第4章：指数函数和对数函数
课题
§4.1指数式和对数式（3课时）
教学目标
掌握根式的概念及指数对数及其运算性质.
教学重点
根式的概念及指数对数及其运算性质.
教学难点
根式的概念及指数对数及其运算性质.
教学方法
讲练结合法
教学过程
（I ）知识要点 一.根式的概念：
1．n 次方根：若1)n ,(>∈=且R n a x n
，则称x 叫做a 的n 次方根 （1）若n 是奇数，则 ①0>a 时，0>=
n a x ；②0 n a x ；③0=a 时，00== n x ． （2）若n 是偶数，则 ①0>a 时，n a x ±=；②0 a x = 无意义；③0=a 时，00== n x ． 2．根式：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 性质：①a a n n =)((N n ∈)； ②当n 为正整数时， ???=) ()(为偶数为奇数n a n a a n n ． 二.指数及其运算性质 １．定义：n a 叫做a 的n 次幂，a 叫幂的底数，n 叫做幂的指数. ２．指数幂的类型： ①正整数指数幂：)( * n N n a a a a a n ∈??= ②负整数指数幂：)0( 1* N n a a a n n ∈≠= -， ③零指数幂：)0( 10≠=a a ④正分数指数幂：1)m 0(* >∈≥=，且，，N n m a a a m n m n ⑤负分数指数幂：1)m 0(1 * >∈>= -，且，，N n m a a a m n m n ３．指数运算法则与性质 （１）n m n m a a a +=； （２） n m n m a a a -=； （３）mn n m a a =)(； （４）n n n b a ab =)(． 三．对数及其运算性质 １．定义：若1) 0(≠>=a a N a b 且，则b 叫做以a 为底，N 的对数，记作：N b a log =， 注：①以１０为底的对数称为常用对数．记作：N N b lg log 10 ==． ②若以无理数 71828.2=e 为底的对数称为自然对数．记作：N N b e ln log == ２．指数式与对数式互化： log N b N a a b =?=（0>a 且1≠a ）． ３．对数式的运算法则与性质 （1）负数和零没有对数，即0≤N 时，N a log 无意义； （2）1log =a a （0>a 且1≠a ）． （3）01log =a （0>a 且1≠a ）． （4）N M MN a a a log log )(log +=（0>a 且1≠a ，0>M ，0>N ）． （5）N M N M a a a log log log -= （0>a 且1≠a ，0>M ，0>N ）． （6）M n M a n a log log =（0>a 且1≠a ，0>M ， R n ∈）． （7）M n M a n a log 1log = （0>a 且1≠a ，0>M ，* N n ∈，1>n ）． （8）对数恒等式 a a log N N =（0>a 且1≠a ，0>N ）． （9）换底公式： log log log b N N a a b = （0>a 且1≠a ，0>b 且1≠b ，0>N ）． （10）1log log =?a b b a ． （11）*),10(log log , log log N m a a b b b b m a a m a a m m ∈≠>==且． （12）b n m b a m a n log log = （13）N N N e N N lg 3026.2ln 4343 .0lg lg lg ln ≈?≈ = （II ）例题讲解 例1．化简下列各式 ⑴b a a log 1+ ⑵ 4 3 3 ab b a a b ? 解：⑴b a a a a b b a a ?=?=+log log 1 ⑵原式=4 1 4 1 3 2 123 4 1 2 1 2 1 3 3 ) () ( ) (] ) ( [ ab b a a b ab b a a b ?= ? b b a b a a b b a a b =?=?= - - )() ( 2 12 1 2 32 14 1 3 2 123 例2．求值:⑴0 3 3 22 5 .0)13()2 1 () 22() 1.0() 4 12 (-+--+-- - ⑵3 9 27log 3 3 ? (3)1 9lg 3lg 3lg 70lg 7 3lg 2 +---+ (4)4 log 3 8 4 9 3 2log )3log 3(log +?+ 解：⑴（2) 4 1 5 .0033 22 )13()2 1() 22() 1.0(-+--+-- - 94 1 82 11002 31 2) 2(10] )2 3[( 3 3 22 3 2 2 12 =+--+= +--+=- ⑵原式=6 193 log 3log 3 3 3 log 6 19 3 2 13 233 2 1 32 3 3 = ==?- + (3)原式=3 lg )]13(lg [113lg 10lg ) 13(lg )3 1707 3lg(2 =---=--=--? ? (4)原式=2 log 2 log 3 2 2 3 3 3 lg 2lg 2 lg 33lg 3 lg 2lg 2 lg 23lg 3 3 lg 2lg )8 lg 3lg 4lg 3lg (+? + ? = +? + 6 1723 121= ++ = 例3．（1）已知a =2lg ，b =7lg ，试用a ，b 的式子表示35lg ； （2）已知10054==b a ，求b a 21+ 的值； 解：（1）a b -+=-+=? =12lg 7lg 10lg )2 107lg(35lg ． （2）∵10054==b a ， ∴100log 4=a ，100log 5=b ， ∴4log 1100 =a ， 5log 1100 =b ， ∴ b a 21+5log 24log 100 100 += )54(log 2 100 ?