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第0讲数学是什么

课时题目：数学的内容在历史上的沿革

课时目标：数学在各个历史时期的不同理解

教学难点：社会科学、自然科学的发展推动着数学演变，到如今发展出庞大的分支

课时安排：1课时

贯穿本课程各讲的思考主题：数学是什么

对于这个问题，建议同学们做一个小小的成长记录：

学习本课之前，请同学写下自己的回答。

学习本课十八讲之后，再写下自己新的回答，看看自己对数学认识的变化。

数学是什么

数学是数量的科学。

数学是研究事物的数量关系和空间形式的一门科学。 ---恩格斯

数学是研究模式的科学。

数学的本质特征就是，在对模式化的个体进行抽象的过程中对模式进行研究，数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。 ----怀海特

数学是定义的科学。

数学是语言的语言。

数学一种工具，是研究自然的工具。

数学是一种思维方式，可看作人类一种思维的自由创造，一种发明。

数学是无穷的科学。——赫尔曼。外尔

数学是一种艺术。

数学是一种文化，数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。

数学不是规律的发现者，因为它不是归纳。数学也不是理论的缔造者，因为它不是假说。但数学却是规律和理论的裁判和主宰者，因为规律和假说明自己的主张,然后等待数学的裁判。如果没有数学上的认可，则规律不能起作用，理论也不能解释。

数学不是占数术。数学的证明或反证明的理念都要在逻辑之中进行，而占数术却不是如此。

数学不是会计学。虽然会计师的工作就是算术运算，他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要，但对会计师毫不重要。

现代数学的分支

如果我们将17世纪以前所了解的数学称为初等数学，那么它与从那以后创造出的数学相比是微不足道的。事实上，一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。有一种观点认为，现在应该说数学是从微积分开始，而不是以此为结束。到了18世纪末，数学已如同一棵根深蒂固的参天大树，扎根于现实之中已有两千年之深，它威风凛凛的枝条覆盖了所有其他知识体系，无疑，这棵大树将永远生存下去。

数学主题分类表（MCN 2000 美国数学会）

“数学”名称的由来

“数学”一词来自希腊语，是古希腊人最先使用的，它意味着某种“已学会或被理解的东西”或“已获得的知识”，还有“可学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”。“数学”名词的这些意思与梵文中的同根词意思相同。

之后古希腊喜欢研究哲学的学者，很早就在思考数学是如何产生的，数学知识与其他的知识的关系又是怎样的？这样一些哲学的问题。他们最先占有了猜想这一思考领域。

其实“数学”一词从表示一般的知识到表示数学专门的知识，经历了一个比较漫长的过程，它是到亚里士多德时代才完成的，而不是在柏拉图时代。数学名称的专有化其意义十分

深远，在当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。

“诗歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成了。不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问题从来没有提到过诗歌，也没有提到数学。但是数学名称的专有化的确受到人们的注意。

柏拉图关心数学的各个方面，在他那充满奇妙幻想的神话故事《费德洛斯篇》中是这样描述的：“故事发生在古埃及的洛克拉丁区域，在那里住着一位老神仙，他的名字叫赛斯，对于赛斯来说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何学和天文学，还有棋类游戏等”。

第一个用完全概念化的语言谈论数学的是亚里士多德，从他开始，人们才谈论统一的、有着自己发展目的的数学。亚里士多德在他的《形而上学》第１卷中说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。在亚里士多德的书中，提到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论：

1. 存在为知识服务的知识，纯数学就是一个最佳的例子。

2. 知识的发展不是由于消费者购物和奢华的需要而产生的。

亚里士多德这种“天真”的观点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的观点。就整体来说，古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，一种是实体论，而另一种是他们的数学。而亚里士多德的逻辑方法则是介于二者之间的，他认为，在一般的意义上讲，他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希腊的实体论带有明显的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在以后的斯多葛派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论。数学名称的产生和出现反映了古希腊人某些富于创造的特性。

亚里士多德提出，“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法。对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。事实上，从公元２世纪的拉丁作家格利乌斯和公元３世纪的希腊哲学家波菲利以及公元４世纪的希腊哲学家扬布利科斯的某些证词中看出，当时毕达哥拉斯学派对于成年人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记者。临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。这里“数学家”仅表示一类成员，而并不是他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。

对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家，一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根通过提倡接近科学的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了一个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛卡儿还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变成了以后产生的“符号”逻辑的基础，而20世纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。

在18世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱说，他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知识”，这一事实有两种解释：一种解释是，数学本身优于其它知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。

蒙托克莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在任何古代资料中，都没有发现适合这种解释的证据。

附录：

论数学的起源

冯·诺依曼

讨论任意领域中智力活动的性质是一件困难的任务，对处于人类智能中心领域的数学就更是如此。对人类智能的性质作一般的讨论，从本质上来说是困难的，它在任何情况下总比只涉及那些特殊范围的智能的讨论要更为困难。理解飞机的结构和升力、推力的力学原理，比乘坐飞机、以至驾驶它要更为困难。

在没有以直观的和经验的方式获得某些知识之前，在没有预先了解、熟悉以及驾驶过飞机之前，人们就能理解原理及其过程，这是罕见的。

在数学领域中，这种讨论如果以一种非数学的方式进行的话，限制将更为苛刻。讨论必然会显示出某些不良的特性，得到的结果所依据的材料决不可能充分；相反，面面俱到的肤浅的讨论却不可避免。尽管我甚至意识到，我将要提出的说法有不少短处，但是很抱歉我还是得说下去。此外，我准备表述的观点，也完全可能不为许多其他数学家所赞同。你可能获得一个人为的不太系统的印象和解释。我提出的看法，对这些讨论究竟有多少价值，也许是很小的。

