模2乘与模2加运算
模2乘与模2加运算
在2进制下：
1+0=1；1+1=0；1*0=0；1*1=1对否？
对于二进制来说,其值可以有两种表示方法
0,1 和-1,+1
对于这两种表示方法,有着如下对应关系
0 <--->+1
1 <--->-1
对于0,1系统,一般用模2加，模2加相当于数字电子中的“异或”运算
等同。
对于+1,-1系统,一般用乘，模2乘相当于数字电子中的“与”运算。
两种运算结果是等价的,譬如
1+0=1
相应的: (-1)*(+1)=-1
模2乘还是有的，不过不是和模二加等同，而是用于多位二进制数之间的一种乘法，算法和10进制一样，只是相加时用模2加而已。
可以视为模2加和移位的组合。比如，1011 × 101可视为：
1011
0000
＋1011
－－－－－
100111
其中加法为模2加。
模电实验报告集成运算放大器
实验六 集成运算放大器的基本应用——模拟运算电路 一、 实验目的 1、 研究有集成运算放大器组成的比例、加法和减法等基本运算电路的功能 2、 了解运算放大器在实际应用时应考虑的有些问题 二、 实验仪器 1、 双踪示波器； 2、数字万用表； 3、信号发生器 三、 实验原理 在线性应用方面，可组成比例、加法、减法的模拟运算电路。 1） 反相比例运算电路 电路如图6-1所示。对于理想运放，该电路的输出电压与输入电压之间的关系为 为减小输入级偏置电流引起的运算误差，在同相输入端应接入平衡电阻 // 。 图6-1 反相比例运算电路 2） 反相加法电路 电路如图6-2所示，输出电压与输入电压之间的关系为： // // 图6-2 反相加法运算电路 Ui1 Ui2
3） 同相比例运算电路 图6-3（a ）是同相比例运算电路。 （a ）同乡比例运算 （b ）电压跟随器 图6-3 同相比例运算电路 它的输出电压与输入电压之间关系为： // 当即得到如图6-3所示的电压跟随器。图中,用以减小漂 移和起保护作用。一般取10K Ω, 太小起不到保护作用，太大则影响跟随性。 4） 差动放大电路（减法器） 对于图6-4所示的减法运算电路，当 Uo Uo
图6-4 减法运算电路 5） 积分运算电路 图6-5 积分运算电路 反相积分电路如图6-5所示，在理想化条件下，输出电压 等于 式中是t=0时刻电容C 两端的电压值，即初始值。 如果 E 的阶跃电压，并设 =0，则 Uo Ui2Ui1 Uo Ui
此时显然RC 的数值越大，达到给定的值所需的时间就越长，改变R 或C 的值 积分波形也不同。一般方波变换为三角波，正弦波移相。 6） 微分运算电路 微分电路的输出电压正比与输入电压对时间的微分，一般表达式为： 利用为自焚电路可实现对波形的变换，矩形波变换为尖脉冲。 图6-6 微分运算电路 四、 实验内容及实验数据 实验时切忌将输出端短路，否则将会损坏集成块。输入信号时先按实验所给的值调好信号源再加入运放输入端，另外做实验前先对运放调零，若失调电压对输出影响不大，可以不用调零，以后不再说明调零情况。 1、 方向比例运算电路 1） 按图6-1正确连线。 2） 输入f=100HZ ，=0.5V （峰峰值）的正弦交流信号，打开直流开关，用毫伏表测量 值，并用示波器观察的相位关系，记入表6-1。 表6-1 （峰峰值），f=100HZ Uo Ui
模电训练题及答案第二章
【1】电路如图(a)所示。设为A理想的运算放大器，稳压管DZ的稳定电压等于5V。 （1）若输入信号的波形如图(b)所示，试画出输出电压的波形。 （2）试说明本电路中稳压管的作用。 图(a) 图(b) 【相关知识】 反相输入比例器、稳压管、运放。 【解题思路】 （1）当稳压管截止时，电路为反相比例器。 （2）当稳压管导通后，输出电压被限制在稳压管的稳定电压。 【解题过程】 （1）当时，稳压管截止，电路的电压增益 故输出电压 当时，稳压管导通，电路的输出电压被限制在，即 。根据以上分析，可画出的波形如图(c)所示。
图(c) （2）由以上的分析可知，当输入信号较小时，电路能线性放大；当输入信号较大时稳压管起限幅的作用。 【2】在图(a)示电路中，已知, ，，设A为理想运算放大器，其输出电压最大值为，试分别求出当电位器的滑动端移到最上端、中间位置和最下端时的输出电压的值。反馈类型？ 图(a) 【相关知识】 反相输入比例器。 【解题思路】 当时电路工作闭环状态；当时电路工作开环状态。 【解题过程】 （1）当的滑动端上移到最上端时，电路为典型的反相输入比例放大电路。输出电压
（2）当的滑动端处在中间位置时，画出输出端等效电路及电流的参考 方向如图(b)所示。图中。 图(b) 由图可知 以上各式联立求解得 代入有关数据得 （3）当的滑动端处于最下端时，电路因负反馈消失而工作在开环状态。此时，反相输入端电位高于同相输入端电位，运放处于负饱和状态。输出电压。 【3】电压－电流转换电路如图所示，已知集成运放为理想运放，R2＝R3＝R4＝R7＝R，R5＝2R。求解i L与u I之间的函数关系。
模电-模拟运算电路实验