= 1=． 评注：对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“求值后再代换”两种方法求值。 例4.若= ++===z y x z y x ，则0log log log log log log log log log 3 2 4 2 4 3 4 3 2 ( ) A 、50 B 、58 C 、89 D 、111 解：由得：0log log log 4 3 2=x 1log log 4 3 =x 3 log 4 =∴x 64 4 3 ==∴x 同理得：9 3 1622 4 ====z y ， C 89，故选=++∴ z y x （Ⅲ）练习一 （Ⅳ）课后作业 《指数函数与对数函数》练习题（一）． （Ⅴ）教学后记： 课题 §4.2 幂函数，指数函数，对数函数 教学目标 理解掌握幂函数，指数函数，对数函数的概念、图象及性质，并运用性质解决相关的问题. 教学重点 理解掌握幂函数，指数函数，对数函数的概念、图象及性质，并运用性质解决相关的问题. 教学难点 理解掌握幂函数，指数函数，对数函数的概念、图象及性质，并运用性质解决相关的问题. 教学方法 讲练结合法 教学过程 （I ）知识要点 一．幂函数 1．定义：形如n x y=(R n∈)的函数叫做幂函数。 第四章——第5页 第四章——第6页 二．指数函数与对数函数 注：指数函数x a y =与对数函数)1,0(log ≠>a a x a 且互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称 （II ）例题讲解 例1．已知 ) 10(,log )(,)(≠>==a a x x g a x f a x 且，若0)3()3( 同一坐标系内的图像可能是( ) ． (A) (B) (C) (D) 分析：首先要分清这两类函数图象在坐标系中的位置和走向，其次，利用)(x f 与)(x g 互为反函数，其图像关于直线x y =对称，故可排除B ，D ，最后利用函数值0)3()3( 例2．比较下列各组数的大小： （1）5 395 .0 95.03 2- -，； （2）53 7.1，5 37 .0- ，53 7.0； （3）1 .33 .098 .008 .1，； （4）)32(log )1(log 22++x x ，； (5) 3 .02 2 23.0log 3.0，，； （6）)101() lg(lg lg lg 2 2< 解：（1）∵函数=y x 59.0在),(+∞-∞上是减函数，且5 332- <- ， ∴5 395 .0 95 .03 2- >-． （2）∵53 53 )10 17( 7.1=，535 35 3)7 10( )10 7( 7 .0==- - ，53 53 )10 7( 7.0=， 又∵函数53 x y =在)0(∞+， 上是增函数， ∴53 )10 17( >53 )7 10( >53 )10 7( ， 即53 7.1>5 37.0->53 7.0． （3）∵函数x y 08.1=在),(+∞-∞上是增函数，而函数=y x 98.0在),(+∞-∞上是减函数 ∴18.1008.103 .0=> ， 198 .098.000 1 .3=<<， ∴1 .33 .098 .008 .1>． （4）由03 201>?? ?+>+x x ，可得1->x ， ∴当1->x 时，01212)1()32(>=+->+=+-+x x x ， 即132+>+x x ， 又∵函数x y 2 log =在),0(+∞上是增函数， ∴)32(log )1(log 22+<+x x ． （5）∵函数x y 3.0=在),(+∞-∞上是减函数，函数x y 2 log =在),0(+∞上是增函数， 函数x y 2=在),(+∞-∞上是增函数， ∴ 13.03.000 2 =<<，01log 3.0log 2 2 =<，12 20 3 .0=>， ∴2 3 .023.02 3.0log <<． （6）∵101< ∴01lg )lg(lg = < 又∵0)lg 2(lg lg lg 2lg lg 22 2 >-=-=-x x x x x x ∴0lg lg 2 2 >>x x ， 故)lg(lg lg lg 2 2 x x x >>． 评注：比较值的大小有两种解决方法： （1） 同底的对数值（或幂值）的两个数比较大小，可直接利用函数的单调性； （2） 底数不同，指数（或真数）相同的两个幂（或对数）值比较大小，常用图象或找“中间量”． 例3．求下列函数的定义域． （1）x y 2 1-=； （2）)54(log 2 2 1+--=x x y （3）)34(log 5 .0-= x y ； （4）)23(log ) 12(-=-x y x ． 解：（1）要使函数有意义，当且仅当 02 1≥-x ?0 212=≤x 0≤?x ， ∴原函数的定义域为]0,(-∞． （2）要使函数有意义，当且仅当 0542 >+--x x 0542 <-+?x x 0)1)(5(<-+?x x 15<<-?x ， ∴原函数的定义域为)1,5(-． （3）要使函数有意义，当且仅当 1431 43134431log 0)34(log 0345.05.0≤ ???≤>??????≤->??? ?=≥->-x x x x x x x ， ∴原函数的定义域为??? ? ?? ≤<143 x x ． （4） 要使函数有意义，当且仅当 13232121023112012≠>???? ??? ?> ≠>???? ??>-≠->-x x x x x x x x 且， ∴原函数的定义域为??? ? ?? ≠> 132 x x x 且． 