2020-2021学年重庆市南开中学高二上期中理科数学试卷

【最新】重庆市南开中学高二上期中理科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线2

y x =的准线方程为 A 、14x =

B 、14x =-

C 、14y =

D 、14

y =- 2．若直线10ax y ++=与直线()210a x y --=平行，则实数a 的值为 A 、12-

B 、13

C 、1

D 、1

2

-或1

3．命题“0,20x

x ?”的否定是

A ．0,20x x ?<≤

B ．0,20x x ?>≤

C ．0,2

0x

x ?

D ．0,20x x ?<≤

4．双曲线2

2

54600x y -+=的焦点坐标为

A 、()±

B 、()

C 、(0,±

D 、(0, 5．已知原命题：若sin 1x =，则2

x π

=，则它的否命题为

A ．若sin 1x =，则2

x π

≠

B ．存在sin 1x =，使2

x π

≠

C ．若sin 1x ≠，则2

x π

≠

D ．若2

x π

≠

，则sin 1x ≠

6．过点()2,0-的直线l 与双曲线2

2:14

x C y -=有且只有一个公共点，这样的直线共有

A 、1条

B 、2条

C 、3条

D 、4条

7．过点（0，1）的直线l 被圆22

(1)4x y -+=所截得的弦长最短时，直线的斜率为（ ）

A ．1

B ．-1

C D ．

8．已知点()0,1A -，抛物线()2

:20C y px p =>的焦点为F ，直线AF 与抛物线C

在第一象限交于M 点，AF FM =，O 为坐标原点，则OAM ?的面积为

A 、1

B 、

2 C 、1

2

D 、4 9．已知曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则“f 1(x 0,y 0)=f 2(x 0,y 0)”是“点M(x 0,y 0)是曲线C 1与C 2的交点”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

10．已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为其右

支上一点，连接

1

PF 交y 轴于点Q ，若

2

PQF ?为等边三角形，则双曲线C 的离心率为

A B C 、2 D

11．已知某椭圆经过点()1,0-和点()1,0，且()1,2-是它的一个焦点，则该椭圆的另一焦点的轨迹是 A 、圆的一部分 B 、椭圆的一部分 C 、双曲线的一支 D 、抛物线

12．已知点P 在以F 为左焦点的双曲线2

2

:1C x y -=上运动，点A 满足0AP AF ?=，则点A 到原点的最近距离为

A 、1

B

C

D 、2

二、填空题

13．抛物线22y x =上的点A 到其焦点的距离为1，则点A 到y 轴的距离为____________．

14．已知椭圆22

195

x y +=的左、

右焦点分别为1F 、2F ，P 为该椭圆上异于顶点的一点，且12PF F ?是等腰三角形，则12PF F ?的面积为____________．

15．已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，由2F 向

双曲线C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若12F HF ?的面积为2b ，则双曲线C 的渐近线方程为____________．

16．已知椭圆22

1164

x y +=左焦点为F ，A 、B 、C 是该椭圆上不同的三点，若F 是

ABC ?的重心，则AF BF CF ++=____________．

三、解答题

17．已知p ：直线()212y m x m =++-的图象不经过第二象限，q ：

方程2

2

11y x m

+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，若()p q ?∨为假命题，求实数m 的取值范围．

18．已知M 是椭圆2

214

x y +=上任意一点，N 为点M 在直线3x =上的射影，OP OM ON =+，其中O 为坐标原点．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；

（Ⅱ）过点()1,4A 的直线l 与（Ⅰ）中曲线E 相切，求切线l 的方程．

19．已知F 为抛物线2

:2C y px =的焦点，点()3,A m 在抛物线C 上，且5AF =．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）过点F 作斜率为2的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，求弦PQ 的中点坐标．

20．已知点()0,1A ，点P 在双曲线2

2:12

x C y -=上． （Ⅰ）当PA 最小时，求点P 的坐标；

（Ⅱ）过A 点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，

若OMN ?的面积为l 的方程．

21．已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为，左顶点和上、下顶点连成的三角形为正三角形． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）若对于点(),0M m ，存在x 轴上的另一点．．．N ，使得过N 点的任意直线l ，当l 与椭圆E 交于相异两点P 、Q 时，MP MQ ?为定值，求m 的取值范围．

