姚佳斌老师讲高中数学
1.(第33届IMO
预选题）如果,,1x y z >且
111
2.x y z
++=证明：111x y z x y z ++≥-+-+-
证明1：（浙江诸暨姚佳斌）令1,1,1x a y b z c -=-=-=（,,0a b c >) 条件转化为：
210cyc
ab abc +-=∑ 即等价证明：
3a b c a b c +++≥++ 两边平方：
3
2
ab bc ac ++≤
而后(
)
()1231233
,
,
,,,2
a b b c a c t t t t t t →++≤，条件为
222
12312312312(,,0)t t t t t t t t t ++=-≥故可以令123,,cos ,cos ,cos t t t A B C →，则上面显然成
立！
证明2：（湖南长沙邓朝发）条件为等价于：111
1x y z x y z
---++=，而后由柯西不等式显然成立！
2.已知无穷数列{}n a 满足10111
1
,,, 1.2......n n n n n a a a x a y a n a a -+-+===
=+
（1）对于怎么样的实数,x y ，总存在正整数N ，使当n N ≥时，n a 恒为常数。 （2）求通项{}n a 。
证明：（浙江诸暨姚佳斌）（1）假设当n=N 是开始为常数，设1,N N a x a y -==。
11
,N N xy a a x x y
++∴=
==+21,1x x ∴==±，当n a 1=±时带入原式为常数。 下面证明：只有当1x =±或1y =±且x y ≠-时，n a 才能取到常数。1212
1
1n n n n n a a a a a ----+=
=+或
-1，11n a -=或-1，依次推下去，则10210
1
1a a a a a +==+或-1，,,x y ∴中至少有一个为1或-1，
且x ≠y -时才满足。 （2)()()()()()
111111111111(1)(1)(1)
11,1,111n
n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a --+++--+-----++-+=
-=→=+++++,
1111
11
,1
n n n n n n a b b b b a +++-+-=
∴=+，
()()()
()()2
01232
1(1)1111
,,,.............1111(1)(1)x y x y x y b b b b x y x y x y ------====++++++容易看出其指数满足
斐
波那契数列
。
1
2
1
1
12011111515.,,2,1,()
11225n n n n F F n n n n n x y b F F F n F F F x y --++--??
??
??--+-??==+≥===- ? ? ? ?
? ?++??
??
????
，反解出2121
2121
(1)(1)(1)(1)
,0(1)(1)(1)(1)
n n n n n n n n F F F F n F F F F x y x y a n x y x y --------+++--=≥++---，（其中n F 可以向负数延伸120,1F F --==）
(第
42
届
IMO
预
选
试
题
）
设
12,,.....,.
n x x x R +∈求证：
12
222222
11212....111...n n
x x x n x x x x x x +++<+++++++ 解：考虑加强命题：对任意的0,a >，有
()22
11,...n
k
k k
x f n a a x x =<++∑，用数学归纳法证明。由n=1及题设结论及猜想(),n
f n a a
=
。对后1n -项用归纳假设，即证明()()()()2
12
1112211
11,,n a x n a
x x f n a x f n a a x a
a x +-
-+-+
()21a x a +>
，故只要证()()()22
1111(1)12
1x n a x n a a n x n ax ≤+--?+-≥-，
此不等式显然成立。，从而原不等式成立。
4.设与ABC 的外接圆1O 内切并与边AB,AC 相切的圆为2O ，过圆心2O 分别向边AB,AC 投影，记落点为L,N 。线段MN 的中点为I,证明：I 为ABC 的内心。
证明：延长AI 交1O 于点M ，延长12O O 交1O 和2O 的公共点记为K ，我们只要证明MC=MI 即可222sin
22MO A
MI MC MI R R O A
?=?==,记1O 半径为R 第一：利用切点有：()
2
2122O O R O K =-,第二：利用幂有：
2222
122222OO R O M O A R O N O A IM =-?=+-?,上面两个式子做差，即得结论。
5.以[]x 表示不超过实数x 的最大整数，求方程[][]()
2
2
2
x x x x -=-，在区间[]1,n 中根的
数目。 证明：（浙江诸暨姚佳斌）显然x n =是方程的一个根。下面我们再来分别求出区间
[)[)[)1,2,2,3,...,1,n n -中根的个数，由于当[),1x k k ∈+时，有[]x k =，如果再记
[]p x x =-，就有01p ≤<，于是原方程写成()()2
2
2k p k p p +-+=????，即()222
2
22,22k k p k k p p
k p k p p ????+=++?=+????，所
以该试子左端也是个整数。1221
0,
,,.....,222k p k k k
-?=时等式才成立。，从而知道在[),1x k k ∈+这个区间有2k 个根，于是一共有2
124...2(1)1n n n ++++-=-+个根。
6.设,,a b c R +
∈，且1,abc =求
111
111
a b b c c a ++++++++的最大值。
解：（浙江诸暨姚佳斌）作变换()()
333,,,,a b c x y z →，其中,,x y z R +
∈.等价于证明：当
xyz=1，求,
333333111
111
x y y z z x ++
++++++的最大值。注意
3322111z
x y x y y x xyz x y z
≤=
++++++，
同理有
333311,11x y
y z x y z z x x y z
≤≤
++++++++，相加即可，证毕！
7，设,,a b c R +
∈，且1,abc =求证
222111
1111
a a
b b
c c ++≥++++++
证明：（山西大学附中王永喜）设222,,np pm mn a b c m n p
=
==，等价证明：1,abc =444
422242224222
1m n p m m np n p n n mp m p p p mn m n
++≥++++++由柯西不等式有()
2
224
4
4
2
2
2
22
2
2
2
2
m
n p LHS m n p m np n mp p mn m n n p p m
++≥++++++++，而由
2
2
2
2
m n p
n
m p
p n m m n n p p
++≤++，知道()
2
224
4
4
2
2
2
22
2
2
2
2
m
n p LHS m n p m np n mp p mn m n n p p m
++≥
++++++++1≥，证毕！
8.已知,,0a b c ≥，2
2
2
3a b c ++=求证：22
22
22
0a b c a b b c c a ++---≥
证明：注意到42239cyc cyc cyc a a a +≥=∑∑∑，并且有2
2422
29cyc cyc cyc a a a b ??=+= ???