在我看来，刻画数学特点的最有力的事实，是它和自然科学的特有联系。或者更一般地说，它和任何一类比处于纯粹描述水准更高级一些的、能对经验作出解释的科学的特有联系。大多数数学家和非数学家将会同意，数学不是一门经验科学，或者至少可以说它不是以某种来自经验科学技术的方法实现的，但是它的发展和自然科学却紧密相联。它的一个主要分支几何学，实际上起源于自然科学、经验科学。某些现代科学中最大的灵感（我认为是最大的）清楚地来源于自然科学，数学方法渗透和支配着自然科学的许多“理论”分支。在现代经验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已愈来愈成为该学科成功与

否的主要标准。确实，整个自然科学一系列不可割断的相继现象的链，它们都被打上数学的标志，几乎和科学进步的理念是一致的，这也变得越来越明显了。生物学变得更受到化学和物理渗透，这些化学是实验和理论的物理，而物理是形式甚为数学化的理论物理。

有一个甚为特殊的数学性质的两重性，人们必须理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主题中去。这种两重性是数学的本来面目，我不相信无需牺牲事物的实质，就可能简化和单一化对事物的看法。

因而我并不试图为你提供一种单一化的模式，我将尽可能地，描写数学所具有的多重现象。无可否认，在人们能想象的那部分纯粹数学中，某些最为激动人心的灵感来自自然科学，我将提及两个最值得纪念的事实。

第一个例子是几何学。几何学是古代数学中的一个主要部分，现在仍然是现代数学中几个主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是经验的，它开始成为一门学科并不像当今的理论物理。离开这些迹象，就很难说“几何学”是什么了，欧氏的公理化处理是几何学脱离经验向前跨出一大步的标志，但是它全然不能简单地被看成是决定性的、绝对的、最终的一步。欧氏的公理化在某些方面并不能满足现代绝对的公理化对严格性的要求，当然这不是主要的方面。最本质的是某些无疑是经验的学科，如力学和热力学，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的处理。然而所有这些都很难超出欧几里得的程序。

尽管自欧几里得以来，在使几何学与经验脱离方面已经逐步地取得了进展，但是哪怕在今天，它也没有变得十分完备。非欧几何学的讨论提供了这方面的一个好的说明。

广义相对论的发现，迫使人们对关于几何学相互关系的观点进行修正。这种修正是在全新的背景下进行的。最后，人们就能接触到一幅完成了的可供比较的图景。这最后的进展是由这样一代人完成的，他们看到了欧氏公理方法已被现代公理派逻辑数学家处理成为完全非经验的和抽象的。这两种表面上似乎是冲突的态度，完美地合并成一种数学思想；因此，希尔伯特在公理几何学和广义相对论方面都作出了重要的贡献。

第二个例子是微积分，或者说是由它生成的数学分析。微积分是近代数学的最早的成果，它的重要性怎样评价都不过分。微积分的起源显然是经验的，开普勒尝试着做的最早的积分，被叫做小桶的量度——即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化的，经验的几何学，而不是欧几里得以后的那种几何学，开普勒是完全知道这些的。牛顿和莱布尼兹的那些主要成果和主要发现确实起源于物理学。牛顿发明的“流数”运算，本质上是为了力学。事实上，这两门学科，微积分和力学，是由它们或多或少地结合在一齐而得到发展的。

对任何数学家来说，很难相信数学是一门纯粹经验科学，或者说，所有数学概念都起源于经验主体。首先让我们来考察陈述的第二部分。现代数学中有各种各样重要部分，它的经验来源是不可追溯的。代数符号是为了数学本身的使用而发明的。当然也可以合理地断言：它加强了与经验的联系，但是，现代的抽象代数，已经愈来愈朝着与经验很少相联的方向发展。关于拓扑也可以这样讲。在所有这些领域，数学家主观上的成功标准和作用价值，是自身相容、符合美学和脱离（或几乎脱离）经验。

在集合论中，这更为明显，一个无穷的“幂”和“序”，可以是有限数概念的推广，但

是在他们的无限形式中（特别是“幂”），它们和这个世界很难有任何联系。然后在十年之后，有的可能在一个世纪之后，却变得对物理学十分有用。它们主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非应用的精神。

数学概念来源于经验，尽管有时系谱是长远的曲折的，这种说法是一个适当的对真理的逼近。真理是太复杂了，以至能容纳任何事物，而不是逼近。但是一旦它们被设想出来后，这个主题开始按它自己特有的活力生长，并且在几乎完全按美学动机给出的创造物方面；它将比任何事物，特别是经验科学来得好。

但是也有一种重大的危险，学科只沿着远离根源的流一直持续展开下去，并且分割成多种没有意义的分支，学科将变成一种繁烦的资料堆积。换言之，远离经验来源，一直处于“抽象的”近亲交配之中，一门数学学科将有退化的危险。开始时，风格是古典的，当它显示出怪异时，危险就来了。要给出这样的例子是容易的，它们沿着一些特殊进展进入怪异的，以至高度奇异的状态，但是细说这些就太技术化了。