实验五 模拟运算电路 一、实验目的 1、了解并掌握由集成运算放大器组成的比例、加法、减法和积分等基本运算电路的原理与功能。 2、了解运算放大器在实际应用时应考虑的一些问题。 二、实验原理 集成运算放大器是一种具有高电压放大倍数的直接耦合多级放大电路。当外部接入不同的线性或非线性元器件组成输入和负反馈电路时，可以灵活地实现各种特定的函数关系。在线性应用方面，可组成比例、加法、减法、积分、微分、对数等模拟运算电路。 理想运算放大器特性 在大多数情况下，将运放视为理想运放，就是将运放的各项技术指标理想化，满足下列条件的运算放大器称为理想运放。 开环电压增益 A ud =∞ 输入阻抗 r i =∞ 输出阻抗 r o =0 带宽 f BW =∞ 失调与漂移均为零等。 理想运放在线性应用时的两个重要特性： （1）输出电压U O 与输入电压之间满足关系式 U O ＝A ud （U +－U －） 由于A ud =∞，而U O 为有限值，因此，U +－U －≈0。即U +≈U －，称为“虚短”。 （2）由于r i =∞，故流进运放两个输入端的电流可视为零，即I IB ＝0，称为“虚断”。这说明运放对其前级吸取电流极小。 上述两个特性是分析理想运放应用电路的基本原则，可简化运放电路的计算。 基本运算电路 1) 反相比例运算电路 电路如图5－1所示。对于理想运放， 该电路的输出电压与输入电压之间的 i F O U R U -=
关系为 为了减小输入级偏置电流引起的运算误差，在同相输入端应接入平衡电阻R 2＝R 1 // R F 。 图5－1 反相比例运算电路 图5－2 反相加法运算电路 2) 反相加法电路 电路如图5－2所示，输出电压与输入电压之间的关系为 )U R R U R R ( U i22 F i11F O +-= R 3＝R 1 / R 2 / R F 3) 同相比例运算电路 图5－3(a)是同相比例运算电路，它的输出电压与输入电压之间的关系为 i 1 F O )U R R (1U + = R 2＝R 1 / R F 当R 1→∞时，U O ＝U i ，即得到如图5－3(b)所示的电压跟随器。图中R 2＝R F ，用以减小漂移和起保护作用。一般R F 取10KΩ， R F 太小起不到保护作用，太大则影响跟随性。 (a) 同相比例运算电路 (b) 电压跟随器 图5-3 同相比例运算电路 4) 差动放大电路（减法器）
取模运算和取余运算
取模运算和取余运算 取模运算（“Modulo Operation”）和取余运算（“Complementation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是： 1.求整数商：c = a/b; 2.计算模或者余数：r = a - c*b. 求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。 例如计算：-7 Mod 4 那么：a = -7；b = 4； 第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）； 第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。
归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。 当符号不一致时，结果不一样。求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号和a一致。 另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。 补充： 7 mod 4 = 3（商= 1 或2，1<2，取商=1） -7 mod 4 = 1（商= -1 或-2，-2<-1，取商=-2） 7 mod -4 = -1（商= -1或-2，-2<-1，取商=-2） -7 mod -4 = -3（商= 1或2，1<2，取商=1） 这里模是4，取模其实全称应该是取模数的余数，或取模余。 增加补充内容（以上五行）后，被爱吉吉桑修改商值，但是括号内容不变，出现奇怪矛盾。 在python下% 运算符代表取模，如要修改，请先用python做-7 % 4 运算，或其它语言做取模运算验证，理解后再动手。 概念 定义 给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式： n = kp + r ；
快速幂算法C语言版(超详细)
快速幂取模算法 在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释，这里，我给出快速幂算法的完整解释，用的是C 语言，不同语言的读者只好换个位啦，毕竟读C 的人较多~ 所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。我们先从简单的例子入手：求c a b mod = 几。 算法1.首先直接地来设计这个算法： int ans = 1; for (int i = 1;i<=b;i++) { ans = ans * a; } ans = ans % c; 这个算法的时间复杂度体现在for 循环中，为O （b ）.这个算法存在着明显的问题，如果a 和b 过大，很容易就会溢出。 那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式： c c a c a b b mod )mod (mod =.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明： 引理1： c c b c a c de c de c dk te tkc c e kc d tc c ab e kc b e c b d tc a d c a c c b c a c ab mo d )]mod ()mod [(mod mod ))((mod ))((mod mod mod mod )]mod ()mod [(mod )(:2?