(整理)15对坐标的曲面积分.
§10.5 对坐标的曲面积分
一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域
假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是双侧的，曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的曲面，我们称之为有向曲面。
∑是有向曲面，在∑上取一小块曲面S ?，设γcos 是S ?的法向量与z 轴正向的夹角γ的余弦，y x )(σ?是S ?在xoy 面投影区域的面积值。我们规定：S ?在xoy 面上的投影y x S )(?为
??
?
??≡γ<γσ?->γσ?=?0cos ,00cos ,)(0cos ,)()(y x y x y
x S 其中0cos ≡γ也就是0)(=σ?y x 的情形。
简言之：S ?在xoy 面上的投影y x S )(?，实际就是S ?在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号，即：S S y x ??γ=?cos )(。
类似地可以定义S ?在yoz 面及zox 面上的投影z y S )(?及x z S )(?。
二、流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由
k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v
),,(),,(),,(),,(++=
给出，∑是速度场中的一片有向曲面，函数R Q P ,,均在∑上连续，求单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。
先讨论一个特殊情况：如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域，且流体
在该闭区域上各点的流速为（常向量）v ，设n
为该平面的单位法向量。
显然，在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为A ,斜高为v
的斜柱体。
1、当2),(π
<θ=∧n v 时，这斜柱体的体积为 )(cos n v A v A ??=θ??，这就是通过
闭区域A 流向n
所指一侧的流量；
2、当2
),(π
=θ=∧n v 时，显然流体通过闭区域A 流向n 所指一侧的流量为零，而
0)(cos =??=θ??n v A v A
；
3、当2
),(π
>θ=∧n v 时0)(
一侧，且流向n
-所指一侧的流量为)(n v A ??-。因此，不论θ=∧),(n v 为何值，流
体通过闭区域A 流向n
所指向一侧的流量均为)(n v A ??。
再讨论一般情况：流体流过的是一片曲面，且流速v
是变化的，此时的流量计算不能直接用上述方法，必须使用元素法来处理。
把曲面∑分成n 小块i S ?(i S ?同时也代表第i 小块曲面的面积)。在∑是光滑
的和v
是连续的前提下，只要i S ?的直径很小，我们就可以用i S ?上任一点
),,(i i i ζηξ处的流速
k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i
),,(),,(),,(),,(ζηξ+ζηξ+ζηξ=ζηξ=
代替i S ?上其它各点处的流速，以该点),,(i i i ζηξ处曲面∑的单位法向量
k j i n i i i i
γ+β+α=cos cos cos
代替i S ?上其它各点处的单位法向量，从而得到通过i S ?流向指定侧的流量的近似值为
),,2,1(n i S n v i
i i
=??
)
,,(i i i ζηξ
于是，通过∑流向指定侧的流量
i i n
i i S n v ??≈Φ∑=
1
[]i n i i i i i i i i i i i i i S R Q P ?γζηξ+βζηξ+αζηξ=∑=1
cos ),,(cos ),,(cos ),,(
但 z y i i i S S )(cos ?≈??α，x z i i i S S )(cos ?≈??β，y x i i i S S )(cos ?≈??γ 因此上式又可写成
∑=?ζηξ+?ζηξ+?ζηξ≈Φn
i y x i i i i x z i i i i z y i i i i S R S Q S P 1))(,,()(),,()(),,(
令0→λ取上述和式的极限，就得到流量Φ的精确值。
这样的极限还会在其它问题中遇到，抽去它们的具体意义，可给出对坐标的曲面积分概念。
三、对坐标的曲面积分定义及性质
【定义】设∑为光滑的有向曲面，函数),,(z y x R 在∑上有界。把∑任意分成n 块小
曲面i S ?(i S ?同时又表示第i 块小曲面的面积)，i S ?在xoy 面上的投影为y x i S )(?，
),,(i i i ζηξ是i S ?上任意取定的一点，如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时，
极限
∑=→λ??ζηξn
i y x i i i i S R 10
)(),,(lim
总存在，则称此极限为函数),,(z y x R 在有向曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分，并记作 ??∑
dxdy z y x R ),,(。
即 ∑??=→λ∑
?ζηξ=n
i y x i i i i S R dxdy z y x R 1
))(,,(lim ),,(
其中),,(z y x R 叫做被积函数，∑叫做积分曲面。
类似地可以定义
函数),,(z y x P 在有向曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分??∑
dydz z y x P ),,(，即
∑??=→λ∑
?ζ
ηξ=n
i z y i i
i
i
S P dydz z y x P 1
))(,,(lim ),,(