2014版北师大版四年级下册数学全册同步练习题

小数的认识和加减一、小小知识窗看谁本领高！ 1、0.78里面有（）个0.01，3.6里面有（）个0.1。 2、4个百、5个十、3个十分之一，组成的数是（）。 3、0.050的计数单位是（），它含有（）个这样的计数单位。 4、58厘米=（）米540克=（）千克 7元8角3分=（）元9吨40千克=（）吨 5、小数相邻两个单位之间的进率是（）。 6、10.1千克、1000克、1.1吨、1千克10克按从大到小的顺序排列是（）﹥（）﹥（）﹥（）。 7、在○里填上“＜”、“＞”、“=”。 7.9○8.2 0.09○0.12 5.7○5.8 3.61米○362厘米284克○0.284千克 5.3米○532厘米 8、0.8不改变大小，写成三位小数是（）。 9、一个小数，整数部分的最低位是（）位，小数部分的最高位是（）位。 10、□5.□5，使这个数最小是（），使这个数最大是（）。二、火眼金睛辨对错。 1、0.3与0.300大小相同，计数单位也相同。（） 2、小数点的后边添上“0”或去掉“0”，小数大小不变。（） 3、4.4时=4时40分。（） 4、整数加法的运算定律同样适用于小数加法。（） 5、2.7和2.9之间只有一个小数。( ) 三、选择。 1、0.9比10少（） A、0.1 B、9.1 C、9 2、由2、4、5三个数字组成的最大的两位小数是（） A、4.25 B、2.54 C、5.42 3、大于4.35小于5.35的小数有（）个 A、9 B、10 C、无数 4、8080.80这个数（）位上的零可以去掉。 A、百 B、十 C、百分 5、小红在计算小数减法时，将减数3.8错看成38，得108，那么正确的结果是（） A、66.2 B、142.2 C、10.8 四、计算。 1、口算： 6.9-6= 0.9+0.6= 1-0.09= 0.9+0.1= 2.7+2.2= 0.2+0.8= 0.7-0.7= 5.5+11= 1.3-0= 9.7-7= 2、列竖式计算： 27.09-9.28 22.45-19.156 9.07+2.88

(苏教版)四年级上册数学讲义-第八讲平均数(含答案)

四年级上册平均数辅导讲义学员姓名：年级：四年级辅导科目：小学数学学科教师：上课时间授课主题平均数平均数

一．平均数的意义及求平均数的方法． 1．平均数的意义：一组数据的和除以这组数据的个数，所得的商叫做平均数，它是描述数据集中程度的一个统计． 2．平均数的求法：（1）公式法：平均数=总数量÷总份数（2）移多补少法：多的数量中拿出一部分给少的数量，使它们的数量相等． 3．平均数与平均分的区别：平均数并不是实际每份的数量，它不是一个实际的数，而是借助平均分的意义通过计算得到的．平均分的结果是真实存在的，使每个数量都一样多；平均数的结果是“虚拟”的，是假设各个数量都一样多的情况．二．用平均数比较几组同类数据的方法．（1）计算出每组数据的平均数．（2）对比各个平均数，综合分析．（3）进行正确判断，解决问题．典型例题（1）某小队4名同学收集矿泉水瓶情况是小红手机14个，小兰12个，小亮11个，小明15个，平均每人收集了多少个？（2）下面是第4小组男生队和女生队踢毽比赛的成绩．哪个队的成绩好？男生队女生队姓名踢毽个数姓名踢毽个数王小飞19杨羽18

刘东15曾诗涵20 李雷16李玲19 谢明明20张倩19 孙奇15 名师学堂理解题意．（1）“平均每人收集了多少个”中的平均数量不是指每名学生实际收集到的矿泉水瓶的数量，而是指“假设”4名学生收集的矿泉水瓶的数量同样多，每人收集了多少个．方法一：移多补少法．小红给小兰1个，小明给小亮2个，移多补少后，每人的矿泉水瓶数量同样多，都是13个，所以平均每人收集了13个．方法二：公式法．要使每人收集的矿泉水瓶数量同样多，可以先把该小队收集的矿泉水瓶的总数量求出来，再平均分成4份，求1份是多少．因此可先求出这组数据的总数量，再用总数量除以这组数据的总份数，求得平均数．，．正确解答．，．理解题意．（2）方法一：比较每个队踢毽的总数量．缺点：男生队踢毽的总数量多，是因为男生队的人数多；女生队踢毽的总数量少．是因为女生队的人数少，两队的人数不一样，这样比较不公平．方法二：比较每个队的平均成绩．优点：比较平均成绩，实际上就是比较“平均每人踢了多少个”．相当于所有男生踢的一样多，所有女生也踢的一样多，这样用一个男生成绩与一个女生成绩比较，结果公平．男生队平均每人踢毽个数：．女生队平均每人踢毽个数：．因为19>17，所以女生队成绩好．正确解答．男生队平均每人踢毽个数：．女生队平均每人踢毽个数：．

四年级数学第七讲小数的意义和性质.doc

四年级数学第七讲小数的意义和性质一，填空 1、 0.85的计数单位是（），它有（）这样的个计数单位，再添上（）个这样的单位就是lo 2、己知一个数的十位上的数字是7,十分位上的数字是8,其余数位上的数字是 0,这个数是（）o 3、直接写出得数。 10. 56X10= 3. 15X1000= 0. 101X100= 12. 1^100 = 0. 001X10= 8. 65：10X100= 1. 8X10-^100= 360^100X10 = 4）根据 0. 056X 13=0. 782 试求 56X 1. 3= （） 0. 56X0. 13=（）。 5）把小红的身高先缩小10倍，再扩大1000倍，是145米。小红的身高是（）米。 6、把下面各数的小数点都移到最高位数字的左边，小数的大小有什么变化? ③ 2.01 ⑥ 100. 82 ①2.3 ④400 ② 61.04 ⑤ 763.5 7、60平方分米二（）平方米 80 克二（）千克 4千米150米=（）米 7080 克二( ）千克（ ) 克 8. 35平方分米二（）平方厘米 5吨90千克二( ) 吨 9）在适当的位置点上小数点，使式子成立。6 2 4>7 8 8>9 8 3>8 9 6 10）一种药每100片装一瓶，那么3500片能装（）瓶，需要装满4000瓶，需要（）片药。 11、在。里填上“X”或“：”，（）里填上适当的数： 0.730 （） =73 1000 （） =0. 1 0.670 （） =0.0067 12、按要求改写。（1）把下面的数改写成用“万”作单位的数. 253600 2314080 人 4328000 吨 9600000 平方米（2）把下面的数改写成用“亿”作单位的数. 93827100000 9740 万吨 683000000 千克 260500000000 米（3）把下面的数改写成用“万”或“亿”作单位的数后，再保留一位小数.