例4．求下列函数的反函数： (1)) (32 1 R x y x ∈+=- (2))90(log 23 <<-=x x y 解：(1)由32 32 1 1 -=+=--y y x x 得： ) 3(l o g 1)3(l o g 122-+=-=-∴y x y x 即 R x R x ∈-∴∈1， 3 32021 1 >+=>∴--x x y 即 ) 3().3(log 12 >-+=∴x x y 所求反函数为 (2)由2 2 3 log 2log 2y x x y =--= 得： 2 2 2log y x -=∴ 2 23 y x -=∴ 又9 < log 3 <∴x log 23 >-∴x 即0 log 23 >-=x y 故所求反函数为) 0(3 2 2>=-x y x 例5．判断函数1 2 12 1)(-+ = x x f 的奇偶性． 解：由0 012 ≠≠-x x 得，即函数的定义域为)0()0(∞+-∞，， ) 12 (212 121 21)(-+= -+= x x x x f 都有且0≠∈?∴x R x ) () 12 (212 ) 2 1(221) 12(212 )(x f x f x x x x x x -=-+-=-+= -+= --- )(x f ∴是奇函数 例6．函数a x f x +-= 1 31)(（a 为常数，0≠x ）是奇函数，求a 的值． 解：0 ≠∈?x R x 且 是奇函数 )(x f )()(x f x f -=-∴ 即 a a x x ---=+--1 3 113 1 11 3 11 3 3 1 3 1 3 112=-- -=---=∴-x x x x x a 故2 1= a 思考：已知 ax x f x ++=)110 lg()(是偶函数，则常数）（答案：2 1_____- ==a a *例7．解下列不等式 （1）x x ->19 )271( （2）012log 2log 2 2 22 ≥--x x （3）13log 解：（1）原不等式等价于) 1(233 3x x --> x y 3= 在),(+∞-∞上是增函数 ∴原不等式等价于)1(23x x ->- 解得2- ∴原不等式等的解集为)2,(-∞ （2）原不等式等价于? ? ?>≥--00 12log 4log 2 22 x x x ?? ?-≤≥>?2 log 6log 2 2 x x x 或 ?? ? ??≤≤<≥>?-4120202 6x x x 或 ∴原不等式的解集为),64(]4 1, 0(+∞? （3）当01>>a 时，103log <a 时，由13log a ∴原不等式的解集为),3()1,0(+∞? 评注：解指数（或对数）不等式的关键在于同解变形，然后利用单调性解之。 例8．已知)10(11log )(≠>-+=a a x x x f a 且， （1）求)(x f 得定义域 ；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使)(x f >0的x 的取值范围． 解：（1）要使函数有意义，当且仅当 011>-+x x 0)1)(1(>-+?x x 11<<-?x ， ∴)(x f 的定义域为)11(， -． （2）∵)(x f 的定义域为)11(， -， ∴函数定义域关于原点对称， 又∵)() 11(log 11log )(1 x f x x x x x f a a -=-+=+-=-- ∴)(x f 是奇函数． （3）由)(x f >0?0 11log >-+x x a 当1>a 时，0 11log >-+x x a 111>-+? x x 012>-? x x 0)1(2<-?x x 10< 11log >-+x x a 1110<-+< ?x x ? ?? ??<->-+?0120 )1)(1(x x x x ? ??<><<-?0x 11 1或x x 01<<-?x ， 即当1>a 时，使)(x f >0的x 的取值范围为（0，1）； 当10<0的x 的取值范围为)01(， -． 例9．已知2052=+y x ，求y x lg lg +的最值及相应的x ，y 的值 解：由已知可得00>>y x ，， ∴由均值定理得 xy y x 1025220≥+= 1010≤? xy 10010≤?xy 10≤?xy ， 当且仅当1052==y x ，即25==y x ，时上式取等号， 此时110lg lg lg lg =≤=+xy y x 即当25==y x ，时，1)lg (lg max =+y x ． *例10．解下列不等式 （1）x x ->19 )271( ； （2）012log 2log 2 22 ≥--x x x ； （3）13log 解：（1）原不等式?) 1(233 3 x x -->， ∵x y 3=在),(+∞-∞上是增函数， ∴原不等式?)1(23x x ->-?2- ∴原不等式的解集为)2(， -∞． （2）∵原不等式?0)6)(log 2(log 2 2 ≥-+x x 6log 2log 2 2≥-≤?x x 或 6 2 2 2 222log log 2 log log ≥≤?-x x 或 ????>≥???>≤0202x 6 -2x x x 或 644 10>< ∴原不等式的解集为)64(]4 1 0(∞+?， ，． （3）原不等式??? ?=<>a a a a log 13log 1 或?? ?=<< a a a log 13log 10 ????>>31a a 或? ??<<<31 0a a ?3a >或10< ∴原不等式的解集为)3()10(∞+?，， ． 评注：解指数（或对数）不等式的关键在于同解变形，然后利用单调性解之． *例11．若3234)(+?-=x x x f 值域为]71[，，试确定x 的取值范围． 解：依题意可得：7)(1≤≤x f ?????≥+?-≤+?