人教版数学高二选修2-1单元检测 第二章 圆锥曲线与方程 (A卷)
第二章 圆锥曲线与方程(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.1
2
C ．2
D ．4 2．设椭圆x 2
m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为1
2
，则
此椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 2
12＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 2
48
＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物
线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2
27＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2
9
＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y
2b
2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的
半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( ) A ．1 B ．a 2 C ．b 2 D ．c 2
5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 2
4＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 2
4
＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y
2(a ＋1)2
＝1的离心率e 的取值范围是( )
A ．(2，2)
B ．(2，5)
C ．(2,5)
D ．(2，5) 7.
如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线
8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝
0，则|FA |＋|FB |＋|FC |等于( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
9．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(1,2)
C ．[2，＋∞)
D ．(2，＋∞)
10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A ．(4,0)
B ．(2,0)
C ．(0,2)
D ．(0，－2)
11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A.????32，54 B ．(1,1) C.????32，94 D ．(2,4)
12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.????34π，π B.????π4，34π C.???π2，π D.???π2，34π 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．
15．设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点????b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．
16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2
k －1
＝1，给出下面四个命题：
①曲线C 不可能表示椭圆；
②当1 ③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1 2 . 其中所有正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 2 9 ＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′， 并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程． 18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 2 4 ＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求 双曲线C 的方程． 19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长． 20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点， 若PF1⊥PF2，试求： (1)椭圆的方程； (2)△PF1F2的面积． 21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝5 2p， 求AB所在的直线方程． 22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点． (1)写出C的方程； (2)若OA⊥OB，求k的值． 第二章 圆锥曲线与方程(A) 1．A [由题意可得2 1m ＝2×2，解得m ＝14 .] 2．B [∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴x 2m 2＋y 2 n 2＝1的右焦点为(2,0)，∴m >n 且c ＝2. 又e ＝12＝2 m ，∴m ＝4. ∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12. ∴椭圆方程为x 216＋y 2 12 ＝1.] 3．B [抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6.① 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知b a ＝3，② 且c 2＝a 2＋b 2.③ 由①②③解得a 2＝9，b 2＝27. 故双曲线的方程为x 29－y 2 27 ＝1，故选B.] 4．D [由椭圆的几何性质得|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|·|PF 2|≤? ?? ??|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2 ， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． |PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|) ＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2 ≥－c 2＋a 2＝b 2， 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.] 5．B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2， 且双曲线的标准方程为y 24－x 2 b 2＝1. 根据题意2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c . 又a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2， ∴解上述两个方程，得b 2＝4. ∴符合题意的双曲线方程为y 24－x 2 4＝1.] 6．B [∵双曲线方程为x 2a 2－y 2 (a ＋1)2＝1， ∴c ＝ 2a 2＋2a ＋1. ∴e ＝c a ＝ 2＋1a 2＋2a ＝ ????1a ＋12＋1. 又∵a >1，∴0<1a <1.∴1<1 a ＋1<2. ∴1 a 2<4.∴2 ∴D 1C 1⊥PC 1.∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离． ∵P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等， ∴PC 1等于P 到直线BC 的距离． 由圆锥曲线的定义知，动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．] 8．B [设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1,0)， ∵FA ＋FB ＋FC ＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3. 又由抛物线定义知|FA |＋|FB |＋|FC | ＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.] 9．C [ 如图所示，要使过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该 直线的斜率小于等于渐近线的斜率b a ， ∴b a ≥3，离心率e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2 a 2≥4， ∴e ≥2.] 10．B [根据抛物线的定义可得．] 11．B [设与直线2x －y ＝4平行且与抛物线相切的直线为2x －y ＋c ＝0 (c ≠－4)，由 ??? ?? 2x －y ＋c ＝0 y ＝x 2 得x 2－2x －c ＝0.① 由Δ＝4＋4c ＝0得c ＝－1，代入①式得x ＝1. ∴y ＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．] 12．D [椭圆方程化为x 21sin α＋y 2 －1 cos α ＝1. ∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1 sin α >0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π 4 .] 13.32 解析 由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝c a ，从而e ＝3 2 . 14．2x －y －15＝0 解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 2 2＝4， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为P (8,1)， 所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2) ＝2. 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0. 即2x －y －15＝0. 15. 22 解析 由题意，得b 2＋c c －b 2 ＝3?b 2＋c ＝3c －3 2b ?b ＝c ， 因此e ＝c a ＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝2 2. 16．③④ 解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝5 2时，方程表示圆；验证 可得③④正确． 17．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 2 9 ＝1上， ∴x 2036＋y 20 9 ＝1. ∵M 是线段PP ′的中点， ∴????? x 0＝x ，y 0＝y 2， 把????? x 0＝x y 0＝y 2 代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 2 36 ＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36. 18．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1. 由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2. 又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴b a ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2 －y 23 ＝1. 19．解 将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得： k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0， 由? ?? k ≠0(4k ＋8)2－16k 2>0，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8 k 2＝4?k 2＝k ＋2?k 2－k －2＝0. 解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)， 由弦长公式得： |AB |＝ 1＋k 2· 64k ＋64k 2 ＝5×192 4 ＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2， 所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·4 3－c ＝－1， 解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 a 2－25＝1. 因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16 a 2－25＝1. 解得a 2＝45或a 2＝5. 又因为a >c ，所以a 2＝5舍去． 故所求椭圆方程为x 245＋y 2 20＝1. (2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，② ①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80， 所以S △PF 1F 2＝1 2|PF 1|·|PF 2|＝20. 21．解 焦点F (p 2 ，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <5 2p ，不合题意． 所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2 )，k ≠0. 由????? y ＝k (x －p 2 )，y 2＝2px 消去x ， 整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (1＋1 k 2)·(y 1－y 2)2 ＝ 1＋1 k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝5 2 p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2 )． 22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝ 22－(3)2＝1， 故曲线C 的方程为x 2 ＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程????? x 2＋y 2 4＝1， y ＝kx ＋1. 消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立． 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3 k 2＋4. 若OA →⊥OB → ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2 k 2＋4 ＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±1 2 .