四年级数学(下册)同步练习题

四年级数学(下册)同步练习题班级＿＿＿姓名＿＿＿等第＿＿一、口算（每题1分） 60×9= 50×90= 600÷30= 20×34= 43×2= 11×600= 13×600= 75-18= 70-30= 8000-3000= 120÷3= 3×900= 900÷3= 320÷3= 210×4= 70×20= 25×100= 75÷3= 125×8= 25×40= 二、用竖式计算（每题4分） 805×54 126×37 310×14 34×930 367×50 800×74 三、填空（每空1分） 1、365的14倍是 .175是5的倍. 2、□□×□□=1600. □□×□□=2800. 3、125×16=125××2. 250×4×6=250× 4、211×39的积大约是 .498×21的积大约是 . 5、最小的三位数与最大的两位数的积是 . 四、你能算出体育用品商店今年10月份卖出的各种球类的总价吗？（每空3分）球类名称单价数量总价排球 59元 30个（）元足球 158元 12个（）元篮球 87元 120个（）元五、解决问题（每题6分） 1、星星小学体育组的15名同学在操场上练习自行车慢骑.平均每人骑800米.他们一共骑了多少米？ 2、一条船3次装运了1500袋黄沙.照这样计算.有8000袋黄沙.15次能全部运完吗？ 3、一辆大客车可以乘座48人.一列火车乘座的人数是一辆大客车的12倍.一列火车乘座的人数比一辆大客车乘座的人数多多少人？

4、明明特别喜欢看《少儿百科全书》.他5天看了100页.像这样又看了25天才把这本书看完.这本书一共有多少页？ 5、青青水果超市上半月卖出85筐苹果.下半月卖出65筐苹果.每筐苹果重20千克.青青水果超市这个月一共卖出多少千克苹果？ 6、一条公路长300千米.一个修路队修了20天.还剩80千米没修完.这个修路队平均每天修路多少千米？六、附加题参加数学兴趣小组的同学中.五年级比四年级的3倍少35人.两个年级的人数差是41人.两个年级参加数学兴趣小组的各有多少人？第二单元升和亳升测试题班级姓名等第一、在括号里填上“升”或“亳升”（每空1.5分）一杯橘子一瓶油2.5 一瓶果汁一缸水10 汁500 600 二、在括号里填上合适的数（每空2分） 1升=（）毫升 6000毫升=（）升 5000亳升=（）升 8000毫升=（）升 9升=（）毫升 2升=（）毫升三、在○里填上“﹥”、“﹤”或“=”（每题2分） 8500毫升○8升 1001毫升○999升 301毫升○3001毫升 7000毫升○7升 6000毫升○5升 13升○1300毫升四、判断（对的打“√”.错的打“×”）（每题2分） 1、一瓶娃哈哈有180升.…………………………………（） 2、明明今天喝了400毫升牛奶.…………………………（）

小学四年级数学第8讲：相遇问题(教师版)

第八讲相遇问题 1.通过实际演示，理解“相向运动”“相遇”及“速度和”。 2.掌握相向运动中求路程的解题方法：速度和×时间=路程。 3.培养学生认真审题的好习惯。会解决与此有关的含两、三步计算的实际问题。 4.培养学生分析和解答问题的能力。一：使学生掌握相向运动中秋路程的解题方法。二：理解“速度和”。例1.甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇．两地间的水路长多少千米？解析：要求两地间的水路长多少千米，先求出甲船与乙船的速度和，再用速度和乘相遇时间，问题即可解决．解：（18+15）×6， =33×6， =198（千米）；

答案：两地间的水路长198千米．例2.一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米．8小时后两车相距多少千米？解析：此题四种情况：（1）两车相向而行，8小时后两车之间的距离等于甲乙两地距离减去两车行的路程；（2）背向而行，8小时后两车之间的距离等于甲乙两地距离加上两车行的路程；（3）摩托车追汽车，两地距离减去8小时摩托车追汽车的距离即两车距离；（4）汽车追摩托车，两地距离加上8小时汽车追摩托车之间的距离，即两车距离．解：（1）相向而行． 900﹣（40+50）×8， =900﹣720， =180（千米）；（2）背向而行． 900+（50+40）×8， =900+720， =1620（千米）；答：8小时后两车相距1620千米．（3）摩托车追汽车． 900﹣（50﹣40）×8， =900﹣80， =820（千米）；答：8小时后两车相距820千米．（4）骑车追摩托车． 900+（50﹣40）×8， =900+80， =980（千米）；答：8小时后两车相距980千米．例3.甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城到B 城需6小时，乙车从B城到A城需12小时．两车出发后多少小时相遇？答案：两车出发后4小时相遇．例4.王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米．如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去．这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗

四年级数学级上册思维训练题(全)

第一讲方阵问题（一）学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。方阵的基本特点是： ①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。 ②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。 ③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。例1：有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1。解：以10米为一段，公路全长可以分成 900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）

练习与作业 1.四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11人，共11行的方阵。这个方阵里有多少同学？ 2.用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少枚？ 3.有1764棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？ 4.576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？ 5.棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少？ 6.在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，四周共装彩灯多少盏？

第二讲方阵问题（二）例3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。例4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？分析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）

