_概率论与数理统计——修改版答案

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（一）

一．选择题

1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}

（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}

（C ）

1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中

5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]

（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<

（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<

7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A] （A ）C A C B ； （B ）C AB ； （C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .

8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ] （A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容

(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件

二、填空题

1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。 2．“A ，B ，C 三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为

ABC ABC ABC ABC AB AC BC

?????或 。

三、简答题：

1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：

（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。 答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝ （2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝ (3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝

2．设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 、B 、C 中只有A 发生； （2）A 不发生，B 与C 发生； （3）A 、B 、C 中恰有一个发生； （4）A 、B 、C 中恰有二个发生； （5）A 、B 、C 中没有一个发生； （6）A 、B 、C 中所有三个都发生； （7）A 、B 、C 中至少有一个发生； （8）A 、B 、C 中不多于两个发生。 答：

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

ABC

ABC

A B C

C A B ABC

????????=

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（二）

一、选择题： 1．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 [ B ] （A ）

136 （B ）118 （C ）112 （D ）1

11

2．袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是 [ B ] （A ）

925 （B ）310

（C ）625 （D ）320 3． 已知事件A 、B 满足A B ?，则()P B A -≠ [ B] （A ）()()P B P A - （B ）()()()P B A P AB -+ （C ）()P A B （D ）()()P B P AB -

4．A 、B 为两事件，若()0.8,()0.2,()0.4P A B P A P B ?===，则 [ B] （A ）()0.32P A B = （B ）()0.2P A B = （C ）()0.4P B A -= （D ）()0.48P B A =

5．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D] （A ）

4!6!10!? （B ）710 （C ）410

（D ）4!7!

10!? 二、选择题：

1．设A 和B 是两事件，则()()P A P AB =+ ()P AB

2．设A 、B 、C 两两互不相容，()0.2,()0.3,()0.4P A P B P C ===，则[()]P A B C ?-=0.5

解答：[()]()(()()()

(()0.5

P A B C P A B P A B C P A B P P B φ?-=?-?=?-=）

因为A,B,C 两两互不相容）＝P(A)+

3．若()0.5,()0.4,()0.3P A P B P A B ==-=，则()P A B ?= 0.8 。

解：()()()

0.30.5()()0.2

()()1()0.8

P A B P A P AB P AB P AB P A B P AB P AB -=-=-?=?==-=

4．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件ABC φ=，1

()()()2

P A P B P C ==<

，且已知 9

()16

P A B C ??=

，则()P A =1/4 。 解：2

()()()()()()()()

9/163()3()(,,ABC ()1/4(3/4P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A P A A B C P A φ??=++---+=-=两两独立，且=)

舍）

5．设1()()()4P A P B P C ===，1

()0,()()8

P AB P AC P BC ===，则A 、B 、C 全不发生的概率为 1/2 。

解：

()1()

()()()()()()()()3/42/8012

()

/P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ABC AB =-????=++---+?=-+=

6．设A 和B 是两事件，B A ?，()0.9,()0.36P A P B ==，则()P AB =0.54 。 解：()()()()0.54

()P AB P A B P A P B B A =-=-=?

三、计算题：

1．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率；

（2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。

解：（1）

33

1812213284123133348412(1)/14/55(2)/28/55

(3)141/55

(4)()/41/55

P C C P C C C P P P C C C =====-==+=

2．加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解：A,B,C,D 分别表示第一、二、三四道工序出现次品

()2%,()3%,()5%,()3%()()()()()0.98*0.97*0.95*0.970.8761()0.124

P A P B P C P D P ABCD P A P B P C P D P ABCD =======加工出的成品率次品率－＝

3．袋中人民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。

解：23522152125235

231023510235102510235

28101213,14,15,16

P 12(13)(14)(15)(16)

////2/9P 12/2/9

P P P P C C C C C C C C C C C C C C C C C +++=+++==法一：大于的有（大于元）＝法二：

（大于元）＝

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（三）

一、选择题：

1．设A 、B 为两个事件，()()0P A P B ≠>，且A B ?，则下列必成立是 [ A ] （A ）(|)1P A B = （D ）(|)1P B A = （C ）(|)1P B A = （D ）(|)0P A B = 2．设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A 表示“取到蓝色球”，B 表示“取到玻璃球”，则P (B |A )=[ D ]。 （A ）

610 （B ）616 （C ）47 （D ）411

3．设A 、B 为两事件，且(),()P A P B 均大于0，则下列公式错误的是 [ B ] （A ）()()()()P A B P A P B P AB ?=+- （B ）()()()P AB P A P B = （C ）()()(|)P AB P A P B A = （D ）()1()P A P A =-

4．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 [ B ] （A ）

25 （B ）15 （C ）12

（D ）35

解：A ：至少有一件不合格品，B ：两件均是合格品。B A ?