-?1 32347 3234x x x x ?????≥+?-≤-?-?0223)2(0423)2(22x x x x ?????≥--≤-+?0 )22)(12(0)42)(12(x x x x ?????≤≥≤≤-?1 2224 21x 或x x ???≤≥≤?012x x x 或 422120x ≤≤≤ 210≤≤≤?x x 或， ∴x 的取值范围是2][10](-，， ?∞． （III ）课后作业 《指数函数与对数函数》练习题（二）． （Ⅳ）教学后记： 课题 §4.3指数方程与对数方程 教学目标 会解简单的指数方程与对数方程. 教学重点 解简单的指数方程与对数方程. 教学难点 解简单的指数方程与对数方程. 教学方法 讲练结合法 教学过程 （I ）知识要点 1．定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程. 在对数里含有未知数的方程叫做对数方程. 2．解法：指数方程与对数方程是初等超越方程，其基本思路是将指数方程与对数方程转化为代数方程. 3．常见的几种类型 （1）) () (x g x f a a =型或)(log )(log x g x f a a =型，这类方程的解法常化为同底，然后比较指 数（或真数），解这类方程时必须要验根. （2）进行因式分解，把方程化为最简单的指数方程或对数方程的类型，然后求解. （3）利用换元法化为普通的代数方程的类型. （II ）例题讲解 例1．解下列方程： （1）3)4 3 ()8 9 ()3 2 (=x x ； （2）x x x 38 4 23 2 6 ?=++； （3）9 803 3= --x x ． 解：⑴原方程可化为3 ) 4 3( ) 8 93 2(=? x 即3 )4 3 ()4 3 (=x 3=∴x ∴原方程的解集为｛3｝ ⑵原方程可化为x x x x 38 4 2423 2 3 2?=?+++ 对,R x ∈?都有03 ,0238 2>>+x x ∴方程两边同除以x x 3823 2 ?+ 可得13 23)42() 8()42(=?-++-+x x x x ，即1) 3 2( 4 =-x ∴04=-x ，得4=x 故方程的解集为｛4｝ ⑶原方程可化为0 93 80392=-?-?x x 设x t 3=，则方程可化为09809=--t t x 解得91=t 或9 12=t 当91=t 时931 =x 可解21=x 当9 12=t 时9 13 2 = x 不合，舍去 ∴原方程的解集为｛2｝ 例2：解下列方程 ⑴2)(log log 3 2=x ⑵)2lg()2lg()1lg(+=-+-x x x ⑶2)105(lg 2 )1(=+--x x x ⑷3lg lg 2 2 =-x x ⑸1log 325log 225 =-x x ⑹)254lg(2lg x x x +=+ 解：⑴原方程可化为42log 2 3==x 8134 ==∴x 经检验，原方程的解为81=x ⑵原方程可化为)2lg()2)(1lg(+=--x x x 2)2)(1(+=--∴x x x 解得0=x 或4=x 经检验，0=x 时)1lg(-x 与)2lg(-x 无意义 ∴原方程的解为4=x 另解：)2lg()2lg()1lg(+=-+-x x x ?? ?? ? ? ? +=-->->+>-?2)2)(1(020201x x x x x x 4 402=???? ==>?x x x x 或 ∴原方程的解为4=x ⑶原方程可化为：105)1(2 2 +-=-x x x 化简可得3=x 经检验：3=x 为原方程的解 ⑷原方程可化为：03lg 2lg 2 =--x x 令x t lg = 则可得0322 =--t t 解得3=t 或1-=t 当3=t 时，3lg =x ，可得3 10=x 当1-=t 时，1lg -=x ，可得10 1= x 经检验：原方程的解为3 10=x 与10 1=x ⑸设x t 25 log = 则原方程可化为：132=-t t 即0232 =--t t 1-=∴t 或3 2= t 当1-=t 即1log 25 -=x 时25 1=x 当3 2= t 即3 2log 25 = x 时3 3 25525 ==x 经检验：原方程的解为25 1=x 或355=x ⑹原方程可化为： )254lg(10lg 2lg x x x +=+ 即) 25 4 lg(10 2lg x x x +=? x x x 25 4102+=?∴ 可化为：0 ) 2 (5 22) 5(2 2 =+??-x x x x 即0)25(2 =-x x x x 25=∴ ,解得0=x 经检验：原方程的解为0=x 评注：1.对数方程验根，主要是将所求的解代入，验证真数是否大于零，底数大于零且不大于1的条件等价是否满足，满足是方程的根，不满足的应该舍去。 2.解对数方程也可等价转化为解的“方程——不等式”混合组，此时不必验根。 （III ）课后作业 《指数函数与对数函数》练习题（二）． （Ⅳ）教学后记： C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在 上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 东山中学指数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ B ） A ．3 x y -= B ．