22．如图所示，直线l 与双曲线2

2

:14

y E x -=及其渐近线依次交于A 、B 、C 、D 四

点，记

,AB AC

BD CD

λμ==．

（Ⅰ）若直线l 的方程为2y x =+，求λμ及；

（Ⅱ）请根据（Ⅰ）的计算结果猜想λμ与的关系，并证明之．

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：抛物线2

y x =中12p =

，所以其准线方程为

1

4x =-

，故选择B ． 考点：求抛物线准线方程． 2．B 【解析】

试题分析：若直线10ax y ++=与直线

()210a x y --=平行，需满足：

()()

1121a a ?-=?-解得：

1

3a =

，故选择B ．

考点：直线位置关系． 3．D 【解析】

试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可得命题“0,20x

x ?”的否定是

“0,20x x ?<≤”，故选择D ． 考点：特称命题的否定． 4．C 【解析】

试题分析：双曲线的标准方程为：22

11512y x -=，所以可知

22222

15,12,27a b c a b ===+=，

即c =

(0,±，故选择C ．

考点：双曲线简单的几何性质． 5．C 【解析】

试题分析：原命题：若sin 1x =，则2

x π

=，它的否命题为：“若sin 1x ≠，则2

x π

≠

”，故

选择C ．

考点：四种命题．

6．C 【解析】 试题分析：因为点

()2,0-为双曲线的左顶点，所以可得直线过点()2,0-与双曲线的两条渐

近线平行时，与双曲线有一个交点，以点

()2,0-为切点与双曲线相切的直线2x =-．满足

与双曲线有一个交点，所以共有三条，故选择C ． 考点：直线与双曲线的位置关系． 7．A 【解析】

试题分析：点0,1在()2

214x y -+=圆内，要使得过点0,1的直线l 被圆

()

2

214x y -+=所截得的弦长最短，则该弦以0,1为中点，与圆心和0,1连线垂直，而

圆心和0,1连线的斜率为

01

110

-=--，所以所求直线斜率为1，故选择A ． 考点：直线与圆的位置关系． 8．D 【解析】

试题分析：由已知可得抛物线焦点,02p F ?? ?

??，根据AF FM =可得点(),1M p ，代入抛物

线方程可得2p =

，即M ?

??

??

，而

124AOM

M S OA x =

??=，故选择D ．

考点：1．向量共线；2．直线与抛物线．

【试题探究】本题主要考查的是抛物线中求三角形面积，是高考的一个热点问题，属于中档题．此题解题的关键时根据AF FM =可得F 为中点，利用向量共线的坐标表示可得

()

,1M p ，进而求的P

值，即可求得解．类似高考题：已知抛物线2

y =，点P 在抛

物线上，且满足PF =POF

S

的值．

9．B 【分析】

根据曲线的方程与方程的曲线的定义判断. 【详解】

当00(,)M x y 是曲线12,C C 的交点时，则必有100200(,)0(,)f x y f x y ==，但当

100200(,)(,)f x y f x y =时，未必有100200(,)(,)0f x y f x y ==，则点00(,)M x y 不一定是曲

线1C 或2C 上的点.因此题中应是必要不充分条件，故选B ． 【点睛】

曲线C 的方程是0(),f x y =（或方程0(),f x y =的曲线是C ）必须满足两个条件：一是曲线C 上所有点的坐标都是方程0(),f x y =的解，二是以方程0(),f x y =的解为坐标的点都在曲线C 上，二者缺一不可． 10．B 【解析】

试题分析：：由双曲线的定义知122PF PF a

-=，又因

2

PQ PF =，所以

12QF a

=．又

因为

122QF QF a

==，所以等边三角形

2

PQF 边长为2a ，可得

14PF a

=，在三角形

12

PF F 中，

1212124,2,2,60PF a PF a F F c F PF ===∠=，所以由余弦定理解

得

223,a c e =∴=．故选择B ．

考点：1．余弦定理；2．求双曲线的离心率．

【试题探究】本题主要考查的是求双曲线的离心率，是高考的一个热点问题，属于中档题．在解求圆锥曲线离心率题时，往往结合圆锥曲线定义以及三角形形状，该题由双曲线定义可得

122PF PF a -=，利用三角形形状可得

2

PQ PF =以及

122QF QF a

==，进而得到

14PF a

=，在三角形

12

PF F 中，由余弦定理可得离心率．

相似题：12,F F 是双曲线22

221x y a

b -=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2

ABF ?为等边三角形，求双曲线的离心率．

11．C 【解析】

试题分析：设椭圆的另一焦点的坐标为

()