小学四年级数学下册：同步练习全集

四年级下册数学同步练习第一单元四则运算第1课时加减、乘除混合运算 1、填一填。（1）食品超市有85箱饮料，上午卖出26箱，下午又运来18箱，超市现在有（）箱饮料。（2）一辆轿车2小时行驶144千米，5小时能行驶（）千米。（3）计算78-33+15时，要先算（）法，再算（）法。计算15×200÷100时，要先算（）法，再算（）法。（4）在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要按从（）往（）的顺序计算。 2、比一比，谁最快。（1）（2）200 3、在里填上适当的数，然后列出综合算式。（1）248 ÷ 8 （2）37 + 168 × 3 － 97 列出综合算式：列出综合算式： 4、脱式计算。 136+72－143 40×16÷8 328÷8×19 +24 +29 -36 +80 ÷5 ×3 ÷6 ×15

246－187+121 52÷4×17 630—198—35 5、列综合算式，解决问题。（1）4节车厢一共装煤228吨，照这样计算，如果一列火车有18节这样的车厢，那么这列火车一共可以运煤多少吨？（2）小明5分钟跑了400米，照这样的速度，小明9分钟能跑多少米？第2课时四则混合运算 1、在“＜”或“＝”。 27—19+36 81+18—76 345÷15×2 —17+2 366÷6×245—13×6 144÷12÷6 121÷11+18 2、看图列算式，并计算。 45 2倍多15 （1）甲：乙：？

（2）苹果：香蕉：每箱36千克每箱40千克 ①苹果和香蕉一共有多少千克？②香蕉比苹果重多少千克？ 3、在里填上适当的数，然后列出综合算式。（1）88 ÷8 162 ÷9 （2）14 ×60 72 ×8 + — 列出综合算式：列出综合算式： 4、脱式计算。 380—120÷15 150×50—25×5 5、列综合算式并计算。（1）275与25的积比它们的商多多少？（2）100减去72除以8的商，差是多少？ 6、解决问题。（1）火车8小时行驶600千米，汽车5小时行驶230千米，火车平均每小时比汽车平均每小时快多少千米？（列综合算式解答）

小学四年级数学下册逻辑思维第八讲和差问题

小学四年级数学下册逻辑思维第八讲和差问题【一】有两筐苹果，第一筐重50千克，第二筐比第一筐少20千克，两筐苹果共有多少千克？练习 1、有两筐水果共重80千克，第一筐重30千克，第二筐比第一筐重多少千克？ 2、甲数是39，乙数比甲数多17，求甲、乙两数的和是多少？【二】小红家养了30只鸡，母鸡比公鸡多8只，小红家养母鸡、公鸡各有多少只？练习 1、甲、乙两个数，和为42，已知甲比乙大12，甲数是多少？ 2、两数之和为25，这两个数相差7，求其中的大数是多少？

【三】小明有两本动漫书，共67元，其中一本比另一本便宜5元，这两本动漫书分别是多少元？练习 1、甲、乙两筐共有苹果80千克，甲筐比乙筐多10千克，甲、乙两筐各有苹果多少千克？ 2、两筐西瓜共重900千克，如果第一筐取出60千克放入第二筐中，两筐重量相等。原来第一筐和第二筐各有西瓜多少千克？【四】今年弟弟和爸爸两人的年龄和是30岁，2年前，弟弟比爸爸小22岁，问今年弟弟和爸爸各多少岁？练习 1、今年姐姐和妹妹两人的年龄和是28岁，1年前，妹妹比姐姐小4岁，问今年姐姐和妹妹各多少岁？ 2、胡银和陈婷两人今年的年龄和是41岁，5年后，胡银将比陈婷大3岁，问今年胡银和陈婷各多少岁？

【五】一个长方形的周长是14米，长比宽多3米，这个长方形的面积是多少平方米？练习 1、把长100厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少8厘米。长和宽各是多少厘米？ 2、秦大爷沿长和宽相差30米的游泳池跑5圈，做下水前的准备活动，共跑了800米，问游泳池的长和宽各是多少米？【六】甲、乙两个仓库共有货物1000吨，如果从甲仓库中取出50吨放到乙仓库中，那么甲、乙仓库的货物同样多，求两个仓库原来各有多少吨货物？练习 1、甲、乙两箱洗衣粉共有100袋，如果从甲箱中取出5袋放入乙桶中，则甲箱比乙箱还多8 袋，求两箱原来各有多少袋？ 2、甲、乙两筐香蕉共重60千克，如果从甲筐中取出5千克放入乙筐，结果甲筐比乙筐还多2 千克，求两筐原来各有多少千克香蕉？

人教版数学四年级下册第七讲

祝博士学习吧教学教案学生姓名年级学科授课老师上课时间教学课题小数的意义和性质（二总课时30课时课时计划 2课时教学内容教学内容概括教学重难点小数与单位的换算、小数的近似数。 1、掌握名数之间互化的方法，能正确进行名数的改写。 2、掌握求小数近似数的方法。 3、掌握把大数必定成用“万”或 “亿”作单位的小数的方法。【知识点一】低级单位的单名数或复名数改写成用小数表示的高级单位的单名数。知识回顾名数分成单名数与复名数，只含有一个单位名称的名称叫单名数；含有两个或两个以上单位名称的名数叫复名数。例1 把90cm、3m55cm改写成用米作单位的数。例2 把5元7角8分改写成用元作单位的数。归纳总结 1、把低级单位的单名数改写成高级单位的单名数的方法：用这个数除以两个单位间的进率，如果两个单位间的进率是10、100、1000……，可以直接把小数点向左移动一位、二位、三位……。 2、把复名数改写成用小数表示的高级单位的单名数的方法：复名数中高级单位的数不动，作为小数的整数部分；把复名数中低级单位的数必定成高级单位的数，作为小数部