==+++=++=+=?=+=?=?=证明： 公式 上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。 c a c c a c c c a c c a c c a c a b b b b b b mo d mod ])mod [() (mod ])mod )mod [((mod ])mod [(mod )mod (mod ===由上面公式的迭代证明：公式： 证明了以上的公式以后，我们可以先让a 关于c 取余，这样可以大大减少a 的大小， 于是不用思考的进行了改进： 算法2： int ans = 1; a = a % c; //加上这一句 for (int i = 1;i<=b;i++) {
模运算
https://www.wendangku.net/doc/7516302906.html,/jojoke/archive/2007/12/17/1003594.html 模运算2009-7-16 很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。 1. 模运算是取余运算(记做% 或者mod)，具有周期性的特点。 m%n的意思是n除m后的余数，当m递增时m%n呈现周期性特点，并且n越大，周期越长，周期等于n。 例如 0 % 20 = 0，1 % 20 = 1，2 % 20 = 2，3 % 20 = 3，...，19 % 20 = 19 20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3，...，39 % 20 = 19 2. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式 m = k * n + r (k为大于等于0的整数，r <= m） 3. 同余式，表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。 根据2的等式可以推出a = kn + b 或者a - b = kn 证明：∵ a = k1 * n + r1 b = k2 * n + r2 ∴a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2) a = k * n + (r1 - r2) + b ∵a, b对n取模同余，r1 = r2 ∴a = k * n + b (k = k1 - k2) 4. 模运算规则，模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下 (a + b) % n = (a % n + b % n) % n （1） (a - b) % n = (a % n - b % n) % n （2） (a * b) % n = (a % n) * (b % n) % n （3） a b % n = ((a % n)b) % n （4） （《ACM》P237规则有错，已改之） （1）式证明 ∵a = k1*n + r1 b = k2*n + r2 a % n = r1 b % n = r2
取模运算
取模运算 取模运算即模运算模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。例如11 Mod 2，值为1 上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理： Turbo Pascal对mod的解释是这样的： A Mod B=A-(A div B) * B （div含义为整除） 运算及其应用 本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。 一基本理论： 基本概念： 给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式n = kp + r ； 其中k、r是整数，且0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。 对于正整数p和整数a,b，定义如下运算： 取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。 模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。 模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。 模p乘法：(a * b) % p，其结果是a * b算术乘法除以p的余数。 说明： 1. 同余式： 正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。 2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。 例如：7%4 = 3，-7%4 = -3，7%-4 = 3，-7%-4 = -3。 基本性质：（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7) （2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p) （3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p) （4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p) 运算规则： 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
