况讨论。 ① 平衡点(a)

线性化的微分方程为

????????????

?=??????****2121

00x x x x dt d γα 其特征方程式是

0))((=--γαs s

0<α、0<γ时，平衡点(a)稳定，除此以外不稳定。

② 平衡点(b)

令*

+-=11/x x δγ，*

+-=22/x x βα，得

*

*-=*-=*

-=++=22/1

1/21

)()(1

2

x x x x x dt

dx x x δ

βγββαδ

γβα *

*

-=*-=*-=++=11/22/12

)()(2

1

x x x x x dt dx x x β

δαδδγβ

αδ

γ 因此，在平衡点(b)线性化的微分方程式是

??

?

????????

??--=??????**

**

2121

0//0x x x x dt d β

δαδβγ 其特征方程式为

20s αγ-=

0αγ>

时，特征根是，为正、负实数，平衡点(b)不稳定。0αγ<时，特征根是αγj ±，为共轭纯虚数，平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。 □

5.10 对于下面的非线性微分方程式试求平衡点；在各平衡点进行线性化，试判别平衡

点是否稳定。

12

212

sin x x x x x ==--

解 由02=x ，0sin 21=--x x ，知系统的平衡点是 ,2,01ππ±±=,x ，02=x 。 1) 在 ,4,201ππ±±=,x ，02=x 处，将系统近似线性化得

??

???????????--=??????**

**2121

1110x x x x dt d

其特征多项式是12

++s s 。这是胡尔维茨多项式，因此这些平衡点渐近稳定。

2）在 ,3,1ππ±±=x ，02=x

11220111x x d dt x x **

**??????=???????-?

?????

特征多项式是12

-+s s ，这不是胡尔维茨多项式。因此这些平衡点不稳定。 □

5.11 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：

1123x -??

=??-??

解 令矩阵

11

1212

22p

p P p p ??

=????

则由T

A P PA I +=- 得

11

1211

1212

221222121110132301p p p p p p p p ---??????????

+=??????????---???

??????? 解上述矩阵方程，有

111112

1112222212

22127

42413420 826158p p p p p p p p p p ?=-+=-????

-+=?=????

-=-?=??

即得

11

1212

227

54

85388p p P p p ??????==????????

因为

11121112

22757

17480 det det

0534888p p P p p ??

????=>==>??????

??

可知P 是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及其沿

轨迹的导数分别为

22112222121

()(14106)0

8()()0

T T T V x x Px x x x x V x x Qx x x x x ==++>=-=-=-+< 又因为lim ()x V x →∞

=∞，所以系统在原点处大范围渐近稳定。 □

5.12 给定连续时间的定常系统

12

2

2122

(1)x x x x x x ==--+

试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。

解

易知（120, 0x x ==）为其唯一的平衡状态。现取22

12()V x x x =+，且有：

22

12(i) ()V x x x =+为正定

[]121

221

22

1222

2

22()()(ii) ()22(1)2(1)x V x V x V x x x x x x x x x x x x ????

??=?

???????

????=??--+??

=-+ 容易看出，除了两种情况

（a ）1x 任意，20x = （b ）1x 任意，21x =-

时()0V x =以外，均有()0V x <。所以，()V x 为负半定。

（iii ）检查0((;,0))V t x φ是否恒等于零。考虑到使得()0V x =的可能性只有上述两种情况，所以问题归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。先考察情况（a ）：

[]01(;,0)(),0T

t x x t φ=，则由于2()0x t ≡可导出2()0x t =，将此代入系统的方程可得：

122

22211()()0

0()(1())()()()

x t x t x t x t x t x t x t ====-+-=-

这表明，除了点（120, 0x x ==）外，[]01(;,0)(),0T

t x x t φ=不是系统的受扰运动解。再考察情况（b ）： []01(;,0)(),1T

t x x t φ=-，则由2()1x t =-可导出2()0x t =，将此代入系统

的方程可得：

122

22211()()1

0()(1())()()()

x t x t x t x t x t x t x t ==-==-+-=-

显然这是一个矛盾的结果，表明[]01(;,0)(),1T

t x x t φ=-也不是系统的受扰运动解。综上分析可知， 0((;,0))0V t x φ≠。

（iv

）当x =

→∞时，显然有2

()V x x =→∞。

于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。 □

5.13 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。

11232122

3x x x x x x x

=-+=--

解 显然0x =是系统的一个平衡点。

23

1()113F x x -??=??--??

26

2()()()226T F x F x F x x -??=+=??

-+??

