一元二次方程与函数
．一元二次方程与函数练习
1.已知a 是一元二次方程2320x x +-=的实数根，求代数式2352362a a a a a -??÷+- ?--??的值.
2..已知x 2-x-1=0求x 3+x 2-3x+2010的值
3.已知a 是方程x 2+5x-2=0一个根，求2a 2+10a-7和a 3+6a 2+3a+4的值
4． 已知：关于x 的一元二次方程2
3(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.
5.已知关于x 的一元二次方程22
(41)30x m x m m -+++=.
（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；
6.关于x 的一元二次方程2(32)220mx m x m --+-=．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，2(32)22mx
m x m --+-=0总有实数根； （3）若m 为正整数，且关于x 的一元二次方程
2(32)220mx m x m --+-=有两个不相等的整数
根，求m 的值
7.已知：关于x 的一元二次方程2
3(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.
8.已知关于的x 一元二次方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0
(1)若m>0，求证方程有两个不相等的实数根
(2)若12 9.设m 为整数，且4 10.已知关于x 的方程032)1(2=+++-k kx x k ． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y 的方程2(4)10y a k y a +-++=的整数根 （a 为正整数）． 11.已知关于x 的方程2(32)(3)0mx m x m +-+-=，其中0m >。 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x ，其中12x x >，若21 13x y x -=，求y 与m 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y m ≤-成立的m 的取值范围。 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A (3-,0)， 与y 轴交于点B ，且与正比例函数43 y x =的图象的交点为C ( m ,4) ． (1) 求一次函数y kx b =+的解析式； (2) 若点D 在第二象限，△DAB 是以AB 为直角边的 等腰直角三角形，直接写出点D 的坐标． 13.在平面直角坐标系xOy 中，A 为第一象限内的双曲线1k y x =（10k >）上一点，点A 的横坐标为1，过点A 作平行于 y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线2k y x =（20k <） 交于点C . x 轴上一点(,0)D m 位于直线AC 右侧，AD 的中点为E . (1)当m=4时，求△ACD 的面积（用含1k ，2k 的代数 式表示）； (2)若点E 恰好在双曲线1k y x =（10k >）上，求m 的值； (3)设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当 点D 的坐标为(2,0)D 时，若△BDF 的面积为1， 且CF ∥AD ，求1k 的值，并直接写出线段CF 的长. 14.在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点在函数1 1:(0)k C y x x =>的图象上， 其中10k >．AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且 AC =1． (1) 若1k =2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ； (2) 如图1，若点B 的横坐标为1k ，且11k >，当AO =AB 时，求1k 的值； (3) 如图2，OC =4，BE ⊥y 轴于点E ，函数22:(0)k C y x x =>的图象分别与线段BE ， BD 交于点M ，N ，其中210k k <<．将△OMN 的面积记为1S ，△BMN 的面积记为2S ，若12S S S =-，求S 与2k 的函数关系式． 图2 图1 15..已知关于x 的一元二次方程（a-1)x 2+(2-3a)+3=0 (1)求证：当a 取不等于1的实数时，方程总有两个实根 (2)若m,n(m 3 411=+n m ，直线l:y=mx+n 交x 轴于点A ，交y 轴于点B 。坐标原点O 关于直线l 的对称点O ′在反比例函数y=x k 的图像上，求反比例函数y=x k 的解析式 (3)在（2）成立的条件下，将直线l 绕点A 逆时针旋转角θ（0〈θ〈90°），得到直线l ′, l ′交y 轴于点P ，过点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数y=x k 的图像交于点Q ，当四边形APQO'的面积为9-2 33时，求θ的值 16.一副直角三角板如图放置点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90o，∠A=60o，AC=23。求CD 的长 E B A F D C 一、相关知识点 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0 一元二次方程及其应用 一、选择题 1（2015?酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（） A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500 C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500 2．（2015?安徽）我省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．（1+x）= B．（1+2x）= C．（1+x）2= D．（1+x）+（1+x）2= 3．（2015?日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20% B．40% C．-220% D．30% ( 1. （2016·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．20（1+2x）= B．（1+x）2=20 C．20（1+x）2= D．20+20（1+x）+20（1+x）2= 2. （2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（） A．2B．1C．﹣2D．﹣1 3. （2016·辽宁丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为． 4.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 5．（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 ] 6.（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（） A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2 8. （2016·云南省昆明市）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 9.(2016河北3分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0 1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？ 解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子） 5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价：1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游，推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游，共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游？ 图 1 初三数学第二次月考 班级 姓名 学号 一．选择题(每小题3分，共24分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） 4．关于的一元二次方程有实数根，则( ) (A)＜0 (B)＞0 (C)≥0 (D)≤0 1. A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2 =x 5.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 7. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___ 象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次 函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( ) 二.填空题（每小题4分，共32分） 2. 9.若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________. 10. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________. 11. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析 式为_____________. 12.已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的 根的情况是______________________. 13..若关于的方程 的根是整数，则k 的值可以是______.(只要求写出一个) 14.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次 函数的解析式：_____________________. 16.如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点 的坐标是________________. O x y A B 1 1 三．解答题 1．用适当的方法解方程： （1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5； 一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=- 一元二次方程的应用 1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元． （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元． 2．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷． （1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率； （2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？ 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件； （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元）x 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． 7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽． 一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为 一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零． 2. 平移规律： 二次函数与一元二次方程专题 一、知识要点： 二次函数图象与x 轴交点情况： 二、经典例题： 1．y=(m-2)22-m x +x －3=0是关于x 的二次函数，则m 的值是 2.(1)关于x 的二次函数y=22(1)1a x x a -++-经过坐标原点，则=a (2)二次函数y=2 (0)ax bx c a ++≠与x 轴两交点的横坐标分别为1和1-，则=++c b a ，=+-c b a （3）等腰ABC △三边的长都是二次函数y=x 2-5x+6与x 轴两交点的横坐标，则周长是 ． 3．求下列二次函数与x 轴交点坐标. （1）2222y x mx m n =-+- （2）2()2y m n x nx m n =++-+ （0≠+n m ） 4．已知：关于x 的二次函数y=269kx x -+与x 轴有两个交点，则k . 5.已知关于x 的二次函数2 3y x m x m =-＋（）－ 求证：该函数与x 轴必有两个交点. 6.若关于x 的二次函数y=x 2-x+m 和y=（m-1）x 2-2x+1都与x 轴有两个交点，求m 的整数值. 7.当k 为何整数时，关于x 的二次函数y=kx 2－4x ＋4和y=x 2－4kx ＋4k 2－4k －5都与x 轴交于整数点. 8.已知：m 为整数，且二次函数y=x 2－3x ＋m ＋2与x 轴正半轴有两个交点，求m 值. 9.已知：抛物线21y (32)22mx m x m =-+++开口向上． （1）求证：该二次函数与x 轴必有两个交点； （2）设抛物线与x 轴交点为A （1x ，0），B （2x ，0）（A 在B 左侧）．若2y 是关于m 的函数，且2212y x x =-， 求这个函数的解析式； （3）若AB=3，求抛物线的解析式. 一元二次方程的起源与应用 一年七班 唐梦雷 一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 二、 起源 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。 