幂模运算快速算法
幂模运算快速算法——滑动窗口算法 设e 的二进制表达式为：∑-== 10)2(k i i i e e ，其中}1,0{∈i e 。那么，n X e mod 的幂模运算二进制算法如下： 输入：X ，e ，n 输出：n X C e mod = Step 1: 1=C Step 2: for 1-=k i downto 0 Step 2.1: n C C C mod )*(= Step 2.2: if 1=i e then n X C C mod )*(= Step 3: return C 由二进制法的计算过程可知：当指数e 的二进制位为0时，会减少乘模的次数。二进制法的直接推广是m 进制法，其基本思想是把指数分成r bits(即m 2log bits)的数据块，每次取指数e 的r bits 进行运算，从而使整个幂模运算的效率提高。假定e 的每个比特是0或1的概率相同，则m 进制法一个数据块是全0的可能性为r -2，当r 增加时，数据块为全0的可能性会减少，因此在Step 2.2需做乘模的可能性增加；而当r 减小时，算法总的乘模次数也会增加。滑动窗口技术提供了一种折衷，允许零数据块和非零数据块是变长的，目的是增加全0数据块的数量，从而使总的乘模次数减少。 具体方法是：把k bits 指数分解成z 个零窗口或非零窗口i F ，i F 长度为)(i F L 。规定最大窗口长度为d ，即))(max(i F L d =，显然总窗口数z 可能不等于d k 。d 的取值与模数的位长有关。 对单一窗口的幂模运算进行预处理，即预计算n X w mod ，其中 12,,7,5,3-=d w ，因为指数分解的原则使非零窗口的最低有效位必定为1，故w 为为奇数，从而使预处理次数减少了一半。 滑动窗口算法处理幂模运算的过程如下： 输入：X ，e ，n 输出：n X C e mod = Step 1: 预计算。 Step 2: 将k bits 的指数e 分解成长度为)(i F L 的零窗口或非零窗口i F ，1,,2,1,0-=z i 。 Step 3: 1=C Step 4: for 1-=z i downto 0 Step 4.1: n C C i F L mod )(2= Step 4.2: if 0≠i F then n X C C i F mod )*(= Step 5: return C 窗口的划分采用了从左至右扫描的变长滑动窗口技术，因为计算是从高位至低位进行的。如果采用从
2016东南大学模电实验1运算放大器的基本应用
东南大学电工电子实验中心 实验报告 课程名称：模拟电子电路实验 第 1 次实验 实验名称：运算放大器的基本应用 院（系）：吴健雄学院专业：电类强化班 姓名：学号： 610142 实验室:实验组别： 同组人员：实验时间：2016年4月10日 评定成绩：审阅教师： 一、实验目的 1.熟练掌握反相比例、同相比例、加法、减法等电路的设计方法； 2.熟练掌握运算放大电路的故障检查和排除方法； 3.了解运算放大器的主要直流参数（输入失调电压、输入偏置电流、输入 失调电流、温度漂移、共模抑制比，开环差模电压增益、差模输入电阻、输出电阻等）、交流参数（增益带宽积、转换速率等）和极限参数（大差模输入电压、大共模输入电压、大输出电流、大电源电压等）的基本概念； 4.熟练掌握运算放大电路的增益、幅频特性、传输特性曲线的测量方法；
5.掌握搭接放大器的方法及使用示波器测量输出波形。 二、预习思考 1.查阅 LM324 运放的数据手册，自拟表格记录相关的直流参数、交流参数 和极限参数，解释参数含义。
2.设计一个反相比例放大器，要求：|AV|=10，Ri>10K?，RF=100 k?，并用 multisim 仿真。 其中分压电路由100k?的电位器提供，与之串联的510?电阻起限流的作用。 3.设计一个同相比例放大器，要求：|AV|=11，Ri>10K?，RF=100 k?，并用 multisim 仿真。
三、 实验内容 1. 基本要求 内容一： 反相输入比例运算电路各项参数测量实验（预习时，查阅 LM324 运放的数据手册，自拟表格记录相关的直流参数、交流参数和极限参数，解释参数含义）。 图 1.1 反相输入比例运算电路 LM324 管脚图 1) 图 1.1 中电源电压±15V ，R1=10k Ω，RF=100 k Ω，RL ＝100 k Ω，RP ＝10k//100k Ω。按图连接电路，输入直流信号 Ui 分别为－2V 、－0.5V 、0.5V 、2V ，用万用表测量对应不同 Ui 时的 Uo 值，列表计算 Au 并和理论值相比较。其中 Ui 通过电阻分压电路产生。 Ui/V Uo/V Au 测量值 理论值 -2 13.365 -6.6825 \
模运算详解