由60-<和

2

222

621236402

26x x

-=+->--知()0F x <。由克拉索夫斯基定理可知系

统在原点渐近稳定。又因为

2232

12122lim ()()lim[(3)()]T x x f x f x x x x x x →∞

→∞

=-++--=∞ 所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。 □

5.14 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统的稳定性。

22

11123

22123

3

323

23333x x x x x x x x x x x x =-++=--=-

解 显然0x =是系统的一个平衡点。

12

32

12

2

23226()230

3

9x x x F x x x x x -????=---????-??

32

2

23

34

6()()()0

2060

18T x F x F x F x x x x -????=+=-????-??

由60-<,

2

22

2408002x x -=>-，23222

2232

2

3

3

4

0602072060

18x x x x x x --=-<-，知()0F x <。

由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。又因为

2222232

112312323lim ()()lim[(33)(3)(33)]T x x f x f x x x x x x x x x x →∞

→∞

=-+++--+-=∞ 所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。 □

5.15 试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统

1125

2122

x ax x x x x bx =+=-+

的原点为大范围渐近稳定的参数a 和b 的取值范围。 解 4

1

()115a F x bx

=

-+

4

1

()()()2

115T a F x F x F x bx =+=-+

因为系统在原点渐近稳定，所以当0x →，应有()0F x <， 又0x →时， ()0F x <的充要条件为20,a < 4

540a abx -+-<。于是a 应满足1a ≤-。又因为系统大范围渐近稳定，所以当x →∞时，应有()0F x <。注意 x →∞， 1a <-时， ()0F x <的充要条件为

0b ≤；x →∞1a =-时，()0F x <的充要条件为0b <。综上，,a b 的取值范围为：

1,0a b ≤-<，或1,0a b <-≤。 □

5.16 试用变量—梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数

3111222

2x x x x x x =-+=-

解 设V 的梯度为

1111222112a x a x V a x +??

?=??

+??

于是V 的导数为

111122121122()()(2)T V V x a x a x x a x x x =?=+++

试取1112211,0,a a a ===则

222

1122(12)2V x x x x =---

当2

12

120x x ->时，0V <。注意到 122x V x ???=????

满足旋度方程 12

21V V x x ????=??，所以可知

1

2

22

112212

122

x x V x dx x dx x x =+=

+?? 由这个李亚普诺夫函数可看出，在2

12120x x ->范围内，系统是渐近稳定的。 □

5.17 用变量—梯度法求解下列系统的稳定性条件。

12

21122

()()x x x a t x a t x ==+

解 设V 的梯度为

111211a x V a x ??

?=????

于是V 的导数为

111122()2T V V x a x x x x =?=+2

1122112222(())c c a t x x c x =++

[]1122111

2211221

22210(())2

1(())

()

2c c a t x x x x c c a t c a t ?

?

+?

?

??=?

???????+????

显然，当222()0c a t <，11221()0c c a t +=时，0V ≤。注意到 111222c x V c x ??

?=????

满足旋度方程

12

21

0V V x x ????==??，于是可知

12

22

1111222211122200

1()02x x V c x dx c x dx c x c x =+=+>??，11220,0c c >>

由上式可看出，对于给定的11c ，当1()0a t <时，不难确定22c 使得11221()0c c a t +=。从而可得系统是渐近稳定的充分条件是1()0a t <，2()0a t <。 □

李雅普诺夫稳定性分析

常微分大作业--李雅普诺夫稳定性 11091059洪一洲 从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。 1.李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下 ),(t x f x = （1） 式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 = 假定方程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。 平衡状态 如果对于所有t ，满足 0),(==t x f x e e （2） 的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态 方程，令0=x 所求得的解x ，便是平衡状态。 对于线性定常系统Ax x = ，其平衡状态满足0=e Ax ，如果A 非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态方程决定。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。

第五章李雅普诺夫稳定性分析

第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明： （1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的[]∞∈0 t ，恒有∞<≤k t h )(成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统 ∑),,(C B A 的传递函数矩阵为 Cx y Bu Ax x =+= BU A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+= B A sI C s G 1 )()(--= 当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。

李雅普诺夫稳定性方法

李雅普诺夫稳定性方法 李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。如果其解随时间而收敛，则系统稳定；如果其解随时间而发散，则系统不稳定。 李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解通常很烦琐，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。 对于系统[]t ,f x x = ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。如果存在一个标量函数()x V ,它满足()x V 对所有x 都具有连续的 一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV V x x = 为半负定，则平衡状态稳定； （2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状 态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定； （3） 若()x V 为正定，则平衡状态不稳定。 判断二次型 x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特

