旋转单元考点复习

个性化辅导教案

授课时间：2012年12月日：00 -- ：00 备课时间：12年12月日

年级：初三科目：数学学员姓名:

课题：旋转单元复习老师姓名：廖丽艳

复习旋转中心，旋转角的概念，旋转性质及运用，中心对称，旋转在证明题中的应用教学

目标

重点

旋转的性质，证明题

难点

课前检查作业完成情况：优□良□中□差□

课堂教学过程

一、作业讲评

二、新授课

考点1 旋转的性质

1、把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P进过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

2、旋转的基本性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前、后的图形全等。

例1 （2010年杭州市）如图1，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC 绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C C′//AB，则∠BAB′等于（）

A．30°B．35°C．40°D．50°

点评：旋转改变图形的位置，但是不改变图形的形状和大小，对应

点与旋转中心连线的夹角就是旋转角．

练习：1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以点C为中心旋转到△A′B′C的位置，使B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，试确定∠BDC的度数．

考点2 中心对称图形的识别

1、把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对

称点。

2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都是经过对称中心，而且被对称中心所平分。中心对称的连个图形是全等图形。

3、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

例2 （2010年宁波市）下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（）

A B C D

点评：由于中心对称图形上的每一对对称点都和对称中心均在同一条直线上，且对称点的连线被对称中心平分，因此中心对称图形的识别可从两方面入手：（1）基本图形的个数是偶数；（2）其相对的两个基本图形均在一条直线上，且每对对称点到对称中心的距离相等．考点3 坐标网格下的旋转作图

（1）确定对称中心；

（2）确定关键点；

（3）作关键点的关于对称中心的对称点；

（4）连结各点，得到所需图形.

例3(2010年齐齐哈尔市，有改动)如图2-①，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（5，6），C（7，1），作出以O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°得到的△A1B1C1，并写出各顶点的坐标.（不要求写作法）

①②

图2

解析：如图2-②，连接OA，OB，OC，分别作出A，B，C绕原点顺时针旋转90°后的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接A1B1，B1C1，C1A1．则△A1B1C1为所求作的三角形．A1（4，-1），B1（6，-5），C1（1，-7）.

考点4 关于原点对称的点的坐标

两给点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）点P（-1，3）关于原点对称的点的坐标是；

点P（-1，3）绕着原点顺时针旋转90o与P’重合，则P’的坐标为

考点5 与旋转有关的结论探究题 例4 如图3－①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图3－②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想.

（2）若三角尺GEF 旋转到如图3－③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图3

解析：解答时应抓住图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.第（1）问，经测量后可知BM=FN ．然后利用三角形全等证明即可；第（2）问要明确在继续旋转的过程中，虽然△OBM 和△OFN 都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.

（1）BM=FN ．

证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ． 又∵∠BOM=∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM=FN ．

（2）BM=FN 仍然成立．

证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF ． ∴∠MBO=∠NFO=135°． 又∵∠MOB=∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM=FN ．

练习：把正方形ADCB 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AGFE ，边BC 与GF 交于点H （如图）．试问线段GH 与线段HB 相等吗？ 请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

③

A B D

G E F

O

M

N

C

②

E

A

B

D

G

F

O

M N

C

①

A ( G )

B ( E )

C

O

D ( F )

课堂练习： 一、选择题

1．（苏州）下列图形中，旋转600

后可以和原图形重合的是（ ） A 、正六边形 B 、正五边形 C 、正方形 D 、正三角形 2．（眉山）数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（ ）

A 、甲

B 、乙

C 、丙

D 、丁

3．（南平）如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若B A AC ''⊥，则BAC ∠的度数是（ ） A 、50° B 、60° C 、70° D 、80°