分。名数改写的意义：在实际生活中，有时需要把不同计量单位的数据改写成相同计量单位的数据，以便于计算或比较。考点题库一 1.（重点题）填一填。 8米25厘米=（）米 6千米45米=（）千米 1千克21克=（）千克 3吨45千克=（）吨 61元8分=（）元 32元5角9分=（）元 2.（难点题）改一改。（1）世界上最大的石陨石重1吨770千克，改写成用吨作单位是（）吨。（2）一只大象的身高是2米30厘米，改写用米作单位是（）米。（3）小明买那个玩具车用了32元7角8分，改写成用元作单位是（）元。 3.（易错题）在里填上“>”、“<”或“=”。 45cm 562g 3t320kg 元 3元4角1分 4.（变式题）易建联、朱芳雨、丁锦辉和周鹏都是我国男篮2012年伦敦奥运会代表队中的队员，下面是他们的身高。姓名易建联朱芳雨丁锦辉周鹏身高213cm2m6cm （1）四名队员中，最高的是（），最矮的是（）。（2）把他们按从高到矮的顺序排列以来。

小学四年级数学上册逻辑思维第八讲数数图形(二)

小学四年级数学上册逻辑思维第八讲数数图形（二）【一】数一数，图中有多少个长方形？练习 1、数一数，图中有多少个正方形？ 2、数一数，图中有多少个三角形？【二】数一数，图中有多少个长方形？练习 1、数一数，图中有多少个三角形？ 2、数一数，图中有多少个正方形？

【三】数一数下图中有多少个长方形？练习数一数图中有多少个长方形？（1） 2、【四】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的正方形）练习数一数，下图中分别有多少个正方形（每个小方格为边长是1的正方形）？（1）（2）【五】数一数下图中有多少个正方形（每个小方格为边长是1的正方形）？

练习 1、数一数下图中有多少个正方形（每个小方格为边长是1的正方形）？ 2、下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？【六】从深圳到北京的某次快车中途要停靠6个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？练习 1、从中山到香港的航运线上，有4个停靠码头，航运公司要为这段航线准备多少种不同的船票？ 2、从广州至南昌的某次直快列车，中途停靠5个大站，这次列车有几种不同的票价？【七】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）

练习 1、求下列图中线段长度的总和。（单位：米） 2、求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）课外作业 1、数一数，图中有多少个长方形？ 2、数一数图中有多少个三角形？ 3、数一数，图中有多少个长方形？ 4、数一数图中有多少个正方形？

5、数一数图中有多少个长方形？ 6、从广州至上海的快车，中途要停靠7个大站，这次列车有几种不同的票价？ 7、一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少？

四年级数学下册竞赛第七讲格点图形的计算

哪个图形的面积与其他图形不一样？同学们已经学过了正方形、长方形、三角形、平行四边形及梯形的面积公式，掌握了用公式求面积这一基本方法．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．怎么做到这一点呢？请大家看下面的例题．分析这两个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？注意切成的每一小块面积都要能通过最小正方形或最小正三米．这个多边形的面积是多少平方厘米？最小正三角形的面积为米．这个多边形的面积是多少平方厘米？

角形的面积来计算，大家动手试一试吧．练习 1.（1）左图中相邻格点围成的最小正方形的面积为1．这个多边形的面积是多少？（2）右图中相邻格点围成的最小正三角形的面积为1．这个多边形的面积是多少？例题1中我们把大图形分成了好几块规则的小图形，这种方法称为“分割法”．但是不一定每个图形都很容易分割，有一些图形就是这么奇怪，想把它们分割成规则图形非常不容易，但是如果在它们的周围添上几小块规则图形，恰好能补成一块很大的规则图形．这时我们采用“添补法”就更合适了．分析对于这两个图形，像例题1那样的分割法究竟好不好用呢？尝试用添补法会不会更容易？除了图形的形状之外，还有没有什么条件看上去和例题1不一样呢？练习 2.图中每个最小正方形或三角形的面积都是2，请分别求出两个图中阴影部分的面积．分面积是多少平方厘米？形的面积是分面积是多少平方厘米？（1）（2）

分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算． “割”一题，“补”一题，“割割补补”又一题．下面的例题中，分割法和添补法哪个更好用呢？分析大家分别用分割法和添补法试试看吧．练习 3.图中每个最小正方形的面积都是10，请求出图中阴影部分的面积．对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？有的．如果图形恰好是顶点都是格点的多边形，即格点多边形，就好办了！例如，我们要计算如右图的格点多边形面积（假设最小的正方形面积为1）．割补的方法是可以求出这个图形的面积的，同学们可以自行尝试一下．我们还有另一种方法，从格点数入手：围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点（图中标成黑色圆点）叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点（图中标成白色圆点）叫做内部格点，一共有1个．一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按122116÷+?=计算，我们就得到图中格点图形的面积了．方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？

四年级数学第七讲小数的意义和性质练习题

四年级数学第七讲小数的意义和性质练习题姓名： ●课前小测递等式计算下面各题,能简算的要简算 (1)（49＋32）×（84÷6） (2) 320－76－124 (3)（136－87）×15÷3 (4) 542×6＋158×6 (5) 98×101 (6)168＋32÷8 (7)（365＋85）÷（40－15） (8) 15－15÷5 (9) 25×27×4 (10) 373＋27×16＋68