（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。 例： []正定。 则)(V 0 1121412110 ,0411 10,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=??? ????????????? 例： )x x (x x x ) x x (x x x 2 2212122221121+--=+-= (0,0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为 ∞→∞→<+-=+--++-=+=??+??=+=)V(,且当0 )x 2(x )]x (x x x [2x )]x (x x [x 2x x 2x x 2x dt dx x V dt dx x V )(V x x )V(2222122212122221121221122112 2 21x x x x 故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。

李雅普诺夫稳定性分析

基于正定二次型的 李雅普诺夫稳定性分析 张俊超 （控制科学与工程、控制理论与控制工程、2010010215） 摘要：李雅普诺夫稳定性理论以状态向量描述为基础，不仅适用于单变量、 线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统。但要应用李氏判据判断系统稳定性，就要涉及到系统矩阵A特征值的求解以及根据系统状态方程构造正定二次型的李雅普诺夫函数来判断系统稳定性。 1.问题的提出 我们在处理实际工程问题时，经常需要判断系统稳定性，一般稳定性判据都有一定局限性，李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统，它以状态向量描述为基础，结合正定二次型的相关知识对系统稳定性进行判断。 2.问题的求解 李雅普诺夫稳定性理论分析系统稳定性的两种方法： （1）利用线性系统微分方程的解来判断系统的稳定性 ——李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法的主要内容 1）用一次近似式表示状态方程，即：X=AX+B(x) 如果A的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点xe=0处是稳定的， 且系统的稳定性与高阶项B(x)无关。 2）如果X=AX+B(x)的A的特征值中至少有一个具有正实部，则无论B(x)如何，系统在平衡点xe=0处为不稳定的。 3）如果X=AX+B(x)的A的含有等于零的特征值，则系统的稳定性由B(x)决定。李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的。 （2）构造李雅普诺夫函数，利用构造的李氏函数判断系统稳定性 ——李雅普诺夫第二法（直接法） 观察振动现象，若系统能量(含动能和位能)随时间推移而衰减，则系统迟早会达到平衡状态。基本思想：若系统内部能量随时间↑而↓,最终到达静止状态，系统稳定。虚构一个能量函数（李雅普诺夫函数) V(x，t)=f（x 1，x 2 ， (x) n ，t） V(x)=f（x 1，x 2 ， (x) n ） V(x,t)或V(x)是一个标量函数。能量总大于零，故为正定函数。能量随随时间增加而衰减，即：V(x，t)或V(x)的导数小于零。

李雅普诺夫稳定性分析报告

控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 内容提要 稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然，稳定性是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都不可避免的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。 随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不变系统或其它各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在19世纪所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要基础。 习题与解答 5.1 判断下列函数的正定性 1)222 1231213()2322V x x x x x x x x =++-+ 2)222 123121323()82822V x x x x x x x x x x =++-+- 3)22 131223()2V x x x x x x x =+-+ 4)222 123122313()104224V x x x x x x x x x x =+++-- 5)222 123122313()311242V x x x x x x x x x x =++-++ 解 1) 210()131011T T V x x Ax x x -?? ??==-?????? , 因为顺序主子式 2120, 50,1 3 ->=>- 2101 11300 1 1 --=> 所以0A >，()V x 为正定函数。

李雅普诺夫稳定性定理的应用汇总

李雅普诺夫稳定性定理的应用—— 设计模型参考自适应律 2010.04.14 理论依据 李雅普李雅普诺夫直接法一致渐近稳定的条件：接致渐稳定条件V (x , t 正定V (x , t 负定?

á假设可调系统与参考模型在数学模型的结构上完全相同，该设计要求设计可调参数的变化规律（自适应律），以使得可调系统的外特性能够完全趋于参考模型的外特性。 例题 试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数可调试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数调的模型参考自适应律，其中参考模型和可， 调系统的传递函数分别是： k ?(s =g 参考模型：s +a k v ?v (

