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1.03GCT线性代数辅导

G C T 数学辅导教程

第三部分线性代数

14．行列式

14.1 行列式的概念和性质

·概念 nn

n n n

n n a a a a a a a a a D L M M M L L 21

22221

11211=

，是一个算式，其结果是一个数.

ij a 的余子式ij M ：划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列后所构成的1?n 阶行列式； ij a 的代数余子式：ij j i ij M A +?=)1(

·基本性质：

(1) 行列式的转置——行与列依次互换 D D =T

(2) 某行（列）元素全为零，则行列式的值为零. (3) 两行（列）对换，其值变号.

(4) 一个数乘行列式等于该数乘其一行（列）.（注意：与矩阵不同） (5) 两行（列）成比例（包括相等），则行列式的值为零.

(6) 某行（列）元素均为两数之和，则行列式的值为两个对应行列式的值之和. (7) 某行（列）元素的k 倍加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变. ·行列式的展开定理

)

, ,2 ,1( ) , ,2 ,1( 22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i L L L L =+++==+++=

而

)

( 0)( 022112211t j A a A a A a s i A a A a A a nt nj t j t j sn in s i s i ≠=+++≠=+++L L

·特殊行列式：

对角行列式 nn nn

a a a a a a D L L M M M L L 22112211

000==

次（副）对角行列式 n n n n

a a a a a a D L L M M N M L L 21)

1(21

1)1(0

000

00??==

上三角行列式 nn nn

n a a a a a a a a a D L L M

O M

M L L 221122211211

000==

下三角行列式 nn nn

n n a a a a a a a a a D L L M O M M L L

22112

2221110

00==

上（下）三角行列式的值同对角行列式 ·范得蒙得（Vander-monde ）行列式：

∏≤<≤????==

n i j j i n n

n n n

a a a a a a a a V 11121

121

)(111L M M M L L 其中

)())(())()(()(1212313121?≤<≤????????=?∏n n n n n

i j j i

a a a a a a a a a a a a a a

L L

14.2 行列式的计算——消元降阶法 ·利用行列式的基本性质：

例 33511102431

52113??????=

D 0

3550

100131111

115?????=0

5511111

151)1(33???????=+ 05502

5???=405

61)1(31=??????=+

例 0

010000

200

0010L L M O M M M

L L n

n D ?=! )1(1

0020000100

00)1(11n n n

n n ???=??=L M O M M M

L L

例 (2004GCT)设1112

2122

233132

0,a a a a a a M a a a =≠则111213

3132

332122

222222222a a a a a a a a a ??????=???M M 8)()2(3=?? 例 (2005GCT)设c b a , ,是0423

=+?x x 的三个根，

则行列式 b

a c a c

b c

b a 的值等于（）. A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 解：

c b a , ,是0423

=+?x x 的三个根根，由韦达定理，得0=++c b a ，则

0 =++++++=b

a c

b a a

c c b a c

b c b a b

a c a c

c b a . 选(B). 例（行和相等的行列式）

a b b b a b b b a L M O M M L L a b b n a b a b n a b b b n a L M O M M L L )1()1()1(?+?+?+=a

b b a b b b n a L

M O M M L L 1 1

1])1([?

?+=b

a b

a b b

b n a ???

?+=L M O M M L

00001])1([1)]()1([???+=n b a b n a

例已知2

213

21031

133

23134??=

D ，求42322212A A A A +++及2111A A +

解：42322212A A A A +++423222121111A A A A +++=02

21321131

113

2313=??=

，

2111A A +2210

21001131

2311??=

2102

1003

2202

311???=

210107

22???=196172?=??=

例 (2009GCT) 不恒为零的函数x

c x b x a x c x b x a x

c x b x a x f +++++++++=333222111)(( ).

A. 没有零点

B. 至多有1个零点

C. 恰有2个零点

D. 恰有3个零点

解：x c x b x a x c x b x a x c x b x a x f +++++++++=333222111)(x

c c b c a x c c b c a x c c b c a +??+??+??=3333

32222

21111

1 33

3332222

211111c c b c a c c b c a c c b c a ??????=x

c b c a x c b c a x c b c a 3

322221111??????+ 33

322

2111c b a c b a c b a =1

333322221111c b c a c b c a c b c a x ??????+Ax D +=，D A ,为常量. )(x f 不恒为零，0≠A 时是一次函数，0=A 时是非零常函数，则至多有1个零点.

选(B).

·分块矩阵表示的行列式：设B A ,分别为n m ,阶矩阵，则有

=B C O A =B O D A B A ?； =C B A O =O

B A

D B A ??mn )1(

例 7

53534

22205410

200

100

05??=D 63532201003

1)1(3

2?=???=× 例 3,M B A ∈，2 ,3=?=B A ，则

=???O B A A 322O B A

A 33)3()2(??433362)3()1(6=???=×

15．矩阵

15.1矩阵及其运算 ·矩阵的概念

???