24211

446()()43/2

(|)1/5()()624

C P AB P B P B A P A P A C C C ?=====++

5．设A 、B 为两个随机事件，且0()1,()0,(|)(|)P A P B P B A P B A <<>=，则必有 [ C ] （A ）(|)(|)P A B P A B = （B ）(|)(|)P A B P A B ≠ （C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()()P AB P A P B ≠

解：0()1,()0,

()()()()

(|)(|)()()1()

()(1())()(()())()()()()()()()

()()()

P A P B P AB P BA P B P AB P B A P B A P A P A P A P AB P A P A P B P AB P AB P AB P A P A P B P A P AB P AB P A P B <<>-=?==-∴-=-∴-=-∴=

二、填空题：

1．设A 、B 为两事件，()0.8,()0.6,()0.3P A B P A P B ?===，则(|)P B A = 1/6

解：()0.8,()0.6,()0.30.8()()()0.60.3()

()0.1

()0.1

(|)1/6()0.6

P A B P A P B P A P B P AB P AB P AB P AB P B A P A ?===∴=+-=+-=∴=

==

2．设()0.6,()0.84,(|)0.4P A P A B P B A =?==，则()P B = 0.6

解：()()()0.6()

()0.6,(|)0.4()()0.6

0.6()0.24,()0.36()0.84()()()0.6()0.36()0.6

P AB P A P AB P AB P A P B A P A P A P AB P AB P A B P A P B P AB P B P B --===

==∴-=?=?==+-=+-∴=

3．若()0.6,()0.8,(|)0.2P A P B P B A ===，则(|)P A B = 0.9

解：

()0.6,()0.8,()0.8()0.8()

(|)0.2()1()0.4

()0.72()0.72(|)0.9()0.8

P A P B P BA P AB P AB P B A P A P A P AB P AB P A B P B ==--==

==-∴==

==

4．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等

品的概率为 0.735

解：A ：合格品；C ：一等品. (|)0.75,()()(|)0.98*0.750.735P C A P C P A P C A ==== 5

．

已

知

12

,,A A A 为一完备事件组，且

121()0.1,()0.5,(|)0.2P A P A P B A ===2(|)0.6P B A = 3(|)0.1P B A =，则1(|)P A B = 1/18

解：

1111112233()()(|)

(|)()()(|)()(|)()(|)

0.10.2

1/18

0.10.20.50.60.10.4

P A B P A B A P A B P B P A B A P A B A P A B A =

=++?=

=?+?+?

三、计算题：

1．某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？

解：A: 某种动物由出生活到10岁.B: 某种动物由出生活到12岁

()()

(|)0.7()()

P AB P B P B A P A A P B A ?=

==? 2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，

乙车间的正品率为95%，求：

（1）任取一件产品是正品的概率；

（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。

解：A ：某产品由甲两车间生产。B ：任取一件产品是正品。

已知：()0.6,()0.4,(|)0.9,(|)0.95

(1)()()(|)()(|)0.60.90.40.950.92()()(|)0.4(10.95)

(2)(|)25%

1()10.92()

P A P A P B A P B A P B P A P B A P A P B A P AB P A P B A P A B P B P B =====+=?+?=?-=

==≈--

3．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有 P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P

(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则

988

.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=?=?-==B A P B A P A B P A P B A P

(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则

829.093

.01012

.01)()(1)|(1)|(=--=-

=-=B P B A P B A P B A P

4．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能

区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为0.96,0.920.90和。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？ 解：A ：这瓶酒是一等品。

123,,B B B 分别表示甲、乙、丙说是一等品。123,,B B B 相互独立。

已知：

1

2

1103

124

231232311231231231(|)0.96,(|)0.92,

(|)0.9,()5/12

()

(|)()(|)()(|)(|)(|)()

(|)(|)(|)()

55

0.960.080.10.040.920.9(1)

1212(|)P B A P B A C P B A P A C

P B B B P B B B A P A P B B B A P A P B A P B A P B A P A P B A P B A P B A P A P A B B B ====

==+=+=???+???-231231231231()

()(|)()()

5

0.960.080.11255

0.960.080.10.040.920.9(1)

1212

14.2%

P B B B A P B B B P B B B A P A P B B B =

=

???