模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分，因此，我们在分析CRC算法之前，必须掌握模2运算的规则。 与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。 与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。 ①模2加法运算定义为： 0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110， 列竖式计算： 0101 ＋0011 ────── 0110 ②模2减法运算定义为： 0－0＝0 0－1＝1 1－0＝1 1－1＝0 例如0110－0011＝0101， 列竖式计算：
0110 －0011 ────── 0101 ③模2乘法运算定义为： 0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1 多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。 例如1011×101＝100111， 列竖式计算：
1011 ×101 ────── 1011 +0000 +1011 ──────── 100111 ④模2除法运算定义为： 0÷1＝0 1÷1＝1 多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。
模逆运算快速算法
模逆运算快速算法——扩展的Euclid 算法与扩展的Stein 算法 (1)扩展的Euclid 算法 求模逆的传统算法是扩展的Euclid 算法，该算法是在用Euclid 算法求取二个数的最大公因子时，若最大公因子为1，说明二个数互素，则可同时得出二者的乘法逆元。 算法描述如下： 输入：二个整数a 、b ，设b a > 输出：a 与b 的最大公因子；若二者互素，同时得出乘法逆元 Step 1: ),0,1(),,(321a X X X ←，),1,0(),,(321N Y Y Y ← Step 2: if 03=Y then return ),gcd(3b a X =，no inverse Step 3: if 13=Y then return ),gcd(3b a Y =，a Y b mod 21=-，b b Y a mod )(11+=- Step 4: ??33X Q = Step 5: ),,(),,(332211321QY X QY X QY X T T T ---← Step 6: ),,(),,(321321Y Y Y X X X ← Step 7: ),,(),,(321321T T T Y Y Y ← Step 8: goto Step 2 (2)扩展的Stein 算法 较之扩展的Euclid 算法，扩展的Stein 算法可以得到更高的执行效率。 Stein 算法基于以下求取二个数公因子的基本性质： 1)若a 与b 都是偶数，则)2,2gcd(2),gcd(b a b a = 2)若a 为偶数、b 为奇数，则),2gcd(),gcd(b a b a = 3)若a 与b 都是奇数，则),2)(gcd(),gcd(b b a b a -= 由于除2在二进制运算中仅做一次移位操作，因此可以说Stein 算法主要只用到了减法，通过计算复杂性分析可知，在最坏情况下，Stein 算法所需减法次数为)13()(-+lb a lb 。 使用扩展的Stein 算法处理模逆运算的流程如下图所示。
幂模运算
2. 大数幂模与乘模运算?Montgomery 幂模算法 在实现了vlong 类型后，大数的存储和四则运算的功能都完成了。考虑到RSA 算法需要进行幂模运算，需要准备实现这些运算的方法。所以写一个vlong 的友元，完成幂模运算功能。幂模运算是RSA 算法中比重最大的计算，最直接地决定了RSA 算法的性能，针对快速幂模运算这一课题，西方现代数学家提出了很多的解决方案。经查阅相关数学著作，发现通常都是依据乘模的性质 n n b n a n b a mod ))mod ()mod ((mod )(?=?，先将幂模运算化简为乘模运算。 通常的分解习惯是指数不断的对半分，如果指数是奇数，就先减去一变成偶数，然后再对半分，例如求D=n C E mod ，E=15，可分解为如下6个乘模运算。 n C n C C C m od m od 21=?= n C n C C C m od m od 312=?= n C n C C C mod mod 6223=?= n C n C C C mod mod 734=?= n C n C C C mod mod 14445=?= n C n C C C mod mod 1556=?= 归纳分析以上方法，对于任意指数E ，可采用如图2-4的算法流程计算 。
图2-4 幂模运算分解为乘模运算的一种流程 按照上述流程，列举两个简单的幂模运算实例来形象的说明这种方法。 ①求17 mod 215的值 开始 D = 1 P = 2 mod 17 = 2 E = 15