s =可调系统：g s +a v 解：给予参考模型和可调系统以相同的输入u ，假设它们的输出分别是y 和y v ，当然它们都是可以直接量测的所要求的模型参考自是可以直接量测的。所要求的模型参考自适应律就是当 a v =a v (t , u , y , y v 及k v =k v (t , u , y , y v 时可调系统实现对参考模型的自适应时，可调系统实现对参考模型的自适应，即： =k ?k →0?k v ? =a ?a v →0?a ?e =y ?y → 0v ? 将参考模型和可调系统都写成微分方程的形式： y (t + a ? y (t = k ? u (t yv (t + av yv (t = kvu (t 于是：e (t = y (t ? y v (t = ku (t ? a ? y (t ? k v u (t + a v y v (t = k u (t ? k v u (t ? a y (t + a y v (t ? a y v (t + a v y v (t = ( k ? k v u (t ? a[ y (t ?y v (t ] ? ( a ? a v y v (t ~ ~ = ? a ? e (t + k ? u (t ? a ? y (t v 设系统的广义状态变量是 ~ ~ x (t = [ e(t k (t a (t ]T 则前述自适应的目标就是广义系统渐近稳定。为此取李雅普诺夫函数 ~2 ~ v( x = P e (t + P2 k (t + P3 a 2 (t 1 2 Pi > 0 显然是正定泛函，另一方面观察 ~~ ~~ v( x = 2 P e e + 2 P2 k k + 2 P3 a a 1 ~ ~~ ~ y + 2P k k + 2P a a ~~ = 2 P e (?a e + k u ? a v 1 2 3 ~ ~~ 2 ~ ~~ = ?2 P a e + 2 P e k u + 2 P2 k k ? 2 P e a yv + 2 P3 a a 1 1 1 ~ ~ ~ ~ = ?2 P a e 2 + 2 k ( P e u + P2 k ? 2a ( P e yv ? P3 a 1 1 1 显然，只要保证a > 0, ~ P e u + P2 k = 0, 1 ~ P e yv ? P3 a = 0 1 就能确保 v( x < 0 ，即为负定泛函。即为负定泛函即可求出~ P k = ? 1 e u, P2 ~ = P ey 1 a v P3 最

李雅普诺夫稳定性分析

第5章 李雅普诺夫稳定性分析 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab 计算与程序设计。 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰时它的平衡被破坏,但在外界干扰去掉以后,它仍有能力自动地恢复在平衡态下继续工作。系统的这种性能,叫做稳定性。例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力、电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称为不稳定系统。也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是 ε≤Δ∞→)(Lim t x t 式中，)(t x Δ为系统被调量偏离其平衡位置的变 化量;ε为任意小的规定量。 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多线性定常系统的稳定性判据,如劳斯-胡尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的稳定性判别及设计方法。但这些稳定性判据仅限于讨论SISO 线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论。 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫就发表了题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。 李雅普诺夫把分析系统稳定性的方法归纳为两类，分别称为李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第一法(亦称间接法)是解描述系统动力学的微分方程式,然后根据解的性质来判断系统的稳定性的方法。对于线性定常系统,主要是根据系统极点的分布来判断系统的稳定性,即为经典控制理论的稳定性判

李雅普诺夫稳定性分析

第六章李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892 年俄国学者李雅普诺夫( Lyapunov )提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述(即外部描述)和状态空间描述(即内部描述) ，相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义(外部稳定性) ：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定 的。 ( 外部稳定性也称为BIBO( Bounded Input Bounded Output )稳定性) 说明： (1)所谓有界是指如果一个函数h(t) ，在时间区间[0, ]中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的t 0 ，恒有h(t) k 成立。 (2)所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统(A,B,C) 的传递函数矩阵为 x Ax Bu y Cx sX AX BU Y CX (sI A)X BU X (sI A) 1BU G(s) C(sI A) 1 B 当且仅当G(s) 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定(或BIBO稳定)的。 例6.1.1 】已知受控系统状态空间表达式为

李雅普诺夫稳定性定理的应用

李雅普诺夫稳定性定理的应用 ——设计模型参考自适应律 2010.04.14

理论依据 李雅普接致渐稳定条件李雅普诺夫直接法一致渐近稳定的条件：(),V x t 正定 (),V x t ?负定

假设可调系统与参考模型在数学模型的结á 构上完全相同，该设计要求设计可调参数的变化规律（自适应律），以使得可调系统的外特性能够完全趋于参考模型的外特性。

例题 试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数调试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数可调的模型参考自适应律，其中参考模型和可， 调系统的传递函数分别是： k ?参考模型：a s s g +=)(可调系统：v v v a s k s g +=)( ?

解：给予参考模型和可调系统以相同的输入u ，假设它们的输出分别是y 和，当然它们都是可以直接量测的所要求的模型参考自v y 是可以直接量测的。所要求的模型参考自适应律就是当 及时可调系统实现对参考模型的自适应(,,,)v v v a a t u y y =) ,,,(v v v y y u t k k =时，可调系统实现对参考模型的自适应，即： ?00v k k k =?→? 0v a a a e =?→??=?→v y y ?

将参考模型和可调系统都写成微分方程的形式： ?? )()()()()()(t u k t y a t y t u k t y a t y v v v v =+=+ 于是： ) ()()()()()()(t y a t u k t y a t ku t y t y t e v v v v +???=?=)()()()()()(t y a t y a t y a t y a t u k t u k v v v v v ?????=+?+??=)(~)(~)() ()()]()([)()(t y a t u k t e a t y a a t y t y a t u k k v v v v v ???+?? =