高中数学线性规划经典题型
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线22
4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形
区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤?
解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围
成一个三角形区域（如图4所示）时有00
03x y x y x -≥??+≥??≤≤?
。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
例2：在平面直角坐标系中，不等式组20
200x y x y y +-≤??-+≥??≥?
表示的平面区域的面积是（）
(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2
解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20
200x y x y y +-≤??-+≥??≥?
表示的平面区域是一个三角形。容
易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.22
S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非
线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最
值问题（重点）
例3、设变量x 、y 满足约束条件??
???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距）
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1
的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可
行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分
题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
②则22x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 .
图1
三、含参问题：（较难） ①约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例4、在约束条件0
024x y y x s
y x ≥??≥??+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数
32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即
max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数
32z x y
=+在点
(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。
②已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤?
。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取
值范围为 。
解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+?=-+其表示为
斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y
=+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y ax z =-+过
Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.
a a -<-?>则a 的取值范围为(1,)+∞。
点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。
四、线性规划中的整点最优解问题（附近．．的点只的是上下左右．．．．．．．．．
） 例6、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件??
???≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则
1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解析：如图７，作出可行域，由101010z z x y y x =+?=-+，它表示为斜率为1-，纵截距为10
z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119(,)22
A z 取得最大值。因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近．．
整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z =
点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
C