E奇数 D = DP mod n = 2 P = PP mod n = 4 E = (E-1)/2 =7 E奇数 D = DP mod n = 8 P = PP mod n = 16 E = (E-1)/2 =3 E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E = (E-1)/2 =1 E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E = (E-1)/2 =0 最终D = 9 即为所求。 ②求13 mod 28的值 开始 D = 1 P = 2 mod 17 = 2 E = 8 E偶数 D = 1 P = PP mod n = 4 E = E/2 =4 E偶数 D = 1 P = PP mod n = 3 E = E/2 =2 E偶数 D = 1 P = PP mod n = 9 E = E/2 =1 E奇数 D = DP mod n = 9 P = 不需要计算 E = (E-1)/2 =0 最终D = 9 即为所求。 观察上述算法，发现E根据奇偶除以二或减一除以二实际就是二进制的移位操作，所以要知道需要如何乘模变量，并不需要反复对 E 进行除以二或减一除以二的操作，只需要验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了。同样是计算 ，下面给出从右到左扫描二进制位进行的幂模算法描述，设中间变D E mod C n 量D,P,E的二进制各位下标从左到右为u,u-1,u-2, 0 Powmod(C,E,n) { D=1; P=C mod n; for i=0 to u do { if(Ei=1)D=D*P(mod n); P=P*P(mod n); }
计算凸凹模尺寸
孔4×Ф5.5凸、凹模尺寸计算： 凸模： d 凸=（d min + x ?）0凸 δ -=（5.5+0.5?0.3）002.0-=5.650 02.0- 凹模： d 凹=（d 凸+ Z min ）凹 δ0=（5.65+0.64）02.00 +=6.2902.00+ 孔Ф26凸凹模尺寸计算： 凸模： d 凸=（d min + x ?）0凸 δ -=（26+0.5?0.52）002.0-=26.26002.0- 凹模： d 凹=（d 凸+ Z min ）凹 δ0=（26.26+0.64）02.00 +=26.9025.00+ 外形凸凹模尺寸的计算（落料）： 根据零件的形状，凹模磨损后其尺寸变化都为第一类A （磨损后尺寸增大） 由教材表3—6查得 1x ＝0.5 2x ＝0.5 凹A =凹（δ)?+x A 式 ( 1—2 ) 式中： A —工件基本尺寸(mm) △—工件公差（mm ） 凹δ－凹模制造公差（mm ） 1凹A =025.004 5.1705.17015.0170-?--==?+凹 ）（δ 025.005.15415.01542--=?+=凹）（凹δA
凹模的外形一般有矩形与原形两种。凹模的外形尺寸应保证凹模有足够的强度与刚度。凹模的厚度还应包括使用期内的修磨量。凹模的外形尺寸一般是根据材料的厚度和冲裁件的最大外形尺寸来确定的。 查《冲压工艺及模具设计》万战胜主编中国铁道出版社表2—22 凹模外形尺寸得凹模最小壁厚C=52mm 凹模厚度H=36mm 故凹模板的外形尺寸：长 L=L1＋2C=170＋52×2=274mm 宽 B=L2＋2C=154＋52×2=258mm 故L×B×H=274×258×36 mm 又查《模具手册之四—冲模设计手册》编写组编著机械工业出版社表14-6 矩形和圆形凹模外行尺寸（GB2858-81）将上述尺寸改为315×250×40mm。
2020年上海市金山区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市金山区高考数学二模试卷 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列计算结果一定不等于0的是（） A. B. C. D. 2.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既 同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体 A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3.设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若 |PF1|+|PF2|=6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2=30°，则双曲线C的渐近线方程是（） A. x±y=0 B. x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0 4.若实数a、b满足，则的取值范围是（） A. [-2，0] B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5.函数的定义域是______． 6.函数y=（sin x+cos x）2的最小正周期是______． 7.若关于x、y的线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为，则m+n 的值是______ 8.二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为______． 9.已知全集U=R，集合，则?U P=______． 10.若z1=1+i，z2=a-i，其中i为虚数单位，且R，则|z2|=______ 11.方程（t为参数，t∈R）所对应曲线的普通方程为______ 12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则=______． 13.若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别 0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品 的概率是______（结果用小数表示）