●、巩固练习一、填空题：（34空，每空1分，共34分） 1、10个0.1是（），10个0.01是（），72个0.01是（），26个0.1是（）。 2、0.6是（）位小数，它表示（）分之（）。0.008是（）小数，它表示（）分之（）。0.15是（）位小数，它表示（）分之（）。 3、0.4的计数单位是（），它有（）个这样的计数单位。0.138的计数单位是（），它有（）个这样的计数单位。 4、小数点左边第二位是（）位，它的计数单位是（），第四位是（）位，它的计数单位是（）。小数点右边第一位是（）位，它的计数单位是（），第三位的计数单位是（）。 5、5.376是由（）个1、（）个0.1、（）个0.01和6个（）组成的。 6、在4.04中，左边的4在（）位，它表示（），右边的4在（）位，它表示（），左边的4是右边的4的（）倍。 7、一个小数的十位是5,百分位是6,其它各位都是0,这个小数写作( ) 8、一个小数由7个一百，3个一，2个十分之一，5个千分之一组成，这个小数写作（）二、写出下面各数：（8分）零点零三七一千零二点零五五点八九四百点五八写作：三、读出下面各数：（8分） 0.052 100.009 32.32 48.095 写作：四、判断题：（3分） 1、12.8和12.80的大小一样，但计数单位不一样。（）。 2、小数点的未尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。（） 3、908的未尾添上两个“0”，数的大小不变。（）五、写出下面各小数的意义：（8分） 83.6元 4.32米 5.08千克0.82米

北师大版四年级下册数学全册同步练习41575

第一单元小数的认识和加减一、小小知识窗看谁本领高！ 1、里面有（）个，里面有（）个。 2、4个百、5个十、3个十分之一，组成的数是（）。 3、的计数单位是（），它含有（）个这样的计数单位。 4、58厘米=（）米540克=（）千克 7元8角3分=（）元9吨40千克=（）吨 5、小数相邻两个单位之间的进率是（）。 6、千克、1000克、吨、1千克10克按从大到小的顺序排列是（）﹥（）﹥（）﹥（）。 7、在○里填上“＜”、“＞”、“=”。 ○ ○ ○ 米○362厘米284克○千克米○532厘米 8、不改变大小，写成三位小数是（）。 9、一个小数，整数部分的最低位是（）位，小数部分的最高位是（）位。 10、□5.□5，使这个数最小是（），使这个数最大是（）。二、火眼金睛辨对错。 1、与大小相同，计数单位也相同。（） 2、小数点的后边添上“0”或去掉“0”，小数大小不变。（） 3、时=4时40分。（） 4、整数加法的运算定律同样适用于小数加法。（） 5、和之间只有一个小数。( ) 三、选择。 1、比10少（） A、B、C、9 2、由2、4、5三个数字组成的最大的两位小数是（） A、B、C、 3、大于小于的小数有（）个 A、9 B、10 C、无数 4、这个数（）位上的零可以去掉。 A、百 B、十 C、百分 5、小红在计算小数减法时，将减数错看成38，得108，那么正确的结果是（） A、B、C、四、计算。 1、口算： = += = += += += +11= = = 2、列竖式计算： +

3、脱式计算，能简算的就简算：（+）+ 4、列式计算。（1）一个数比与的和多，这个数是多少（2）从里减去与的和，差是多少五、解决问题： 1、五月份某运输公司一队运货吨，二队运货吨，三队比二队多运货吨，三个队五月份共运货多少吨 2、妈妈买鞋用去元，买袜子用去元，给了售货员150元，还剩多少元（用两种方法计算） 3、光明小学四二班向灾区的小朋友捐款情况如下表：小组第一小组第二小组第三小组钱数（元）比第一小组少比第二小组多（1）第三小组捐款多少元（2）三个小组一共捐款多少元（3）请你提出一个数学问题并解答。六、智力大比拼一桶油连桶重千克，用去一半后连桶重千克，这桶油重多少千克桶重多少千克

四年级数学第八讲：数学游戏

四年级数学第八讲：数学游戏基础班 1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？ 2.有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？ 3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？ 4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？ 5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？ 6.有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？ 7.甲、乙两人轮流报数，必须报1～4的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？习题答案 1.先取者取两根，以后每次把4的倍数根火柴留给对方取。先取者获胜。 2.乙胜。无论甲取几个球，只要乙接着取的球数与甲所取的球数之和为6即可。因为1999÷6余1，所以最后一个球被甲取走。 3.甲胜。甲先报3个数，以后每次与乙合报5个数即可获胜。 4.甲必胜。 5.甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数。这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划。因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。 6.先取。从4枚棋子的行中取走1枚。 7.解：把胜利者报完数后累加起来的和倒着进行排列：1000、995、990、985、 (10) 5，这是一等差数列，公差d=5.且每个数都能被5整除.因此，胜利者第一次报完数后应为5，而进行的是1～4报数，所以甲要取胜，应让乙先报.然后根据乙报几，甲就报5减几，这样就能确保甲取胜.

人教版四年级数学下册同步经典讲义

四则运算教学目标 1、知道四则运算的正确计算顺序。 2、结合实际的生活情景，能主动探索和理解含有两级运算的运算顺序，正确计算两、三步式题，能根据题目的意思熟练列出综合算式。 3、掌握有关0的特性，知道在运算过程中0不能做除数。 4、让学生在解决实际问题的过程中，培养学生的估算意识，养成认真审题、独立思考等学习习惯。重难点 1、理解四则运算的意义，掌握四则运算的运算顺序。 2、准确快速计算两、三步式题。 3、能根据题目的意思熟练列出综合算式。 3、能合理的解决简单的实际问题，掌握解决问题的策略与方法。知识框架一、四则混合运算的规则： 1、加法：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。