,M x y ，由椭圆定义可得：

=

22

=<满足双曲线的定义，

所以是双曲线的一支，故选择C ．

考点：1．求轨迹方程；2．双曲线的定义．

【试题探究】本题主要考查的是求轨迹方程以及双曲线定义，属于中档题．根据已知设椭圆的另一焦点的坐标为

()

,M x y ，由椭圆定义可得点

()1,0-到()1,2-与到点(),M x y 距离

之和为2a ，同理可得点()1,0到()1,2-与到点(),M x y 距离之和也为2a ，列得等式化简

根据式子可得，

()

,M x y 到

()1,0-的距离与到()1,0距离之差为常数且小于两定点间距离，

符合双曲线一支的定义，所以为双曲线一支． 12．A 【解析】

试题分析：根据题意点A 满足0AP AF ?=可得，点A 在以PF 为直径的圆上，点A 到原点的最近距离，即求以PF 为直径的圆的圆心到原点的距离减去半径得到，由图象可知当点P 在左顶点时，圆的半径最小且此时满足点A 正好在左顶点处，所以点A 到原点的最近距离为1，故选择A ．

考点：圆锥曲线最值问题． 13．

【解析】

试题分析：抛物线2

2y x =的准线方程为12x =-，点A 到其焦点的距离为1即到1

2

x =-的距离为1，所以到y 轴的距离为，故答案为

．

考点：抛物线定义． 14．

【解析】

试题分析：由已知可得：3,2a b c ==

=，

因为P 为该椭圆上异于顶点的一点，且12PF F ?是等腰三角形，所以该三角形以122F F c =为腰，不妨设12124F F PF c ===，由椭圆定

义可得：2122PF a PF =-=，面积为

1

22

?= 考点：椭圆定义． 15．

【解析】

试题分析：因为2F 向双曲线C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，可得2OHF 为直角三角形，且22,,OH a HF b OF c ===，所以三角形面积为1

2

ab ，又因为12F HF ?的面积为2b ，所以可得2OHF 的面积为

212b ，所以可得211

22

ab b =解得a b =，所以渐近线方程为，故答案为

．

考点：1．双曲线的性质；2．三角形面积．

【试题探究】本题主要考查的是双曲线的性质，属于中档题．解决此题可利用结论：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，且直角2OHF 中的边长关系为22,,OH a HF b OF c ===，然后进行求解，推出a b =，利用等轴双曲线的离心率为2，渐近线方程为这一结

论求解，掌握这些结论会使得解题即快又准确． 16．3 【解析】

试题分析：由题意可得()

,F e -=,,A B C 三点的横坐标分别为：123,,x x x ，

因为F 是ABC ?的重心，所以有123

3

x x x ++=-123x x x ++=-的焦半径关系可得

()12312333AF BF CF a ex a ex a ex a e x x x ++=+++++=+++=，故答案为3．

考点：1．重心坐标；2．椭圆的焦半径．

【试题探究】本题主要考查的是椭圆的焦半径，属于中档题．本题解题的关键时掌握ABC ?的重心横坐标为123123,33x x x y y y ++++??

???

，以及椭圆的焦半径公式，设点(),P x y ，则点p 到左焦点的距离为a ex +，到右焦点的距离为a ex -，其中e 为椭圆的离心率．

17．(]2,10,21 ???

???-∈m

【解析】

试题分析：由题意可得：p 为真????≤-≥+02012m m ?221≤≤-m ， q 为真 ?1

10<-

又因为()q p ∨-为假，所以可得p 为真且q 为假，即可求得．

试题解析：p 为真????≤-≥+02012m m ?221

≤≤-m q 为真 ?110<-

由题意()q p ∨-为假，即p 为真且q 为假，

故(]2,10,21 ???

???-∈m ．

考点：利用复合命题真假求参数．

18．（Ⅰ）()432

2

=+-y x ；（Ⅱ）1=x 和

419

43+-=x y ． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）此题中有两个动点设主动点()

00,M x y ，所求点

()

,P x y ，因为N 为点M

在直线3x =上的射影，所以可得

()

03y N ，，根据OP OM ON =+可得30+=x x ，0

2y y =，

解得；（Ⅱ）当斜率不存在时，满足题意，当切线斜率存在时，设l 的方程()14-=-x k y ，利用圆心到直线距离为半径求的k 值，即可得到直线． 试题解析：（1）设

()()

00y x M y x P ，，，，则

()

03y N ，，从而

3

0+=x x ，

2y y =

即y

y x x 21

,300=-=，又点M 在椭圆1422=+y x 上，

()1

214

322

=?