大数模幂运算快速算法
有朋友问我的博文《素性测试》中的Miller-Rabin算法的大数模幂运算快速算法怎么理解，由于在《素性测试》中没有讲解算法原理，所以在此单独一个篇文章详细讲这个算法。这是一个在密码学中比较重要的算法，在我的《素性测试》一文则是用于实现费马小定理。 首先我们先把问题简化一下，看看如何快速求a^b. 先看看我们熟知的两个数学公式： a^(2c) = (a^c)^2； a^(2c+1) = a*((a^c)^2)； 我们就利用这两个数学公式来解决这个问题，比如a=3,b=13时，我们把b写成二进制的形式13(10)=1101(2),我们从低位到高位运算，每运算一位可以将b右移一位，上面的例子可以转化成3^13 = 3^1 * 3^4 * 3^8,结合上面的两个数学公式我们可以写出如下的代码： 代码清单： [java]view plain copy
如上面的叙述叙述中可以看出快速pow算法的时间复杂度取决于b的二进制位数，而传统的一位一位累乘的pow算法的时间复杂度取决于b的大小，例如上述例子中，两种算法的运算次数分别为4次，和13次。随着b的增大，效率上的差距是显然的。 下面进入我们的主题---大数模幂运算快速算法(a^b % m) 要计算这个，我们首先还要知道一个数学公式： a^b % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有b个 下面我还用上面b=13的例子，利用这个公式来证明下 a^13 % m = ((a^8) % m) * ((a^4) % m) * ((a^1) % m) 证明： 由a^b % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有b个得 a^8 % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有8个 a^4 % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有4个 a^1 % m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m 其中a%m有1个 所以((a^8) % m) * ((a^4) % m) * ((a^1) % m) = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m 其中a%m有13个= a^13 % m ； 证毕。 由上面我们证明的公式和第一个pow的例子，容易写出代码如下： 代码清单： [java]view plain copy
2017年江苏省淮安市高考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省淮安市高考数学二模试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）. 1．已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=． 2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是． 3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是． 4．现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是． 5．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是． 7．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm． 8．函数f（x）=的定义域是． 9．已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3=a4a5，S9=1，则a1的
值是． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．11．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若?=﹣7，则?的值是． 12．在△ABC中，已知AB=2，AC2﹣BC2=6，则tanC的最大值是． 13．已知函数f（x）=其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是． 14．已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．已知sin（α+）=，α∈（，π）． 求：（1）cosα的值； （2）sin（2α﹣）的值． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E． 求证：（1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．
2模四