=

???+???-≈

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（四）

一、选择题：

1．设A ，B 是两个相互独立的事件，()0,()0P A P B >>，则一定有()P A B ?= [ B ] （A ）()()P A P B + （B ）1()()P A P B - （C ）1()()P A P B + （D ）1()P AB - 2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 [ B ] （A ）0.75 （B ）0.56 （C ）0.50 （D ）0.94 3．某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ] （A ）322.08.0? （B ）28.0 （C ）28.05

2? （D ）322

52.08.0?C 4．设A ，B 是两个相互独立的事件，已知11

(),()23

P A P B =

=，

则()P A B ?= [ C ] （A ）

12 （B ）56 （C ）23 （D ）3

4

5．若A ，B 之积为不可能事件，则称A 与B [ B ] （A ）独立 （B ）互不相容 （C ）对立 （D ）构成完备事件组 二、填空题：

1．设A 与B 是相互独立的两事件，且()0.7,()0.4P A P B ==，则()P AB =

2．设事件A ，B 独立。且()0.4,()0.7P A P B ==，则A ，B 至少一个发生的概率为 3．设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为

4．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的

概率为 ，5件中至多有2件次品的概率

08。

三、计算题：

1．设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为

6

6

6

6

2

101()()()K P P k P P ==

=--∑

65

10460604095904(.)(.)(.).=--?=

2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。

解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则02().P A =

32

023********(.)(.)..=+??=

3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如

040503040507060507.........

.

=??+??+??= 3040507014()()....P D P ABC ==??=

1

1223

3()()(|)()(|)()(|)

P H P D P H D P D P H D P D P H D =++

036020410601410458......=?+?+?=

4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为p 。 （1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）；

（2）求缺陷在第n 个过程结束之前被查出的概率；

（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。 （4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；

（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设0.5p =）。

（2） 2

1

111()()()n p p p p p p p -=+-+-++-

11()n

p =--

（3

（4

（5

（0.5p =） 5．设A ，B 为两个事件，(|)(|),()0,()0P A B P A B P A P B =>>，证明A 与B 独立。

证：

即 ()()()P AB P A P B = 所以 A 与B 独立

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第一章 随机事件及其概率（五）

一、选择题：

1．对于任意两个事件A 和B [ B ] （A ）若AB φ≠，则A ，B 一定独立 （B ）若AB φ≠，则A ，B 有可能独立 （C ）若AB φ=，则A ，B 一定独立 （D ）若AB φ=，则A ，B 一定不独立 2．设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=

，则 [ D ]

（A ）事件A 和B 互不相容 （B ）事件A 和B 互相对立 （C ）事件A 和B 互不独立 （D ）事件A 和B 相互独立

3．设A ，B 为任意两个事件且A B ?，()0P B >，则下列选项必然成立的是 [ B ] （A ）()(|)P A P A B < （B ）()(|)P A P A B ≤ （C ）()(|)P A P A B > （D ）()(|)P A P A B ≥ 二、填空题：

1．已知A ，B 为两个事件满足()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B = 2．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件ABC φ=，1

()()()2

P A P B P C ==<

，且已知

9

()16

P A B C ??=

，则()P A = 3．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三

等品，则取到的是一等品的概率是 三、计算题：

1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为1

9

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求A 发生的概率()P A

2．如果一危险情况C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。

如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。

解：设一个电路闭合的可靠性为p ，已知 1

221096().C p p p -+=，

所以 08.p =

设n 个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999 则

1

1

1080210209999()(.)(.)(.).n

n

k

k

k

k

k n k n n

n k k C

p p C -==-==-≥∑∑

7

所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。

3．将A B C 、、三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其他一字母的概率为

12

α

-。今将字母串,,AAAA BBBB CCCC 之一输入信道，输入,,AAAA BBBB CCCC 的概率分别为123123,,(1)p p p p p p ++=，已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的）

解：(|)P AAAA ABCA

4．一条自动生产线连续生产n 件产品不出故障的概率为

(0,1,2,)!

n

e n n λλ-= ，假设产品的

优质率为(01)p p <<。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：

（1）计算生产线在两次故障间共生产k 件（k = 0，1，2，…）优质品的概率；

（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k 件优质品，求它共生产m 件产品的概率。

解：

概率论与数理统计练习题

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第二章 随机变量及其分布（一）

一．选择题：

1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ]

（A ）

123411112

4

8

16X

x x x x p （B ）

123411112

4

88

X

x x x x p （C ）

1234111123

4

12

X

x x x x p

（D ）

1234

111

12

3

412

X

x x x x p

-

2．设随机变量ξ的分布列为

0123

0.10.30.40.2

X

p )(x F 为其分布函数，

则)2(F = [ C ] （A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1

二、填空题：

1．设随机变量X 的概率分布为

012

0.20.5

X p a ，则a = 0.3

2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35;