2、和=加数+加数加数=和-另一个加数 3、减法：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。在减法中，已知的和叫做被减数，其中的一个加数叫做减数，求出的另一个加数叫做差。 4、差=被减数-减数减数=被减数-差被减数=减数+差 5、乘法：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。 6、积=因数×因数因数=积÷另一个因数 7、除法：已知两个数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，其中的一个因数叫做除数，求出的另一个加数叫做商。除法是乘法的逆运算。 8、商=被除数-除数除数=被除数-商被除数=除数+商 9、在有余数的除法里，被除数=商×除数+余数 10、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 11、在四则运算中，加法和减法统称为第一级运算，乘法和除法统称为第二级运算。 12、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 13、在没有括号的算式里，有加、减法和乘、除法，要先算乘、除法，再算加减法。 14、算式里有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的，括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 15、算式里有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。二、有关0的运算： 1、任何数与0相乘，都得0；如：0×a=a； 2、0除以一个非0的数，得 0；如：0÷a=0； 3、任何数与0相加，都得原数；0+a=a； 4、一个数减去0，得原数。a-0=a；注意：0不能做除数。如5÷0不可能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到5。另外：0÷0也得不到一个确定的商，因为任何数乘以0都得到0。

四年级数学试题奥数第8讲抽屉原理一苏教版(2014秋) 无答案

第8讲抽屉原理一内容概述理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明，在考虑某些问题时，需要利用最不利原则进行分析. 典型问题兴趣篇 1. 学校周末要组织四个班的同学去春游，有三个地点可供选择：石景山游乐园、植物园和动物园，如果一个班只能去一个地点，试说明：一定有两个班要去同一个地点. 2. 小悦，冬冬和阿奇到费步步家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块. 3. 任意40个人中，至少有几个人属于同一生肖？

4. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都足够多，一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有两颗颜色相同？ 5. 某校的小学生中，年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中至少选几个学生，就能保证其中一定有三个学生的年龄相同？ 6. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各10支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有4支是同一种颜色的铅笔？ 7. 口袋里装有红、黄、蓝、绿这4种颜色的球，且每种颜色的球都有4个，小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？

8. 一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张，那么：（1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？（2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？（3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？ 9. 把40块巧克力放入A、B、C、D四个盒子内，如图8-1，A盒中放的最多，放了13块，且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少，那么：（1）D盒最少可以装几块？（2）D盒最多可以装几块？ 10. 圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐，当再有一人入座时，就必须和已就坐的某个人相邻，问：已就坐的最少有多少人？

学而思四年级第七讲(环形跑道)

第七讲环形跑道问题一、行程问题三要素环形跑道问题属于行程问题的一类。对于行程问题，同学们一定要马上反应出路程（S）、速度(V)、时间(t)三个要素之间的关系—— S=V·t V=S÷t t=S÷V ……公式变形即，在行程问题中，只有知道S、V、t中的其中两个要素，一定能求出第三个！二、行程问题基本型 1、相遇问题关键词：同时、反向公式： S和 = V和 ·t遇 2、追及问题关键词：同时、同向公式： S差 = V差 ·t追注：我们判断是相遇还是追及主要就是看方向，但要注意的是不管是相遇还是追及，其过程一定是二人同时进行的，所以抓住“同时”也很重要。当题目中不是同时发生的，要学会如何转化为“同时”。三、环形跑道问题环形跑道问题不过是把“行程”的过程搬到了环形跑道上进行，它仍然符合行程问题的公式。但要注意S与跑道有关系。做题时，我们要注意 1、确定方向：（1）反向即为相遇问题，就有S和 = V和 ·t遇（2）同向即为追及问题，就有S差 = V差 ·t追 2、确定起始点（1）同地：周期现象反向（相遇），第1次相遇，共合跑1圈第2次相遇，共合跑2圈 …… 第n次相遇，共合跑n圈同向（追及），第1次追上，共多跑1圈第2次追上，共多跑2圈 …… 第n次追上，共多跑n圈（2）异地：第1次特殊，从第2次开始即为周期现象

四、例题解析课前回顾小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小王的速度是200米/分，（1）小张和小王同时从同一地点出发反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解析：（1）同时同地反向，是相遇问题。 S和 = V和 ·t遇 500米 1分钟第一次相遇，即合跑一圈，即合跑500米，S和、t遇都知道，那么就可求速度和，得500÷1=500（米/分）小张的速度： 500-200=300（米/分）（2）同时同地同向，是追及问题。 S差 = V差 ·t追 500米 300-200 第一次追上，即小张比小王多跑一圈，即S差是500米，速度差也可算出来，那么可求追及时间：500÷（300-200）=5（分）小张共跑了多少米：300×5=1500（米）小张跑了多少圈：1500÷500=3（圈）例1 在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？解析：同时同地同向——追及问题，S差 = V差 ·t追 300米 2分30秒同时同地反向——相遇问题。S和 = V和 ·t遇 300米半分钟根据分析，根据追及过程可求出速度差，根据相遇过程可求出速度和，接着再用和差问题即可求出两人的速度了。只是注意单位要统一，时间单位我们统一为秒。速度差：300÷150=2（米/秒）速度和：300÷30=10（米/秒）快的速度：（10+2）÷2=6（米/秒）慢的速度：（10-2）÷2=4（米/秒）或 6-2=4（米/秒）例2 巍巍、铮铮两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。这条公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时巍巍骑了1440米。请问：（1）巍巍的速度是多少米/分？（2）从出发到第一次相遇用时多少分钟？（3）铮铮骑一圈需要多少分钟？（4）再过多久他们第二次相遇？解析：我们做行程问题要敏感，任何一个行程过程，只要知道三要素的两个，一定要反应出马上能求出第三个。（1）“公路长2400米，巍巍骑一圈需要10分钟”，可知巍巍的速度：2400÷10=240（米/分）（2）“第一次相遇时巍巍骑了1440米”，那么可知巍巍用时1440÷240=6（分），这个也是他

第0讲 数学是什么