函数),,(z y x Q 在有向曲面∑上对坐标x z ,的曲面积分??∑
dzdx z y x Q ),,(，即
∑??=→λ∑
?ζηξ=n
i x
z i
i
i
i
S Q dzdx z y x Q 1
)
)(,,(lim ),,(
以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。
我们指出，当),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在有向光滑曲面∑上连续时，对坐标的曲面积分是存在的，以后总假定R Q P ,,在∑上连续。
在应用上出现较多的是形式
??????∑
∑
∑
++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(
为简便起见，我们把它写成
.),,(),,(),,(dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ++??∑
例如，上述流向∑指定侧的流量Φ可表示成为
dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++=Φ??∑
如果∑是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在∑上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和。
对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分有着相类似的一些性质。 1、如果把∑分成1∑和2∑，则
Rdxdy
Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy
Qdzdx Pdydz +++++=++??????∑∑∑
2
1
(1)
公式(1)可以推广到∑被分成了n ∑∑∑,,,21 几部分的情形。 2、设∑是有向曲面，-∑表示与∑取相反侧的有向曲面，则
????∑∑-=-
dydz z y x P dydz z y x P ),,(),,(
????∑
∑-=-
dzdx z y x Q dzdx z y x Q ),,(),,( (2) ????∑
∑-=-
dxdy z y x R dxdy z y x R ),,(),,(
(2)式表明：当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要改变符号，因此关于对坐标的曲面积分我们必须注意积分曲面所取的侧。
这些性质的证明从略。
四、对坐标的曲面积分的计算法
设积分曲面∑是由方程),(y x z z =所给出的曲面的上侧，∑在xoy 面上的投影区域为y x D ，假设函数),(y x z z =在y x D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续。
按对坐标的曲面积分的定义，有
∑??=→λ∑
?ζηξ=n
i y
x i
i
i
i
S R dxdy z y x R 1
)
)(,,(lim ),,(
因为∑取上侧，0cos >γ，所以
.)()(y x i y x i S σ?=?
又因),,(i i i ζηξ是∑上的一点，故),(i i i z ηξ=ζ，从而有
y x i i i i n
i i y
x i
i
i
i
n
i z R S R ))](,(,,[)
)(,,(1
1
σ?ηξηξ=?ζηξ∑∑==
令0→λ取上式两端的极限，就得到
[]????=∑
y
x D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,( (3)
这就将对坐标的曲面积分化为了二重积分。
公式(3)表明：计算对坐标的曲面积分??∑
dxdy z y x R ),,(时，只要把其中变量z
换成∑方程),(y x z z =，然后在∑的投影区域y x D 上计算二重积分就成了。
必须注意：公式(3)的曲面积分是取在曲面∑上侧的；如果曲面积分取在曲面
∑下侧，这时0cos <γ，那末
y x i y x i S )()(σ?-=?
从而有
????∑
-=y
x D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ]),(,,[),,( (3’)
类似地，如果∑由),(z y x x =给出，则有
????±=∑
z
y D dydz z y z y x P dydz z y x P ,],),,([),,( (4)
等式右端的符号这样决定：若积分曲面∑是由方程),(z y x x =所给出的曲面前侧，即0cos >α，应取正号；反之，如果∑取后侧，即0cos <α，应取负号。
如果∑由),(x z y y =给出，则有
????±=∑
x
z D dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q ,]),,(,[),,( (5)
等式右端的符号这样决定：若积分曲面∑是方程),(x z y y =所给出的曲面右侧，即0cos >β，应取正号；反之，如果∑取左侧，即0cos <β，应取负号。
【例1】计算曲面积分
??∑
dxdy z y x
其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分。 解：把∑分为1∑和2∑两部分，则
??????∑∑∑
+=2
1
dxdy xyz dxdy xyz xyzdxdy
上式右端的第一个积分的积分曲面1∑取下侧，第二个积分的积分曲面2∑取上侧，因此分别应用公式(3’)及(3)，就有
??????--+
---
-=∑
y
x y
x D
D dxdy y x xy dxdy y x xy xyzdxdy )1(
)1(2222
其中)0,0(1:22≥≥≤+y x y x D y x ，利用极坐标计算这个二重积分如下：
dxdy y x xy y
x D ??--2212
dr r r d 21
320
1cos sin 2-θ
θθ=?