???????==×mn m m n n n

m a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211A A 是矩形数表，不是一个数值 ·零矩阵 n m ×O 同型矩阵 n m ×A 与n m ×B ·矩阵的运算：

(1) 加法（仅适于同型矩阵） B A C += ij ij ij b a c +=

A B B A +=+,)()(C B A C B A ++=++，A A O O A =+=+，)(B A B A ?+=?

(2) 数乘 A C k = ij ij ka c = 乘以每个元素（注意：与行列式不同）

A A =?1, O A =?0, O O =k , A A A )()()(kl k l l k ==,

B A B A k k k +=+)(, A A A l k l k +=+)(

(3) 乘法设s m ij a ×=)(A ，n s ij b ×=)(B ，则n m ij c ×=)(C ，其中

∑==+++=s

k kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 1

2211L ，称为A 与B 的乘积，记为AB C =

O AO OA ==，)()(BC A C AB =，)()()(B A B A AB k k k ==

AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)( 矩阵相乘不满足交换律：ΒΑAB ≠，也没有消去律. 例 ?

???

????a a a a

????????b b b b ??????=0000，而 ????????b b b b ????????a a a a

??????=ab ab ab ab 2222

例设????

??=1111A ，????????=1111B ，??

??????=1111C ，满足O AC AB ==，但C B ≠ (4) 方阵的幂乘 n

n A A AA =43

421L 个

，m n m

+=A A A ，nm m n A A =)(，规定 I A =0

222)(B BA AB A B A +++=+222B AB A ++≠ 22))((B BA AB A B A B A ?+?=?+22B A ?≠，

k k k B ΑAB ABAB AB ≠=L )( 例求n

???2211. 因=??????2211[]1121??????，

则=??????n 2211[]11{21??????[]1121??????[]11}21??????L 1321???????=n []1113?=n ??

????2211 (5) 转置——行与列依次互换，记为T

A Α=T T )(， T T T )(

B A B A +=+， T T )(A Αk k =， T T T )(A B AB =

O A Α=T ?O A =

·特殊矩阵

单位矩阵 n I （或n E ）

：对角元为1，其余元素为0. 在矩阵乘法中相当于数1. n m n m m ××=A A I ，n m n n m ××=A I A ，n n n n n n n n ×××==A I A A I

对角矩阵又表示为) , , ,(diag 2211nn a a a L =A 同阶对角阵的和、数乘、乘积仍为对角阵

数量矩阵 I k n m n m m k k ××=A A I )(,n m n n m k k ××=A I A )( 上（下）三角矩阵(样式类似于三角行列式)

同阶上（下）三角阵的和、数乘、乘积仍为上（下）三角阵对称矩阵 A Α=T

ji ij a a = ， A ΑT

，T

AA 必为对称阵对称阵的和、数乘仍为对称阵，积则不一定. 例 ????

??2111??????1113??????=3524，??????1113??????2111??

???=3254，该例还表明对称矩阵相乘也不满足交换律. 反对称矩阵 A Α?=T

ji ij a a ?=，0=ii a 反对称阵的和、数乘仍为反对称阵，积则不一定. 例 ????

???0110???????0110??

???=1001 反对称阵的行列式：奇数阶反对称矩阵的行列式等于零.

证：由A Α?=T

，得A A A n )1(T ?==，当n 为奇数时A A ?=，即0=A

例已知????

?????=100110011A ，求n

解：B I A +=??????????=100110011，而??????????=0000001002B ，)3( 000000000≥????

?????=k k B ，

则 2)1(2

)(B B I B I Α?++=+=n n n n n ??

???

??????

?=1001

02)1(1n n n n

·分块矩阵

·方阵的行列式A （或)det(A ）

A A =T ， A A n k k =，

B A BA AB ==， n

n A A =， A

A 1

? 1

*?=n A

A （因I A A A AA ==**，则n A A A =?*，即1

?=n A

A ）

例若????

???????==??102020101 ,A I B A AB ，求B 9

,182 , ,1863202030102 ,002010100 ,)(==+=??=×=?=+?????

????

??=?+=?B B I A B I A I A I A I A B I A 例设4阶矩阵) , ,(32,1γγγαA =,) , ,(32,1γγ γβB =，若2=A ,3=B ，求

B A +.

解：332

12222=+=+γγγβαB A 40)(832

1=+=+B A γγγβα.

15.2 可逆矩阵

·可逆矩阵与逆矩阵的概念

若I BA AB ==，称A 可逆，并称B 是A 的逆阵，记为1

?=A B . B A ,互逆.

I A A AA ==??11

·矩阵可逆的充要条件

伴随矩阵 ?

