2018版高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 同步精选测试17 均值不等式学案 新人教B版必修5

同步精选测试 均值不等式

(建议用时：45分钟)

[基础测试]

一、选择题

1.已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则

a ＋b

2

cd

的最

小值是( )

A.0

B.1

C.2

D.4 【解析】

a ＋b

2

cd

＝

x ＋y 2

xy

＝x 2＋y 2xy ＋2≥2xy xy

＋2＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立.

【答案】 D

2.已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x

＋4y

的最小值为

( )

【导学号：18082110】

A.2 2

B.4 2

C.16

D.不存在

【解析】 ∵点P (x ，y )在直线AB 上， ∴x ＋2y ＝3，

∴2x

＋4y

≥22x

·4y

＝22x ＋2y

＝4 2. 【答案】 B

3.下列函数中，最小值为4的函数是( ) A.y ＝x ＋4

x

B.y ＝sin x ＋4

sin x

C.y ＝e x

＋4e －x

D.y ＝log 3x ＋log x 81

【解析】 A 、D 不能保证是两正数之和，sin x 取不到2，只有C 项满足两项均为正，当且仅当x ＝ln 2时等号成立.

【答案】 C

4.如果log 3m ＋log 3n ≥4，那么m ＋n 的最小值为( ) A.4 B.4 3 C.9 D.18 【解析】 ∵log 3m ＋log 3n ＝log 3mn ≥4， ∴mn ≥34

.又由已知条件隐含着m ＞0，n ＞0，

∴m ＋n ≥2mn ≥234

＝18，当且仅当m ＝n ＝9时取到最小值，

∴m ＋n 的最小值为18. 【答案】 D

5.已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )

【导学号：18082111】

A.3

B.4

C.92

D.11

2

【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x

2x ＋2>0.

∴0

x ＋1

－2≥2x ＋

9

x ＋1

－2＝4. 当且仅当x ＋1＝9

x ＋1

，即x ＝2时，取“＝”号，此时x ＝2，y ＝1. 【答案】 B 二、填空题

6.建造一个容积为8 m 3

，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元.

【解析】 设水池的造价为y 元，长方体底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2

，所以另一边长为4

x

m.那么

y ＝120·4＋2·80·?

?

???

2x ＋2·4x

＝480＋320?

??

??x ＋4x ≥480＋320·2

x ·4

x

＝1 760(元).

当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元. 【答案】 1 760

7.已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________. 【解析】 因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2?

??

??

x ＋2y 22

－1＝2－1＝1， 当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 【答案】 1

8.若不等式x 2

－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________. 【解析】 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立?ax ≤x 2

＋1，x ∈(0,1]恒成立?a ≤x ＋1x

，

x ∈(0,1]恒成立.∴a ≤? ?

?

??

x ＋1x min ，x ∈(0,1].∵x ∈(0,1]，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1

x ，即x ＝

1时等号成立.∴a ≤2.

【答案】 (－∞，2] 三、解答题

9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值.

【导学号：18082112】

【解】 (1)法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2

y

＝1，又x ＞0，y ＞0，

则1＝8x ＋2y

≥2

8x ·2y

＝8xy

，得xy ≥64，

当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立. 所以xy 的最小值为64.

法二：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8xy ，∴xy ≥8，

xy ≥64.当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立，所以xy 的最小值为64.

(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2

y

＝1，

则x ＋y ＝? ??

??8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x

≥10＋2

2x y ·8y

x

＝18.

当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.

10.某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？

【解】 设使用x 年平均费用最少.由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列.

因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x

2x 万元.

设汽车的年平均费用为y 万元，则有

y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x

2x x ＝10＋x ＋0.1x 2

x ＝1＋10x ＋x

10≥1＋2

10

x ·x

10

＝3. 当且仅当10x ＝x

10，即x ＝10时，y 取最小值.

即这种汽车使用10年时，年平均费用最少.

[能力提升]

1.若实数a ，b 满足1a ＋2

b

＝ab ，则ab 的最小值为( )

A. 2

B.2

C.2 2

D.4

【解析】 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2

b ≥2

2

ab

，即ab ≥22，

当且仅当?????

1a ＝2b

，

1a ＋2

b ＝

ab

即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.

【答案】 C

2.若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

【解】 由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得????

?

x >0， y >0， 3xy ＝x ＋y ＋1，

因为 x >0，y >0，所以 3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， 所以 3xy －2xy －1≥0， 即 3(xy )2

－2xy －1≥0， 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0， 所以xy ≥1，所以 xy ≥1， 当且仅当 x ＝y ＝1 时，等号成立， 所以 xy 的最小值为1. 【答案】 A

3.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2

－z ＝0，则当xy z

取得最大值时2x ＋1y －2z

的最大值

为________.

【导学号：18082113】

【解析】

xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝

1x y ＋4y x

－3≤14－3

＝1， 当且仅当x ＝2y 时等式成立，此时z ＝2y 2

，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y

＝－? ??

??1y －12

＋1≤1，当且

仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.

【答案】 1

4.已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f ? ????x 1＋x 22的大

小并加以证明.

【解】 12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ? ????x 1＋x 22. 证明：f (x 1)＋f (x 2)

＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)，

f ?

????x 1＋x 22＝lg ? ??

??x 1＋x 22.

∵x 1，x 2∈R ＋

， ∴

x 1＋x 2

2

≥ x 1·x 2，

∴lg x 1·x 2≤lg ?

??

??x 1＋x 22，

即12lg(x 1·x 2)≤lg ? ????x 1＋x 22， ∴12(lg x 1＋lg x 2)≤lg ? ????x 1＋x 22. 故12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ? ??

??x 1＋x 22.