?π
15
2=
从而 ??∑
=
15
2dxdy z y x 五、两类曲面积分之间的联系
设∑是由方程),(y x z z =给出的曲面上侧，由对坐标曲面积分计算公式有
[]????=∑
y
x D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,(
另一方面，∑的法向量的方向余弦为
221cos y
x
x z
z z ++-=
α，221cos y
x
y z
z z ++-=
β，2211cos y
x
z
z ++=
γ
由对面积的曲面积分计算公式有
????∑
=γxy
D dxdy y x z y x R dS z y x R ]),(,,[cos ),,(
由此可见，有
????∑
∑
γ=dS z y x R dxdy z y x R cos ),,(),,( (6)
如果∑取下侧，则有
????∑
-=y
x D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ]),(,,[),,(
此时，∑的法向量的方向余弦应取为
221cos y
x
x z
z z ++=
α，221cos y
x
y z
z z ++=
β，2211cos y
x
z
z ++-=
γ
????∑
-=γxy
D dxdy y x z y x R dS z y x R ]),(,,[cos ),,(
因此(6)式仍成立。
类似地，我们可导出关系式
????∑
∑
α=dS z y x P dydz z y x P cos ),,(),,( (7)
????∑
∑
β=dS z y x Q dzdx z y x Q cos ),,(),,( (8)
合并(6)，(7)，(8)三式，得两类曲面积分之间的如下联系：
????∑
∑
γ+β+α
=++dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz )cos cos cos ( (9)
其中γβαcos ,cos ,cos 是有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。
若引入记号： {}R Q P A ,,= ，{}γβα=cos ,cos ,cos n
，{}dxdy dzdx dydz S d ,,=
由(9)式有
{}{}dS n dS dS dS dxdy dzdx dydz S d
=?γ?β?α==
cos ,cos ,
cos ,,
两类曲面积分的关系式可简单地表示为
????∑
∑
?=?dS n A S d A
我们称 dS n S d
= 为有向曲面元。
【例2】计算曲面积分
??∑
-+=zdxdy dydz x z I )(2
其中∑是旋转抛物面)(2
122
y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧。 解法一：
由两类曲面积分之间的关系式，有
dS y x z y x x x z I ??∑???
?
??
?
?+++
+++=11
)(2
22
2
2
()
1
2
2
22++?
++=??∑
y x dS z x xz
dxdy y x x y x x y x D ????
?
??
?++++=
)(21)(42
22222
利用二重积分的性质，0)(4
222
=+??
dxdy y x x y
x D ，于是 dxdy y x x I y x D ????
?
??
?++=)(21222
rdr r r d ???? ??
+θθ=??π
2
02222021cos
π=8
解法二：由两类曲面积分的关系式，有
??????∑
∑
∑
γ
α
+=α+=+dxdy x z dS x z dydz x z cos cos )(cos )()(222 在曲面∑上，有
2
2
1cos y
x x ++=
α，2
2
11cos y
x ++-=
γ
故 dxdy x dxdy dydz )(cos cos -=γ
α
=
??∑
-+=zdxdy dydz x z
I )(2
??∑?--?+=`
2])()[(dxdy z x x z
再按对坐标曲面积分的计算法，有
????
?
??
?+--+--=y x D dxdy y x x y x x I )(21)(42
22222
dxdy y x x y x D ????
?
??
?++=
)(21222 π=8