???

????

???==nn n n n n ij A A A A A A A A A A L M M M L L 212221212111T

*)(A ， I A A A AA ==** 矩阵A 可逆0≠?A （又称非奇异矩阵，满秩矩阵），此时*

1A A

A =

? ·可逆矩阵的性质、伴随矩阵的有关结论

1?A 惟一，A A =??11)(， T 11T )()(??=A A ，1

11)(??=

A A k

k ， 111)(???=A B AB ， 11=??A A ， k k )()(11??=A A ， A A

A 1)(1*=

?， A A 11=?， 1*

?=n A A

***)(A B AB = {**111* )()(A B A B B A AB AB AB ===???Q }

若A 为)2( ≥n n 阶可逆矩阵，则A A

A 2

**)(?=n

证：由I A AA =*

，将A 换为*

A ，得I A I A A A 1

**)(?==n ；因A 可逆，

则*

A 也可逆，I A A A

I A

A A 11

*** 1)

()(???=

=n n ，即A A A 2

**)(?=n 若A 为)3( ≥n n 阶矩阵，常数 1 ,0±≠k ，则 *

1*)(A A ?=n k k

例已知A 为3阶方阵，3=A ，则?921

*=??A

=??1*92A A 91

)3(3923

111?=?=?=????A

A A A A 例设Q P,均为3阶矩阵，且2 ,2?==Q P ，求1*2

1?Q P 解法1：,

1*??=∴=n P

P P P P 41212)21(21(2

12312

31*?=???==??Q P Q P .

解法2：,

?=P P P 4

12121212

111111*?=??===?????Q P Q P P Q P 例已知????

??????=?2132114321

A ，求232221A A A ++.

解：201

=?A

，20

1=A ，????

??????==?2132114322011

*A A A ，

)113(201232221=

+?=

++A A A . (不必求出A ) 例设矩阵????

??????=100021012A ，矩阵B 满足I BA ABA +=**2，其中*

A 为A 的伴随矩阵，

I 是单位矩阵，求B . (2004数学一)

解：已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=*

2，而3=A ，于是有

A B AB +=63，即A B I A =?)63(，两边取行列式，有3 63==?A B I A ，

而 I A 63?I A 233

?=27127=?=，故所求行列式为9

=B . ·求逆矩阵的方法

(1)定义法，(2)公式法，(3)利用矩阵的初等行变换，(4)利用逆矩阵的性质例若A A =2，求1

)(?+I A .

解：I I A A 222

?=??，I I A I A 2))(2(?=+?，1

)(?+I A A I I A 2

)2(21?=??=.

·矩阵方程

例若?????

???=101020101A 满足X A I AX +=+2

，则))(()(I A I A X I A +?=?，

因=?I A ??????????001010100可逆，故I A X +=?

????

???=201030102 例设????

??=2102A ，??

???=0321B ，满足B A X AX ++=，则=X ( ). (A) ????

??4123 (B) ???????1101 (C) ??

???0123 (D) 以上A、B、C 均不正确解：,)(B A X I A +=? ,2423 ,1101)( ,11011

????=+???????=?????

??=??B A I A I A ??

???=???????

??????=+?=?012324231101)()(1B A I A X ，选(C).

15.3 矩阵的初等变换

·初等变换：交换变换，倍乘变换，倍加变换对应的初等矩阵： ),(j i E ， ))((λi E ， ))((k ij E

用初等矩阵左（右）乘矩阵A ，相当于对A 作一次相应的初等行（列）变换.

=?1),(j i E ),(j i E ， =?1))((λi E ))1

((λ

i E ， =?1))((k ij E ))((k ij ?E

·阶梯形矩阵，简化的阶梯形矩阵

形如 ?

????

??????????0304 00002000012030

11的矩阵称为阶梯形矩阵。其特性为：

(1) 全零行(元素全为0的行)位于矩阵的下方.

(2) 各非零行的左起第一个非零元素)( i j a ij ≥称为主元（注意与主对角元的区别）.

例如1,2,-2为主元.

任何矩阵经过有限次初等变换,都可化为阶梯形矩阵.

·用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 ) () (1

????→?A I I A 初等行变换

例 ????

??????=814312201A ，求1

解：???????????=100010001 814312201) (I A ?

??????

???????→104012001 0101102

01 ?????????????→116104001 100010201?????

?????????→1161042211 100010001，则1?A ??????????????=1161042211

例三阶矩阵B A ,满足BA A BA A +=?61

，且?????

????

?=714

131

A ，则=

B ( ) . (A) ??????????123 (B) ??????????741 (C) ??????????132 (D) ??

??????123

解：1,?A A 均为满秩矩阵，BA A BA A +=?61，11

1)6(???+=A BA A BAA A ，

即B I B A +=?61，得11

)(6???=I A

B ，

而??????????=?7431A ，则=????