3-=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 2、下列命题中正确的是 （ D ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是 （ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 4、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为 （ ） A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 5、下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．3124 3)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 6、化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 7、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x -等于 （ ） A 、 1 3 B C D 8、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于 （ ） 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时， 函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单 高一指数函数对数函数 测试题及答案精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 指数函数和对数函数测试题 一、选择题。 1、已知集合A={y|x y 2log =，x ＞1},B={y|y=( 21)x ,x ＞1},则A ∩B=（） A.{y|0＜y ＜21}B.{y|0＜y ＜1}C.{y|2 1＜y ＜1}D.φ 2、已知集合M=｛x|x ＜3｝N=｛x|1log 2＞x ｝则M ∩N 为（） φ.｛x|0＜x ＜3｝C.｛x|1＜x ＜3｝D.｛x|2＜x ＜3｝ 3、若函数f(x)=a (x-2)+3（a ＞0且a ≠1），则f(x)一定过点（） A.无法确定 B.(0，3) C.(1，3) D.(2，4) 4、若a=π2log ，b=67log ，c=8.02log ，则（） ＞b ＞＞a ＞＞a ＞＞c ＞a 5、若函数)(log b x a y +=(a ＞0且a ≠1)的图象过(-1，0)和(0，1)两点，则a ，b 分别为（） =2，b==2，b==2，b==2，b=2 6、函数y=f(x)的图象是函数f(x)=e x +2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（） (x)=(x)=-e x +(x)=(x)=-e -x +2 7、设函数f(x)=x a log (a ＞0且a ≠1)且f(9)=2，则f -1(2 9log )等于（） 2422229log 、若函数f(x)=a 2log log 32++x x b （a ，b ∈R ）,f(2009 1)=4，则f(2009)=（） 、下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（） =-x 2log (x ＞0)=x 2+x(x ∈R)=3x (x ∈R)=x 3(x ∈R) 10、若f(x)=(2a-1)x 是增函数，则a 的取值范围为（） ＜21B.2 1＜a ＜＞≥1 11、若f(x)=|x|(x ∈R)，则下列函数说法正确的是（） (x)为奇函数(x)奇偶性无法确定 (x)为非奇非偶(x)是偶函数 12、f(x)定义域D=｛x ∈z|0≤x ≤3｝，且f(x)=-2x 2+6x 的值域为（）A.[0，29]B.[29,+∞]C.[-∞，+2 9]D.[0，4] 【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点 教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景，引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你 10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！ 你愿意自己是杰米还是韦伯？ 【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ； ⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快； ⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 2015级建筑部3月份月考数学测试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1、下列函数是幂函数的是（ ） A 3+=x y ； B 3 x y =； C x y 3=； D x y 2log = 2、数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A. n a =3(-1) n+1 B. n a =3(-1)n C. n a =3-(-1)n D. n a =3+(-1)n 3、对数1log 3的值正确的是( )． A. 0 B.1 C. 2 D. 以上都不对 4、将对数式24 1 log 2 -=化成指数式可表示为( ) A.224 1-= B.412 2 =- C.2412 =?? ? ??- D.2412 -=?? ? ?? 5、若指数函数的图像经过点?? ? ??21,1，则其解析式为（ ） A.x y 2= B.x y ??? ??=21 C. x y 4= D. x y ??? ??