?

? ??+-∴y x

即

()432

2=+-y x ； （2）当切线斜率存在时，设l 的方程为()14-=-x k y 即04=+--k y kx

由相切得

2

1

4

32=++-k k k ，解得

43-

=k ，

结合图形知另一条切线为1=x ，

故切线l 的方程为1=x 和

41943+

-=x y ． 考点：1．求轨迹方程；2．求圆的切线方程．

19．（Ⅰ）x y 82

=；（Ⅱ）()2,3．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线的定义可得：

523=+

p

，解得4p =，方程为

x y 82

=； （Ⅱ）可以采用点差法求得，由（Ⅰ）可知()02，

F ,设()()2211,,,y x Q y x P ，中点()00,y x ，

则22

2

12

188x y x y ==，两式相减得121212

8

2

y y x x y y -==-+，又中点在直线PQ 上，

2200

=-∴

x y 联立上式可得．

试题解析：（Ⅰ）由题知

523=+

p

，4=∴p ，故C 的方程为

x y 82

=； （Ⅱ）()02，

F ,设()()2211,,,y x Q y x P ，中点()00,y x ，则22

212

188x y x y ==， 两式相减得

()2

82021=∴=?+y y y ，

又中点在直线PQ 上，

2200

=-∴

x y

3

0=∴x 即中点坐标为()2,3．

考点：1．抛物线定义以及方程；2．抛物线中点弦问题．

【方法点睛】本题主要考查的是利用抛物线的定义求标准方程以及抛物线中点弦的问题，属

于中档题．（1）问抛物线

2:2C y px =上的点(),A x y 到焦点的距离为2p

AF x =+

可求得；

当圆锥曲线题中出现弦的中点问题时，采用点差法求解，设两个交点坐标为

()()1122,,,,

A x y

B x y 中点

()

00,M x y ，代入圆锥曲线两式作差，可以得到

AB

k 与中点坐标

关系式，即可求解．

20．（Ⅰ）????

??±31,352，；（Ⅱ）121+±=x y ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设()y x P ,由两点间距离公式以及双曲线2

2:1

2x C y -=可得；（Ⅱ）由题

知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为1+=kx y ，与双曲线方程联立， OMN ?的面积为

12

1

12OMN S x x ?=??-由韦达定理代入可求得．

试题解析：（Ⅰ）设()y x P ,，则

()()3831312212

2

2

2

2

+

??? ??

-=-++=-+=y y y y x PA 当31=y 时，PA 最小，故所求点P 的坐标为

????

??±31,352，； （Ⅱ）由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为1+=kx y ，与双曲线方程联立得

()0442-12

2

=--kx x

k ，则

()

02140-11622<-->=?k k 且

即

212

<

k ()

3221116211212

221=--?=-??=?k k x x S OMN

解得：

32412

或=k （舍） l ∴的方程为1

21

+±=x y ．

考点：1．两点间距离公式；2．二次函数求最值；3．圆锥曲线面积问题．

21．（Ⅰ）1322=+y x ；（Ⅱ）

36

2362-

≤≥m m 或． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据左顶点和上、下顶点连成的三角形为正三角形可得b a 223

?=

，又因

为2=

c ，222a b c =+可求得；（Ⅱ）设()0,n N ，()11y x P ，，()22y x Q ，，当l 不与x 轴

重合时，可设直线l ：n ky x +=， 与椭圆E 的方程联立得()

0323222

=-+++n kny y k

，

整理()()()()21212121y y m n ky m n ky y y m x m x MQ MP +-+-+=+--=??→

??→?