P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/35

3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k k

k

C -?103.07.0,10,,0 =k 或X~B(10,0.7)

三、计算题：

1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X >

(1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18;

P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9;

P{X=6}= P{X=8}=5/36;

P{X=7}=1/6

(2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=0

2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。

记X=4表示产品为废品；X=1，2，3分别指产品为一、二、三等品。

P{X=1}=0.6; P{X=2}=0.1; P{X=3}=0.2; P{X=4}=0.1

3．已知随机变量X 只能取1-，0，1，2四个值，相应概率依次为1357

,,,

24816c c c c

，试确定常数c ，并计算(1)P X <

c=37/16; P{X<1}=20/37

4．一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X 的分布律和分布函数。

P{X=3}=0.1; P{X=4}=0.3; P{X=5}=0.6;

00.1()0.41

F x ???=????

334455

x x x x <≤<≤<≥

5．设随机变量~(2,),~(3,)X B P Y B P ，若5

{1}9

P X ≥=

，求{1}P Y ≥ P{Y>1}=19/27

概率论与数理统计练习题

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第二章 随机变量及其分布（二）

一、选择题：

1．设连续性随机变量X 的密度函数为201

()0x x f x <

其他，则下列等式成立的是

[ A ]

（A ）(1)1P X ≥-= （Ｂ）1

1()2

2P X == （Ｃ）11()22P X <= （Ｄ）11()22

P X >= 解：（A ）11

(1)()21P X f x dx xdx ∞

-≥-=

==?

?

2．设连续性随机变量X 的密度函数为ln [1,]()0

[1,]

x

x b f x x b ∈?=?

??，则常数b =

[ A ]

（A ）e （B ）1e + （C ）1e - （D ）2e

解：1

1

1

111()ln ln |ln ln ln |ln 11ln 1(0b

b

b b

b

f x dx xdx x x xd x

b b dx b b x b b b b b b e

+∞

-∞

===-=-=-=-+====?

???舍）

3．设2

~(,)X N

μσ，要使~(0,1)Y N ，则 [ C ]

（A ）X

Y μσ

=

+ （B ）Y X σμ=+ （C ）X Y μ

σ

-=

（D ）Y X σμ=-

4．设~(0,1X N

，2

2

()0)x x x e

dt x -

-∞

Φ=≥?

（，则下列等式不成立的是

[ C ]

（A ）()1()x x Φ=-Φ- （B ）(0)0.5Φ= （C ）()()x x Φ-=Φ （D ）

(||)2()1P x a a <=Φ-

5．X 服从参数1

9

λ=

的指数分布，则(39)P X <<= [ C ] （A ）1(1)()3F F - （B

）11)9e - （C

1e

- （D ）99

3x e dx -?

二、填空题：

1．设连续性随机变量X 的密度函数为2

01()0

Ax x f x ?≤≤=?

?其他

，则常数A = 3

2．设随机变量2

~(2,)X N σ，已知(24)0.4P X ≤≤=，则(0)P X ≤= 0.1 三、计算题：

1．设~(1,4),X U 求(5)P X ≤和(0 2.5)P X ≤≤

2．设随机变量X 的密度函数为01()120x

x f x ax b x ≤

=+≤≤???

其他，且37(0)28P X <≤=

求：（1）常数,a b （2）1

3()22

P X << （3）X 的分布函数()F x 解

：

32

32

1210112

1

112

377(0)()288

(2)().1 2.

133()(2)224

000.501()0.521121P X xdx ax b dx f x dx xdx ax b dx a b P X xdx x dx x x x F x x x x +∞-∞

<≤=?++=

=++=-=<<=+-+=

<≤<=-+-≤

????.(1)(2) 由又1= (3) 可得，

2

x ???

???≥?

3．设某种电子元件的使用寿命X （单位：h ）服从参数1

600

λ=的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求： （1）一个元件时间在200h 以上的概率；

（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h 以上的概率。

116003

200111222

33

1

33

33

3

3

3 1

(200)600

"200"

(2)()(1)()32

x P X e dx e

Y h P Y C e e C e e e

+∞

-

-

-

-

-

-

->===≥=-+=-?使用时间在以上的元件个数.(1)(2)

概率论与数理统计练习题

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第二章 随机变量及其分布（三）

1．已知X 的概率分辨为

210123

20.132i

X p a a a a a

-- ，试求：

（1）常数a ； （2）2

1Y X =-的概率分布。

0.13210.130.30.20.30.2

a a a a a a Y p +++++=?= 2 -1 0 8 (1) (2 )

2．设随机变量X 在（0，1）服从均匀分布，求： （1）X Y e =的概率密度； （2）2ln Y X =-的概率密度。