实验四 模拟运算电路 一、实验目的 1、深刻理解运算放大器的“虚短”、“虚断”的概念。熟悉运放在信号放大和模拟运算方面的应用； 2、掌握反相比例运算电路、同相比例运算电路、加法和减法运算及单电源交流放大等电路的设计方法； 3、学会测试上述各运算电路的工作波形及电压传输特性。 二、实验仪器与器材 示波器、直流稳压源、函数发生器、交流毫伏表、模拟电路实验箱、万用表、μA741运算放大器等。 三、实验内容 用运算放大器μA741完成下面的设计题目。 μA741的外观和引脚图如图4-1。本次实验中μA741的工作电压为±15V 。引脚说明： 2――反相输入端； 3――同相输入端； 4――负电源； 6――输出端； 7――正电源； 1、设计反相放大器 设计一反相放大器，满足关系式V f A ＝－10（原理图：书71页图2-4-1，已知Ω=10K R 1，其它电阻值自取）。 (1) 在输入接地的情况下，进行调零。调零电路见图2-4-8。 (2) 输入直流信号i U 分别为0.5V 、0.2V 、－0.2V 、－0.5V ，用万用表测量对应于不同i U 的U o 值填入 表4-1，计算V f A 且与理论值比较。 1 2345 67 8 μ A 741U _ U + -U C C +U C C U 图4-1 μA741外观和引脚图
(3)输入1KHz 的正弦信号，在输入不失真的情况下（建议i U ＝0.2V ），测量O U 、H f 、L f ，计算Vf A 及BW 。（选做） BW 测试方法：给入1KHz 的正弦信号，调节输入电压使得输出波形不失真（如i U ＝0.2V ），调整示波器的“W Div ”及其微调旋钮使显示的O U 波形高度正好为5格。保持输入信号i U 大小不变（由交流毫伏表监视），分别将信号源频率向高频及低频调节，O U 波形的幅度将会随频率的变化而逐渐减小，当在频率的高端及低端波形幅度下降到最大幅度的0.7倍时，所对应的信号源的频率就是被测放大器的上限截止频率H f 及下限截止频率L f 。 2、设计加法器 设计一加法器，满足O i1i 2U (U U )=-+，原理图2-4-4,Ω===10K R R R F 21。选取两组直流信号电压，测量相应的O U 值，填入表4-2中，并与理论值进行比较。 表4-2 3、设计减法器 设计一减法器，满足O i1i 2U 10(U U )=--，原理图2-4-5,Ω==Ω==100K R R ,10K R R F 321。选取两组直流信号电压，测量相应的O U 值，填入表4-3中，并与理论值进行比较。 表4-3 4、设计单电源交流放大器（本科要求完成，杏林不作要求） 设计一个单电源交流放大器，要求V f A ＝－4，原理图2-4-6,F R 为可调电阻，调节其值为40K Ω。 (1) 输入1KHz ，且i U ＝0.5V 的正弦信号，观察输入输出波形并记录波形（标出峰峰值或计算出有效值）。 (2) 测量输出电压有效值，验证是否满足V f A ＝－4。
模运算
模运算 “模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。 Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。 ?中文名模运算 ?外文名Mod ?概述计算机编写程序 ?领域数论和程序设计 ?类型以纯理论为主 举例 11 Mod 2，值为1 上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理： Turbo Pascal对mod的解释是这样的： A Mod B=A-(A div B) * B （div含义为整除）[1] 概念及性质 本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。 基本概念 给定一个正整数，任意一个整数，一定存在等式；其中、是整数，且 ，称为除以的商，为除以的余数。 对于正整数和整数 , ，定义如下运算： 取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。 模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。 模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。 模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。 说明： 1.同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。 2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = - 3(在java、C/C++中%是取余，在python是模运算，此处%按取余处理)。 基本性质 （1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7) （2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p) （3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p) （4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)
RSA模幂运算的实现
#include if(b[i]==1) k=k*l%n; printf("i=%d, b[i]=%d, %d\n",i,b[i],k); l=(l*l)%n; } printf("计算结果为：%d\n",k); return 0; }