()()22222

3332m n k n k n mn -++-+--=

，即?→

??→??MQ MP 为定值()

33322222+-+--?k n k n mn 为

定值，即：033222=-=--n n mn ①或3323

2

2=---n mn n ②,由①式可得n m =，与题意矛

盾;由②式可得03322

=+-mn n ，存在点()0,n N 即此关于n 的方程有解,故

02492≥-=?m 即

3

6

2362-≤≥

m m 或,检验当

x

l 与重合时，

()(

)

3332-=---=??→

??→?m m m

MQ MP ，为同一常数．

试题解析：（Ⅰ）由题知2=c ，b

a 223

?=，13==∴b a ，，故E 的方程为1322=+y x ；

（Ⅱ）设()0,n N ，()11y x P ，，()22y x Q ，， 当l 不与x 轴重合时，可设直线l ：n ky x +=， 与椭圆E 的方程联立得()

0323222

=-+++n kny y k

，

()()()()21212121y y m n ky m n ky y y m x m x MQ MP +-+-+=+--=??→

??→?

()

()()()2

212121m n y y m n k y y k -++-++=

(

)

()()

2

2222

32331m n k kn m n k k n k -++?--+-?+=

()

()2

2222

3332m

n k n k n

mn -++-+--=

?→

??→??MQ MP 为定值

()

33322222

+-+--?

k n k n

mn 为定值，

即：033222=-=--n n mn ①或3323

2

2=---n mn n ②,

由①式可得n m =，与题意矛盾;由②式可得03322

=+-mn n ，

存在点()0,n N 即此关于n 的方程有解,故02492

≥-=?m ，

即

36

2362-≤≥

m m 或,

此时

()3322

2

2-=-+--=??→

??→?m m n n mn MQ MP ； 当x l 与重合时，()(

)

3332-=---=??→

??→?m m m

MQ MP ，为同一常数；

综上，

36

2362-≤≥

m m 或．

考点：1．求椭圆方程；2．椭圆与直线位置关系．

【方法点睛】本题主要考查的是求椭圆方程以及椭圆与直线位置关系，有一定的难度．对于存在性问题可以先设进行求解，所以该题设()0,n N ，当l 不与x 轴重合时，可设直线l ：

n ky x +=，然后与椭圆方程联立，在解圆锥曲线问题时遇到向量关系，经常采用的是转化

为坐标运算，本题由坐标运算得到

()()

2

222

2233

.3

mn n k n MP MQ n m k --+-=

+-+要成为

定值，可得()()22

222

2

32323.3n mn n k mn n MP MQ n m k ??

---+ ?

--??=+-+为定值，即

22

3

323n mn n -=--或033222=-=--n n mn 及可求得解，然后检验当x l 与重合时，也为

同一个常数．

22．

（Ⅰ）λ=

，μ=

；（Ⅱ）1=λμ，证明略．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由相似三角形可得

,C

A B A D B D C

AB AC

y y y y BD y y CD y y λμ--====--，直线

2y x =+分别于双曲线方程和渐近线方程联立，可求得,,,A B C D 四点的纵坐标，即可求

得；（Ⅱ）由()I 的计算结果猜想1=λμ，证明：设()()2211,,,y x D y x A ，根据相似三角形可

得λ=--=--B B B B y y y y x x x x 2121，解得121

2

,11B B x x y y x y λλλλ++==++，同理可得

μμμμ++=++=

1,12

1

21y y y x x x C C ，又因为点,,B C 在渐近线上，所以C

C B B x y x y 2,2=-=()()212121212,2x x y y x x y y μμλλ+=++-=+∴

即()()2211221122,22y x y x y x y x --=-+-=+μλ 两式相乘得即可得到．

试题解析：（Ⅰ）03443142

222=+-??

????=-+=y y y x x y 3728,3728+=-=?D A y y

4,3422==????±=+=C

B y y x y x y ,

4724

72+-=--=∴B D A B y y y y λ，472472-+=--=C D A C y y y y μ; （Ⅱ）由（Ⅰ）的计算结果猜想1=λμ，证明如下：

设()()2211,,,y x D y x A ，则λ=--=--B

B B B y y y y x x x x 21

21，

λλλλ++=++=

∴1,12

1

21y y y x x x B B

同理可得μμμμ++=++=1,12

1

21y y y x x x C C 又C C B B x y x y 2,2=-= ()()212121212,2x x y y x x y y μμλλ+=++-=+∴

即()()2211221122,22y x y x y x y x --=-+-=+μλ

两式相乘得(

)

2

2

22

12

1244y x y x -=-λμ 即44?=λμ

1=∴λμ猜想得证．

另法：通过计算证明线段AD 与BC 的中点重合，从而CD

AB =,即得证．

考点：双曲线与直线的位置关系．