三、一元二次方程的广泛应用 例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ （1）35 22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+ x x ；（8）522=+y x 注意点： ①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数． 例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 一元二次方程应用题经典题型汇总 （一）传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后，由每盒200 元下调至128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主 干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共 互赠了182 件，这个小组共有多少名同学？ 6. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，这个小组共有多 少人？ 7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？ （二）平均增长率问题 变化前数量×（1x）n＝变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤，2003 年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90 元降到了40 元，求平均每 次降价率是。 3. 某种商品，原价50 元，受金融危机影响， 1 月份降价10％，从2 月份开始涨价， 3 月份的售价为64.8 元，求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求 每次降价的百分率？ 5. 为了绿化校园，某中学在2007 年植树400 棵，计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵，求该校植树平均每年增长的百分数。 一、一元二次方程的应用题 1．（2010年长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ………………………1分 5000（1－x ）2= 4050 ………………………………………3分 解得：x 1=10％ x 2＝ 19 10 （不合题意，舍去） …………………………4分 答：平均每次降价的百分率为10％． …………………………………5分 （2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝（元） ……………………6分 方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝（元） ……7分 ∵＜ ∴选方案①更优惠． ……………………………………………8分 2．（2010年成都）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 答案：26.. 解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意，得 2 150(1)216 x += 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）。 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 （2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。 23.4 一元二次方程的应用 情境切入 学海导航 完全解读 知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤 列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （6）答：写出答案． 友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题 （1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注 意挖掘题目中隐含的等量关系； （2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转 化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系； （3）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写 成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致． 例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售 价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 . 思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月 平均涨价率为x ，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ）（1+x ）即50×（1—10%）×（1+x ）2 ，由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。 解：设4、5月份两个月平均涨价率为x ，由题意，得 50×（1—10%）×（1+x ）2=64.8。整理，得（1+x ）2=1.44. 解得：120.220%, 2.2x x ===-（不合题意，舍去）。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。 解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。 例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四 个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 思维点击：设截去正方形的边长x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和 宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式. 解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得 一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1．如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.216(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后 再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程， 就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方 1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2 +bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根 △ =b 2 -4ac>0。 (2)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两 个相等实根， (3)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根 △=b 2 -4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式2 4b ac -= 0，相应二次方程2 3280 x x -+=的根的情况为 ． 2、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图 像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时， 知识梳理 新课讲解 一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数 学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解 外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1：下列关于的方程， 哪些是一元二次方程？；（1）（2）； （3）；（4）；22222（5）； （6）；（7）（8）； x注意点：① 二次项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③是整 式方程；④只含有一个未知数．22例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 m例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的 值为。2例3：若方程是关 于x的一元二次方程，则m的取值范围 是。mn2例4：若方程nx+x-2x=0是一元二次方程， 则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2（一）、一元二次方程的一般 形式：，它的特征是：等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中 叫做二次项，叫ax xa做二次项系数；叫做一次项，叫 二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校彭足琼 凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。 既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。 1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a ≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于 0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。 2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b2-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b2-4ac=0时有两个相等的实数根③b2-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。 3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题： 典型例题（1）：求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值 《一元二次方程》应用题的几种类型 一．传播问题：公式：(a+x)n =M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后 得病总人数 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传 染中平均一个人传染了几个人？ 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目 的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多 少小分支？ 二、循环问题又可分为单循环问题1/2n(n-1)， 双循环问题n(n-1)和复杂循环问题1/2n(n-3) 3．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比 赛，共有多少个队参加比赛？ 4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少 人参加聚会? 5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比 赛，共有多少个队参加比赛？ 6.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少 人? 7.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？ 三、平均率问题 M=a(1±x)n， n为增长或降 低次数 , M为最后产量，a为基数，x为 平均增长率或降低率 8.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总 收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营 总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万 元？ 存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本 金×（1+a%）n 四、商品销售问题常用关系式：售价—进价 =利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额利润率= 利润 ÷进价 9. 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的 销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售 量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每 件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 10. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可 售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 11. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元， 为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(完整版)一元二次方程知识点及其应用
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