导数的概念及运算
导数概念及其意义
自主梳理
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－
y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________________＝Δy Δx
称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．
2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即______________________________．
(2)几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________．导函数y ＝f ′(x )的值域即为_切线斜率的取值范围．
3．函数f (x )的导函数
如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作____________．
4．基本初等函数的导数公式表
原函数 导函数
f (x )＝C f ′(x )＝______
f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝______ (α∈Q *)
F (x )＝sin x f ′(x )＝__________
F (x )＝cos x f ′(x )＝____________
f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝____________(a >0，a ≠1)
f (x )＝e x f ′(x )＝________
f (x )＝lo
g a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝__________(a >0，
a ≠1，且x >0)
f (x )＝ln x f ′(x )＝__________
5．导数运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )g (x )]′＝______________；
(3)????f (x )g (x )′＝______________ [g (x )≠0]．
6．复合函数的导数（文科不要求）
如果函数)(x ?在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ?处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ?]在点x 处也可导，并且
(f [)(x ?])ˊ=
[])(x f ?')(x ?' 或记作
x y '=u
y '?x u ' 熟记链式法则
若y= f (u )，u=)(x ?? y= f [)(x ?]，则 x y '=)()(x u f ?''
复合函数求导练习 ()2
23y x =+()ln 2y x =+
32)2(x y -=； 2sin x y =
)4
cos(x y -=π
； )13sin(ln -=x y ．
1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx
为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx
2．设y ＝x 2·e x ，则y ′等于( )
A ．x 2e x ＋2x
B ．2x e x
C ．(2x ＋x 2)e x
D ．(x ＋x 2)·e x
3．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
4．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32
，则切点的横坐标是( )
A ．－ln 22
B ．－ln 2C.ln 22
D ．ln 2 5．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________.
探究点一 利用导数的定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数的导数：
(1)f (x )＝1x
在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1x ＋2.
变式迁移1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．
探究点二 导数的运算
例2 求下列函数的导数：
(1)y ＝(1－x )?
???1＋1x ；(2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝tan x .
变式迁移2 求下列函数的导数：
(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln x x 2＋1
.
探究点四 导数的几何意义
例4 已知曲线y ＝13x 3＋43
.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．
变式迁移4 求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．
有效训练
练1. 求双曲线
1
y
x
=在点
1
(,2)
2
处的切线的斜率,并写出切线方程.
练2. 求2
y x
=在点1
x=处的导数.
1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：
(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．
(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．
2．曲线的切线的求法：
若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．