∑∑∑。比较
上面两个式子即可得出结论。
9.(2009西部数学奥林匹克）设锐角ABC 的垂心，D 是边BC 的中点，过点H 的直线分别与边AB,AC 交于点F,E ，使得AE=AF ，射线DH 与ABC 的外接圆交于点P 。证明：P,A,E,F 四点共圆。 证明：延长HD 交外接圆与点Q ，连接BH,CH,BQ,CQ,PB,PF,PE,PC 。容易证明：四边形HCQB 为平行四边形。由题设条件易知：
,..B
F B H C Q
B F H
C E H F B H
H C
E B F
H C E
C H B Q
∠=∠∠=∠????=
由
PBQ PCQ CQ PB
S S BQ PC
??=?
=.
PBF PCE
∠=∠,故
PBF PCE AFB AEP ???∠=∠ .,,,P A E F ?四点共圆。
（摘录中等数学两个构造题目）
10.已知2014个实数122014,,...,x x x 满足方程组
()2014
1
1
1,2, (20142121)
k x n k n ===++∑，试计
算
2014
1
21k
k x k =+∑的值。 解：构造2014次多项式()()()20142014111211i i i i x f x x x x i ==??
????=++-?? ???+?????
?∑∏（1）
。由条件，知当x 分别取 1.2，...，2014时，均有()0f x =。因此存在常数c,使得
()()()()12...2014f x c x x x =---（2）
。在式（1），（2）中分别取1
2
x =-得14029c -= 则()()201411.4029i f x x i =-=-∏故()()()20142014201411112114029i i i i x x i x x i x i ===??
-????++-=-?? ???+?????
?∑∏∏，在上面式子中另1
2x =，得2014
21
1112144029k k x k =??=- ?+??∑
11.解方程组：
1
(1,2,...)n
k
i
i x
n k n ===∑
解：（来源中等数学杂志）当n=1时，显然11x =，不妨设2n ≥,构造多项式函数
()()()()1212121......n n n n n n f t t x t x t x t a t a t a t a ---=---=+++++，
则()()()12...0n f x f x f x ====，又
结合
原
方
程
组
得
()()1
1
21111
1
1
1.
..1n
n n
n n
n
n j
i
i j i
n n
n
i i j i i f x x a x a n a
n a
n --
-
=====?
?=
++=+
++++= ??
?
∑∑∑∑
∑，对照得()10,f =这表明，12,,...,n x x x 中至少一个为1，不妨设1n x =，则余下的未知数
121,,...,n x x x -满足方程组1
1
1(1,2,...,)n k i i x n k n -==-=∑一次类推，可得所有的1i x =，从而原
方程组的解为：12...1n x x x ====
12.下面在来介绍对一道几何题的3个引发性思考：,
（1）设,,,A B C D 是一个圆上任意四点，直线AB 与CD 交于点P 。直线AD 与BC 交于点Q ，证明：2
()().P Q PQ ρρ+=（其中()X ρ表示X 对已知圆的幂）
证明：情况（1）如果在圆上按A B C D →→→排序，则必定可以在PQ 上取到一点E ，使得BCEP 四点共圆，那么由180,PBC CEP ∠+∠=?则易知180QDC CEQ ∠+∠=?，所以
CEQD
四
点
共
圆
，
所
以
2()()P Q P C P D Q
C Q B
ρρ+=?+?=?+?
=得证！ 情况（2）如果在圆上按A C B D →→→排序。不妨设Q 在圆外，P 在圆内。可知在QP 在必定可以去一点E 使得EBPC 四点共圆，EPAD 四点共圆。
(),Q QC QB QP QE ρ=?=?而容易知道QE 平分QED ∠，从而易知ABEQ 四点共圆，所
以()Q PA PB PE PQ ρ=-?=?，两式相加即可。
情况（3）对于A B D C →→→的排列，略。
(2)已知弦AB,CD 内接与O ，且弦AB,CD 相交于G 。过弦AB 的端点作切线相交于M ，弦CD 的端点作切线相交于N ，连接MN 形成直线L ，证明：OG ⊥MN 解
：
()()
2
2
()G O ρρ
=
-
(由上面（1）结论），所以2222,GM GN OM ON -=-（易知）所以OG
⊥
MN
（2015年11月3号，姚佳斌整理，部分试题的解答）