=41 6、下列运算中，正确的是（ ） A.5553443=? B.435÷5534= C.55 3 44 3=??? ? ? ? D.0554343=?- 7、已知3log 2log a a >，则a 的取值范围是（ ） A 1>a ； B 1a a 或 8、将对数式ln 2x =化为指数式为 ( ) A. 210x = B. x = 2 C. x = e D. x = e 2 9、4 32813?-的计算结果为（ ）。 A ．3 B.9 C.3 1 D.1 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果，那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知，则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y＝x有相同图象的一个函数是【】 A B，且 C D，且 4 已知函数的反函数为，则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是，则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知，则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E，函数的定义域为F，则【】 A B C D 10有下列命题：（1）若，则函数的图象关于y轴对称；（2）若，则函数的图象关于原点对称；（3）函数与的图 象关于x轴对称；（4）函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A（1）（2） B（1）（2）（3）C（1）（3）（4） D （1）（2）（3）（4） 二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。 4 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 减区间，增区间减区间， 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。解（1），又，所以，所以定义域。 （2）在上单调增。 （3），，即 ，所以，所以解集 2 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 精品资料 欢迎下载 第四章《指数函数与对数函数》测试卷 一、填空题 1. （ ） A 、118 4 23? B 、314 4 23? C 、213 4 23? D 、8 4 23? 2. =??4 36482（ ） A 、4 B 、8152 C 、2 72 D 、8 3. 函数()f x = （ ） A.（1，3） B. [-∞，3] C. [3，+∞] D. R 4. 3log 81= （ ） A 、2 B 、4 C 、2- D 、-4 5. 指数函数的图象经过点)27,2 3(，则其解析式是 （ ） A 、x y 3= B 、x y )3 1(= C 、x y 9= D 、x y )9 1(= 6. 下列函数在区间（0，+∞）上是减函数的是 （ ） A 、12y x = B 、3 1x y = C 、2y x -= D 、2 y x = 7. 将25628 =写成对数式 （ ） A 、2256log 8= B 、28log 256= C 、8256log 2= D 、2562log 8= 8. 将ln a = b (a >0) 写成指数式 （ ） A 、10 b = a B 、e b = a C 、 a b = e D 、 e a = b 9. 求值2 2ln log 16lg 0.1e +-等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 10. 如果32log (log )1x =，那么x =（ ） A 、8 B 、9 C 、2 D 、3 11. 函数x x f lg 21)(-= 的定义域为（ ） A 、(,10) -∞ -(10,)+∞ B 、（-10，10） C 、（0，100） D 、（-100,100） 12. 3 0.7、3log 0.7、0.7 3 的大小关系是（ ） A 、30.730.73log 0.7 << B 、30.730.7log 0.73<< C 、 30.7 3log 0.70.73<< D 、 0.73 3log 0.730.7<< 二、填空题： 1．用不等号连接： （1）5log 2 6l o g 2 ，（2）若n m 33>，则m n ；（3）35.0 36.0 2. 若43x =， 3 4 log 4=y ，则x y += ； 3. 方程x x 28 )3 1 (3 2--=的解集为______________； 4. 若x x f 2)2(=，则=)8(f ； 三、解答题 1.. 解下列不等式： （1）0)3(log 3<-x （2）14 3log 《指数函数与对数函数》测试题 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若2 2 log log a a M N =则M N =； ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =，则10x -等于（ ） A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质： 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2对数指数函数公式全集
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