4．（安徽）在平面直角坐标系中，A 点坐标为（3，4），将OA 绕原点O 逆时针旋转900

得到OA ′，则点A ′的坐标是（ ） A 、（-4，3） B 、（-3，4） C 、（3，-4） D 、（4，-3） 5．（济宁）在平面直角坐标系中，将点A 1（6，1）向左平移4个单位到达点A 2的位置，再向上平移3个单位到达点A 3的位置，△A 1A 2A 3绕点A 2逆时针方向旋转900，则旋转后A 3的坐标为（ ）

A 、（-2，1）

B 、（1，1）

C 、（-1，1）

D 、（5，1）

6．（嘉兴）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF 、MN 相交于中心点O ，对△ABC 分别作下列变换： ①先以点A 为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；

②先以点O 为中心作中心对称图形，再以点A 的对应点为中心逆时针方向旋转90°；

③先以直线MN 为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以

点A 的对应点为中心顺时针方向旋转90

其中，能将△ABC 变换成△PQR 的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、①②③ 7．（黑龙江）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

A B C D 8．（潍坊）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）

第2题第3题A B C O

P Q R

E F M

N 第6题图

A 、12

B 、33

C 、3

13-

D 、3

14

-

二、填空题 9．（盐城）写出两个．．你熟悉的中心对称的几何图形名称，它是 ． 10．（衡阳）如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_____________．

11．（吉林）如图，直线l 与双曲线交于A 、C 两点，将直线l 绕点O 顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B 、D 两点，则四边形ABCD 的形状一定是_________．

12．（邵阳）如图，若将△ABC 绕点O 顺时针旋转180°后得到△A'B'C'，则A 点的对应点A'点的坐标是_____________．

13.（江阴）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90 °到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为 ． 14．（北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线y =－x 绕点O 顺时针旋转90°得到直线l ，直线l 与反比例函数x

k

y =

的图象的一个交点为A (a ，3)，则反比例函数的解析式是______． 15．（青岛）如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8， PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则 点P 与点P' 之间的距离为_______，∠APB ＝______°．

16．（东营）在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（1，0），将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是__________．

三、解答题 17．（宿迁）如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．（1）在图中标出旋转中心P 的位置，并写出它的坐标；

A

B C D E

A B C

D E 第13题图

A B

C D B '

D 'C '

第8题第10题图 第11题图 第12题第15题

（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．

18．（大连）如图，已知△ABC 和△A″B″C″及点O ． ⑴画出△ABC 关于点O 对称的△A′B′C ′； ⑵若△A″B″C″与△A′B′C′关于点O ′对称，请确定点O′的位置； ⑶探究线段OO′与线段CC″之间的关系，并说明理由． 19、已知E 、F 分别在正方形ABCD 边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF 的周长.

O C″B″A″图 10

C B A －1

1O ③②

①

y x

课后

巩

固 1.（2010年无锡市）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（

）

2．（2010年河南省）如图，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△A′B′C ，设点A′的坐标为),(b a 则点A 的坐标为（ ）

A ．),(b a --

B ．)1,(---b a

C ．)1,(+--b a

D ．)2,(---b a

第3题图 3．（2010年扬州市）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为__________． 4.（2010年天津市）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， 1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90?，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ．

5.（2010年常州市）如图，在△ABC 和△CDE 中，AB ＝AC ＝CE ，BC ＝DC ＝DE ，AB ＞BC ，∠BAC ＝∠DCE ＝∠a ，点B ，C ，D 在直线l 上，按下列要求画图（保留画图痕迹）： （1）画出点E 关于直线l 的对称点E′，连接CE′，DE′；

（2）以点C 为旋转中心，将（1）中所得△CDE′按逆时针方向旋转，使得CE′与CA 重合，得到△CD′E″(A)，画出△CD′E″(A)，并解决下面问

题：

①线段AB 和线段CD′的位置关系是 ，

理由是： ②求∠a 的度数．

学

管

家长或学生阅后签字

A B C D

第2题图 B'

A'A B C x

y O 第4题图 E A D E ' B C B A

C a E

D l

a

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