??????=?1

6326B ????

?????123，选(A) . 例已知??????????=202030102A ，??

???

??????=000010001B ，满足X BA B AX 22+=+，求2010

X . 解：由X BA B AX 22+=+，得)2()2(I A B X I A ?=?. ????

?????=?0020101002I A 可逆， ??????

????????→????

??????0010102100 100010001100010001 002010100，则?????????????

=??0010102100)2(1I A .

于是)2()2(12010

I A B ΙΑX

??=?)2()2(1I A B ΙΑ???)2()2(1I A B ΙΑ???L )2()2(20101I A B ΙΑ??=?

＝??????

????????

0010102100???????

????000010001???????????002010100??????????=001010000???????????002010100??????????=100010000.

·分块矩阵的逆

若n m C B ,可逆，则 1

???

????C O O B ??

????=??11C O O B ， 1

????

???O C B O ???

???=??O B

C O 11

15.4 矩阵的秩 ·矩阵A 的k 阶子式

·矩阵的秩—A 的不为零的子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为)(r A .

),min()(r 0n m n m ≤≤×A ，规定0)(r =O

初等行变换不改变矩阵的秩：B A ???→?初等变换

，则)(r )(r B A =

·用初等行变换求矩阵的秩： B A ???→?初等行变换

（阶梯形），B A =)(r 中主元的个数（非零行的行数）.

例设矩阵????

?????=423503362a A 的秩为2，求a . 解法1：9 ,0182 ,2)(r ,018205.0905.1315.09205.0905.131==?=????????????→?????????????→a a a a A A

解法2：2)(r =A ，则0=A ，05

.09205.090

.131423503362=???==a a A ， 9 ,992 ==?a a .

·矩阵运算后秩的变化

)(r )(r T

A A =，)0( )(r )(r ≠=k k A A ，)(r )(r )(r

B A B A +≤+，

≤?+m )(r )(r B A )](r ),(r min[)(r B A AB ≤，m 为A 的列数

若m P 可逆，n Q 可逆，对n m ×A ，则有)(r )(r )(r )(r A AQ PA PAQ === 若O B A =××k n n m ，则n ≤+)(r )(r B A ，

=)(r *A ???

???

)(r 01)(r 1)(r n n n n A A A

例设 n 阶方阵)(ij a =A 的各行与各列之和均为0，则（）. A．A 为对称矩阵 B. A 的秩为0 C．A 的代数余子式ij A 全相等 D. A 的秩小于1?n

解：0=A . 设??

?????????=132213321

A ，则A 不是对称矩阵，排除(A).

2)(r ,000770321=??

???????→A A ，排除(B)，(D). 选(C) .

16. 向量

16.1 n 维向量

·定义 n 维行向量 ) , , ,(21T n a a a L =α

n 维列向量 ?????

???????=n a a a M 2

1α，不加注明时，所谓向量均指列向量.

零向量，负向量，向量相等

·线性运算设T 21) , , ,(n a a a L =α，T 21) , , ,(n b b b L =β，l k ,为常数，则加法 T 2211) , , ,(n n b a b a b a +++=+L βα；数乘 T 21) , , ,(n ka ka ka k L =α. αββα+=+，)()(γβαγβα++=++，α0α=+，0αα=?+)(，αα=1， ααα)()()(kl k l l k ==，αααl k l k +=+)(，βαβαk k k +=+)( 例（2005GCT）若X 为单位列向量，T XX G =，求2G

G XX X X X X XX XX G ,X X =====T T T T T 2T )( 1

16.2 向量组的线性相关性

·向量的线性组合与线性表出：s s k k k αααβ+++=L 2211 向量β可由向量组s ααα , , ,21L 线性表出 ?

方程组βααα=+++s s x x x L 2211有解（且方程组的一个解就是一个表出系数）

? 矩阵) , , ,(21s αααA L =和) , , , ,(21βαααB s L =有相同的秩

·向量组的线性相关与线性无关

若存在不全为零的数s k k k , , ,21L ，使0ααα=+++s s k k k L 2211，则s ααα , , ,21L 线性相关，否则线性无关.

(1) 含一个向量α的向量组线性相关 ? 0α=； (2) 向量组21 ,αα线性相关 ? 1α与2α对应分量成比例； (3) n 维向量组)2( , , ,21≥s s αααL 线性相关

?s ααα , , ,21L 中至少有一个向量可以被其余1?s 个向量线性表出

?齐次线性方程组0ααα=+++s s x x x L 2211有非零解 ?矩阵) , , ,(21s αααA L =的秩 )(r s

(4) n 维向量组)2( ,,,21≥s s αααL 线性无关

?s ααα , , ,21L 中没有一个向量可以被其余向量线性表出